Документ 523623

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
И.В. Гайдамак, С.Н. Панарина
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
080101.65 (38.05.01) «Экономическая безопасность»,
очная и заочная формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
И.В. Гайдамак, С.Н. Панарина. Математика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 080101.65 (38.05.01) «Экономическая безопасность», очная и заочная формы обучения. Тюмень, 2014, 71 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по специальности.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Математика [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
А.Г. Хохлов, кан.физ.-мат.наук, зав. кафедрой математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© И.В. Гайдамак, С.Н. Панарина, 2014.
1. Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с основными понятиями и методами математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и
математической статистики, формирование у студентов научного математического мышления, умения применять математический аппарат для исследования экономических процессов.
В курсе данной дисциплины студенты овладевают знаниями по таким разделам математики, как пределы, дифференциальное и интегральное исчисление функций одного и нескольких переменных, ряды, дифференциальные уравнения, линейные пространства и операторы, алгебра матриц, системы линейных уравнений, случайные события и случайные
величины. В процессе обучения происходит приобретение практических навыков решения
типовых задач, способствующих усвоению основных понятий в их взаимной связи, а также
задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
1.2. Место дисциплины в структуре ОП специальности
Учебная дисциплина «Математика» входит в базовую часть дисциплин математического и естественнонаучного цикла. Требования к входным знаниям и умениям студента –
знания, полученные в рамках школьного курса математики.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Очная форма обучения. 1 семестр
2.
Таблица 1.
Наименование
обеспечиваемых Модули дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.4
1.5
1.6
2.2.
2.4
Эконометрика
+
+
Налоги и налогообложение
+
+
+
+
3.
Экономический анализ
№ п/п
1.
+
+
+
+
+
Очная форма обучения. 2 семестр
2.
Таблица 2.
Наименование обеспечиваемых (по- Модули дисциплины необходимые для изучения
следующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2.1
2.2
2.4
2.5
Эконометрика
+
+
+
Оценка рисков
+
+
3.
Экономический анализ
№ п/п
1.
+
+
+
Очная форма обучения. 3 семестр
2.
Таблица 3.
Наименование обеспечиваемых Модули дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3
2.4
Эконометрика
+
+
+
+
+
+
+
Статистика
+
+
+
+
3.
Налоги и налогообложение
4.
Оценка рисков
5.
Экономический анализ
№ п/п
1.
+
+
+
+
+
+
+
Очная форма обучения. 4 семестр
№ п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Таблица 4.
Наименование обес- Темы дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых
печиваемых (после- (последующих) дисциплин
дующих) дисциплин 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2.1 2.2 2.3
2.4
2.5
2.6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Статистика
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Эконометрика
+
+
+
+
+
Налоги и налогооб- +
ложение
+
+
+
+
+
Оценка рисков
+
+
Экономический анализ
Заочная форма обучения. 1 семестр
2.
Таблица 5.
Наименование
обеспечиваемых Модули дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.
2.
3.
4.
Эконометрика
+
+
Налоги и налогообложение
+
+
+
3.
Экономический анализ
№ п/п
1.
+
+
+
+
Заочная форма обучения. 2 семестр
2.
Таблица 6.
Наименование обеспечиваемых Модули дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.
2.
3.
4.
Оценка рисков
+
+
Экономический анализ
+
+
+
3.
Эконометрика
№ п/п
1.
+
+
Заочная форма обучения. 3 семестр
2.
Таблица 7.
Наименование обеспечиваемых Модули дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.
2.
3.
4.
Эконометрика
+
+
+
+
Статистика
+
+
3.
Налоги и налогообложение
+
4.
Оценка рисков
+
5.
Экономический анализ
№ п/п
1.
+
+
+
Заочная форма обучения. 4 семестр
2.
Таблица 8.
Наименование обеспечиваемых Модули дисциплины необходимые для изучения
(последующих) дисциплин
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.
2.
3.
4.
Эконометрика
+
+
+
+
Статистика
+
+
+
+
3.
Налоги и налогообложение
+
4.
Оценка рисков
+
+
5.
Экономический анализ
+
+
№ п/п
1.
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы
В результате освоения ОП бакалавриата выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- способность применять математический инструментарий для решения экономических
задач (ОК-15);
- способность работать с различными источниками информации, информационными
ресурсами и технологиями, применять основные методы, способы и средства получения,
хранения, поиска, систематизации, обработки и передачи информации, применять в профессиональной деятельности автоматизированные информационные системы, используемые в экономике, автоматизированные рабочие места, проводить информационно-поисковую работу с последующим использованием данных при решении профессиональных задач
(ОК-16).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать:
- основы векторной алгебры;
- математические операции над матрицами;
- способы вычисления определителей;
- методы решения систем линейных уравнений;
- метод определения собственных значений и собственных векторов матриц;
- алгоритм приведения квадратичных форм к суме квадратов;
- аксиомы теории вероятностей;
- виды случайных событий и их возможные комбинации;
- способы вычисления вероятностей случайных событий;
- виды случайных величин, способы их задания;
- математические операции над случайными величинами и их числовые характеристики;
- основные законы распределений;
- важнейшие теоремы теории вероятностей;
- основные выборочные характеристики и их свойства;
- статистическое оценивание параметров;
- методы статистического оценивания;
- критерии для проверки гипотез о параметрах распределения, о типе закона распределения генеральной совокупности.
Уметь:
- производить основные операции над матрицами и векторами;
- находить определители матриц;
- проводить анализ систем линейных уравнений на наличие решений;
- решать системы линейных уравнений разными методами;
- находить собственные значения и собственные векторы матриц;
- работать с квадратичными формами;
- анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи;
- осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач;
- использовать полученные знания для осуществления анализа экономических ситуаций;
- определять количество элементов в конечных множествах;
- вычислять вероятности случайных событий;
- определять тип случайной величины и находить ее числовые характеристики;
- задавать распределение случайной величины;
- делать выводы после получения основных результатов;
- анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи;
- осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
Владеть:
- навыками решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области;
- навыками применения компьютерных технологий реализации методов линейной алгебры;
- навыками решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области;
- методами прогнозирования поведения исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Дисциплина изучается в 1, 2, 3 и 4 семестрах.
Формы промежуточной аттестации: контрольные работы для очной формы обучения в 1, 2,
3 и 4 семестрах, для заочной формы обучения – в 1, 2 и 4 семестрах. Экзамены для обеих
форм обучения в 1, 2 и 4 семестрах, зачет – в 3 семестре.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 12 зачетных единиц, 432 часа.
Очная форма обучения
Таблица 9.
Вид учебной работы
Всего
часов
224,6
210
105
105
14,6
222
123
99
432
12
1
76,65
72
36
36
4,65
72
36
36
144
4
Контактная работа
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)*
В том числе:
Самостоятельная работа в семестре
Подготовка к экзамену
Общая трудоемкость
час.
зач. ед.
*с учетом иных видов работ
Заочная форма обучения
Семестры
2
3
72,55
37,7
68
36
34
18
34
18
4,55
1,7
76
36
34
36
42
144
72
4
2
4
37,7
34
17
17
3,7
38
17
21
72
2
Таблица 10.
Вид учебной работы
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
лекции
практические занятия (ПЗ)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)*
В том числе:
самостоятельная работа в семестре
подготовка к экзамену
Общая трудоемкость
час.
зач. ед.
*с учетом иных видов работ
Всего
часов
60,35
50
20
30
10,35
382
342
40
432
12
1
17,15
14
6
8
3,15
130
120
10
144
4
Семестры
2
3
19,15
11
16
10
6
4
10
6
3,15
1
128
62
120
50
8
12
144
72
4
2
4
13,05
10
4
6
3,05
62
52
10
72
2
3. Тематический план.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2
Модуль 1
Множества. Числовые функции.
Числовые последовательности и их пределы.
Предел функции. Асимптоты.
Непрерывные функции.
Дифференцирование функций одного переменного.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Всего
Модуль 2
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Приложения
дифференциального исчисления функции
одного переменного.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Экстремумы функций многих переменных
Итоговая контрольная работа. Подведение результатов.
Всего
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
*с учетом иных видов работ
Итого
часов
по теме
3
4
5
6
7
8
9
10
1-2
4
4
3
3
14
1
0-5
3
2
4
3
3
12
1
0-5
4-5
4
4
3
3
14
1
0-5
6
2
2
2
2
8
1
0-5
7-8
4
4
4
4
16
-
0-5
9
2
2
1
1
6
1
0-5
18
20
16
16
70
5
0-30
10
2
2
5
5
14
1
0-15
1113
6
7
5
5
23
2
0-15
1415
3
2
2
2
9
2
0-2
1617
5
3
4
4
16
-
0-8
18
2
2
4
4
12
1
0-30
18
36
16
36
20
36
20
36
74
144
6
-
0-70
0-100
5
6
Семинарские
(практические)
занятия
Подготовка
к экзамену
Самостоятельная
Работа*
1
Лекции
Тема
недели семестра
№
Тематический план для студентов очной формы обучения. 1 семестр
Таблица 11.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в
час.
Из
них в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
11
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2
Модуль 1
Первообразная. Простейшие
интегралы.
Техника
неопределенного
интегрирования.
Всего
Модуль 2
Определенный интеграл и
его приложения.
Несобственные интегралы.
Кратные интегралы.
Ряды.
4
5
6
7
8
9
10
1-2
3
3
5
5
16
1
0-10
3-5
7
8
15
12
42
3
0-10
10
11
20
17
58
4
0-20
6-8
7
6
4
4
21
2
0-25
9
10
1114
1516
2
2
2
2
2
2
2
2
8
8
-
0-5
0-5
6
6
6
4
22
3
0-15
5
5
4
4
18
2
0-10
2
2
4
1
9
-
0-20
24
34
23
34
22
42
17
34
86
144
7
0-80
0-100
3
8
Дифференциальные уравнения.
Итоговая контрольная работа. Подведение результа- 17
тов.
Всего
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
*с учетом иных видов работ
Самостоятельная
Работа*
3
Семинарские
(практические)
занятия
Подготовка
к экзамену
Лекции
1
недели семестра
№
Тематический план для студентов очной формы обучения. 2 семестр
Таблица 12.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в
час.
Из
них в
Итого
Итого
интер- количеТема
часов
активство
по теме
ной
баллов
форме
11
№
1
1.1
2
Модуль 1
Элементы теории множеств и
комбинаторики.
Самостоятельная
работа*
Семинарские
(практические)
занятия
3
4
5
6
7
8
9
10
1-2
2
2
2
2
8
1
0-2
Самостоятельная
Работа*
2.2
2.3
2.4
Семинарские
(практические)
занятия
Подготовка
к экзамену
2.1
Лекции
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2
3
4
5
6
7
8
9
Модуль 1
Векторная алгебра.
1
2
2
4
8
0-5
Матрицы.
2
2
2
4
8
1
0-10
Определители матриц.
3-4
2
2
4
8
3
0-10
Линейные пространства
5
2
2
2
6
0-4
Системы линейных алгеб6-9
2
2
4
8
3
0-21
раических уравнений.
Всего
10
10
18
38
7
0-50
Модуль 2
Однородные системы ли10-11
2
2
4
8
2
0-10
нейных уравнений.
Линейные операторы.
12-13
2
2
4
8
1
0-13
Квадратичные формы.
14-15
2
2
4
8
2
0-14
Основы
аналитической
16-18
2
2
6
10
2
0-13
геометрии.
Всего
8
8
18
34
7
0-50
Итого (часов, баллов):
18
18
36
72
14
0-100
Из них часов в интерактив4
10
14
ной форме
*с учетом иных видов работ
Тематический план для студентов очной формы обучения. 4 семестр
Таблица 14.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в
час.
Из
них в
Итого
Итого
интер- количеТема
часов
активство
по теме
ной
баллов
форме
недели семестра
1
Лекции
недели семестра
№
Тематический план для студентов очной формы обучения. 3 семестр
Таблица 13.
Виды учебной работы
и самостоятельная работа, в час.
Из них
Итого
Итого
в инколичеТема
часов
теракство
по теме тивной
баллов
форме
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
№
1
1.
6
7
8
9
10
1
1
1
1
4
-
0-2
1
1
1
1
4
1
0-10
1
1
1
1
4
-
0-3
1
1
1
1
4
-
0-3
1
1
1
1
4
2
0-5
1
1
1
1
4
2
0-15
8
8
8
8
32
6
0-40
2
2
2
2
8
3
0-18
1
1
2
1
4
-
0-5
1
1
2
1
5
1
0-2
1
1
2
1
5
-
0-5
2
2
2
2
8
2
0-10
2
2
3
2
9
2
0-20
9
17
9
17
13
21
9
17
40
72
8
14
0-60
0-100
3,5
10,5
105
105
14
99
123
432
50
Тематический план для студентов заочной формы обучения. 1 семестр
Таблица 15.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Итого часов по
теме
Из них в интерактивной форме
1.5
5
Самостоятельная
работа*
1.4
4
Семинарские
(практические)
занятия
1.3
2
3
Основные понятия теории ве3
роятностей.
Классическое, геометрическое, статистическое опреде4
ления вероятности.
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения
5
вероятностей.
Априорные и апостериорные
6
вероятности.
Повторные независимые ис7
пытания.
Дискретные случайные вели8
чины.
Всего
Модуль 2
Непрерывные случайные ве9-10
личины.
Закон больших чисел и пре11
дельные теоремы.
Основы выборочного метода. 12
Статистические оценки пара13
метров распределения.
Проверка статистических ги- 14потез.
15
Корреляционно-регрессион16ный анализ.
17
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
Итого* (часов по всем семестрам):
*с учетом иных видов работ
4
5
6
7
30
32
1
Тема
Лекции
1
1.2
2
Числовые последовательности и их пределы.
3
1
1
Итого
часов по
теме
Из них в интерактивной форме
Самостоятельная работа
Тема
Семинарские
(практические)
занятия
2
3
4
5
6
7
Предел функции.
2
2
35
38
2
Дифференциальное исчисление функций одного пе2
3
35
40
ременного.
4.
Дифференциальное исчисление функций многих пе1
2
30
33
1
ременных.
Итого* (часов, баллов):
6
8
130
144
4
Из них часов в интерактив1
3
4
ной форме
*с учетом иных видов работ
Тематический план для студентов заочной формы обучения. 2 семестр
Таблица 16.
№
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Лекции
1
2.
3.
2
3
4
5
6
7
Первообразная. Неопределен2
3
30
35
1
ный интеграл.
2.
Определенный интеграл и его
2
3
34
39
2
приложения.
3.
Ряды.
1
2
34
37
4.
Дифференциальные уравне1
2
30
33
1
ния.
Итого* (часов, баллов):
6
10
128
144
4
Из них часов в интерактивной
1
3
4
форме
*с учетом иных видов работ
Тематический план для студентов заочной формы обучения. 3 семестр
Таблица 17.
№
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная работа*
2.
Тема
Лекции
1
1.
Из них в интерактивной форме
1
1.
Итого
часов
по теме
2
Векторная алгебра, основы
аналитической геометрии.
Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений.
3
4
5
6
7
1
1
20
22
1
1
3
20
24
2
Семинарские
(практические)
занятия
Тема
Лекции
№
Итого
часов
по теме
Из них в интерактивной форме
2
3
4
5
6
7
Линейные операторы.
1
2
14
17
Квадратичные формы.
1
8
9
1
Итого* (часов, баллов):
4
6
62
72
4
Из них часов в интерактив1
3
4
ной форме
*с учетом иных видов работ
Тематический план для студентов заочной формы обучения. 4 семестр
Таблица 18.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Самостоятельная
работа*
1
3.
4.
6
7
17
1
18
2
18
-
19
1
72
4
1
1.
2
3
4
5
Основные понятия теории
1
1
15
вероятностей.
2.
Случайные величины.
1
2
15
3.
Основы выборочного ме1
1
16
тода.
4.
Корреляционно-регрессион1
2
16
ный анализ.
Итого* (часов, баллов):
4
6
62
Из них часов в интерактив1
3
ной форме
*с учетом иных видов работ
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
4
Очная форма обучения
1 семестр
Таблица 19.
1
Модуль 1
1.1. Множества. Числовые функции.
1.2. Числовые последовательности и
их пределы.
Итого количество
баллов
контрольная работа
2
3
-
-
0-5
-
0-5
-
-
0-5
-
0-5
4
реферат
собеседование
№ темы
Письменные работы
коллоквиумы
Устный опрос
5
6
1
1.3. Предел функции. Асимптоты.
1.4. Непрерывные функции.
1.5. Дифференцирование функций одного переменного.
1.6. Производные и дифференциалы
высших порядков.
Всего
Модуль 2
2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
2.2. Приложения дифференциального
исчисления функции одного переменного.
2.3. Дифференциальное исчисление
функций многих переменных.
2.4. Экстремумы функций многих переменных.
2.5. Итоговая контрольная работа.
Подведение результатов.
Всего
Итого
2
-
3
0-3
-
4
0-2
0-5
5
-
6
0-5
0-5
-
-
0-5
-
0-5
-
-
0-5
-
0-5
-
0-3
0-27
-
0-30
0-10
-
-
0-5
0-15
-
-
0-15
-
0-15
-
-
0-2
-
0-2
-
0-3
0-5
-
0-8
-
-
0-30
-
0-30
0-52
0-79
0-5
0-5
0-70
0-100
0-10
0-10
0-3
0-6
2 семестр
Таблица 20.
реферат
Итого количество
баллов
контрольная работа
Модуль 1
1.1. Первообразная. Простейшие интегралы.
1.2. Техника неопределенного интегрирования.
Всего
Модуль 2
2.1. Определенный интеграл и его
приложения.
2.2. Несобственные интегралы.
2.3. Кратные интегралы.
2.4. Ряды.
2.5. Дифференциальные уравнения.
2.6. Итоговая контрольная работа.
Подведение результатов.
Всего
Итого
собеседование
№ темы
Письменные работы
коллоквиумы
Устный опрос
-
-
0-10
-
0-10
-
0-3
0-7
-
0-10
-
0-3
0-17
-
0-20
-
-
0-20
0-5
0-25
-
0-3
0-5
0-5
0-15
0-7
-
0-5
0-5
0-15
0-10
-
-
0-20
-
0-20
-
0-3
0-6
0-72
0-89
0-5
0-5
0-80
0-100
3 семестр
Письменные
работы
решение задач
с помощью
пакетов прикладных программ
0-3
0-4
0-6
0-2
0-2
0-1
0-10
0-5
0-5
0-10
0-10
0-4
0-21
0-3
0-23
0-9
0-50
0-1
0-1
0-5
0-5
0-10
0-10
0-5
0-2
0-1
0-1
0-1
0-3
0-13
0-14
0-16
0-4
0-7
0-30
0-53
0-8
0-17
0-50
0-100
ответ на
семинаре
контрольная
работа
Модуль 1
1.1. Векторная алгебра.
1.2. Матрицы.
1.3. Определители матриц.
1.4. Линейные пространства.
1.5. Системы линейных алгебраических уравнений.
Всего
Модуль 2
2.1. Однородные системы линейных уравнений.
2.2. Линейные операторы.
2.3. Квадратичные формы.
2.4. Основы аналитической
геометрии.
Всего
Итого
реферат
№ темы
собеседование
коллоквиумы
Устный опрос
0-2
0-3
0-2
0-1
0-1
0-2
0-1
0-2
0-2
0-3
0-5
0-7
0-1
0-2
0-3
0-2
0-5
Таблица 21.
Информационные системы и тех- Итого
нологии
количество
баллов
0-3
0-8
0-3
0-10
0-7
4 семестр
Модуль 1
1.1 Элементы теории множеств и комбинаторики.
1.2 Основные понятия теории
вероятностей.
1.3 Классическое, геометрическое и статистическое
определение вероятности.
решение задач с помощью пакетов
прикладных
программ
2
3
4
5
Итого количество
баллов
Контрольная
работа
1
собеседование
№ темы
Письменные
работы
коллоквиумы
Устный опрос
Таблица 22.
Информационные
системы и технологии
6
0-2
0-2
0-2
0-2
0-10
0-10
1
1.4 Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
1.5 Априорные и апостериорные вероятности.
1.6 Повторные независимые
испытания.
1.7 Дискретные случайные
величины.
Всего
Модуль 2
2.1 Непрерывные случайные
величины.
2.2 Закон больших чисел и
предельные теоремы.
2.3 Основы выборочного метода.
2.4 Статистические оценки
параметров распределения.
2.5 Проверка статистических
гипотез.
2.6 Корреляционно-регрессионный анализ.
Всего
Итого
2
0-5
0-5
0-5
3
0-5
4
5
6
0-3
0-3
0-3
0-3
0-5
0-5
0-15
0-15
0-40
0-40
0-8
0-18
0-5
0-5
0-2
0-2
0-1
0-4
0-5
0-5
0-5
0-10
0-4
0-16
0-20
0-27
0-27
0-60
0-100
0-15
0-15
0-13
0-53
5. Содержание дисциплины.
Очная форма обучения.
1 семестр.
Модуль 1.
Тема 1.1. Множества. Числовые функции.
Множество вещественных чисел и его геометрическая интерпретация. Модуль вещественного числа. Грани числовых множеств. Условия существования точных граней. Принцип
Архимеда. Свойства плотности множества вещественных чисел. Числовые функции. Их
способы задания и классификация. Грани числовых функций. Некоторые функциональные
зависимости, используемые в экономике (функции спроса и предложения, функция полезности, однофакторная производственная функция, функция издержек, налоговая ставка).
Тема 1.2. Числовые последовательности и их пределы.
Предел числовой последовательности. Предельный переход в арифметических операциях
и неравенствах. Признаки существования предела для промежуточных и монотонных последовательностей. Число е. Формула непрерывных процентов.
Тема 1.3. Предел функции. Асимптоты.
Два равносильных определения предела числовой функции в точке.
Арифметические свойства операции предельного перехода. Замечательные пределы. Сравнение функций. Асимптоты функции.
Тема 1.4. Непрерывные функции.
Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва
и их классификация. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях непрерывных
функций. Экономическая интерпретация непрерывности. Паутинообразная модель рынка.
Тема 1.5. Дифференцирование функций одного переменного.
Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного (производная, дифференцируемость, дифференциал). Различные интерпретации производной в
физике, геометрии, экономике и др. Формулы дифференцирования арифметических операций. Дифференцирование сложной и обратной функций. Предельные величины в экономике. Эластичность и ее свойства.
Тема 1.6. Производные и дифференциалы высших порядков.
Определение производных и дифференциалов высших порядков. Формулы для вычисления
дифференциалов высшего порядка. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Модуль 2.
Тема 2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Роля, Лагранжа, Коши).
Тема 2.2. Приложения дифференциального исчисления функции одного переменного.
Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств функций одного переменного (нахождение
промежутков монотонности и экстремумов, характеристика участков выпуклости, точки
перегиба). Формула Уилсона. Теория одноресурсной фирмы.
Тема. 2.3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Многомерные пространства и функции многих переменных. Предел и непрерывность
функций многих переменных. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функций многих переменных. Их геометрические и экономические иллюстрации.
Производная по направлению и градиент. Высшее дифференцирование и формула Тейлора.
Дифференцирование неявных функций. Некоторые многомерные функции, используемые
в экономике (производственная функция Кобба-Дугласа, функция полезности, функция издержек). Предельная полезность и предельная норма замещения. Эластичность функции
нескольких переменных.
Тема 2.4. Экстремумы функций многих переменных.
Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.
Наибольшее и наименьшее значения функции. Задача оптимизации выбора потребителя.
Характеристика точки спроса. «Золотое правило» экономики.
Тема 2.5. Итоговая контрольная работа. Подведение результатов.
Обзор основных теоретических положений и исторических этапов их развития и становления.
2 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Первообразная. Простейшие интегралы.
Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интегрирования.
Тема 1.2. Техника неопределенного интегрирования.
Методы замены переменного и интегрирования по частям. Интегрирование рациональной
функции. Интегрирование алгебраических иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений.
Модуль 2.
Тема 2.1. Определенный интеграл и его приложения.
Понятие определенного интеграла Римана и его разнообразные интерпретации. Основные
свойства интеграла: интеграл от единицы, монотонность, линейность, аддитивность. Неравенства для интегралов. Интегральная теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним
пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемости. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменного и интегрирование по частям в определенном интеграле. Экономические приложения определенного интеграла (определение функции издержек, дисконтированной стоимости денежного потока, модель Домара)
Тема 2.2. Несобственные интегралы.
Понятие несобственных интегралов и условие их существования (в терминах первообразной).
Тема 2.3. Кратные интегралы.
Кратное интегрирование (первоначальные сведения и вычислительные формулы).
Тема 2.4. Ряды.
Числовой ряд. Его сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Независимость понятия сходимости ряда от значений конечного множества его
членов. Арифметические операции с рядами. Важнейшие примеры сходящихся и расходящихся рядов: ряд Римана и сумма геометрической прогрессии. Бесконечные произведения.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера
и Коши, интегральный признак). Условия сходимости знакопеременных рядов. Признак
Лейбница. Абсолютная сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал
сходимости степенности ряда. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций
в степенные ряды.
Тема. 2.5. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные уравнения). Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Математическая модель экономического роста. Модель
делового цикла Самуэльсона-Хикса. Модели Эванса и Солоу. Динамическая модель
Кейнса.
Тема 2.6. Итоговая контрольная работа. Подведение результатов.
Обзор основных теоретических положений и исторических этапов их развития и становления.
3 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Векторная алгебра.
Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства
и геометрический смысл.
Тема 1.2. Матрицы.
Квадратная, диагональная, единичная матрицы. Действия над матрицами. Элементарные
преобразования матриц. Экономические примеры использования матриц. Матрицы последствий и рисков. Технологическая матрица и задача оптимального планирования.
Тема 1.3. Определители матриц.
Свойства определителей. Методы вычисления матриц: «правило треугольников», разложение по строке или столбцу. Минор, алгебраическое дополнение. Невырожденные матрицы.
Обратные матрицы. Ранг матрицы.
Тема 1.4. Линейные пространства.
Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Новое определение ранга матрицы.
Тема 1.5. Системы линейных алгебраических уравнений.
Матричная запись системы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между общими решениями
однородной и неоднородной систем. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Разложение
вектора по базису. Модели Леонтьева и Неймана
Модуль 2.
Тема 2.1. Однородные системы линейных уравнений.
Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы.
Фундаментальная система решений однородной системы. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений.
Тема 2.2. Линейные операторы.
Определение, основные свойства линейных операторов. Матричная запись линейных операторов. Действия над линейными операторами. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Характеристический многочлен линейного оператора. Определение евклидова пространства.
Тема 2.3. Квадратичные формы.
Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
Теорема о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема об одновременном
приведении квадратичных форм к сумме квадратов. Канонический вид линейных операторов.
Тема 2.4. Основы аналитической геометрии.
Аналитическая геометрия на плоскости: уравнение прямой, линии второго порядка. Аналитическая геометрия в пространстве: уравнение плоскости, прямой в пространстве, взаимное
расположение прямой и плоскости в пространстве.
4 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики.
Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств,
сумма множеств, декартово произведение. Теорема о дополнении, теорема де Моргана.
Элементы комбинаторики: правила сложения, умножения, вычитания, объединения. Перестановки, сочетания, размещения, размещения с повторениями, перестановки с повторениями.
Тема 1.2. Основные понятия теории вероятностей.
Опыт, эксперимент, элементарный исход, случайные события, совместные и несовместные
события, равновозможные и единственно возможные события, полная группа событий,
противоположные события. Относительная частота появления события. Свойство статистической устойчивости относительных частот.
Тема 1.3. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности.
Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова. Комбинации случайных событий: сумма, произведение событий, их свойства, разность событий, свойства вероятности, теорема о сумме
вероятностей событий, образующих полную группу. Модель для экспериментов с конечным числом равновозможных исходов (классическая модель). Модель для экспериментов с
бесконечным числом равновозможных исходов (модель геометрических вероятностей).
Статистические идеи: уровень значимости, принцип практической уверенности.
Тема 1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Независимые и зависимые случайные события, попарная независимость и независимость в
совокупности. Вероятность появления хотя бы одного события. Кредитный риск и способы
его уменьшения
Тема 1.5. Априорные и апостериорные вероятности.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Понятия априорной и апостериорной вероятности. Коэффициенты регрессии и корреляции случайных событий. Измерители тесноты
и направления связи случайных событий.
Тема 1.6. Повторные независимые испытания.
Понятие повторных независимых испытаний. Схема Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях. Асимптотические приближения формулы
Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Повторные независимые испытания с различными вероятностями появления события в каждом испытании. Определение производящей функции. Применение производящей функции для
подсчёта вероятностей в модели Бернулли. Применение производящей функции для подсчёта вероятностей различных событий.
Тема 1.7. Дискретные случайные величины.
Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной
случайной величины и ее свойства. Способы задания: таблица распределения вероятностей,
функция распределения и ее свойства, многоугольник распределения, аналитическое задание (по формуле). Математические операции над дискретными случайными величинами.
Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Свойства основных числовых характеристик. Основные законы распределения дискретных случайных величин: равномерный закон распределения на множестве, распределение Пуассона, геометрический закон распределения, гипергеометрический закон распределения, биномиальный
закон распределения. Риск как среднее квадратическое отклонение. Байесовский подход к
принятию решений.
Модуль 2.
Тема 2.1. Непрерывные случайные величины.
Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция плотности распределения вероятностей и ее свойства. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода,
медиана, квантили, центральные и начальные моменты. Характеристики формы распределения: асимметрия и эксцесс. Основные законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный закон распределения на интервале, нормальный закон распределения,
логарифмически-нормальный закон распределения, экспоненциальный закон распределения, распределение Парето. Распределения, близкие к нормальному: распределение Фишера, распределение Стьюдента, хи-квадрат распределение.
Тема 2.2. Закон больших чисел и предельные теоремы.
Неравенство Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема
Пуассона. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова. Усреднение влияния независимых факторов, диверсификация.
Тема 2.3. Основы выборочного метода.
Генеральная и выборочная совокупности. Основные числовые характеристики выборки.
Оценка функции распределения и плотности. Полигон и гистограмма относительных частот.
Тема 2.4. Статистические оценки параметров распределения.
Точечные оценки и требования к ним: несмещенность, состоятельность, эффективность.
Интервальные оценки параметров: вероятности (генеральной доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Статистические характеристики
ценных бумаг. Портфель ценных бумаг и его характеристики.
Тема 2.5. Проверка статистических гипотез.
Виды гипотез: простые и сложные, параметрические и непараметрические, основная и альтернативная гипотезы. Статистический критерий, область принятия гипотезы и критическая область, ошибки первого и второго рода, уровень значимости, мощность критерия. Общая логическая схема проверки статистических гипотез. Проверка гипотез о равенстве параметров генеральной совокупности (доли, средней и дисперсии) заданным значениям
(стандартам). Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка
гипотезы о равенстве дисперсий двух и нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально
распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о наличии грубых ошибок. Проверка гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели: критерии согласия хи-квадрат, Колмогорова-Смирнова, Романовского.
Тема 2.6. Корреляционно-регрессионный анализ.
Корреляционный анализ: выявление факторных признаков, оказывающих существенное
влияние на результативный признак; оценка тесноты связи между признаками. Регрессионный анализ: получение аналитического выражения взаимосвязи; выбор наилучшей модели.
Однофакторные модели: корреляционные поле; виды моделей; линеаризация модели; интерпретация полученных результатов. Метод ведущих факторов финансового рынка. Оптимальный портфель на идеальном конкурентном рынке.
Заочная форма обучения.
1 семестр.
Тема 1. Числовые последовательности и их пределы.
Предел числовой последовательности. Предельный переход в арифметических операциях
и неравенствах. Признаки существования предела для промежуточных и монотонных последовательностей. Число е. Формула непрерывных процентов.
Тема 2. Предел функции.
Два равносильных определения предела числовой функции в точке. Арифметические свойства операции предельного перехода. Замечательные пределы. Сравнение функций. Асимптоты функции.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
Дифференцирование функций одного переменного. Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного (производная, дифференцируемость, дифференциал). Различные интерпретации производной в физике, геометрии, экономике и др. Формулы дифференцирования арифметических операций. Предельные величины в экономике. Эластичность и ее свойства. Производные и дифференциалы высших
порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Роля, Лагранжа,
Коши). Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных
свойств функций одного переменного (нахождение промежутков монотонности и экстремумов, характеристика участков выпуклости, точки перегиба). Формула Уилсона. Теория
одноресурсной фирмы.
Тема 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Многомерные пространства и функции многих переменных. Предел и непрерывность
функций многих переменных. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функций многих переменных. Их геометрические и экономические иллюстрации.
Производная по направлению и градиент. Некоторые многомерные функции, используемые в экономике (производственная функция Кобба-Дугласа, функция полезности, функция издержек). Предельная полезность и предельная норма замещения. Эластичность функции нескольких переменных. Локальные и условные экстремумы функций многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. Задача оптимизации выбора потребителя. Характеристика точки спроса. «Золотое правило» экономики.
2 семестр
Тема 1. Первообразная. Неопределенный интеграл.
Простейшие свойства неопределенного интегрирования. Техника неопределенного интегрирования. Методы замены переменного и интегрирования по частям. Интегрирование рациональной функции. Интегрирование алгебраических иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений.
Тема 2. Определенный интеграл и его приложения.
Понятие определенного интеграла Римана и его разнообразные интерпретации. Основные
свойства интеграла: интеграл от единицы, монотонность, линейность, аддитивность. Неравенства для интегралов. Интегральная теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним
пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемости. Формула Ньютона-Лейб-
ница. Замена переменного и интегрирование по частям в определенном интеграле. Экономические приложения определенного интеграла (определение функции издержек, дисконтированной стоимости денежного потока, модель Домара). Несобственные интегралы.
Тема 3. Ряды.
Числовой ряд. Его сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Независимость понятия сходимости ряда от значений конечного множества его
членов. Арифметические операции с рядами. Важнейшие примеры сходящихся и расходящихся рядов: ряд Римана и сумма геометрической прогрессии. Бесконечные произведения.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера
и Коши, интегральный признак). Условия сходимости знакопеременных рядов. Признак
Лейбница. Абсолютная сходимость. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал
сходимости степенности ряда. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций
в степенные ряды.
Тема 4. Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, линейные однородные и неоднородные уравнения). Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Математическая модель экономического роста. Модель
делового цикла Самуэльсона-Хикса. Модели Эванса и Солоу. Динамическая модель
Кейнса.
3 семестр
Тема 1. Векторная алгебра, основы аналитической геометрии.
Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства
и геометрический смысл. Аналитическая геометрия на плоскости: уравнение прямой, линии
второго порядка. Аналитическая геометрия в пространстве: уравнение плоскости, прямой в
пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Тема 2. Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений.
Квадратная, диагональная, единичная матрицы. Действия над матрицами. Элементарные
преобразования матриц. Экономические примеры использования матриц. Матрицы последствий и рисков. Технологическая матрица и задача оптимального планирования. Определители матриц. Свойства определителей. Методы вычисления матриц: «правило треугольников», разложение по строке или столбцу. Минор, алгебраическое дополнение. Невырожденные матрицы. Обратные матрицы. Ранг матрицы. Определение линейного пространства.
Свойства линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Новое
определение ранга матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между общими решениями однородной
и неоднородной систем. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Разложение вектора по
базису. Модели Леонтьева и Неймана. Пространство решений однородной системы, связь
его размерности с рангом матрицы. Фундаментальная система решений однородной системы. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений.
Тема 3. Линейные операторы.
Определение, основные свойства линейных операторов. Матричная запись линейных операторов. Действия над линейными операторами. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Характеристический многочлен линейного оператора. Определение евклидова пространства.
Тема 4. Квадратичные формы.
Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
Теорема о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема об одновременном
приведении квадратичных форм к сумме квадратов. Канонический вид линейных операторов.
4 семестр
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей
Элементы комбинаторики: правила сложения, умножения, вычитания, объединения. Перестановки, сочетания, размещения, размещения с повторениями, перестановки с повторениями. Опыт, эксперимент, элементарный исход, случайные события, совместные и несовместные события, равновозможные и единственно возможные события, полная группа событий, противоположные события. Относительная частота появления события. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые и зависимые случайные события. Кредитный риск и способы его уменьшения. Формула полной вероятности. Формула
Байеса. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях. Асимптотические приближения формулы
Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Тема 2. Случайные величины.
Дискретные случайные величины: ряд распределения, функция распределения дискретной
случайной величины и ее свойства, способы задания: таблица распределения вероятностей,
функция распределения и ее свойства, многоугольник распределения, аналитическое задание (по формуле). Непрерывные случайные величины: функция распределения непрерывной случайной величины, функция плотности распределения вероятностей и ее свойства.
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, асимметрия, эксцесс. Основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Риск как среднее квадратическое отклонение. Байесовский подход к принятию решений. Закон больших
чисел и предельные теоремы.
Тема 3. Основы выборочного метода.
Генеральная и выборочная совокупности. Основные числовые характеристики выборки.
Оценка функции распределения и плотности. Полигон и гистограмма относительных частот. Статистические оценки параметров распределения: точечные оценки и требования к
ним: несмещенность, состоятельность, эффективность; интервальные оценки параметров:
вероятности (генеральной доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Статистические характеристики ценных бумаг. Портфель ценных
бумаг и его характеристики. Проверка статистических гипотез. Виды гипотез: простые и
сложные, параметрические и непараметрические, основная и альтернативная гипотезы.
Статистический критерий, область принятия гипотезы и критическая область, ошибки первого и второго рода, уровень значимости, мощность критерия. Общая логическая схема
проверки статистических гипотез. Проверка гипотез о равенстве параметров генеральной
совокупности (доли, средней и дисперсии) заданным значениям (стандартам). Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух и нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о наличии грубых ошибок. Проверка гипотез о
согласии эмпирического распределения и выбранной модели: критерии согласия хи-квадрат, Колмогорова-Смирнова, Романовского.
Тема 4. Корреляционно-регрессионный анализ.
Корреляционный анализ: выявление факторных признаков, оказывающих существенное
влияние на результативный признак; оценка тесноты связи между признаками. Регрессионный анализ: получение аналитического выражения взаимосвязи; выбор наилучшей модели.
Однофакторные модели: корреляционные поле; виды моделей; линеаризация модели; интерпретация полученных результатов. Метод ведущих факторов финансового рынка. Оптимальный портфель на идеальном конкурентном рынке.
6. Планы семинарских занятий.
Очная форма обучения
1 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Множества. Числовые функции.
1. Множества. Решение функциональных неравенств.
2. Числовые функции. Построение графиков функций.
Тема 1.2. Числовые последовательности и их пределы.
1. Предел числовой последовательности.
Тема 1.3. Предел функции. Асимптоты.
1. Контрольная работа № 1 «Числовые функции. Предел последовательности».
2. Предел функции.
3. Отчет по индивидуальному заданию «Предел функции». Асимптоты.
Тема 1.4. Непрерывные функции.
1. Непрерывные функции.
Тема 1.5. Дифференцирование функций одного переменного.
1. Самостоятельная работа по теме «Непрерывные функции». Техника дифференцирования
функций одного переменного.
2. Вычисление пределов с помощью производных (правила Лопиталя).
Тема 1.6. Производные и дифференциалы высших порядков.
1. Различные интерпретации производной. Высшее дифференцирование.
Модуль 2.
Тема 2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления.
1. Теоретическое собеседование (коллоквиум по теме «Дифференциальное исчисление
функций») и отчет по индивидуальному заданию «Производные и дифференциалы функций одного переменного». Защита рефератов.
Тема 2.2. Приложения дифференциального исчисления функции одного переменного.
1. Исследование на монотонность. Локальные и глобальные экстремумы функций одного
переменного.
2. Выпуклость и точки перегиба. Полное исследование свойств функций одного переменного.
3. Контрольная работа № 2 «Дифференциальное исчисление функций одного переменного
и его приложения».
Тема. 2.3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
1. Техника дифференцирования функций многих переменных.
Тема 2.4. Экстремумы функций многих переменных.
1. Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.
Тема 2.5. Итоговая контрольная работа. Подведение результатов.
1. Итоговая контрольная работа за первый семестр.
2. Отчет по индивидуальному заданию «Дифференциальное исчисление функций многих
переменных». Подведение итогов.
2 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Первообразная. Простейшие интегралы.
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2. Самостоятельная работа по теме «Табличные интегралы и сводящиеся к ним». Метод
замены переменного.
Тема 1.2. Техника неопределенного интегрирования.
1. Метод интегрирования по частям.
2. Интегрирование рациональной функции.
3. Отчет по индивидуальному заданию «Неопределенный интеграл». Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.
Модуль 2.
Тема 2.1. Определенный интеграл и его приложения.
1. Определенный интеграл. Защита рефератов.
2. Геометрические приложения определенного интеграла.
3. Контрольная работа № 1 «Интегральное исчисление функций одного переменного».
Тема 2.2. Несобственные интегралы.
1. Самостоятельная работа по теме «Несобственные интегралы». Кратные интегралы.
Тема 2.3. Кратные интегралы.
1. Отчет по индивидуальному заданию «Кратные интегралы». Числовой ряд. Необходимое
условие сходимости.
Тема 2.4. Ряды.
1. Исследование сходимости знакопостоянных рядов. Признаки сравнения, Даламбера,
Коши.
2. Исследование сходимости знакопеременных рядов. Признак Лейбница. Абсолютная сходимость.
3. Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала сходимости. Техника разложения
функций в степенные ряды.
4. Контрольная работа № 2 по теме «Ряды». Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Тема. 2.5. Дифференциальные уравнения.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
2. Линейные дифференциальные уравнения.
Тема 2.6. Итоговая контрольная работа. Подведение результатов.
1. Итоговая контрольная работа за второй семестр. Отчет по индивидуальному заданию
«Дифференциальные уравнения».
2. Подведение итогов.
3 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Векторная алгебра.
1. Векторная алгебра. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Нахождение скалярного, векторного и смешанного произведений.
Тема 1.2. Матрицы.
1. Сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
Тема 1.3. Определители матриц.
1. Определители матриц. Расчет определителей по «правилу треугольников», методом разложения по строке или столбцу.
2. Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Определение
ранга матрицы методом окаймляющих миноров, с помощью элементарных преобразований.
3. Решение простейших матричных уравнений.
Тема 1.4. Линейные пространства.
1. Линейные пространства. Базис и размерность линейного пространства. Определение
ранга матрицы методом элементарных преобразований.
Тема 1.5. Системы линейных алгебраических уравнений.
1. Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определение общего
решения методом Гаусса.
2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера. Использование в решении систем линейных уравнений пакетов прикладных программ (Excel, MathCAD).
3. Контрольная работа №1.
Модуль 2.
Тема 2.1. Однородные системы линейных уравнений.
1. Однородные системы линейных уравнений: отыскание фундаментальной системы решений, общего решения системы.
Тема 2.2. Линейные операторы.
1. Матричная запись линейных операторов. Характеристический многочлен линейного оператора, его собственные значения и собственные векторы.
Тема 2.3. Квадратичные формы.
1. Квадратичные формы, их запись в матричном виде. Приведение квадратичных форм к
каноническому виду.
Тема 2.4. Основы аналитической геометрии.
1. Аналитическая геометрия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Составление уравнения прямой по двум точкам. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.
2. Различные виды уравнений прямой и плоскости в пространстве.
3. Взаимное расположение прямой и плоскости; двух плоскостей; двух прямых.
4. Контрольная работа №2.
5.Подведение итогов.
4 семестр
Модуль 1.
Тема 1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики.
1. Расчет мощности множеств. Вычисление числа сочетаний, перестановок, размещений,
размещений с повторениями, перестановок с повторениями.
Тема 1.2. Основные понятия теории вероятностей.
1. Операции со случайными событиями, определение совместности случайных событий,
представление сложного события через элементарные.
Тема 1.3. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности.
1. Вычисление вероятности для случайных событий с конечным числом равновозможных
исходов. Вычисление вероятности для случайных событий с бесконечным числом равновозможных исходов.
Тема 1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
1. Вычисление вероятностей независимых и зависимых событий, вероятности появления
хотя бы одного события.
Тема 1.5. Априорные и апостериорные вероятности.
1. Вычисление вероятности для события, которое может наступить при осуществлении одной из гипотез, образующих полную группу. Вычисление априорных и апостериорных вероятностей.
Тема 1.6. Повторные независимые испытания.
1. Вычисление вероятности совмещения нескольких отдельных простых событий. Определение наивероятнейшего числа появления события в независимых испытаниях.
2. Вычисление вероятности по приближенным формулам для схемы Бернулли: по формуле
Пуассона, с помощью локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.
Тема 1.7. Дискретные случайные величины.
1.Задание закона распределения вероятностей, построение многоугольника
распределения.
2. Вычисление функции распределения и построение ее графика. Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин: математического ожидания, дисперсии, кова-
риации, среднего квадратического отклонения, моды, медианы. Решение задач на распознавание моделей законов распределения: геометрическое, гипергеометрическое, биномиальное распределения, распределение Пуассона.
Модуль 2.
Тема 2.1. Непрерывные случайные величины.
1. Вычисление функции распределения и плотности распределения вероятностей, построение их графиков.
2. Решение задач на вычисление математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, моды, медианы, квантилей, центральных и начальных моментов,
асимметрии, эксцесса для различных законов распределения непрерывных случайных величин. Приобретение навыков пользоваться специальными вероятностными таблицами.
Тема 2.2. Закон больших чисел и предельные теоремы.
1. Решение задач с применением неравенства Маркова, неравенства Чебышева, теоремы
Чебышева, Бернулли, Ляпунова.
Тема 2.3. Основы выборочного метода.
1. Составление статистических рядов. Графическое изображение полученных данных: полигон и гистограмма частот или относительных частот, кумулята. Расчет основных числовых характеристик статистических распределений.
Тема 2.4. Статистические оценки параметров распределения.
1. Вычисление точечных оценок параметров распределений. Получение интервальных оценок параметров: вероятности (генеральной доли) биномиального распределения, математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нормального распределения.
Тема 2.5. Проверка статистических гипотез.
1. Классификация ошибок при проверке статистических гипотез. Построение критической
области и области принятия гипотезы. Статистическая проверка гипотезы о параметрах распределений. Статистическая проверка гипотезы о законе распределения. Получение выводов на основании проведенного исследования.
Тема 2.6. Корреляционно-регрессионный анализ.
1. Построение корреляционного поля. Выдвижение статистической гипотезы о наличии или
отсутствии взаимосвязи между случайными признаками, направлении зависимости. Вычисление коэффициента взаимосвязи, оценка его значимости. Получение оценок параметров
уравнения регрессии. Уравнения линейной и нелинейной регрессий. Оценка качества построенной модели. Интерпретация результатов в терминах прикладной области. Прогнозирование поведения исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.
2.Итоговая контрольная работа.
Заочная форма обучения
1 семестр
Тема 1. Числовые последовательности и их пределы. Число е.
Тема 2. Предел функции.
Замечательные пределы. Асимптоты функции. Непрерывные функции.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
Приложения дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств
функций одного переменного (нахождение промежутков монотонности и экстремумов, характеристика участков выпуклости, точки перегиба).
Тема 4. Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функций многих переменных. Производная по направлению и градиент. Высшее дифференцирование.
Локальные и условные экстремумы функций многих переменных
2 семестр
Тема 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные методы и приемы вычисления неопределенных интегралов.
Тема 2. Определенный интеграл и его приложения. Замена переменного и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы.
Тема 3. Числовой ряд. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенности ряда. Разложения функций в степенные ряды.
Тема 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Линейные
дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
3 семестр
Тема 1. Векторная алгебра, основы аналитической геометрии.
Нахождение скалярного, векторного и смешанного произведений. Уравнение прямой на
плоскости. Сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
Тема 2. Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений.
Определители матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических
дополнений. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера, методом Гаусса.
Тема 3. Линейные операторы
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Тема 4. Квадратичные формы.
Приведение квадратичной формы к нормальному виду. Критерий Сильвестра.
4 семестр
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей.
Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности. Условная
вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Априорные и апостериорные
вероятности. Повторные независимые испытания. Вычисление вероятности по приближенным формулам для схемы Бернулли: по формуле Пуассона, с помощью локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.
Тема 2. Случайные величины
Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины.
Тема 3. Основы выборочного метода.
Составление статистических рядов.Графическое изображение полученных данных:
полигон и гистограмма частот или относительных частот, кумулята. Расчет основных числовых характеристик статистических распределений. Статистические оценки параметров
распределения. Проверка статистических гипотез.
Тема 4. Корреляционно-регрессионный анализ.
Построение корреляционного поля. Выдвижение статистической гипотезы о наличии или
отсутствии взаимосвязи между случайными признаками, направлении зависимости. Вычисление коэффициента взаимосвязи, оценка его значимости.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Очная форма обучения. 1 семестр
Таблица 23.
Неделя
Объем Кол-во
сечасов баллов
дополнительные
местра
4
5
6
7
Виды СРС
№
Модули и темы
1
2
Модуль 1
1.1
Множества.
Числовые функции.
1.2
1.3
Числовые последовательности и их пределы.
Предел
функции.
Асимптоты.
3
из школьного курса
математики вспомнить построение графиков функций
подготовка к контрольной работе
решение индивидуального домашнего
задания
занести в справочную тетрадь графики основных
элементарных
функций
подготовить (выучить) необходимые формулы
подготовка к собеседованию (отчет
по индивидуальному заданию)
1-2
3
0-5
3
3
0-5
4-5
3
0-5
2
0-5
4
0-5
1
0-5
16
0-30
5
0-15
5
0-15
2
0-2
4
0-8
подготовка к самосто6
ятельной работе
1.5
выполнение домашвыучить наизусть
него задания
основные фор7-8
мулы таблицы
производных
1.6
Производные и диф- решение индивидуподготовка к соференциалы высших ального домашнего
беседованию (от9
порядков.
задания
чет по индивидуальному заданию)
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Основные теоремы подготовка к колловыучить формудифференциального квиуму.
лировки теорем;
исчисления. Реферат. подбор соответству- привлечение Инющей литературы,
тернет-ресурсов,
10
изучение материала, подготовка соотоформление работы, ветствующих
подготовка текста до- слайдов для заклада
щиты реферата.
2.2
Приложения диффе- подготовка к конизучить соответренциального исчис- трольной работе
ствующие алго11-13
ления функции одритмы исследованого переменного.
ния функций
2.3
Дифференциальное
выполнение домашисчисление функций него задания
–
14-15
многих переменных.
2.4
Экстремумы функ- решение индивидуподготовка к собеций многих перемен- ального домашнего
16-17
седованию (отчет
ных.
задания
1.4
Непрерывные функции.
Дифференцирование
функций одного переменного.
обязательные
2.5
Итоговая контроль- подготовка к итогоная работа. Подведе- вой контрольной рание результатов.
боте
по индивидуальному заданию)
подготовка к собеседованию
(по
итоговой
контрольной работе)
18
Всего по модулю 2:
ИТОГО*:
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
4
0-30
20
36
0-70
0-100
Очная форма обучения. 2 семестр
Таблица 24.
Виды СРС
№
Модули и темы
обязательные
1
2
3
Модуль 1
1.1
Первообразная. Про- из школьного курса
стейшие интегралы. математики вспомнить построение
графиков функций
1.2
Техника неопреде- подготовка к конленного интегриро- трольной работе
вания.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Определенный инте- решение индивидуграл и его приложе- ального домашнего
ния.
задания
2.2
2.3
2.4
2.5
Неделя
Объем Кол-во
сечасов баллов
дополнительные
местра
4
5
6
7
занести в справочную тетрадь графики основных элементарных функций
подготовить
(выучить)
необходимые формулы
подготовка к собеседованию (отчет
по
индивидуальному заданию)
1-2
5
0-10
3-5
12
0-10
17
0-20
4
0-25
2
0-5
2
0-5
4
0-15
4
0-10
6-8
Несобственные инте- подготовка к само–
9
гралы.
стоятельной работе
Кратные интегралы. выполнение домаш- выучить наизусть
него задания
основные формулы
10
таблицы производных.
Ряды.
решение индивиду- подготовка к собеального домашнего седованию (отчет
задания
по
индивидуаль- 11-14
ному заданию)
Дифференциальные
уравнения.
подготовка к колло- выучить наизусть
квиуму.
основные формулы
подбор соответствующей литера15-16
туры, изучение материала, оформление работы
2.6
Итоговая контроль- подготовка к итого- подготовка к собеная работа. Подведе- вой контрольной
седованию (по ито17
ние результатов.
работе
говой контрольной
работе)
Всего по модулю 2:
ИТОГО*:
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
1
0-20
17
34
0-80
0-100
Очная форма обучения. 3 семестр
Таблица 25.
Виды СРС
№
Модули и темы
обязательные
1
2
3
Модуль 1
1.1
Векторная алгебра. ответы на вопросы
для самопроверки;
выполнение домашних заданий;
подготовка к контрольной работе
1.2
Матрицы.
выполнение домашних заданий;
ответы на вопросы
для самопроверки
1.3
Определители мат- выполнение домашриц.
них заданий;
составление задач
или тестов с последующим решением
в группе
1.4
Линейные
про- выполнение домашстранства.
них заданий
1.5
Системы линейных выполнение домашалгебраических
них заданий;
уравнений.
подготовка к коллоквиуму;
ответы на вопросы
для самопроверки;
подготовка к контрольной работе
Всего по модулю 2:
Модуль 2
2.1
Однородные
си- подготовка к констемы
линейных трольной работе
уравнений.
2.2
Линейные опера- подготовка к коллоторы.
квиуму
дополнительные
4
Неделя
семест
ра
5
Объе
м часов
Колво
баллов
6
7
1
4
0-4
решение задач с помощью пакетов прикладных программ;
подготовка реферата
решение задач с помощью пакетов прикладных программ;
составление структурно-логических
схем модуля
2
4
0-5
3-4
4
0-16
–
5
2
0-4
решение задач с помощью пакетов прикладных программ
6-9
4
0-15
18
0-50
10-11
4
0-6
решение задач с по- 12-13
мощью пакетов прикладных программ
4
0-9
2.3
2.4
Квадратичные
формы.
ответы на вопросы
для самопроверки;
подготовка к контрольной работе
составление струк- 14-15
турно-логических
схем модуля;
подготовка реферата
с последующим оппонированием (рецензированием)
Основы аналитиче- составление плана составление струк- 16-18
ской геометрии.
лекций;
турно-логических
выполнение домаш- схем модуля;
них заданий;
решение задач с поподготовка к кон- мощью пакетов притрольной работе
кладных программ
Всего по модулю 2:
ИТОГО*:
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
4
0-17
6
0-13
18
36
0-50
0-100
Очная форма обучения. 4 семестр
Виды СРС
№
Модули и темы
1
2
Модуль 1
1.1
Элементы теории
множеств и комбинаторики.
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Основные понятия теории вероятностей.
Классическое,
геометрическое и
статистическое
определения вероятности.
Условная вероятность.
Теоремы
сложения и умножения вероятностей.
Априорные и апостериорные вероятности.
Повторные независимые испытания.
обязательные
дополнительные
3
4
составление плана
лекций;
выполнение домашних заданий
ответы на вопросы
для самопроверки
выполнение работы
в EXСEL
составление задач или
тестов с последующим решением в
группе
вспомнить вычисление площади
криволинейной
трапеции
–
выполнение домашних заданий, подготовка доклада
подготовка к контрольной работе по
модулю
–
домаш-
1-2
2
0-2
3
1
0-2
4
1
0-10
5
1
0-3
6
1
0-3
7
1
0-5
8
1
0-15
–
ответы на вопросы
для самопроверки;
выполнение домашних заданий
Дискретные слу- выполнение
чайные величины. них заданий
Неделя
семестра
5
Таблица 26.
Объ Колем
во
чабалсов
лов
6
7
составление структурно-логических
схем модуля, выполнение работы в
EXСEL
–
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Непрерывные слу- ответы на вопросы
чайные величины. для самопроверки,
подготовка к собеседованию
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
40
9-10
2
0-18
11
1
0-5
12
1
0-2
13
1
0-5
14-15
2
0-10
16-17
2
0-20
9
17
0-60
0-100
выполнение работы
в EXСEL
Закон
больших подготовка к кончисел и предель- трольной работе по
ные теоремы.
модулю;
составление задач или
тестов с последующим решением в
группе
составление структурно-логических
схем модуля
Основы выборочного метода.
Статистические
оценки параметров распределения.
Проверка статистических гипотез.
Корреляционнорегрессионный
анализ.
ответы на вопросы
для самопроверки
выполнение работы
в EXСEL
выполнение работы
в EXСEL
подготовка к собеседованию
выполнение работы
в EXСEL
выполнение индивидуального задания,
подготовка к собеседованию
отчет по индивидуальному заданию
подготовка к опросу
8
Всего по модулю 2:
ИТОГО*:
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
Заочная форма обучения. 1 семестр
№
Темы
Виды СРС
Таблица 27.
Объем
часов
30
обязательные
дополнительные
Числовые последо- ответы на вопросы для са- подготовка реферата
вательности и их мопроверки
пределы.
2.
Предел функции.
ответы на вопросы для са- решение задач с помощью
мопроверки;
пакетов прикладных проподготовка к контрольной грамм
работе
3.
Дифференциальное выполнение домашних за- решение задач с помощью
исчисление функ- даний
пакетов прикладных проций одного пере- составление задач или те- грамм
менного.
стов
4.
Дифференциальное выполнение домашних за- составление структурно-лоисчисление функ- даний
гических схем модуля
ций многих переменных
Итого* (часов)
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
1.
35
35
30
130
Заочная форма обучения. 2 семестр
№
Темы
1
1.
2
Первообразная. Неопределенный интеграл.
Таблица 28.
Объем
часов
дополнительные
4
5
подготовка реферата;
30
выучить наизусть основные
формулы таблицы интегралов
решение задач с помощью
34
пакетов прикладных программ
выучить признаки сходимо34
сти
Виды СРС
обязательные
3
ответы на вопросы для самопроверки;
подготовка к контрольной
работе
ответы на вопросы для самопроверки
Определенный интеграл и его приложения.
3.
Ряды.
выполнение домашних заданий
составление задач или тестов
4.
Дифференциальвыполнение домашних за- составление структурно-ло30
ные уравнения
даний
гических схем модуля
Итого* (часов)
128
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
Заочная форма обучения. 3 семестр
Таблица 29.
Виды СРС
Объем
№
Темы
часов
обязательные
дополнительные
1.
Векторная алгебра, ответы на вопросы для са- подготовка реферата
20
основы аналитиче- мопроверки;
ской геометрии.
подготовка к контрольной
работе
2.
2.
3.
Матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений.
Линейные операторы.
ответы на вопросы для са- решение задач с помощью
мопроверки
пакетов прикладных программ
20
выполнение домашних за- решение задач с помощью
даний
пакетов прикладных просоставление задач или те- грамм;
стов
составление структурно-логических схем модуля
выполнение домашних за–
даний
14
Квадратичные
формы.
Итого* (часов)
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
Заочная форма обучения. 4 семестр
4.
№
1.
2.
Темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Основные понятия ответы на вопросы для са- подготовка реферата
теории вероятно- мопроверки;
стей.
подготовка к контрольной
работе
Случайные вели- ответы на вопросы для сачины.
мопроверки;
выполнение
домашних заданий
8
62
Таблица 30.
Объем
часов
15
15
Основы выбороч- выполнение домашних за- решение задач с помощью
ного метода.
даний
пакетов прикладных программ;
составление структурно-логических схем модуля
4.
Корреляционно-ре- выполнение домашних за- решение задач с помощью
грессионный ана- даний
пакетов прикладных пролиз.
грамм
Итого* (часов)
*самостоятельная работа с учетом иных видов контактной работы
3.
16
16
62
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им высшего
образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего специалиста. Именно
эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки самостоятельной работы в
разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и познанию.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники, указанные в соответствующем разделе данной рабочей программы. Время, систематичность, прилежность
при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера
напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле
знаний количественно выражаются в баллах и отметках.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных
индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; подготовка к собеседованиям, устным опросам, контрольным работам, коллоквиуму; написание
рефератов, их аннотирование и рецензирование; составление структурно-логических схем;
подготовка презентаций в электронном варианте; выполнение индивидуальных заданий, в
том числе с помощью пакетов прикладных программ и т.п.
Примерная тематика реферативных работ
Реферат - это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор
раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется.
Прежде чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес, определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и получить
консультацию преподавателя.
1 семестр
1.
Вычисление пределов степенно-показательных выражений.
2.
Правила Лопиталя.
3.
Дифференцирование неявных функций.
4.
Производная по направлению. Градиент.
5.
Исторические этапы развития математического анализа.
6.
Функции нескольких переменных в экономической теории (задачи об оптимальном
распределении ресурсов, функция полезности).
7.
Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.
8.
Сходимость несобственных интегралов.
9.
10.
Геометрические приложения кратных интегралов.
Метод Остроградского-Гаусса.
2 семестр
1.
Комплексные числа и действия с ними.
2.
Применение рядов в приближенных вычислениях.
3.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
4.
Использование понятия определенного интеграла в экономике.
5.
Зарождение, становление и развитие математического анализа.
6.
Функция эластичности. Функция спроса.
7.
Прямая на плоскости и в пространстве.
8.
Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
9.
Кривые второго порядка.
10. Поверхности второго порядка.
3 семестр
1.
Зарождение, становление и развитие линейной алгебры.
2.
Использование матриц в экономике.
3.
Дополнительные методы расчета определителей высших порядков.
5.
Решение задач линейной алгебры с помощью пакета MathCAD.
6.
Решение задач линейной алгебры с помощью пакета Ms Excel.
7.
Прямая на плоскости и в пространстве.
8.
Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
10. Кривые второго порядка.
11. Поверхности второго порядка.
12. Метод Жордана-Гаусса к решению систем линейных уравнений.
13. Сопряженные и самосопряженные операторы.
14. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
15. Комплексное евклидово пространство.
16. Методы регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы.
17. Унитарные и нормальные операторы.
18. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве.
19. Итерационные методы решения линейных систем.
20. Гиперповерхности второго порядка.
21. Тензоры.
22. Изоморфизм линейных пространств.
4 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Зарождение, становление и развитие теории вероятностей.
Вклад российских математиков в развитие теории вероятностей и математической
статистики.
Графическое представление выборки по конкретным статистическим данным.
Сравнение дискретных и непрерывных случайных величин.
Решение статистических задач с помощью пакета MathCAD.
Решение статистических задач с помощью пакета Statistica.
Основные показатели вариации значений в выборке.
Определение критической области при проверке статистических гипотез.
Коэффициенты корреляции и регрессии для случайных событий.
Корреляционная функция случайного процесса.
Стационарный белый шум.
Распределение Колмогорова и использование его в математической статистике.
13.
14.
15.
16.
Производящие функции для случайных величин
Разыгрывание дискретной случайной величины по методу Монте-Карло.
Разыгрывание противоположных событий и полной группы событий по методуМонте-Карло.
Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины по методу МонтеКарло.
Вопросы и задачи для самопроверки
1 семестр
1  cos 2 x  e x
 1

 .
2
x 0 ln 1  arctg x   sin 2 x
1.
Вычислить предел lim
2.
Найти асимптоты функции
3.
4.
2
f x 
x
2
x

x 1
.
2
Определить глобальные экстремумы функции f  x   xe x при 0 
Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
x  1.
f  x   x 4  x 3  1.
4
3
5.
6.
Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f  x   x3  3 x 2  7 .
Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
f ( x) 
x4
2

x5
5
 2.
f ( x, y)  5 xy  2( x  3 y  1)2 .
7.
Найти локальные экстремумы функции
8.
Определить экстремумы функции f ( x, y )  e 2 x  y , если
9.
Изобразить эскиз графика функции f  x   

2
arcsin x, 0  x  1 и обосновать будет
 x
10.
2
, 1 
x0
ли эта функция удовлетворять условиям теоремы Лагранжа на отрезке
Найти неопределенные интегралы
1.
11.
x  2 y  3.
dx
 2 x2  2 x  1
;
2.

3
2x  x

Вычислить определенный интеграл
1 x
7
8
dx ;
3.
x .
x

arctg
dx

6
dx .
 2
 sin 3 x
12
12.
2
Найти длину дуги кривой y  x  1 , отсеченной осью абсцисс.
2 семестр
1.
Исследовать на сходимость числовой ряд


n 1
[1, 1] ?
n12  n 1 .
tg
n3  3 3n
2
2.
Исследовать на сходимость числовой ряд


n 1
3.
n
( 1) sin n .
n 2  n 3

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
 (1)
n0
6
4.
5.
6.
7.
8.
9.
12
n
n( n  2)
 x  2 .
 n 
2 2
x6n
 ...  ( 1)
 ...
2!
4!
(2n)!
Разложить в степенной ряд функцию f ( x)  ( x  2) ln(3x 2  12 x  13) в окрестности точки x0  2 .
Найти сумму степенного ряда x  x
n 1
Решить задачу Коши для уравнения (1  x 2 )dy 
ydx  0 , y(0)  1.
Найти общее решение дифференциального уравнения y  3 y  e3 x tg x  0 .
Решить задачу Коши для уравнения y  2 y  y  0, y (0)  2, y(0)  0 .
Найти общее решение дифференциального уравнения y  3 y  10 y  sin x .
3 семестр
1.
Какие векторы называют коллинеарными?
2.
Какие векторы называются компланарными?
3.
Зная
векторы,
совпадающие
с
двумя
сторонами
треугольника
АВ  (2;1;2) и ВС  (3;2;6) , вычислить углы этого треугольника.
 
  
  
а

i

j

2
k
b

2
i
 j  k.
4.
Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам
и
   
   

  
5.
Показать, что векторы а  i  j  mk , b  i  j  (m  1)k , с  i  j  mk ни при каком
значении m не могут быть компланарными.
6.
Запишите формулы для вычисления скалярного произведения векторов.
7.
Найти угол между векторами a  3,  2,  5 и b   1, 0, 7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
3 2 4 
8  4 




Найти произведение матриц A   7 1 2  и B   2 5  .
 5  3  1
 0  6




Какие ограничения на размер матриц накладываются при их перемножении?
Какая матрица называется единичной?
Найти в условиях задачи 8 обратную матрицу для матрицы A .
Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований В=
 1 2 2 4 


0
2 6 1
3 0 1
2


 1 4 5  4 


Найти в условиях задачи 8 матрицу, транспонированную относительно матрицы A .
 1  2
  2 3 5
  X  

Решить матричное уравнение 
 3 4 
 3 1 0
Какую матрицу в условиях задачи 8 необходимо прибавить к матрице A ,чтобы получить единичную?
16.
17.
 2

 3
8

 11

18.
19.
20.
21.
22.
23.
Вычислить определитель разложением по строке или столбцу, предварительно его
3 2 2 2
9 -8 5 10
преобразовав:
5 -8 5 8
6 -5 4 7
Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор.
0
8
1 5 

1 7
2
4 
.
2  6  3  13 

 3 13 5
17 
Запишите общий вид системы линейных алгебраических уравнений из трех уравнений с двумя неизвестными.
Какие системы линейных алгебраических уравнений называют однородными?
Какие системы линейных алгебраических уравнений называют совместными?
Определите ранг матрицы системы из задачи 8.
Составьте расширенную матрицу для системы из задачи 7.
x  3 y  z  0
Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений 2 x  2 y  z  2


 x  2 y  2 z  3,
решить затем эту систему методом обратной матрицы.
24.
5  3 y  z  0
Используя формулы Крамера, решить систему уравнений 10 x  6 y  3z  1



5 x  2 y  2 z  0,
указав в ответе отдельно величину определителя
 этой системы.
25.
2 x  3 y  5z  8w  0

Решить методом Гаусса систему уравнений  x  2 y  z  5w  2

4 x  5 y  z  w  1
2 x  8 y  4 z  8w  1.

26.
Убедиться, что векторы а , b c не лежат в одной плоскости; написать разложение
вектора
u
по
векторам
а,
b
c:
а=
(2;1;1),
b=
(1;1;0),
c = (-1;-2;-1), u = (2;3;-5).
27.
Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
2 x1  2 x2  2 x3  x4  3x5  0

3x1  x2  2 x3  x4  2 x5  0
 x  3x  4 x  2 x  5 x  0
2
3
4
5
 1
28.
3x1  x2  4 x3  2 x4  x5  0

Найти общее решение системы: 2 x1  2 x2 3x3  7 x4  2 x5  0 . Проанализировать его
 x 11x  34 x 5 x  0
2
4
5
 1
структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства).
29.
 6 5  5


Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A    11  4 11 .
 1 5 2 


Результат проверить по определению:.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Найти ранг матрицы А из задачи 1 и указать любой базисный минор.
Дайте определение квадратичной формы.
Что называют собственным вектором линейного преобразования?
Какой вид линейного оператора называется каноническим?
Сформулировать алгоритм приведения формы к нормальному виду.
Сформулировать алгоритм приведения формы к каноническому виду.
Сформулируйте критерий Сильвестра.
Привести
к
каноническому
виду
квадратическую
форму
2
2
2
16 x1  13x2  3x3  24 x1 x2  40 x1 x3  6 x2 x3
Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Указать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.
Выяснить взаимное расположение плоскостей, заданных общими уравнениями:
2x+3y-4z=0 и 4x-4y-z+9=0.
4 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Один за другим вынимаются все имеющиеся в нём
шары. Найти вероятность того, что последний шар будет чёрным.
В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий местного
производства. Товаровед наудачу выбирает 3 изделия. Какова вероятность того, что
все 3 изделия окажутся: а) местного производства; б) не местного производства.
Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% другие банки, остальные - физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита
соответственно таковы: 0,01, 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение
о невозврате кредита, но в факсимильном сообщении имя клиента было неразборчиво.
Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой-то банк?
Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной
кости?
Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян: а) прорастёт ровно 700; б) число проросших не менее 790 и не превышает 830.
Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной ставкой i под
залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X - случайная величина с
М(Х)=a, a>i, D(X)≤72. Какова вероятность того, что инвестор не сможет вернуть долг
и лишится своей недвижимости? Указание: оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<i).
Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены независимы, рассчитайте:
а) вероятность того, что за три месяца цена станет равной (1,01 )3 от первоначальной;
б) вероятность того, что затри месяца цена станет равной 0,99 (1,01)2 от первоначальной.
На крупном промышленном предприятии при проведении курса технической подготовки, предназначенного для всех принятых работников рабочих специальностей,
было установлено, что имеется зависимость между возрастом работника и временем,
необходимым для освоения определенных навыков и умений. В таблице приведен возраст 8 работников, выбранных произвольно, а также время, необходимое для выработки у них навыков в определенной области.
9.
10.
Работник
A
Б
Возраст (лет)
18 19
В
Г
Д
Е
Ж
З
20
21
22
23
29
38
Время подготовки (часов) 4 3
4
6
5
8
6
7
а) с помощью метода регрессии определите продолжительность подготовки, необходимую для нового работника в возрасте 30 лет; б) определите коэффициент корреляции и прокомментируйте точность вашей оценки в том, что касается части (а). Какие
другие факторы могут повлиять на продолжительность подготовки, необходимой для
каждого работника?
Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А
составило 26∙104 ден. ед., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18∙104 ден. ед. Стандартное отклонение величины страховых взносов в регионе А равна 39∙108 ден. ед., в
регионе В – 25∙108 ден. ед. На уровне значимости α = 0,05 определите, существенно
ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах А и В из
расчета на 1 филиал.
Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (Х) и стоимостью ежемесячного технического обслуживания (Y). Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Постройте график исходных
данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
Х 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y 13 16 15 20 19 21 26 24 30 32 30 35 34 40 39
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей
ООП
Таблица 31.
С.1.-С.3. Дисциплины (модули)
* - дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
Статистика *
+
+
Математика *
+
+
Иностранный язык в профессиональной деятельности
+
4 семестр
Статистика *
+
Иностранный язык *
Иностранный язык *
+
+
Компьютерная безопасность
+
+
Математика *
+
Экономическая теория *
+
+
Математика *
ОК-16
Философия *
+
3 семестр
Информатика
ОК-15
Экономическая теория *
Математика *
+
Индекс
компетенции
2 семестр
Методы организации самостоятельной подготовки письменных работ и презентаций
Профессиональная этика и служебный этикет *
Иностранный язык *
История *
1 семестр
Теория бухгалтерского учета
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
+
+
+
+
+
ОК-16
+
+
+
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
+
+
+
+
+
+
ВКР
+
Производственная
С.1.-С.3. Дисциплины (модули)
Учебная
8
семестр
Налоговый учет и отчетность как основа экономической безопасности
Маркетинговые исследования и конкурентная разведка
7
семестр
Маркетинг безопасности
Статистический учет и отчетность
6
семестр
Учет и отчетность в страховых организациях
5
семестр
Рынок ценных бумаг *
1.С Бухгалтерия
ОК-15
Эконометрика *
Индекс
компетенции
Информационные системы в экономике *
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Деньги, кредит, банки *
Таблица 31 - продолжение
С.5.
Практики
С.6.
ГИА
9
семестр
+
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 32.
Код
компетенции
Карта критериев оценивания компетенций
1
ОК15
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
2
Знает: общие сведения о финансовоэкономических интерпретациях
основных понятий математики
Умеет: решать основные задачи
дисциплины по алгоритму или с
помощью справочного материала
Владеет: начальными навыками работы
с теоретическим и практическим
материалом курса;
навыками создания презентаций
базовый (хор.)
76-90 баллов
3
Знает: методы исследования свойств
функций, решения систем линейных
уравнений, в математически
формализованных задачах;
интерпретации полученных в ходе
решения результатов
Умеет: собирать необходимые для
анализа данные и представлять их в
заданном виде;
проводить анализ полученных данных,
осуществляя поиск формул, схем и
алгоритмов в имеющейся справочной
литературе
Владеет: математическим
инструментарием в соответствии со
спецификой анализируемого класса
реальных задач;
методами анализа и моделирования
реальных исходных данных;
навыками создания презентаций
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды
занятий
Оценочные
средства
4
Знает: финансово-экономические
интерпретации математических
понятий;
интерпретации и теоретические
обоснования полученных результатов
5
лекции,
семинары
6
опрос, тесты,
реферат,
презентации
Умеет: теоретически обосновывать
применимость методов решения к
типовым задачам курса;
проводить самостоятельный поиск и
выбор необходимых для решения задач
формул, схем, алгоритмов;
применять нестандартный подход к
решению задач и обосновывать
ограничения области применения такого
подхода
Владеет: навыками выполнения
полноценного анализа финансовоэкономических явлений методами
дисциплины;
навыками представления полученных
результатов в виде презентаций,
докладов и статей
лекции,
семинары
опрос, тесты,
практические
задания
лекции,
семинары
ситуации и
практические
задания,
презентации
1
ОК16
2
Знает: формулировки основных понятий
и утверждений изучаемой дисциплины;
общие сведения о возможностях
употребления математической
символики для записи текстовых задач в
символьном виде
Умеет: работать с имеющимися
справочными материалами; собирать и
анализировать данные для решения
типовых задач
3
Знает: алгоритмы, схемы и
рекомендации для решения типовых
математически формализованных задач
Владеет: первоначальными
представлениями о возможности
решения задач с помощью
компьютерных технологий
Владеет: методами обработки
информации, необходимой для решения
поставленных задач;
навыками обработки и защиты
полученной информации;
критериями выбора пакетов прикладных
программ для решения конкретных
задач
Умеет: систематизировать основные
знания о приемах и методах решения
типовых задач курса с использованием
справочной литературы
4
Знает: теоретические обоснования
используемых в решении формул и
алгоритмов;
простейшие приемы составления
алгоритмов (структурных схем) решения
нестандартных задач
Умеет: развернуто характеризовать
сущность и содержание приемов и
методов решения типовых задач курса;
проводить самостоятельный поиск и
выбор необходимых для решения
методов,
выбирая наиболее оптимальный путь
решения задачи
Владеет: представлениями об
ограничениях на решаемые с помощью
компьютерных технологий задачи,
навыками обходить ограничения
компьютерных программ путем
разбиения задач на несколько подзадач
либо вариацией символьной записи
поставленной задачи
5
лекции,
семинары
6
опрос, тесты,
реферат,
презентации
лекции,
семинары
опрос,
практические
задания
лекции,
семинары
ситуации и
практические
задания
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Содержание контрольных мероприятий 1 семестра
Контрольная работа по теме «Введение в анализ функций одного переменного и предел последовательности»
1) Найти область определения функции (2 функции).
2) Решить неравенство с модулем.
3) Найти пределы последовательностей (2 предела)
Примерный вариант:
1) Найти область определения:
sin5 x arccos x

2x  1 5 2x  1
2) Решить неравенство 5 | 2 x  7 | 5 x
а)
y  ln(3x  4) ; б) y 
3) Найти пределы последовательности
а) lim
(2n  1)2  (3n3  5n  2)
n 
; б) lim
(n 2  5)( n 4  2)  n6  3n3  5
n
n 
16n10  5n8  3n3  9
Контрольная работа по теме «Предел и асимптоты функций»
1-10). Найти пределы
11) Найти асимптоты функции.
Примерный вариант:
1-10. Найти пределы
2
1. lim x  5 x  6
2
2
2. lim 2 x  11x  15
2
2
3. lim 5 x  3x  1
2
4. lim
x 2
x  12 x  20
x  
5. lim
3x  x  5
x  2x  4
6.
 3x 2  1
7. lim  4  2 x 
x   1  2 x 
lim x( x 2  1 
x
3x  5 x  12
7x  4
x 3x
5
x 2 x 4
9.
x3
 5x  1
x 2  x  12
x2  4 x
lim
x3
x 1
3
8. lim  2 x  3 
x   5 x  7 
x 1
10. lim ln(2 x  3)  e2 x
x 2  1)
x2
cos( x  2)  1
11. Найти асимптоты функции
2 x 2  3x  5
а) y 
x ( x  4)
б) f ( x)
1
2

3 x
1
Контрольная работа по теме «Предел функций»
1-5) Найти пределы функций.
Примерный вариант:
1-5) Найти пределы функций:
2
1) lim
x 0
sin 2 x 2  (e x  1)
cos x 

5

x4  1  1
(esin x  1)  arcsin 3x
x  0 (cos x  1)  tg 5 x
2) lim
7 x 3
5 x  3x  5
 6x  1 
lim
4)
5)
lim


x   3 x  2 
x  2 x 2  3x  2
x   2  3x  7 x3
Контрольная работа по теме «Дифференцирование функций одного переменного»
1-5) Найти производные функций.
Примерный вариант:
1-5) Найти производные функций:
2
2
1) y  2  6 x3  5 x  6sin x
2) y  ln(6 x  2)  3tg 2 x  e6 x
x
3) lim
3) y 
x 1 1
2x  3
( x  1)
2
 sin 2 x  log7 5x
4
3
4) y  5arctgx  8 x  arcsin 3x  7
3tgx
sin
 e 2x
5) y  arctg x  2
Контрольная работа по теме «Полное исследование функций»
Полное исследование и построение графика функции
Примерный вариант:
Полное исследование и построение графика функции
y  arctg x
Контрольная работа по теме «Приложение дифференциального исчисления функций
одного переменного» (Контрольная работа)
1) Предел функции.
2) Асимптоты функции.
3) Глобальные экстремумы функции
4) Монотонность и локальные экстремумы функции.
5) Выпуклость и точки перегиба функции.
Примерный вариант:
2
1  cos 2 x  e x  1

.
1) Вычислить предел lim
2
x 0 ln 1  arctg x  sin 2 x




2) Найти асимптоты функции
x
x

.
2 x 1
3) Определить глобальные экстремумы функции
2
f  x   xe x при 0  x  1 .
f ( x) 
4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
4
f  x   x 4  x3  1 .
3
5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f ( x)  x3  3x 2  7 .
Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функций многих переменных»
1) Найти локальные экстремумы функции
2) Найти условные экстремумы функции
Примерный вариант:
3
3
1) Найти локальные экстремумы функции u  x  y  6 xy .
2) Найти условные экстремумы функции u  e
xy 2
, если
x 2  2 y 2  12, y  0 .
Итоговая контрольная работа
1) Монотонность, лок.экстремумы функции одного переменного
2) Выпуклость, точки перегиба функции одного переменного
3) Асимптоты функции
4) Локальный экстремум функции нескольких переменных
5) Условный экстремум функции одного переменного
Примерный вариант:
1) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы функции
f  x   3x 4  4x3 12x 2  2 .
2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f  x   x3  3x
3) Найти асимптоты функции f  x  
x
2
 arctg x .
4) Найти локальные экстремумы функции f  x, y   x3  y 3  4xy .
5) Определить условные экстремумы функции f  x   x  y , если
x2  y 2
 3, x  0 , у  0 .
Содержание контрольных мероприятий 2 семестра
Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»
1-5) Найти неопределенный интеграл
Неопределенные интегралы следующих типов (в варианте могут идти в различном
порядке):
- Интегралы, решаемые путем подведения под знак дифференциала
- Интегрирование по частям
- Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- Интегрирование рациональный функций
Примерный вариант:
1-5) Найти неопределенные интегралы
1.
dx
 (1  4 x2 )
;
2.
dx
 cos2 (5 x  3)
arctg 2 x
2 x 1
(2 x  3)dx
dx .
4. 
5. 
;
( x  1)3 ( x  2)
3x 2  x  1
3.
 ln(3x  4)  (6 x  1) dx
Контрольная работа по теме «Техника неопределенного интегрирования»
1-10) Найти неопределенный интеграл
Примерный вариант:
2)
ex
 e2 x  1dx
4)  arcsin 3x dx
5)
(2 x  1)dx
dx
 1  sin x
8)
6
1)
7)
 arcsin
dx
2
x
1 x
 ( x  1) 2 ( x  2)
2
x dx
 3 x 2  4 x3
3)  x 2 cos 3 x dx
3
6) sin xdx
 cos x  3
9)  x 2 1  x 2 dx
10)

( x  2)
x  4x  8
2
dx
Контрольная работа по теме «Интегральное исчисление функций»
1-3) Найти неопределенные интегралы
4) Вычислить определенный интеграл
5) Приложения определенных интегралов (площадь области, длина дуги, объем тела вращения, площадь поверхности вращения)
Примерный вариант:
1-3) Найти неопределенные интегралы
1)
dx
 2x 2  2x  1
;
2)
2x3  x7
dx ;

1  x8
3)
x
x

arctg
dx .

2

6
4) Вычислить определенный интеграл

dx
2
 sin 3x
.
12
5) Найти длину дуги кривой
y  x 1, отсеченной осью абсцисс.
2
Контрольная работа по теме «Несобственные интегралы»
1) Несобственный интеграл 1-го рода
2) Несобственный интеграл 2-го рода
Примерный вариант:
Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость

1
dx
ln x
1)  3 2) 
dx
x
x
1
0
Контрольная работа по теме «Ряды»
1) Исследование на сходимость знакопостоянного ряда
2) Исследование на сходимость знакопеременного ряда
3) Определить радиус и интервал сходимости
4) Разложить функцию в ряд
Примерный вариант:
 12
1) Исследовать на сходимость числовой ряд  n  n tg 1 .
3
n
n1 n  3 3
n3
2

2) Исследовать на сходимость числовой ряд  (1) (n  2)
n3
n 1
n

3) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  (1)n( n  2)  x  2 .
n
n0
2n 2
 
4) Разложить в степенной ряд функцию f ( x)  ( x  2) ln( 3x  12x  13) в окрестности точки x0  2 .
2
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»
1-8) Дифференциальные уравнения
Примерный вариант:
1. Решить задачу Коши
xydx  ( x  1)dy  0 , y (0)  1 .
2. Найти общее решение дифференциального уравнения xy  2 y  2 x
4
3. Найти решение задачи Коши x y y  xy  1, y (1)  0
4-5. Найти общее решение дифференциального уравнения
2 2
3
5. y   3 y   2 y  (6 x  1)e
4. y  24 x  sin x
x
y(0)  0, y '(0)  1 .
7. y   2 y   y  (18sin 2 x  cos 2 x)
6-7. Решить задачу Коши при начальных условиях
6. y   3 y   2 y  3e
8. Записать вид общего решения дифференциального уравнения без вычисления коэфx
фициентов частного решения y  16 y  xe cos 4 x
x
9. Найти общее решение дифференциального уравнения y   y  2ctgx
10. Найти общий интеграл дифференциального уравнения y  
y2
x2
4
y
2
x
Итоговая контрольная работа
1) Неопределенный интеграл
2) Определенный интеграл или приложения определенного интеграла
3) Радиус и интервал сходимости степенного ряда
4) Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
5) Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка
Примерный вариант:
2
1) Найти неопределенный интеграл: x  arctg x dx ;
 1 x2
e
2) Вычислить определенный интеграл  1  ln x dx .
x
1
3) Найти и изобразить геометрически радиус и интервал сходимости степенного ряда

1
 (1) n  tg n ( x  1) n .
4
n 0
4) Решить задачу Коши y  3x 2 y  2x 2 , y(1)=2.
5) Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  6 y  2e4 x .
Содержание контрольных мероприятий 3 семестра
«Векторная алгебра»
Даны точки: А, В, С, D (в задании приведены их координаты). Требуется:
1) Найти скалярные произведения: AB  CD , AB  BC , ( AB  CD)  ( AC  BD) .
2) Записать (придумать) а) вектор l , коллинеарный вектору AB ; б) вектор k , ортогональный вектору CB . Найти длины векторов l и k .
3) Найти векторные произведения AB  DC , BC  DC , BC  BA .
4) Найти площадь треугольника ВСD.
5) Найти объем пирамиды АВСD.
«Матрицы и определители»
1) Даны матрицы. Произвести указанные действия.
2) Найти обратную матрицу.
3) Определить ранг матрицы.
4) Вычислить определитель четвертого порядка.
Примерный вариант:
 1 2 1
 2 0 1
4 1 2 






1) Даны матрицы A   2 2 3  , B   0 0 5  и C   4 1 1 . Найти матрицу
0 1 2 
 2 2 3 
 2 3 0 






AB  3C .
 1 2 1


2) Дана матрица A   2 2 3  . Найти для нее обратную матрицу.
0 1 2 


 1 2 1 0 2 


2 1 3 2 0 
3) Определить ранг матрицы A  
 4 3 1 2 4


 3 1 2 2 2
1

0
4) Вычислить определитель матрицы A  
1

2
2 1 3 

2 1 3
2 0 1 

0 1 1
«Решение определенных систем линейных уравнений»
1-3) Решить системы 3 уравнений с 3 неизвестными методами Крамера, Гаусса и матричным методом. Сделать проверку.
4) Решить матричное уравнение и сделать проверку.
Примерный вариант:
2 x  3 y  4 z  4

1) Решить систему  x  y  3
методом Крамера. Сделать проверку.
2 x  4 z  2

 x1  x2  x3  1

2) Решить систему  x1  x3  1
методом Гаусса. Сделать проверку.
2 x  2 x  3x  2
2
3
 1
3 y  4 z  1

3) Решить систему  x  y  z  2 матричным методом. Сделать проверку.
2 x  4 y  z  3

 3 2 
 4 2 2 
4) Решить матричное уравнение: 
 X  

 1 2
 4 2 6
«Общее решение систем линейных уравнений»
1) Найти общее решение системы линейных неоднородных уравнений.
2) Найти фундаментальный набор решений системы линейных однородных уравнений и с
его помощью записать общее решение системы.
Примерный вариант:
 x1  3x2  4 x3  x4  2 x5  1

1) Найти общее решение системы  x1  x3  x4  x5  2
2 x  4 x  x  2 x  3
2
3
5
 1
2 x1  x2  x3  x4  2 x5  0

2) Найти фундаментальный набор решений системы  x1  2 x3  x4  x5  0
Запи x  x  x  2 x  3x  0
4
5
 1 2 3
сать общее решение системы.
«Линейные операторы и квадратичные формы»
1) Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
2) Привести к каноническому виду квадратическую форму.
Примерный вариант:
1) Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A . Результат прове 6 5  5


рить по определению: A    11  4 11
 1 5 2 


2) Привести к каноническому виду квадратичную форму
замену переменных:
Q . Указать невырожденную
Q  16 x12  13x22  3x32  24 x1 x2  40 x1x3  6 x2 x3
Проверить, является ли квадратическая форма Q положительно или отрицательно
определенной.
«Аналитическая геометрия»
1) Даны три точки на плоскости: А, В, С (в задании приведены их координаты). Требуется:
а) записать уравнение высоты АН и найти ее длину; б) записать уравнение медианы ВМ и
найти ее длину. Изобразить треугольник ABC, высоту АН и медиану ВМ на графике.
2) Заданы уравнения прямой в пространстве и координаты некоторой точки. Требуется записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данной
прямой.
Или:
Задано уравнение плоскости и координаты некоторой точки. Требуется записать уравнения
прямой, проходящей через указанную точку перпендикулярно данной плоскости.
3) Найти точку пересечения прямой и плоскости.
4) Найти угол между прямой и плоскостью
Или:
Найти угол между двумя плоскостями
Или:
Найти расстояние от прямой до плоскости.
Итоговая контрольная работа
1) Решить систему 3 уравнений с 3 неизвестными методом Крамера. Сделать проверку.
2) Решить систему 3 уравнений с 3 неизвестными матричным методом. Сделать проверку.
3) Найти фундаментальный набор решений системы линейных однородных уравнений и с
его помощью записать общее решение системы.
4) Привести к каноническому виду квадратическую форму
Примерный вариант:
5 x  y  4 z  3

1) Решить систему 2 x  2 y  2 методом Крамера. Сделать проверку.
4 x  z  3

 х  y  4 z  4

2) Решить систему  x  y  z  2 матричным методом. Сделать проверку.
2 x  z  2

3x1  x3  2 x4  х5  0

3) Найти фундаментальный набор решений системы  x1  2 x2  x4  2 x5  0
За x  4 x  x  4 x  5x  0
2
3
4
5
 1
писать общее решение системы.
4) Привести к каноническому виду квадратическую форму
4 x12  3x22  4 x32  4 x1x2  8x1x3
Содержание контрольных мероприятий 4 семестра
«Случайные события»:
1. Студент знает 20 из 30 вопросов к зачету по теории вероятностей и математической статистике. Оцените его шансы успешно сдать зачет, если для сдачи зачета необходимо знать
хотя бы один из двух вопросов билета.
2. Взят кредит на год. Время закупки и доставки товара оценивают от 3 до 5 месяцев, время
реализации – от 4 до 8 месяцев. Какова вероятность несвоевременного возврата кредита?
3. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделие первого вида будет признано качественным равна
0,9; для изделия второго вида такая вероятность равна 0,7; для изделий третьего вида – 0,5.
Изделий каждого вида одинаковое количество. Найти вероятность того, взятое наудачу изделие будет признано качественным.
4. Статистика показывает, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность.
5. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое
второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: 1) 460; 2) более 460.
«Случайные величины»:
1. Вероятность заболевания гриппом равна 0,01 для человека, сделавшего прививку, а для
«непривитого» - 0,2. Составьте закон распределения числа заболевших среди четырех случайно отобранных человек: а) «привитых»; б) «непривитых». Постройте многоугольник
распределения. Определите среднее число заболевших (среди тех и других).
2. Пенсионер Иван Кузьмич решил инвестировать свои скромные сбережения. Фирма
«Ох!» обещает 50% годовых, но может разориться с вероятностью 0,2. Фирма «Ах!» обещает 40% годовых, для нее вероятность разорения оценивается как 0,1. Дядя Ваня отнес
10000 рублей в первую фирму и 20000 рублей – во вторую. Найдите среднюю сумму прибыли Ивана Кузьмича через год.
3. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей: p(x)=0, если x<2 и x>4; p(x)=аx+2, если 2≤x≤4. Найдите: а) параметр а; б) функцию
распределения F(x), постройте ее график; в) М(X); г) D(X); д) P(1≤ X ≤3).
4. Непрерывная случайная величина X~N(10; 3). Найдите: а) P(12≤X≤15); б) случайная величина Y=X+1, вычислите P(Y≤8); в) P(Y=20).
5. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона являются безработными. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от
9% до 11%.
«Нормальный закон распределения»:
Ниже X ~ N a,   означает, что случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и стандартным отклонением σ. Будем рассматривать
продукцию двух предприятий – цыплят, выращенных на птицефабриках Каскаринской и
Боровской. Обозначим через X - вес цыпленка, «изготовленного» на Каскаринской птицефабрике, через Y - вес цыпленка с Боровской птицефабрики. Предположим, что X ~
N 1,8;0,5 , Y ~ N 1,5;0,3 .
1. Для каждой птицефабрики найдите вероятности событий:
А – «вес цыпленка равен 1,7 кг.»; В – «вес цыпленка менее 1,7 кг.»;
С – «вес цыпленка более 2 кг.»; D – «вес цыпленка от 1 кг до 2 кг».
2. Считается, что идеальный вес цыпленка совпадает с ожидаемым средним a. Для каждой
птицефабрики найдите вероятности того, что фактический вес отклонится по абсолютной
величине от a: А – «более чем на 0,3 кг.»; В – «более чем на 0,7 кг.»;
С – «менее, чем на 0,2 кг.»; D – «менее, чем на 1 кг.».
3. Будем считать дефектными цыплят, вес которых менее 0,5 кг. Какова доля брака на каждой птицефабрике? Как, не вычисляя долю брака, сравнить какое из двух распределений
N a1,1  или N a2 , 2  «лучше» в указанном смысле?
4. Каждая птицефабрика приняла решение снизить долю брака до 1%. Как это сделать:
а) за счет математического ожидания a, сохраняя стандарт σ; б) за счет стандартного отклонения σ, сохраняя a?
5. Для повышения однородности продукции каждая птицефабрика приняла решение сортировать цыплят на три равные в среднем по численности группы: «маленькие» цыплята,
«средние», «большие». Определите правило сортировки для каждой птицефабрики.
6. Рассмотрим цыпленка №1 весом 0,5 кг и цыпленка №2 весом 3 кг. Определите для каждой птицефабрики: а) является ли цыпленок №1 «недоростком»? б) является ли цыпленок
№2 «переростком»? в) какой из двух цыплят более аномален для каждой птицефабрики и
во сколько раз? г) какая из птицефабрик более аномальна для цыпленка №1 и цыпленка №2
и во сколько раз?
7. Говорят, что цыплята Каскаринской птицефабрики крупнее цыплят с Боровской птицефабрики. На сколько процентов верно это утверждение?
8. Цыплят отгружают большими партиями. Дефектной считают продукцию весом менее
0,5 кг. От партии проверяют 5 цыплят и партию принимают, если среди них не более одного
дефектного. Будем считать хорошей обычную продукцию, т. е. X ~ N 1,8; 0,5 , Y ~
N 1,5; 0,3 . Для плохой продукции математическое ожидание a уменьшено на 0,4 кг. Для
каждой птицефабрики определите вероятность α забраковать хорошую продукцию (риск
изготовителя) и вероятность β приемки плохой продукции (риск потребителя).
9. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько
нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение
числа вылупившихся цыплят от среднего ожидаемого их числа не превысит 50 (по абсолютной величине)? Решите задачу с помощью неравенства Чебышева и с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
«Статистическая обработка данных»:
1. В результате опроса 20-ти потенциальных потребителей некоторого товара о размере
максимально допустимой для них цены на этот товар были получены следующие данные:
40, 25, 30, 50, 35, 20, 50, 32, 15, 40, 20, 40, 45, 30, 50, 25, 35, 20, 35, 40 (цены в рублях).
Получите оценку функции спроса. Пусть расходы на изготовление единицы товара равны
10 руб. По какой цене продавать этот товар (в предположении, что производитель товара –
монополист на рынке)?
2. Контрольную работу по теории вероятностей по индивидуальным вариантам выполняли
студенты двух групп второго курса. В первой группе было предложено 105 задач, из которых верно решено 60, во второй группе из 140 предложенных задач верно решено 69. На
уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в усвоении учебного материала студентами этих групп.
3. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в первой
группе численностью n1  50 человек, где применялась новая технология, средняя выборочная выработка составила x  85 изделий, во второй группе численностью n2  70 человек выборочная средняя - y  78 изделий. Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно  X2  100 и  Y2  74 . На уровне значимости
  0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.
4. В первой случайной репрезентативной выборке объема 400 положительный ответ дали
300 опрошенных, а во второй случайной репрезентативной выборке объема 600 положительный ответ дали 500 опрошенных. Укажите доверительные границы для долей (вероятностей положительного ответа в соответствующих генеральных совокупностях) с доверительной вероятностью 0,95.
5. Найдите доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределённого признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение   5 , выборочная средняя
xв  14 и объём выборки n = 25.
Список вопросов для устного опроса на семинаре
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
1 СЕМЕСТР
Пустое множество
Подмножество
Объединение множеств
Пересечение множеств
Разность множеств
Множество натуральных чисел
Множество целых чисел
Множество рациональных чисел
Отрезок, интервал, полуоткрытый интервал
Окрестность точки
-окрестность точки
Левая и правая полуокрестности точки
Модуль вещественного числа
Верхняя грань числового множества
Нижняя грань числового множества
Точная верхняя грань числового множества
Точная нижняя грань числового множества
Ограниченное сверху числовое множество
Ограниченное снизу числовое множество
Ограниченное числовое множество
Числовая функция
Четная, нечетная функция
Монотонная функция
Возрастающая функция
Убывающая функция
Невозрастающая функция
Неубывающая функция
Ограниченная функция
Периодическая функция
Сложная функция
Элементарная функция
Числовая последовательность
Ограниченная последовательность
Возрастающая последовательность
Убывающая последовательность
Предел последовательности
Сходящаяся, расходящаяся последовательности
Последовательность имеет бесконечный предел
Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности
Эквивалентные последовательности
Предел функции на «языке последовательностей» (или по Гейне)
Предел функции на «языке -» (или по Коши)
Предел функции слева
Предел функции справа
Предел функции при х
Бесконечно большая и бесконечно малая функция
Эквивалентные функции
Замечательные пределы
Непрерывная в точке функция
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Непрерывная в точке слева функция
Непрерывная в точке справа функция
Функция, непрерывная в интервале, на отрезке
Точка разрыва функции
Устранимая точка разрыва
Точка разрыва 1-го рода
Точка разрыва 2-го рода
Производная функции в точке, дифференцирование
Дифференциал функции в точке
Дифференцируемая функция
Правая и левая производные функции в точке
Бесконечные производные
Производная n-го порядка
Дифференциал n-го порядка
Асимптота кривой
Вертикальная асимптота
Горизонтальная асимптота
Наклонная асимптота
Точка строгого локального максимума
Точка строгого локального минимума
График функции, выпуклый вниз на интервале, точка перегиба
График функции, выпуклый вверх на интервале, точка перегиба
Функция двух переменных
-окрестность точки в двумерном пространстве
Частные приращения функции двух переменных
Частные производные функции двух переменных
Дифференцируемая функция двух переменных
Полный дифференциал функции двух переменных
Частные производные функции двух переменных 2-го и 3-го порядков
Точка локального максимума функции двух переменных
Точка локального минимума функции двух переменных
Стационарные и критические точки функции нескольких переменных
Условный максимум функции двух переменных
Условный минимум функции двух переменных
Функция Лагранжа, множитель Лагранжа.
2 СЕМЕСТР
Первообразная функции
Теорема о строении множества первообразных
Неопределенный интеграл
Основные свойства неопределенного интеграла
«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
Формула замены переменных
Формула интегрирования «по частям»
Основные типы интегралов, берущихся «по частям»
Многочлен, дробно-рациональная функция, правильные и неправильные рациональные дроби
Простейшие рациональные дроби
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование иррациональных функций
Интегральная сумма, определенный интеграл
Геометрический смысл определенного интеграла
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Теоремы об интегрируемости непрерывных, ограниченных или монотонных функций
Свойства определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Формула интегрирования «по частям» в определенном интеграле
Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции
Применение определенного интеграла для нахождения объема тела вращения криволинейной трапеции
Применение определенного интеграла для нахождения длины дуги плоской кривой
Применение определенного интеграла для нахождения площади поверхности вращения криволинейной трапеции
Несобственный интеграл 1-го рода и его сходимость
Несобственный интеграл 2-го рода и его сходимость
Формулы сведения двойного интеграла к повторному
Числовой и функциональный ряд
Частичная сумма числового ряда, сходимость числового ряда
Основные свойства рядов
Необходимое условие сходимости ряда
Ряд Римана, ряд геометрической прогрессии
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки Даламбера и Коши
Признаки сходимости знакопостоянных рядов: интегральный признак
Признак сходимости Лейбница
Абсолютная и условная сходимости
Степенные ряды, область сходимости
Радиус и интервал сходимости: определения и расчетные формулы
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
Ряд Тейлора
Ряд Маклорена
Разложение важнейших элементарных функций в ряд Маклорена
Обыкновенное дифференциальное уравнение, его порядок
Решение дифференциального уравнения n-го порядка
Общее и частное решения дифференциального уравнения 1-го и высших порядков
Задача Коши для дифференциальных уравнений 1-го и высших порядков
Дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка и уравнение Бернулли
Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: общее решение
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами: общее решение, 2 метода нахождения частного решения.
3 СЕМЕСТР
Вектор, координаты вектора.
Длина вектора. Коллинеарные и ортогональные векторы.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Матрица: определение.
Арифметические действия с матрицами.
Определители матриц. Свойства определителей матриц.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
Расчет определителей третьего порядка по «правилу треугольников».
Обратная матрица: определение.
Обратная матрица: свойства.
Ранг матрицы.
Методы определения ранга матрицы.
Линейные пространства, их свойства.
Базис и размерность линейного пространства.
Система линейных алгебраических уравнений. Матричная запись.
Теорема Кронекера-Капелли.
Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам
Крамера.
Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.
Линейные операторы, их свойства и матричная запись.
Действия над линейными операторами.
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
Определение квадратичных форм.
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.
Критерий Сильвестра.
Основные теоремы о квадратичных формах.
Уравнение прямой на плоскости.
Эллипс: уравнение, график.
Парабола: уравнение, график.
Гипербола: уравнение, график.
Уравнение плоскости.
Уравнения прямой в пространстве: уравнение по точке и направляющему вектору.
Уравнение прямой в пространстве: уравнение по двум точкам.
Взаимные расположения прямой и плоскости
Взаимные расположения двух прямых в пространстве.
Взаимные расположения двух плоскостей в пространстве.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
4 СЕМЕСТР
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.
Следствия из аксиом вероятности.
Классическая схема вероятностного пространства.
Геометрическая схема вероятностного пространства.
Условные вероятности.
Независимые события.
Формула полной вероятности.
Формула Бейеса.
Схема Бернулли.
Полиномиальная схема.
Случайная величина.
Функция распределения и ее свойства.
Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Геометрическое распределение.
Равномерное распределение.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Нормальное распределение.
Показательное распределение.
Независимые случайные величины. Критерии независимости.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Дисперсия случайной величины и ее свойства.
Математическое ожидание и дисперсия типовых распределений.
Ковариация, коэффициент корреляции и их свойства.
Неравенство Чебышева.
Виды сходимости последовательности случайных величин.
Закон больших чисел.
Теорема Чебышева.
Центральная предельная теорема.
Предельная теорема Пуассона.
Предельные теоремы Муавра-Лапласа.
Пуассоновские случайные процессы.
Основные понятия математической статистики: выборки
Основные понятия математической статистики: вариационный ряд
Основные понятия математической статистики: эмпирическая функция распределения.
Основные понятия математической статистики: выборочные моменты.
Теорема Фишера.
Точечные оценки и их свойства.
Основные методы статистического оценивания.
Точечная и интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины.
Точечная и интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормально
распределенной случайной величины.
Статистический критерий.
Ошибки 1-го и 2-го рода.
Мощность критерия.
Лемма Неймана-Пирсона.
Критерий согласия.
Теоретические вопросы к экзамену
1 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Множества. Множество вещественных чисел и его геометрическая интерпретация.
Грани числовых множеств. Принцип Архимеда.
Числовые функции. Их способы задания и классификация. Грани числовых функций.
Предел числовой последовательности. Предельный переход в арифметических операциях и неравенствах.
Признаки существования предела для промежуточных и монотонных последовательностей. Число е.
Два равносильных определения предела числовой функции в точке.
Замечательные пределы. Сравнение функций.
Непрерывные функции. Непрерывность основных элементарных функций.
Точки разрыва и их классификация.
Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях непрерывных функций.
Три основных понятия дифференциального исчисления функции одного переменного
(производная, дифференцируемость, дифференциал).
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Формулы дифференцирования арифметических операций. Дифференцирование сложной и обратной функций.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ролля.
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа. Теорема
Коши.
Правила Лопиталя.
Формула Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано.
Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств
функций одного переменного. Монотонность функции.
Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств
функций одного переменного. Локальные экстремумы функции.
Приложение дифференциального исчисления к исследованию качественных свойств
функций одного переменного. Выпуклость функции и точки перегиба.
Функции двух переменных. Предел и непрерывность функций двух переменных.
Частные производные, дифференцируемость и дифференциал функций двух переменных. Производная по направлению и градиент.
Высшее дифференцирование функций двух переменных. Дифференцирование неявных функций.
Локальные экстремумы функций двух переменных.
Условные экстремумы функций двух переменных.
2 семестр
1.
Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного
интегрирования.
2.
Неопределенный интеграл. Методы замены переменного и интегрирования по частям.
3.
Интегрирование рациональной функции.
4.
Интегрирование алгебраических иррациональностей.
5.
Интегрирование тригонометрических выражений.
6.
Понятие определенного интеграла Римана и его разнообразные интерпретации.
7.
Основные свойства интеграла: интеграл от единицы.
8.
Основные свойства интеграла: монотонность.
9.
Основные свойства интеграла: линейность, аддитивность.
10. Неравенства для интегралов.
11. Интегральная теорема о среднем.
12. Интеграл с переменным верхним пределом. Условия его непрерывности и дифференцируемости.
13. Формула Ньютона-Лейбница.
14. Несобственные интегралы первого рода.
15. Несобственные интегралы второго рода.
16. Числовой ряд. Его сумма. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие
сходимости ряда. Независимость понятия сходимости ряда от значений конечного
множества его членов.
17. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки сравнения.
18. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признаки Даламбера и
Коши.
19. Условия сходимости знакопеременных рядов. Признак Лейбница. Абсолютная сходимость.
20. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервалы сходимости степенности ряда.
21. Ряд Тейлора. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы решения дифференциальных
уравнений первого порядка (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными).
23. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы решения дифференциальных
уравнений первого порядка (линейные однородные и неоднородные уравнения).
4 семестр
1.
Что такое случайное событие. Какие виды случайных событий Вы знаете? Приведите
примеры.
2.
Какие операции применимы к случайным событиям? Какими свойствами они обладают? Приведите примеры.
3.
Чем отличаются и в чём схожи такие понятия комбинаторики, как сочетания, размещения и перестановки? Приведите примеры.
4.
Сформулируйте классическое определение вероятности. В чем ограниченность этого
определения? В чем различие между вероятностью и относительной частотой?
5.
Когда применяют геометрическое определение вероятности? Почему в этих случаях
нельзя пользоваться классическим определением?
6.
Сформулируйте и докажите теорему о сложении вероятностей несовместных событий.
7.
Дайте определение произведения событий. Приведите примеры: произведения двух
независимых событий; произведения двух зависимых событий.
8.
Что такое условная вероятность?
9.
Сформулируйте теорему об умножении вероятностей для двух событий (общий случай). Какую форму принимает эта теорема в случае, когда события независимы?
10. В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким свойствам
должны удовлетворять гипотезы?
11. Что такое априорные и апостериорные вероятности? Применение и значение формулы Байеса.
12. Какие испытания являются повторными независимыми? Приведите пример.
13. В каких случаях применяются: формула Бернулли, теорема Пуассона, теорема Муавра-Лапласа?
14. Что такое дискретная случайная величина? Приведите пример.
15. Какими способами можно задать дискретную случайную величину?
16. Какими свойствами обладает функция распределения дискретной случайной величины?
17. Назовите основные числовые характеристики дискретной случайной величины, способы их вычисления и свойства.
18. Что такое непрерывная случайная величина? Приведите пример.
19. Какими свойствами обладает функция распределения непрерывной случайной величины?
20. Какими способами можно задать непрерывную случайную величину?
21. Какими свойствами обладает функция плотности вероятностей непрерывной случайной величины? Что она показывает?
22. Назовите основные числовые характеристики непрерывной случайно величины, способы их вычисления и свойства.
23. Как называется функция плотности вероятностей нормального закона распределения
и какими свойствами обладает?
24. Что такое функция Лапласа, для чего она используется и какими свойствами обладает? Функция распределения нормально распределённой случайной величины.
25. Стандартный нормальный закон распределения. Его свойства.
26. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины, их влияние на график функции плотности вероятностей.
22.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. Правило
трёх сигм.
Что такое закон больших чисел в широком смысле и в узком смысле?
Что позволяет оценить лемма Маркова и неравенство Чебышева?
Сформулируйте теорему Чебышева и условия её применения.
Сформулируйте теорему Бернулли и теорему Пуассона.
Что устанавливает центральная предельная теорема? Сформулируйте теорему Ляпунова.
Запишите равенство Маркова и поясните его сущность.
Дайте определения генеральной и выборочной совокупности
Какие свойства точечных оценок вы знаете.
Назовите основные методы получения точечных оценок.
Какие основные этапы получения интервальных оценок можно выделить
Укажите распределения статистик, используемых при интервальном оценивании
определенных параметров распределения.
Что называют статистической гипотезой? Приведите примеры нулевой, конкурирующей, простой, сложной гипотез.
Что называется ошибкой первого рода, второго рода?
Дайте определение критической области. Какие виды критических областей вам известны? Приведите примеры критериев для каждого случая.
Что называется уровнем значимости?
Что такое критерий согласия? Сформулируйте правило проверки гипотезы о законе
распределения с помощью критерия согласия Пирсона.
Укажите алгоритм расчета мощности критерия при проверке различных статистических гипотез.
Назовите основные этапы процедуры проверки гипотезы о виде законов распределения генеральной совокупности.
Теоретические вопросы к зачету
3 семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Сложение и умножение матриц.
Определители матриц. Расчет определителей третьего порядка по «правилу треугольников».
Расчет определителей с помощью разложения по строке или столбцу.
Обратная матрица: определение, методы расчета.
Ранг матрицы. Определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
Ранг матрицы. Определение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Линейные пространства, их свойства. Базис и размерность линейного пространства.
Теорема Кронекера-Капелли.
Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам
Крамера.
Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений однородной системы.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Линейные операторы, их свойства и матричная запись. Действия над линейными операторами.
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
Определение квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Основные теоремы о квадратичных формах.
Уравнение прямой на плоскости.
Кривые второго порядка на плоскости.
Уравнение плоскости.
Уравнения прямой в пространстве.
Взаимные расположения прямой и плоскости, двух прямых, двух плоскостей в пространстве.
Формулировки практических заданий, которые могут быть включены в экзаменационный или зачетный билет (конкретные условия: функции, точки, векторы, значения
- в билете могут отличаться от приведенных ниже)
1 семестр
1) Исследовать на монотонность и найти локальные
f  x   3х 4  4 х3  12 х 2  10 .
2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
экстремумы
функции
f  x   x3  3x  17
3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f  x  
3х 2  1
на отрезке
х
[-2; -1]
4) Найти асимптоты функции f  x  
х3  2
.
х2  4
(e5 x  1) sin x5
5) Найти предел функции lim
x0 ln(1  5 x)(1  cos 2 x  2 x 2 )
6) Найти локальные экстремумы функции f  x, y   x3  y 3  4xy .
7) Определить условные экстремумы функции f  x   x  y , если
x2  y 2
 3, x  0 , у  0 .
8) Составить уравнение касательной к функции
f  x   ln( x  5) в точке х= – 4.
9) Найти градиент функции f  x   cos( x  2 y) в точке М(π/2;π) и производную в
точке М по направлению l  {2,5} .
2 семестр
1) Найти неопределенный интеграл:
x  arctg 2 x
 1 x2
dx ;
e
2) Вычислить определенный интеграл  1  ln x dx .
x
1
3) Найти и изобразить геометрически радиус и интервал сходимости степенного ряда

 (1) n  tg
1
( x  1) n .
n
4
n 0
4) Решить задачу Коши y  3x 2 y  2x 2 , y(1)=2.
5) Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  6 y  2e4 x .
6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y  e5 x 1 , y  е и х= –1.

7) Вычислите несобственный интеграл
dx
 ( x  2)
3
или установить его расходимость.
1

8) Исследовать на сходимость ряд

n 1
sin
1
n2
5n
( 1) n
9) Исследовать на абсолютную сходимость ряд 
n 1 3n  6

10) Решить задачу Коши y  4 y  4 y  0 , y (0)  2, y '(0)  1 .
11) Разложить функцию y  sin 2 3x в ряд Маклорена.
3 семестр
5 x  y  4 z  3

1) Решить систему 2 x  2 y  2 методом Крамера. Сделать проверку.
4 x  z  3

 х  y  4 z  4

2) Решить систему  x  y  z  2 матричным методом. Сделать проверку.
2 x  z  2

3x1  x3  2 x4  х5  0

3) Найти фундаментальный набор решений системы  x1  2 x2  x4  2 x5  0
За x  4 x  x  4 x  5x  0
2
3
4
5
 1
писать общее решение системы.
4) Привести к каноническому виду квадратическую форму
4 x12  3x22  4 x32  4 x1x2  8x1x3
5) Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A . Результат прове 6 5  5


рить по определению: A    11  4 11
 1 5 2 


 x1  x2  x3  1

методом Гаусса. Сделать проверку
6) Решить систему  x1  x3  1
2 x  2 x  3x  2
2
3
 1
1

2
A

Определить
ранг
матрицы
7)
4

3
2 1 0 2 

1 3 2 0 
3 1 2 4

1 2 2 2
8) Даны точки: А, В, С, D (в задании приведены их координаты). Требуется найти скалярные произведения: AB  CD , AB  BC , ( AB  CD)  ( AC  BD) .
9) Даны три точки на плоскости: А, В, С (в задании приведены их координаты). Требуется:
записать уравнение высоты АН и найти ее длину
или:
записать уравнение медианы ВМ и найти ее длину
Изобразить треугольник ABC, высоту АН и медиану ВМ на графике
4 семестр
1) Рассмотрим колоду из 36 карт. Выберем наудачу 3 карты. Какова вероятность того,
что это будут "шестерка", "семерка" и "пиковая дама"?
2) Игральная кость подбрасывается 10 раз. Требуется найти вероятность того, что
"двойка" выпадет не более одного раза.
3) Наудачу выбираются два числа: первое – из промежутка [-1;1], а второе – из [0;2].
Найти вероятность того, что хотя бы одно из чисел не превосходит ½ .
4) Задана функция распределения непрерывной случайной величины:
x  2,
0,

2
F ( x)  ( x  2) ,  2  x  1,
1,
x  1.

Требуется найти среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания в интервал (-3; -1,4] для данной случайной величины. Построить кривую распределения.
5) Известны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин
Х и Y:
xi
-1
0
1
yj
-1
0
1
2
pi
0,5
0,2
0,3
pj
0,1
0,2
0,6
0,1
Требуется найти M (2  2Y  3 X ) , D(2  2Y  3 X ) , центральный момент первого порядка случайной величины Х и начальный момент пятого порядка случайной величины
Y.
6) Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Известно математическое ожидание, равное 7. Также известно, что P( X  6)  0,46 . Найти дисперсию случайной величины Х.
7) Известно, что случайная величина Х распределена по показательному закону распре
3 e 3 x , x  0
деления. Ее плотность распределения имеет вид f ( x)  
. Требуется

x0
 0
найти среднее квадратическое отклонение данной случайной величины, а также вероятность P(0,1  X  0,2) .
8) Требуется по полученной выборке найти а) выборочное уравнение прямой линии
регрессии Y на X; б) определить выборочный коэффициент корреляции; в) по его значению сделать предварительный вывод о тесноте линейной связи между признаками;
г) проверить значимость выборочного коэффициента корреляции на 1%-ном уровне
значимости.
xi
0
1
4
6
7
yi
2
2
-1
-3
-4
9) Проводилось исследование потребительских предпочтений. Одной группе покупателей было предложено попробовать сыра А, а другой группе – сыр В. Если покупатель
готов был купить попробованный сыр, то это записывалось как 1, а если нет – как 0.
Таким образом были получены следующие данные:
Сыр А: 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Сыр В: 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Требуется проверить гипотезу о том, что предпочтения разных групп покупателей по
сыру А и по сыру В одинаковы, т.е. что вероятности покупки обоих видов сыра равны:
H 0 : p1  p2 при альтернативной гипотезе H1 : p1  p2 на 7%-ном уровне значимости.
10) По данным выборки объема 50 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдена выборочная дисперсия, равная 7. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение
с надёжностью 0,99.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку или в зачет.
Таблица 33.
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Зачет
Незачет
Зачет
Неуспевающие студенты должны сдать экзамен или зачет (в зависимости от формы
контроля). Студенты, желающие повысить оценку (в случае экзамена), также сдают экзамен.
Экзаменационные или зачетные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу
дисциплины за семестр и пять практических задач.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной
в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при
условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно
делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил
какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с
помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом они
частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать
ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов
от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы
и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы
решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из
этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 34.
Баллы
0-14
15-25
26-31
32-35
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Зачет
Незачет
Зачет
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка
выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение
навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся
и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1. Основная литература:
1.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для
студентов вузов/ В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - Москва: Юрайт, 2010. – 479 с.
2.
Шипачев, В.С. Высшая математика: базовый курс : учеб. пособие для студентов
вузов/ В. С. Шипачев. - 8-е изд., перераб. и доп.. - Москва: Юрайт, 2011. - 447 с.
3.
Шершнев, В.Г. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии [Электронный
ресурс] : учебно-методическое пособие / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ Инфра-М, 2012.
- 168 с.
Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=318084 (дата обращения:
17.11.2014)
12.2. Дополнительная литература:
1.
Гайдамак, И.В. Линейная алгебра: учеб.-метод. пособие для студентов очной и заочной форм обучения напр. 080100.62 "Экономика"/ И. В. Гайдамак. - Тюмень: Изд-во
ТюмГУ, 2012. – 62 с.
2.
Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс] : учебник
для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н. Ш. Кремер и др.; под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - 3-е изд. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 479
с. Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=390753 (дата обращения:
17.11.2014)
3.
4.
5.
6.
Математика: математический анализ и линейная алгебра : учеб. пособие для студентов вузов/ авт.-сост. А. П. Девятков [и др.]. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2011. - 468 с.
Справочник по математике для экономистов [Электронный ресурс] : учеб. пособие
для студ. вузов, обуч. по экон. спец./ ред. В. И. Ермаков. - 3-е изд., перераб. и доп. Москва: Инфра-М, 2009. – 464 с.
Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=126333 (дата обращения
17.11.2014)
Сборник задач по высшей математике для экономистов: аналитическая геометрия,
линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая
статистика, линейное программирование: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по
напр. "Экономика" и эконом. спец./ Рос. эконом. академия им. Г. В. Плеханова; ред.
В. И. Ермаков. - 2-е изд., испр.. - Москва: ИНФРА-М, 2008. – 575 с.
Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов вузов / В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер. - Москва: Высшая школа, 2009. – 304 с.
12.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1.
Методические рекомендации по написанию реферата [Электронный ресурс]. Режим
доступа: http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml
2.
Реферат (выбор темы, структура). [Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/
3.
Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
4.
MathCAD. Встроенные функции, позволяющие проводить расчеты в матричной
форме.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
2. Microsoft Word. Встроенный редактор формул.
3. Microsoft PowerPoint.
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие
аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное
оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях, оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Математика» изучается 4 семестра.
Для очной формы обучения каждый семестр разбивается на два модуля. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а непрерывно складываются на протяжении одного семестра. Комплексность означает учет всех
форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый по
дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Промежуточный контроль – это проверка знаний студентов по разделу программы,
проводится в виде регулярных контрольных мероприятий. В разделе 10.3 данного УМК
приведены списки контрольных мероприятий обоих семестров вместе с примерными вариантами контрольных. Прорешивая указанные варианты, студент выявляет пробелы в знаниях, которые имеет возможность восполнить, обращаясь с вопросами к преподавателю в
консультационные часы. Образцовые решения основных задач контрольных мероприятий
можно найти в учебных и методических изданиях раздела 12.2.
Помимо контрольных мероприятий студент имеет возможность написать один или
несколько рефератов, которые защищает на практических занятиях либо в консультационные часы. Темы рефератов и методические указания по их написанию можно найти в разделе 9 данного УМК.
Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
Форма контроля – итоговая работа, содержащая задания по всем разделам семестра.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов включительно. Полученное суммарное количество баллов в конце каждого семестра переводится в
оценку. Шкала перевода приведена в разделе 10.2. В этом же разделе можно найти информацию о том, что происходит в тех случаях, если студент не доволен полученной оценкой
либо его работа и знания за семестр признаны «неудовлетворительными».
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и готовиться
к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические задания. Результаты решения задач, а также возникшие при решении трудности студент может обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.