Элементы дифференциального исчисления.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЁТА ПО
ТЕМЕ:
"ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ"
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЁТА.
1. Работа должна выполняться на двойных листах из тетради в клетку. На титульном
листе работы должны быть ясно написаны: номер типового расчёта и его тема, вариант;
факультет, номер группы; фамилия студента, его инициалы.
2. В первой части работы, содержащей теоретическую часть, студент даёт полные (с
примерами) и лаконичные ответы на поставленные вопросы.
3. Задачи, содержащиеся во второй части работы, следует располагать в порядке
указанном в варианте. Перед решением каждой задачи надо полностью переписать её
условие.
4. Решение задачи следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на
вопросы теории с указанием необходимых формул и теорем.
5. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами,
выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба. Объяснения к
задаче должны соответствовать обозначениям, приведённым на чертежах.
6. На каждой странице необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний
преподавателя.
7. Типовой расчёт должен быть выполнен самостоятельно.
8. Получив прорецензированную работу, студент должен исправить все отмеченные
ошибки и недочёты. В случае незачёта по работе , студент обязан в кратчайшие сроки
выполнить все требования рецензента и предоставить работу на повторное
рецензирование, приложив при этом первоначальный вариант.
9. В случае необходимости студент может проконсультироваться по вопросам,
вызывающим затруднения у ведущего преподавателя.
10. В назначенный срок студент должен пройти собеседование с ведущим
преподавателем по зачтённому типовому расчёту (защитить работу).
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ.
Элементы дифференциального исчисления.
1. Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной. Механический и
геометрический смысл производной.
2. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования. Производные основных
элементарных функций. Производные высших порядков.
3. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в
приближённых вычислениях.
4. Возрастающая и убывающая функция. Экстремум функции. Необходимый и достаточные
условия существования экстремума.
5. Выпуклая и вогнутая функции. Точки перегиба кривой. Достаточный признак выпуклости и
вогнутости кривой (без доказательства). Достаточный признак существования точки перегиба (без
доказательства).
6. Асимптота. Виды асимптот.
ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТНЫХ ЗАДАНИЙ.
Задача 1. Найти производные указанных функций:
1
 73 x 2
5
x
а)
y  x4 
б)
y  x 2  1cos x ;
в)
y
г)
y  ln cos 3 x  2  ;
д)
y  e ctgx sin 3 x .
;
arctgx
;
1  x4
Решение.
а) Перепишем данную функцию, введя дробные и отрицательные показатели:
yx x
4
5
 7x
2
3
.
Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы и формулу дифференцирования
степенной функции, получим:
y   4 x   5x
3
1
6
2 
5
14
 7  x 3  4x 3  6  3
3
x
3 x
.
б) Применяя формулу производной произведения двух функций, а также формулу
дифференцирования степенной функции и, учитывая, что (cos x )    sin x , имеем:


y   x 2  1  cos x  x 2  1cos x   2 x cos x  x 2  1sin x
.
в) Применяем правило дифференцирования частного двух функций, а также формулы
производных для обратной тригонометрической функции y  arctgx и показательной функции
y  ax.
y 

arctgx
 1  4

  arctgx  1  4 
1  4 
x
x
x 2
1
1  4 x   arctgx  4 x ln 4
2
 1 x

x 2
1  4 

1  4 x  1  4 x arctgx  4 x ln 4
1  x 1  4 
2
x 2
.
г) Данная функция является сложной. Её можно представить в виде следующей цепочки
элементарных функций:
y  ln u , где u  cos v
,а
v  3x  2 .
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
если
y  f (u); u  u( x), y  f (u( x)) , то y   f (u )  u ( x) .

y   ln cos3x  2 
 3tg 3x  2
1
1
cos3x  2 
 sin 3x  23x  2 
cos3x  2
cos3x  2
.
д) Применяем правило дифференцирования произведения двух функций и правило
дифференцирования сложной функции, так как каждый сомножитель представляет собой
сложную функцию.



y   e ctgx sin 3 x   e ctgx   sin 3 x  e ctgx  sin 3 x  


 e ctgx  ctgx   sin 3 x  e ctgx  3 sin 2 x  sin x  
1 

3
ctgx
2
ctgx
ctgx
2
 e ctgx   
  sin x  e  3 sin x  cos x  e  sin x  e  3 sin x cos x 
2
 sin x 
ctgx
 e sin x3 sin x cos x  1 .
Задача 2. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить её график:
1 3 1 2
x  x  3x  10 ;
12
2
а)
y
б)
x2  2
.
y
x3
Решение. Будем придерживаться общей схемы исследования функции:
1) Найти область определения функции.
2) Исследовать функцию на чётность и нечётность, периодичность и сделать вывод об элементах
симметрии графика функции.
3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить промежутки
знакопостоянства функции.
4) Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и её односторонние
пределы в точках разрыва; указать, какого рода разрыв.
5) Найти точки экстремума функции и определить интервалы её возрастания и убывания.
6) Найти точки перегиба функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.
7) Найти асимптоты графика функции.
8) Построить график функции по результатам исследования.
а) у =
1 3 1 2
х  х  3х  10
12
2
1) Д (у)   ; 
2) f (-х) =
1
 х 3  1  х 2  3 х   10   1 х3 - 1 х 2  3х  10  f х 
12
2
12
2
f х  f  х
Функция ни четная, ни нечетная, не периодическая, следовательно, элементов симметрии нет.
3) Точек разрыва нет, так как функция непрерывна на всей своей области определения.
4) Чтобы найти точку экстремума, находим первую производную, приравниваем ее к нулю и
решаем полученное уравнение:
у х  
1 2
1
х  х  3 ; х2  х  3  0
4
4
х 2  4 х  12  0
х1  2
и х2  6 - критические точки
Результаты исследования на экстремум заносим в таблицу:
х
 ;2
-2
(-2; 6)
6
6; 
f х
+
0
-
0
+
f х 
min
8
max
1
13
3


1
3
Итак, имеем: М   2;13  - точка максимума, так как N 6;8 - точка минимума, так как в
критической точке х=6 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс.
5) Чтобы найти точки перегиба графика функции и интервалы выпуклой и вогнутой, находим
вторую производную ух  , приравниваем ее к нулю и решаем полученное уравнение:
у х  
1
х  1;
2
1
х 1  0;
2
х  2 - критическая точка II рода
Результат исследования на перегиб заносим в таблицу:
х
 ;2
2
2; 
f х 
-
0
+
f х 

перегиб
2
2
3



2
3
Итак, К  2;2  - точка перегиба, так как при переходе через критическую точку второго рода х=2
вторая производная меняет свой знак.
6) Найдем наклонную асимптоту: у  kх  в
k  lim
f х 
;
х
l  l f х   kx
1
10 
1
k  lim  x 2  x  3    
2
x
12
Так как k   , то наклонных асимптот нет. Горизонтальных и вертикальных асимптот нет.
7) Построим график функции, для чего возьмем дополнительные точки:
х
-6
у
-8
-5
-4
1
12
8
2
2
3
-3
12
1
4
-1
12
5
12
1
6
7
12
х
у
3
1
4
1
4
4
5
2
3
7
1
12
7
6
11
12
8
3
9
1
3
3
1
4
10
13
1
3
х2  2
б) у 
х2
1) D(у)   ;3 v 3;
2) f  x  
 f x   
 x 2  2 
 x3
x2  2
 f x 
 x3
x2  2
 f  x 
x3
Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая, следовательно, элементов симметрии нет.
3) Точки пересечения с осями координат:
с Ох: 
Контрольные вопросы для подготовки к защите ТР.
Элементы дифференциального исчисления.
1. Дайте определение производной данной функции. Каков геометрический смысл производной?
Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций,
правило дифференцирования сложной функции.
2. Перечислите формулы дифференцирования основных элементарных функций. Докажите одну
из них. Что называется производной второго порядка?
3. Что называется дифференциалом функции? Каков геометрический смысл дифференциала?
4. Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции. Сформулируйте необходимое
условие существования экстремума функции. Дайте определение максимума и минимума
функции.
5. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?
Каковы достаточные признаки существования экстремума функции?
6. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой? Что называют точкой перегиба графика
функции? Как найти такие точки? Сформулируйте достаточные признаки выпуклости и
вогнутости кривой на заданном отрезке.
7. Что называется асимптотой кривой? Какие виды асимптот вы знаете? Как определить уравнение
наклонной асимптоты?
8. Изложите общую схему исследования функции и построения её графика.
Задача 1. Найти производную первого порядка заданной функции y.
Вар.
1.
2.
Функция
а)
а)
а)
y  x5  3 x  1
а)
2


y   6x 2  4  5
x


а)
y  x 3  44 x 3  2
а)
y  x 2  25 x  4
13.


arcsin 3 x
1  8x 2
в)
y  2 3 x tg 2 x
б)
y
arcsin 7 x
x4  ex
в)
y  e tgx ln 2 x
б)
y
sin 2 x
cos 5 x
в)
y  2 8 x tg 3x
б)
1  4x 2
y x
2  tgx
в)
y  e ctgx sin 4 x
б)
y
в)
y  3tgx arcsin( x 2 )
б)
arctg 7 x
y
2  9x 2
в)
y  e ctgx cos 6 x
x3  ex
в)
y  4 cos x arctg 2 x
y  e x tg 7 x
3

4
а)
5


y   3x 5  3  2 
x


а)
y  x 4  23 x  1
а)
1


y   3x 5  4  1
x


а)
y  2 x 4  33 x  1
а)
y  3 x 5  24 x  8

y
2



y
cos 6 x
sin 3x
в)
в)
б)
3  5x 3
y x
e  ctgx
x 4  tgx
в)
y  e arcsin x ctg 3x
в)
y  5 arcctgx sin 4 x
в)
y  e x arcsin 2 x
4  9x 5
б)
y
б)
2  x2
y
cos 2 x
4
5
3x 2  4
б)
3

cos 3 x
y
2

1  9x 2
б)
5

y  cos 3xe sin x
б)
5

в)
y
3

4 x  7tgx
б)
2
3


y   4x 2 
 4
x


11.
12.

1


y   x2  3  5 x 
x


9.
10.

а)
6.
8.
4
y  3x 3  23 x 2  1
4.
7.

а)
3.
5.

y  3x  43 x  2
б)
3
y  2 sin x arcsin 2 x
4x 2  7
3
y
14.
а)
15.
а)
3


y   x3  2  4
x



2
б)
y  5x  3 x  2
16.
17.
2
5
а)
2


y   2x 4  3  7 
x


а)
y  3 x 2  24 x  5
18.
19.
2


а)
y  4 x 5  35 x 2  7


а)
y  x 4  1e sin
22.
а)
y  1  9 x 2 arctg 3x
24.

а)
y  cos 3xe 3 x
2 x  ctgx
в)
y  e sin x arccos3x
в)
y  5 6 x arcsin 5 x
в)
y  e arcsin x cos 4 x
в)
y  4 arctgx cos 6 x
в)
y  e sin x arctg 3x
в)
y  2 arctgx arcsin 2 x
б)
1  7x5
y
cos 4 x
б)
y
б)
2  5x
y
sin 3x
y
4  2x 3
2 x 2  ctgx
6x 2  5
cos x  4 x
3
8  7x5
б)
4x 5  2
y
sin 7 x
б)
y
arctg 2 x
1  4x 2
в)
y  ln 2 x 2  3
б)
y
arcsin 2 x
в)
y  ln x 2  2 x  5
б)
y
1  16 x 2
arctg 4 x
в)
y  ln 4 x 2  1
б)
y
2x
в)
y  ln tg 2 x
4
21.

y  4 tgx arctg 3x
б)
3
а)
y  3x  x  1
в)
y
2
а)
а)
2  3x 5
y
sin 2 x
5
5


y   3x 2  3  1
x


23.
5x 2  1
б)
4
3


y   6x 6  4  8
x


20.

3
ctgx  cos x
x
5
1  4x 2
1  4x 2
25.
26.
27.
28.
а)
1


y   x2 
 2
x


а)
y  x 3  22 3 x

3

б)
y
arccos 2 x
б)
y
arcsin 3 x
б)
y
sin 3x  1
cos 3x  1
2
а)
y  x 3  33 x 2  1
а)
y  1  4 x 2 arctg 2 x
б)
y
29.
30.




y  x 5  33 x  1
а)
y  x2  4 x  3
в)
y  ln ctg 5 x
в)
y  ln 2 x 2  5
в)
y  ln cos 5 x
в)
y  ln 2 x 2  4 x  1
в)
y  ln 4 x 2  x
1  9x 2
2x  1
x2  x 1
y
3  cos 5 x
3  sin 5 x
б)
y
e tgx
1  cos2 x
4
y  ln 3x 2  1
1  4x 2
б)
5
а)
в)
Задача 2. Исследовать функцию методом дифференциального исчисления и построить график.
Вар.
1.
2.
Функция
y  2 x 3  9 x 2  12 x  5
y
x2 1
x
Вар.
16.
17.
Функция
x2  5
y
x3
y
x 2  15
x4
3.
y  x3  6 x 2  9 x  1
18.
x2  9
y
x
4.
x2
y
x 1
19.
x2  8
y
x 1
5.
y  x 3  3x 2  9 x  10
20.
x 2  21
y
x2
6.
x2  3
y
x2
21.
x 2  16
y
x3
7.
y  x 3  3x 2  9 x  10
22.
x 2  12
y
x4
8.
x2  8
y
x3
23.
x4
y  8x 
4
9.
y  x 3  6x 2  9x  2
24.
y
10.
x2  9
y
x4
25.
x3
yx
3
11.
y  2 x 3  3x 2  12 x  5
26.
x2  9
y 2
x 4
12.
x2  4
y
x
27.
x3  4
y
x2
13.
y  2 x 3  3x 2  12 x  8
28.
y  x 4  8x 2  5
14.
x2  3
y
x 1
29.
x3
y 2
x 1
( x  1)( 2  x)
2x  3
15.
x2  5
y
x2
30.
x2  7
y
x4