Дифференциальные и интегральные оператор..огнозировании

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра (магистерская программа «Мировая экономика»), изучающих дисциплину «Дифференциальные и
интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков»
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС-3/НИУ;
 Образовательными программами подготовки бакалавров по направлению
080100.68 «Экономика»;
 Рабочим учебным планом университета подготовки бакалавров направления
080100.68 «Экономика», утвержденным в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Цель освоения дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» – умение применять инструментарий дифференциальных и интегральных операторов для формирования инвестиционных решений.
Задачи дисциплины:
 Осветить основные подходы к описанию эволюции плотности распределения доходностей на финансовых рынках;
 Дать представление о разделах дифференциального и интегрального исчисления,
необходимых для решения стандартных финансовых задач;
 Познакомить с основами теории операторов, используемыми при финансовом
прогнозировании;
 Показать роль нелинейных моделей в современной финансовой науке.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:





анализировать социально-значимые проблемы и процессы, происходящие в обществе, и прогнозировать возможное их развитие в будущем;
осознавать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой
мотивацией к выполнению профессиональной деятельности;
осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач;
используя отечественные и зарубежные источники информации, собрать необходимые данные проанализировать их и подготовить информационный обзор и/или
аналитический отчет;
использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Формы и методы обучеКод по
Дескрипторы – основные
ния, способствующие
Компетенция
ФГОС/
признаки освоения (показаформированию и развиНИУ
тели достижения результата)
тию компетенции
Способен применять
СК-Б2
Дает представление о целях
Лекции, консультации
профессиональные
и тенденциях участников
преподавателя, самостоязнания и умения на
международных финансовых тельная работа
практике
рынков.
Способен работать с
СК-Б6
Использует специальные ис- Решение и обсуждение
информацией: нахоточники информации: стати- кейсов, консультации
дить, оценивать и исстические базы данных по
преподавателя, самостояпользовать информафинансовым потокам.
тельная работа
цию из различных источников, необходимую для решения
научных и профессиональных задач (в том
числе на основе системного подхода)
Способен понимать и
СЛК-Б6 Анализирует социальноРешение и обсуждение
анализировать мирозначимые проблемы и прокейсов, консультации
воззренческие, социцессы, происходящие в обпреподавателя, самостояально и личностно знаществе.
тельная работа
чимые проблемы и
процессы, происходящие в обществе
Способен применять
ИК-Б4.1_4.2 Осуществляет сбор, анализ и Решение и обсуждение
ИКТ для поиска и обобработку данных, необхокейсов, консультации
работки информации и
димых для решения поставпреподавателя, самостоядля ее презентации.
ленных экономических зательная работа, коллоквидач.
ум
Составляет аналитические
отчеты.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу социально-экономических дисциплин. Для
студентов 1-го курса магистратуры направления 080100.68 «Экономика» настоящая дисциплина является курсом по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:




«Теория вероятностей и математическая статистика»,
«Математический анализ»,
«Финансы, денежное обращение и кредит»,
«Теория игр»,
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра


«Мировой фондовый рынок»,
базовый блок экономических дисциплин («Микроэкономика-1», «Микроэкономика2», «Макроэкономика-1», «Макроэкономика-2»).
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:





5
№
1
2
3
4
5
6
7
8
Инвестиционные стратегии на финансовых рынках различного типа;
Когнитивная психология и принятие решений на финансовых рынках;
Мировые финансы;
Теория производных финансовых инструментов;
Актуарная математика и оценка рисков.
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Прямое и обратное уравнения Колмогорова. Дифференциальные уравнения
Фоккера – Планка и Дынкина. Понятие
об операторе на бесконечно малых.
Интегральные уравнения Фредгольма
второго рода и задача очистки ценового
сигнала от шума. Уравнение Вольтерры
и метод резольвент.
Интегральные уравнения Фредгольма
первого рода как некорректная задача.
Основы теории интегродифференциальных уравнений.
Эволюция плотности вероятности – моделирование инвестиционных ожиданий. Стандартное решение уравнения
Фоккера – Планка, его матричное представление. Проблема сохранения нормы. Уравнение Дынкина и оценка производных финансовых инструментов.
Понятие нелинейности. Теории бифуркаций, катастроф и хаоса.
Виды катастроф. Катастрофа типа
«сборка» в применении к прогнозированию финансовых рынков
Метод пересечения уровней в стохастической теории катастроф
Бифуркационный анализ в финансовых
моделях. Бифуркационный анализ и
прогнозирование котировок
Итого
Аудиторные часы
СамостояЛек- Семи- Практительная
ции
нары
ческие заработа
нятия
8
8
Всего
часов
16
20
8
12
16
8
8
20
8
12
20
12
8
22
12
10
26
12
14
22
12
10
162
80
82
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Промежуточный Коллоквиум
Итоговый
Зачет
1 год
3
*
Параметры
4
*
Письменная самостоятельная работа с дополнительными материалами
Письменная работа на 60мин
Критерии оценки знаний, навыков
Итоговая оценка складывается из результатов итогового зачета (70%), оценки текущей
работы (5%) и оценки за коллоквиум (25%).
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Текущий контроль осуществляется в ходе учебного процесса и консультирования студентов, по результатам выполнения самостоятельных работ.
Промежуточный контроль состоит в оценке качества навыков самостоятельной работы
с дополнительными материалами на коллоквиуме.
Итоговый зачет проводится в форме письменного тестирования (60 минут).
6.1
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Прямое и обратное уравнения Колмогорова. Дифференциальные
уравнения Фоккера – Планка и Дынкина. Понятие об операторе на бесконечно малых.
Параметризующие функции – принятые в литературе и как собственные функции интегральных
операторов. Связь с функциями неприятия риска и функциями полезности. Линейные уравнения Фоккера – Планка, решение разделением переменных, связь с полиномиальными и тригонометрическими базисными функциями линейных пространств. Стандартное решение в виде
разложения в ряд по базисным функциям. Стационарные общие решения как экспоненциальные функции плотности вероятности. Нелинейные уравнения Фоккера – Планка, их сведение к
типам уравнений, разрешимым в явном виде.
Обратное уравнение Колмогорова и оператор Дынкина как базовый формализм для оценки
производных финансовых инструментов.
20 часов.
Основная литература:
Сансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / перевод с итальянского Н.Я. Виленкина. – Москва.: Изд-во иностранной литературы, 1953 г. – 345 с.
Далецкий, Ю. Л., Крейн, М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве – Москва.: Изд-во «Наука», 1970г. – 536 с.
Дополнительная литература:
Романовский, П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа - Москва.: Изд-во «Наука», 1980 г. – 336 с.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
Хатсон, В., Пим Дж. Приложение функционального анализа и теории операторов / перевод с
английского Н.И. Плужниковой, В.И. Авербуха; под редакцией А.А. Кирилова. – Москва.: Издво «Мир», 1983г., - 432 с.
Раздел 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода и задача очистки ценового сигнала от шума. Уравнение Вольтерры и метод резольвент.
Диффузионные операторы, связанные с финансовым рынком в целом и с конкретными ценовыми процессами. Функции плотности вероятности, соответствующие равновесным формализмам, основанным на подходе К.Якверта и на понятии стохастического ядра ценообразования.
Получение базисов линейных пространств на матрицах начальных моментов функций плотности вероятности (операторы Гамбургера и Ганкеля). Полиномиальные и тригономтерические
базисы. Гипотеза о зашумлённости эмпирически оцениваемого распределения для ценового
процесса воздействием ядра интегрального уравнения, несущего информацию о диффундирующей рыночной среде. Стандартные методы решения интегрального уравнения типа уравнения
Фредгольма второго рода как способы очистки эмпирических распределений ценового сигнала
от искажений (дополнительной неопределённости), привнесённых рыночной средой.
Интегральное уравнение Вольтерры. Понятие о резольвенте и решение уравнения Вольтерры.
26 часов.
Основная литература:
Васильева, А.Б., Тихонов, Н.А. Интегральные уравнения – СПБ.: Изд-во «Лань», 2009г. – 160 с.
Петровский, И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений – Москва.: Изд-во «Наука», 1965г.
– 130 с.
Дополнительная литература:
Раздел 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода как некорректная задача. Основы интегро-дифференциальных уравнений.
Интегральное уравнение типа уравнения Фредгольма первого рода. Интегральное уравнение
первого рода как некорректная задача. Регуляризация как метод решения такого рода задач.
Использование интегрального уравнения Фредгольма первого рода для очистки зашумлённого
ценового сигнала – восстановления «истинной» функции плотности вероятности.
22 часа.
Основная литература:
Васильева, А.Б., Тихонов, Н.А. Интегральные уравнения – СПБ.: Изд-во «Лань», 2009г. – 160 с.
Петровский, И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений – Москва.: Изд-во «Наука», 1965г.
– 130 с.
Дополнительная литература:
Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа – Москва.: Изд-во
«Наука», 1976г. – 543 с.
Морен, К. Методы Гильбертова пространства / перевод с польского В.Э. Лянце; под редакцией
Ю. М. Березанского, Е.А. Горина. – Москва.: Изд-во «Мир», 1965г. – 570 с.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
Раздел 4. Эволюция плотности вероятности – моделирование инвестиционных ожиданий. Стандартное решение уравнения Фоккера – Планка, его матричное представление. Проблема сохранения нормы. Уравнение Дынкина и
оценка производных финансовых инструментов.
Несоответствие стандартного решения уравнения Фоккера – Планка, построенного изначально
для задачи распространения тепла, эмпирической картине эволюции инвестиционных ожиданий во времени. Решение в форме матричного представления. Проблема выбора базиса пространства, выбор между базисом, основанным на моментах самой эволюционирующей функции
плотности вероятности, и базисами, отвечающими равновесным распределениям. Теорема Парсеваля, лемма Мюррея и пути управления нормой эволюционирующего распределения в целях
обеспечения реалистичной картины эволюции инвестиционных ожиданий. Понятие об унитарных операторах. Содержательная связь с поведенческими финансами.
26 часов.
Основная литература:
Voit, J. The statistical mechanics of financial markets – New York : Springer, 2005. – 378 p.
Дополнительная литература:
Ingersoll J., Jr. Theory of Financial Decision Making / Rowman & Littlefield Publishers, 1987
Беллман, Р. Калаба, Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи / перевод с английского И.А. Вателя, Ф.И. Ерешко; под редакцией Ф.Л. Черноусько. – Москва.: Изд-во «Мир», 1968
г. – 183 с.
Раздел 5 Понятие нелинейности. Теории бифуркаций, катастроф и хаоса.
Проявления нелинейности в фундаментальных науках. Три требования к возникновению инноваций. Поток энтропии и производство энтропии. Корреляции и взаимодействие. Амплитуда и
длина корреляции. Равновесные и неравновесные системы. Фракталы, странные аттракторы.
Чувствительность к начальным условиям. Размерность системы по Грассбергу-Прокаччиа. Теорема Таккенса.
6 часов.
Основная литература:
Пригожин И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. М.: Либроком, 2009. Главы 3-4.
Дополнительная литература:
S. Wiggins. Introduction to Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer, 1991.
C.H. Hommes (2001): Financial markets as nonlinear adaptive evolutionary systems,
Quantitative Finance, 1:1, 149-167
Раздел 6. Катастрофа типа «сборка» в применении к прогнозированию финансовых рынков.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
Основные понятия теории катастроф. Основные типы катастроф. Стохастическая теория катастроф. Катастрофа типа сборка как упреждающий сигнал кризисных явлений на финансовых
рынках. Принцип эмпирической оценки катастрофы типа сборка. Включение объясняющих переменных для моделирования параметров модели. Прогнозирование волатильности на основе
теории катастроф.
8 часов
Основная литература:
Cobb L. Statistical Catastrophe Theory: an Overview // Mathematical Modelling. 1980. No. 1. P. 311 317.
Barunik J., Vosvrda M. Can a stochastic cusp catastrophe model explain stock market crashes? // Journal of Economic Dynamics & Control. 2009. No.33. P.1824 – 1836.
Дополнительная литература:
Cobb L. Stochastic Catastrophe Models and Multimodal Distributions // Behavioral Science. 1978. No.
23. P. 360 - 374.
Cobb L. Stochastic Differential Equations for the Social Sciences. N.Y.: Westview Press. 1981. P. 26.
Cobb L. Parameter Estimation for the Cusp Catastrophe Model // Behavioral Science. 1981. No. 26. P.
75 - 78.
Cobb L., Koppstein P., Chen N.H. Estimation and Moment Recursion Relationships for Multimodal
Distributions of the Exponential Family // Journal of the American Statistical Association. 1983.
No.78. P. 124 - 130.
Cobb L., Shelemyahu Z. Nonlinear Time Series Analysis for Dynamic Systems of Catastrophe Type //
Nonlinear Time Series and Signal Processing / Ed. by R.R. Mohler. – B.: Springer-Verlag. 1988. P. 97
- 118.
Раздел 7. Метод пересечения уровней в стохастической теории катастроф.
Проблемы эмпирической оценки в стохастической теории катастроф. Инвариантность
модели. Исчисление Ито и Стратоновича. Достижение инвариантности функции распределения. Лемма Флоренса. Построение функции распределения методом пересечения уровней по финансовым данным.
6 часов.
Основная литература:
Eric-Jan Wagenmakers, Peter C.M. Molenaar, Raoul P.P.P. Grasman, Pascal A.I. Hartelman,
Han L.J. van der Maas. Transformation invariant stochastic catastrophe theory // Physica D.
2005. No. 211.P. 263–276
Дополнительная литература:
D. Florens, Statistics on crossings of discretized diffusions and local time, Stochastic Processes
Appl. 39 (1991) 139–151.
Раздел 8. Бифуркационный анализ в финансовых моделях
Основные понятия теории бифуркаций. Типы бифуркаций. Три признака приближения системы
к точке бифуркации. Бифуркационный анализ на примере квадратичное отображение. Эффект
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
нарастание шума при приближении к точке бифуркации. Определение точки бифуркации по
нарастанию шума (обратная задача). Бифуркации в финансовых моделях.
8 часов.
Основная литература:
Wanfeng Yan, Ryan Woodard, Didier Sornette. Diagnosis and Prediction of Tipping Points in Financial Markets: Crashes and Rebounds. Physics Procedia 00 (2010) 1–17
М.-Г. М. Зульпукаров, Г. Г. Малинецкий, А. В. Подлазов. Обратная задача теории бифуркаций /
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук Препринт.
2005.
Marten Scheffer, Jordi Bascompte, William A. Brock, Victor Brovkin, Stephen R. Carpenter, Vasilis
Dakos, Hermann Held, Egbert H. van Nes, Max Rietkerk & George Sugihara. Early-warning signals
for critical transitions. Nature Reviews. Vol 461, September 2009.
Кравцов. Ю.А. Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах. ЖЭТФ, 2001, 6.
С. 1527-1534.
Дополнительная литература:
C.H. Hommes (2001): Financial markets as nonlinear adaptive evolutionary systems,
Quantitative Finance, 1:1, 149-167
8
Образовательные технологии
Лекции, решение и обсуждение кейсов, домашняя и самостоятельная подготовка. Решение задач в среде MathCad.
Методические рекомендации преподавателю
Курс предлагается в форме цикла лекций.
В качестве самостоятельной работы предлагается чтение слушателями курса дополнительных материалов, предлагаемых в данной программе.
Индивидуальная работа преподавателя со студентами предусматривает консультации
преподавателя по темам дисциплины.
Программой предусмотрено проведение коллоквиума.
8.1
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Как соотносятся теория хаоса, теория катастроф и теория бифуркаций?
2. Основные типы катастроф.
3. Катастрофа типа «сборка» в применении к финансовым рынкам.
4. Проблема инвариантности статистических оценок катастрофы типа сборка.
5. Метод пересечения уровней.
6. Основные типы бифуркаций.
7. Три признака приближения системы к точке бифуркации.
8. Механизм возникновения предбифуркационого шума.
9. Построение бифуркационной диаграммы для квадратичного отображения.
10. Прямое и обратное уравнение Колмогорова. Прямое уравнение: способы решения
уравнения Фоккера – Планка.
11. Уравнение Дынкина, оператор на бесконечно малых. Способы решения.
12. Применение обратного уравнения Колмогорова / оператора Дынкина при оценке
производных финансовых инструментов.
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дифференциальные и интегральные операторы в прогнозировании финансовых рынков» для направления 080100.68 «Экономика» подготовки магистра
13. Виды интегральных уравнений: уравнения первого и второго рода; уравнения Фредгольма и Вольтерры.
14. Решение уравнения Фредгольма второго рода как очистка зашумлённого ценового
сигнала. Проблема выбора базиса.
15. Решение уравнения Фредгольма первого рода как восстановление «истинной» функции плотности вероятности. Понятие некорректной задачи.
16. Ограниченность физикалистского подхода к финансовым задачам и способы преодоления этой ограниченности.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских и практических занятиях:
оценки за работу на практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость.
Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских и практических занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = 0,15·Оаудиторная + 0,85·Околлоквиум;
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Оитоговый = 0,7·Озачет + 0,3·Отекущий
Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме зачета – арифметический, в пользу студента.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ki = 1, при этом, 0,2 ≤ k1 ≤ 0,8 (согласно Положению об организации контроля знаний, утвержденному УС НИУ ВШЭ от 24.
06.2011,протокол №26).
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Базовый учебник по дисциплине отсутствует.
11.2 Рекомендуемые ресурсы
Мир математических уравнений (http://eqworld.ipmnet.ru)
10