1 § 5. Интегралы и их приложения 5.1. Основные определения и

§ 5. Интегралы и их приложения
5.1. Основные определения и формулы.
5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
5.3. Интегрирование по частям.
5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций.
5.6. Приложения определенного интеграла.
5.1. Основные определения и формулы. Функция F(x) является первообразной функции f(x), если на некотором множестве X выполняется равенство
F(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается  f ( x)dx . При этом, если F(x) – какая-либо из
первообразных f(x), то
 f ( x)dx  F ( x)  C , константа C пробегает все множество
действительных чисел. В таблице 2 приводятся основные формулы, в которых
u=u(x).
Таблица 2
du
1)  du  u  C
10) 
 arctgu  C
2
1

u
 1
u
2)  u du 
 C ,   1
du
1
u
 1
11)  2
 arctg  C
2
a u
a
a
du
3) 
 ln | u | C
du
1 u 1
u
 ln
C
12)  2
u 1 2 u 1
4)  sin udu   cos u  C
du
1
ua
5)  cos udu  sin u  C

ln
C
13)  2
u  a 2 2a u  a
du
6) 
 tgu  C
du
14) 
 arcsin u  C
cos 2 u
2
1 u
du
7)  2  ctgu  C
du
u
sin u
15) 
 arcsin  C
a
a2  u 2
8) eu du  eu  C ,

au
9)  a du 
C
ln a
u
16)

du
u k
2
 ln | u  u 2  k | C , k  R
Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул
11), 13) и 15) соответственно.
2
Если f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ,
(5.1)
a
где F(x) – какая-либо первообразная для f(x). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.
И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):
 ( Af ( x)  Bg ( x))dx  A f ( x)dx  B  g ( x)dx ,
b
b
b
a
a
a
 ( Af ( x)  Bg ( x))dx  A f ( x)dx  B  g ( x)dx .
Пример 5.1. Найти: а)

x  x 1
dx ; б)
x
3
 (x
2
 5 x  3)dx .
1
Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем
свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

x  x 1
1 1
dx

dx  1 
  dx  5 dx  x 1/ 2 dx 

x
x
x x

x1/ 2
 x
 ln | x | C  x  2 x  ln | x | C.
1/ 2




В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):
3

1
3
3
3
3
3
x3
5x
3
( x  5  3)dx  x dx  5 dx  3 dx 

 3x 1 
3 1 ln 5 1
2
x

1
2

1
x

1
1
1 3 1
26 120
44 120
 (33  13 ) 
(5  5 )  3(3  1) 

6

.
3
ln 5
3 ln 5
3 ln 5
5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.
3
Пример 5.2 Найти: а)

cosln x
dx ; б)
x
3

0
x2
dx .
9  x6
Решение. В примере а) можно заметить, что
dx
 d ln x , а затем воспользоx
ваться формулой 5) при u=lnx:
cosln x
dx  cosln xd ln x  sin ln x  C.
x


1
В случае б) x 2 dx  dx3 , а потому в силу 11) при u  x3 получим:
3
3

0
3
x2
1
dx3
1 1
x3
dx



arctg
9  x6
3 9  ( x3 ) 2 3 3
3

0
3

0
 1
1
3 3

  arctg
 arctg 0   (arctg 3  0)  .
9
3
27
 9
Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:
1
d ( x n1 )
; e x dx  de x ; cos xdx  d sin x ; sin xdx  d cos x ;
dx  d (ax  b) ; x n dx 
a
n 1
dx
 dtgx ;
cos 2 x
dx
 dctgx ;
sin 2 x
dx
 dartcgx ;
1  x2
dx
1  x2
 d arcsin x .
Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы
интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:
x3  dt  dx 3  dt 
3
3 3
x2
1
dt
2
2
dx

3
x
dx

dt

x
dx

dt
/
3;


9  x6
3 9  t2
0
0
x  0  t  0; x  3  t  3 3


3 3
1 1
t
  arctg
3 3
30
1

 (arctg 3  arctg0)  .
9
27
В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в
выражении присутствует иррациональность вида n ax  b , то можно положить
t  n ax  b или ax  b  t n .
4
Пример 5.3 Найти: а)


dx
; б)
x 2x  3
2

x 3 1  xdx .
1
Решение. В случае а) имеем
2 x  3  t; 2 x  3  t 2 ;
dx
tdt
dt
2
t


2 2

arctg
C
2
2
((t  3) / 2)t
t 3
x 2 x  3 x  (t  3) / 2  dx  tdt
3
3


(после замены применили табличную формулу 11)).
При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.
3
7
x
0
3
1  xdx 
1  x  t 3 ; x  t 3  1;
dx  3t dt ;
2

1

 (t  1)t 3t dt  (t 6  t 3 )dt 
2
x  0  t  1; x  7  t  2
3
2
1
1
 t 7 2 t 4 2    27 1   24 1    127 15 
508  105 1209
  3          3
 3

   3

.
 7 1 4 1   7 7   4 4   7
4
28
28


5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид
 udv=uv- vdu ,
для определенного
b
(5.2)
b
b
 udv  uv   vdu  u(b)v(b)  u(a)v( a)   vdu ,
b
a
a
a
(5.3)
a
При этом важно учитывать следующее.
1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на
функции sin x, cos x, e x , a x , то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся
под знаком интеграла выражение относится к dv.
2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические
( arctgx, arcctgx, arcsin x, arccosx ) или логарифмические ( ln x, lg x, log a x )
функции, то в качестве u выбирается одна из них.
Пример 5.4. Найти: а)  ln(3x  2)dx ; б)
ln 2
 xe
x
dx .
0
Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно,
3dx
полагаем u  ln(3x  2) . Тогда du   ln(3x  2)  ' dx 
. Далее, dx  dv , а пото3x  2
5
3xdx
. В полученном
3x  2
интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда
степень числителя не меньше степени знаменателя):
3x
3x  2  2
2
.

1
3x  2
3x  2
3x  2
Окончательно решение выглядит так:
му v   dx  x . Следовательно,  ln(3x  2)dx  ln(3x  2)  x  

3xdx
2 

 x ln(3x  2)  1 
 dx 
3x  2
 3x  2 
dx
2 d (3x  2)
 x ln(3x  2)  dx  2
 x ln(3x  2)  x 

3x  2
3
3x  2
2
 x ln(3x  2)  x  ln(3x  2)  C.
3
ln(3x  2)dx  ln(3x  2)  x 





В примере б) используем (5.3) и первое из правил.
u  x  du  dx
ln 2

x
xe dx 
0

x
x
dv  e dx  v  e dx  e
ln 2
 (ln 2  e
ln 2
 ln 2
 0) 

e x dx  
0
x
  xe
 x ln 2
0


(e x )dx 
0
ln 2  x ln 2
ln 2 1
1  ln 2
e

 (  1) 
.
0
2
2
2
2
5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата
и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10)-16).
dx
dx
xdx
Пример 5.5. Найти: а)
;
б)
;
в)
.
2
x 2  3x  3
x2  4 x  6
3  6x  x
Решение. В случае а) действуем следующим образом:
3
9
3
21
x 2  3x  3  ( x  ) 2   3  ( x  ) 2  ,
2
4
2
4
поэтому (с учетом 13) )



6

x  3/ 2  t ,
dx
dx
dt




2
3 2 21
21
dx

dt
x  3x  3
2
(x  ) 
t 
2
4
4


3

1
t  21 / 2
1
2

ln
C 
ln
2( 21 / 2) t  21 / 2
21
3
x 
2
x
21
2  C  1 ln 2 x  3  21  C.
21
21 2 x  3  21
2
При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе ( x 2  4 x  6  ( x  2)2  4  6  ( x  2)2  2 ), получим:

x  2  t,
xdx
xdx
(t  2)dt
tdt
dt

 x  t  2, 
 2
2 2
.
2
2
x  4x  6
( x  2)  2
t 2
t 2
t 2
dx  dt

2



dt
1
t

arctg
C .
2
2
2
В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:
tdt
1 d (t 2  2) 1

 ln | t 2  2 | C .
2
2
t 2 2
t 2
2
Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x, получаем:
Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем:


t
2

xdx
1
1
x2
 ln | ( x  2) 2  2 | 2
arctg
C 
x  4x  6 2
2
2
1
x2
 ln | x 2  4 x  6 |  2arctg
 C.
2
2
2
В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:
3  6 x  x 2    x 2  6 x  3    ( x  3) 2  9  3    ( x  3) 2  12   12  ( x  3) 2 .
Далее проводим замену переменной ( x  3  t , dx  dt ) и окончательно имеем:

dx
3  6 x  x2


dx
12  ( x  3) 2


dt
12  t 2
 arcsin
t
x3
 C  arcsin
 C.
12
12
5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида sin m x cos n x (где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.
7
1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»:
sin   (1  cos 2 ) / 2 ; cos2   (1  cos2 ) / 2 .
2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например,
n=2k+1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. cos xdx  d sin x ). В оставшемся выражении
cos 2 k x с помощью основного тригонометрического тождества sin 2 x  cos2 x  1
выражают через sin x ( cos2 k x  (cos2 x)k  (1  sin 2 x)k ). После преобразования
подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида  sin xd sin x , каждый из которых можно
2
sin 1 x
найти с помощью формулы 2) из таблицы 2:  sin xd sin x 
C.
 1
Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы
1
(5.4)
sin( x)cos(  x)  sin(   ) x  sin(   ) x  ;
2
1
(5.5)
cos( x)cos(  x)   cos(   ) x  cos(   ) x  ;
2
1
(5.6)
sin( x)sin(  x)   cos(   ) x  cos(   ) x  .
2

Пример 5.6. Найти: а)  sin 5 x cos 4 xdx ; б)  sin15 x cos 4 xdx ; в)  sin 4 2xdx .
Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx,
поэтому действуем по второму правилу, учитывая, что sin xdx  d cos x .
 sin x cos xdx   sin x cos x sin xdx   sin
   (1  cos x) cos xdx    (1  2cos x  cos
5
4
4
2
2
4
4
2
4
x cos 4 xd (cos x) 
4
x)cos4 xd (cos x) 
cos5 x
cos7 x cos9 x
   (cos x  2cos x  cos x)d (cos x)  
2

 C.
5
7
9
4
6
8
В примере б) воспользуемся формулой (5.4), линейностью неопределенного
1
интеграла, равенством dx  dax и табличной формулой 4):
a



sin15 x cos 4 xdx 

1
2
 sin19 x  sin11x  dx 
1 1
1 1
1
1

sin19 xd (19 x)  
sin11xd (11x)   cos19 x  cos11x  C.
2 19
2 11
38
22
8
В случае в) последовательно понижаем степень, учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные
формулы:
2
 1  cos 4 x 
4
2
2
sin 2 xdx  (sin 2 x) dx  
 dx 
2





1
1  cos8 x 
4 x  dx   dx  2 cos 4 xdx 
dx  
4
2

1 3
2
1
1
1
 3
 
dx 
cos 4 xd (4 x) 
cos8 xd (8 x)dx   x  sin 4 x  sin8 x  C.
4 2
4
2 8
8
64
 8

1
4

 1  2cos 4 x  cos

2




5.6. Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной
трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b]
функции f(x), называется область, ограниченная графиком функции y=f(x), осью
OX и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Коротко это можно записать так:
T f  ( x, y ) : a  x  b,0  y  f ( x) (см. рис.3).
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что
площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле
b
ST f   f ( x )dx
(5.7)
a
Если область на плоскости имеет вид T  ( x, y) : a  x  b, g ( x)  y  f ( x) (см.
рис.4), причем от обеих функций требуется только непрерывность, то справедлива
формула
b
b
b
a
a
a
ST   f ( x)dx   g ( x)dx    f ( x)  g ( x)  dx .
Рис. 3
Рис. 4
(5.8)
9
Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной:
а) осью ОХ и линиями y  x, y  1/ x, x  2 ;
б) графиками функций y 2  2 x, x  y  4 .
Решение. Предварительно необходимо построить соответствующие графики
и определить область, площадь которой нужно найти. Для случая а) это сделано
на рис.5. Очевидно, что заштрихованная область представляется в виде объединения двух криволинейных трапеций: T1  ( x, y) : 0  x  x1,0  y  x и
T2  ( x, y) : x1  x  2,0  y  1/ x . Здесь x1 – абсцисса точки пересечения графиков функций y  x, y  1/ x . Нужное значение найдем, решая соответствующую
систему уравнений:
 yx
 yx
y  x

 2

 y  1/ x  x  1/ x
x  1
Таким образом, выбираем решение x1  1 (с учетом того, что x1  0 ). Площади
криволинейных трапеций T1 и T2 находим по формуле (5.7), а затем суммируем,
чтобы получить область всей интересующей нас области:
1
1
x2
1
ST1   xdx 
 ;
2 0 2
0
2
1
1
2
ST2   dx  ln x 1  ln 2; S  ST1  ST2   ln 2 .
x
2
1
В случае б) графики и область, площадь которой надо найти, изображены на
рис.6. Очевидно, что мы имеем дело с объединением двух областей. При этом


T1  ( x, y) : 0  x  x1,  2 x  y  2 x (эта криволинейная трапеция состоит из
двух симметричных относительно оси OX частей, поэтому ST1  2ST ' , где


1


T1'  ( x, y) : 0  x  x1,0  y  2 x ) и T2  ( x, y) : x1  x  x2 ,  2 x  y  4  x . Как и
выше, x1 и x2 - абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая
систему уравнений:
(4  x)2  2 x  x 2  10 x  16  0
 y2  2x



,

y

4

x
y

4

x
x  y  4 


откуда x1  2 и x2  8 . Для вычисления площади криволинейной трапеции T1' применяем формулу (5.7), для вычисления площади T2 - (5.8):
2
ST '  
1
0
2
2
2
2
8
2 xdx  2  x dx  2  x3/ 2  2   23  ;
3
3
3
0
0
1/ 2
10
8
8
8
x2
2
ST2   (4  x  ( 2 x ))dx   (4  x  2 x )dx  (4 x   2  x 3/ 2 ) 
2
3
2
2
2
1/ 2
 (4  8 
64
2
4
2
2
8 38
 2   83 )  (4  2   2   23 )  0   32  6   .
2
3
2
3
3
3 3
8 38
Окончательно имеем: S  ST1  ST2  2ST '  ST2  2  
 18.
1
3 3
Рис. 5
Рис.6