МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
(Наименование института, факультета)
УТВЕРЖДАЮ
___________________________
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
Дифференциальные и разностные уравнения
(Наименование дисциплины (модуля)
Направление подготовки
010300 Фундаментальная информатика и информационные технологии
Профиль подготовки
Информатика и компьютерные науки
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
(очная, заочная)
Саратов,
2011
1. Цели освоения дисциплины.
Целями освоения дисциплины «Дифференциальные и разностные
уравнения» являются:
а) знакомство с основными типами дифференциальных уравнений, системами и методами их исследования;
б) освоение классических способов решения этих уравнений;
в) знакомство с различными математическими моделями, связанными с
дифференциальными уравнениями;
г) выработка навыков использования полученных знаний в исследовательской и прикладной деятельности;
д) подготовка студентов к освоению дисциплин, изучаемых на старших
курсах;
е) выработка способности приобретать новые и профессиональные
знания, используя современные образовательные и информационные технологии.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Данная учебная дисциплина входит в раздел «Математический и естественнонаучный цикл. Базовая часть» ФГОС-3 и является частью модуля
«Высшая математика».
Для изучения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» необходимы компетенции, сформированные у обучающихся в результате изучения дисциплин «Математический анализ I», «Математический анализ
II», «Алгебра и геометрия», «Математическая логика и теория алгоритмов».
Важное значение для успешного освоения дисциплины «Дифференциальные
и разностные уравнения» имеет владение студентами основными фактами
теории дифференциального и интегрального исчислений, теории функциональных рядов, методами исследования линейных алгебраических систем.
Полученные в курсе «Дифференциальные и разностные уравнения»
знания необходимы при изучении курсов «Вычислительные методы», «Методы оптимизации и исследование операций».
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения».
В результате освоения данной дисциплины у обучающихся формируются следующие профессиональные компетенции:
ПК-4 – способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат, фундаментальные концепции и системные методологии, международные и профессиональные стандарты в области информационных технологий, способность использовать современные инструментальные и вычислительные средства (в соответствии с профилем подготовки);
ПК-8 – способность профессионально владеть базовыми математическими знаниями и информационными технологиями, эффективно применять
их для решения научно-технических задач и прикладных задач, связанных с
развитием и использованием информационных технологий;
ПК-15 – понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины, включая:
Математический анализ I;
Математический анализ II;
Кратные интегралы и ряды;
Алгебра и геометрия;
Теория функций комплексной переменной;
Функциональный анализ;
Математическая логика и теория алгоритмов;
Теория автоматов и формальных языков;
Дифференциальные и разностные уравнения;
Теория вероятностей и математическая статистика;
Вычислительные методы;
Методы оптимизации и исследование операций;
ПК-16 – понимание концепций и основных законов естествознания, в
частности, физики.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
•Знать: базовые знания в различных областях данной дисциплины, в том числе, основные факты теории дифференциальных и разностных уравнений и
методов их решения.
•Уметь: понять поставленную задачу; строго доказывать математические
утверждения; грамотно пользоваться языком данной предметной области;
применять на практике методы решения задач, возникающих в прикладных
вопросах, связанных с математическими модулями, которые описываются
методами теории дифференциальных уравнений.
•Владеть современными методами исследования различных проблем, связанных с приложениями, навыками решения задач с использованием теории
дифференциальных уравнений.
4. Структура и содержание дисциплины «Дифференциальные и
разностные уравнения».
Раздел дисциплины
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
Неделя
семестра
№
п/
п
Семестр
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, т.е.
144 часа.
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
практические
сам. работа
4
1-4
8
8
10
Контрольная работа
(8 неделя)
4
5-6
4
4
6
Контрольная работа
(8 неделя)
4
7-9
6
6
8
Контрольная работа
(8 неделя)
4
1012
6
6
8
Контрольная работа
(15неделя)
4
1315
6
6
8
Контрольная работа
(15неделя)
4
16
2
2
4
лекции
лабораторные
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
1
2
3
4
5
6
Дифференциальные
уравнения 1-го порядка.
Система дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Задача Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Теория линейных
систем дифференциальных уравнений.
Теория устойчивости решений дифференциальных
уравнений.
Разностные уравнения.
Промежуточная аттестация
ИТОГО
Экзамен
32
32
44
36
Раздел 1.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения; уравнение, разрешимое относительно
производной; решение дифференциального уравнения; начальные условия
Коши; задача Коши; общее решение, общий интеграл; уравнения с разделяющимися переменными однородные уравнения; линейные уравнения; метод
вариации произвольных постоянных; уравнения в полных дифференциалах;
интегрирующий множитель; уравнения Бернулли; сведение уравнения Бернулли к линейному; приемы интегрирования уравнений, не разрешимых относительно производной; метод введения параметра.
Раздел 1.2. Система дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Система дифференциальных уравнений 1-го порядка; лемма о сведении
общей системы ДУ к системе 1-го порядка; система 1-го порядка, разрешенная относительно производной; задача Коши; постановка задачи; начальные
условия; теорема Пикара.
Раздел 2.1.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнение, разрешенное относительно старшей производной; общее
решение дифференциальных уравнений высшего порядка,; линейно незави-
симые системы функций; определитель Вронского; критерий фундаментальности системы решений однородного уравнения.; теорема существования
фундаментальной системы решений; теорема об общем решении неоднородного уравнения; формула Остроградского-Лиувилля; теорема единственности; метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа); линейные
уравнения с постоянными коэффициентами; метод Эйлера построения фундаментальной системы решений нахождение частного решения по виду правой части; уравнение Эйлера.
Раздел 2.2. Теория линейных систем дифференциальных уравнений.
Векторная форма записи; задача Коши для матричного уравнения;
определитель Вронского; критерий фундаментальности системы решений
однородной системы дифференциальных уравнений; теорема об общем решении неоднородной системы дифференциальных уравнения; формула
Остроградского-Якоби; матрициант; матричная экспонента; представление
матрицианта в виде конечной суммы.
Раздел 3.1. Теория устойчивости.
Решение, устойчивое по Ляпунову; асимптотически устойчивое решение; норма матрицы и ее свойства; примеры устойчивых и неустойчивых систем; первый критерий устойчивости (через устойчивость тривиального решения); второй критерий устойчивости (через ограниченность); третий первый критерий устойчивости (через нули характеристического определителя)
многочлены Гурвица; критерий Михайлова; устойчивость возмущенной системы.
Раздел 3.1. Разностные уравнения.
Разностные уравнения первого порядка; решение линейных разностных
уравнений первого порядка.
5. Образовательные технологии.
Лекции, практические занятия.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения».
а) основная литература:
1. Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009;
Демидович Б.П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения. – СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2006;
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2003
2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.;
Ижевск: НИЦ "Регуляр. и хаот. динамика", 2005.
б) дополнительная литература:
1. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.А. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1985;
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. – М.: Наука, 1970;
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М: Наука, 1965.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Книги по математике. – 2010
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics
2. Электронная библиотека механико-математического факультета Московского государственного университета – 2010 http://lib.mexmat.ru/
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения».
Дополнительное материально-техническое обеспечение данной дисциплины
не требуется.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению «010300 Фундаментальная информатика и информационные технологии» и профилю подготовки «Информатика и компьютерные науки».
Автор
старший преподаватель кафедры
дифференциальных уравнений и прикладной математики
_______________
О.Ю. Дмитриев
Программа одобрена на заседании кафедры дифференциальных уравнений и
прикладной математики от 18 января 2011 года, протокол № 10.
Зав.
кафедрой
дифференциальных
уравнений и прикладной математики
д.ф.-м.н., профессор
___________
А.П. Хромов
Декан механико-математического
факультета, к.ф.-м.н.
А.М. Захаров
___________
Декан факультета КНИТ
к.ф.-м.н.
___________
А.Г. Федорова