L7-1

Лекция 7
Закон сохранения энергии
Теорема о кинетической энергии. Диссипативные силы и их работа. Силы
сухого и мокрого трения. Механическая энергия системы. Закон сохранения
энергии. Финитное и инфинитное движение. Равновесие тел в потенциальном
поле.
Теорема о кинетической энергии.
Пусть в выбранной ИСО частица массы m движется под действием силы F. определим
элементарную работу силы на элементарное перемещение частицы dr. Учитывая, что
F m
dv
, dr  vdt ,
dt
(7.1)
Получим
 A  Fdr  mvdv  mv(dv)v .
Так как проекция вектора
скорости, то
dv
на направление
v
(7.2)
равна приращению модуля вектора
 A  mvdv  d  mv2 2 .
(7.3)
Элементарная работа равнодействующей силы равна приращению величины
K
mv 2
2
,
(7.4)
которая называется кинетической энергией. Значит, работа равнодействующей силы на
элементарное перемещение частицы ведет к приращению ее кинетической энергии (теорема о
кинетической энергии):
dK   A .
(7.5)
В случае конечного перемещения частицы, будем иметь
A  K 2  K1 ,
(7.6)
то есть работа равнодействующей силы, действующей на частицу, независимо от
природы этой силы, равна приращению кинетической энергии частицы. Если работа
положительна, то кинетическая энергия частицы возрастает. Силы сопротивления
уменьшают кинетическую энергию частицы.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n частиц, которые имеют кинетические
энергии
K1 , K 2 ,..., K n .
Согласно (7.5), приращение кинетической энергии i-той частицы равно
работе равнодействующей силы, действующей на эту частицу:
действующих на систему, будет
dK i   Ai .
Полная работа сил,
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 A   Ai   dKi  d  Ki  dK ,
(7.7)
где величина
mi vi2
K   Ki  
2
i 1
i 1
n
n
(7.8)
есть сумма кинетических энергий составляющих систему частиц, и называется кинетической
энергией системы. Следовательно, кинетическая энергия – величина аддитивная.
Полученный результат (7.8) – полная работа сил, действующих в системе, равна
приращению ее кинетической энергии – известна как теорема о кинетической энергии.
Так как кинетическая энергия – квадратичная функция скорости, то ее значение зависит от
выбранной системы отсчета. Получим закон преобразования кинетической энергии при переходе
от одной системы отсчета к другой. Для этого рассмотрим кинетическую энергию системы в ИСО
К и K:
n
mi vi2
mi vi2

K
,K 
2
2
i 1
i 1
n
.
(7.9)
Если K  движется относительно К со скоростью u , то согласно преобразованиям Галилея
vi = vi´+ u, так что


2
mi 
mu 2
K 
v i u  K
 uP .
2
i 1 2
n
Здесь
m   mi
– полная масса системы, а
P   mi vi  mvc –
(7.10)
полный импульс в
K,
который можно представить через скорость центра инерции:
K  K   mu 2 / 2  muvc .
K  неподвижен, т.е. K 
vc  0 и из (7.11) получим
Если центр инерции системы в
скоростью
vc ), то в этом случае
mvc 2
K K 
2
(7.11)
является С системой (движется со
.
(7.12)
Это теорема Кенига. Первый член правой части (7.12) – это кинетическая энергия в С
системе. Значит, (7.12) представляет собой формулу перехода из лабораторной СО в систему С,
а (7.11) – из К в произвольную систему
K.
Неконсервативные силы, их работа.
Действующие в системе силы мы разделили на внешние и внутренние, а по характеру
совершаемой ими работы - на консервативные и неконсервативные силы. Работу
консервативных сил всегда можно представить в виде убыли скалярной функции потенциальной энергии, зависящей от координат.
Класс неконсервативных сил включает в себя различные взаимодействия: как полевого, так
и контактного характера. Вихревые электрические и магнитные поля, силы сухого и мокрого
трения, химические и мышечные силы – примеры неконсервативных сил. Здесь мы обсудим два
важных класса неконсервативных сил. Это гироскопические и диссипативные силы.
Гироскопическими называются силы, работа которых равна нулю при любом
перемещении частицы. Представителем этого класса является сила Лоренца, действующая
на движущийся со скоростью v заряд в магнитном поле с индукцией B :
F  q  vB 
.
(7.13)
Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряда и, следовательно, работы не
совершает:
 A  q[vB]dr  q[vB]vdt  0.
Гироскопические силы не имеют вклада в баланс энергии системы.
Диссипативные силы – это силы трения и сопротивления. Выяснение физической
природы диссипативных сил выходит за рамки механики. Отметим только, что это сложно
устроенные силы электромагнитной природы. Так что, здесь мы ограничимся изложением
экспериментально полученных законов трения.
В отличие от сил упругости, кулоновских сил и сил всемирного тяготения, которые зависят
только от взаимного положения взаимодействующих частиц, силы трения зависят от
относительных скоростей диссипативно взаимодействующих тел. Любую силу диссипативного
взаимодействия можно представить в виде
F  k  v  v, k  v   0 ,
где
v
– относительная скорость взаимодействующих тел, а
k v
(7.14)
– положительная функция.
Диссипативная сила всегда направлена обратно относительному движению тел.
Диссипативные силы также можно делить на внешние и внутренние. Например, в случае
движения автомобиля, силы, действующие на него со стороны воздуха и покрытия дороги, это
внешние диссипативные силы, а силы трения, действующие во внутренних узлах автомобиля внутренние диссипативные силы. Если нас интересует движение системы автомобиль + Земля,
то силы диссипативного взаимодействия автомобиля с покрытием дороги превратятся во
внутренние силы. Внешняя сила будет обусловлена диссипативным взаимодействием системы с
воздухом. Так что, для четкого различения внешних и внутренних сил, необходимо ясно
представлять себе из каких тел состоит система, движение которой требуется изучить.
а
б
в
рис. 7.1
Работа внешних диссипативных сил, в зависимости от выбранной системы отсчета,
может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть брусок равномерно
перемещается по поверхности стола со скоростью v (рис. 7.1а). Понятно, что работа силы
трения
Fтр
в системе отсчета, связанной со столом, отрицательна. Если это же движение
K 2 , двигающейся по направлению бруска со скоростью u  v , и в которой
брусок двигается в обратном направлении со скоростью v2  u  v , то работа силы трения будет
рассмотреть в ИСО
положительной (рис. 7.1в). В частном случае, когда система отсчета связана с самим бруском,
сила
Fтр
работы совершать не будет (рис. 7.1б).
рис. 7.2
Независимо от выбора системы отсчета, работа внутренних диссипативных сил
всегда отрицательна. Это утверждение мы докажем, представив внутренние диссипативные
силы как совокупность попарных диссипативных взаимодействий частиц. Общая формула для
диссипативных сил (7.14) для взаимодействия i-той и k-той частиц примет следующий вид:
Fik   k  vik  vik ,
(7.15)
vik  vi  vk – относительная скорость частиц (рис. 7.2). За элементарный промежуток
времени dt работа диссипативных сил в системе на элементарное перемещение i-той и k-той
частиц dri  vi dt , drk  vk dt будет
где
 Ai ,k  Fik vi dt  Fki vk dt ,
которая с учетом третьего закона Ньютона даст
 Ai ,k  Fik (vi  vk )dt  Fik vik dt .
Пользуясь формулой (8.15), для работы диссипативных сил, действующих между двумя
частицами, будем иметь
 Ai ,k  k  vik  vik2 dt  0 ,
которая, благодаря условию
k v  0 ,
(7.16)
является величиной отрицательной. Полная работа,
совершенная в системе диссипативными
диссипативного взаимодействия:
силами,
есть
сумма
дис
 Aвнут
  k  vik  vik2 dt  0 .
работ
всех
парных
сил
(7.17)
ik
Полученное выражение доказывает приведенное выше утверждение. Тот факт, что работа
внутренних диссипативных сил отрицательна в любой системе отсчета, следует из того, что эта
работа зависит только от относительных скоростей частиц, которые инвариантны относительно
преобразований Галилея.
Проиллюстрируем полученный результат на простом примере. Пусть доска, расположенная на столе, двигается так,
что брусок, положенный на эту доску, отстает от доски (рис. 7.3).
а
б
в
Рис 7.3
Так как нас интересует движение системы доска + брусок, то внутренними диссипативными силами в данном случае
F12 , действующая на брусок со стороны доски, и сила F21 , действующая на доску со стороны бруска,
которые, согласно третьему закону Ньютона: F12   F21 .
Определим работу этих сил за промежуток времени от t1 до t 2 отдельно для систем отсчета К, связанной со столом,
и K  - связанной с доской.
На рис. 7.3а, б изображены положения тел относительно стола в моменты времени t1 и t 2 . За промежуток времени
t 2 - t1 доска совершила перемещение s2 , а брусок – s1 . Рассчитаем работу сил трения на эти перемещения:
являются сила
дис
 Aвнут
 F12 s1  F21 s2   F12  s2  s1   0 .
(7.18)
Сила трения, действующая на брусок, совершила положительную работу, а работа силы трения, действующей на
доску, отрицательна. Так как по причине отставания бруска от доски брусок совершил меньшее перемещение
s
2
 s1  , то полная работа внутренних сил отрицательна.
Теперь рассмотрим то же самое явление в системе отсчета, связанной с доской. На рис. 7.3в изображены начальное
и конечное положения бруска в системе отсчета, связанной с доской. Понятно, что в этой системе отсчета доска
неподвижна и, следовательно, сила трения, действующая на нее, работы не совершает. Следовательно, полная работа
внутренних диссипативных сил в этой СО будет
дис 
 Aвнут
  F12 s1  0 .
(7.19)
Заметим, что в разных системах отсчета результаты, полученные для работы внутренних диссипативных сил,
совпадают:
дис
дис 
. В этом нетрудно убедиться, сравнивая (7.18) и (7.19) и учитывая преобразования Галилея
Aвнут
 Aвнут
s1  s1  s2 .
Обсудим различные виды диссипативных взаимодействий.