Неопределенный и определенный интегралы
реклама
Контрольная работа 5
Интегральное исчисление
Литература
[1], гл. XII-XIV; [2], т. 1, гл. 10-12; [3], гл. 5, 6; [4], гл. 7, 8; [5], гл. 8, 9; [6], 8, 9; [8].
Основные теоретические сведения
1. Определение первообразной функции (первообразной) и неопределенного интеграла. Пусть на интервале (a; b) задана функция f (x) .
Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке
(a; b) , если F ( x) f ( x) x (a; b) .
Теорема 1. Если F1 ( x) и F2 ( x) − две любые первообразные для функции f (x) на
(a; b) , то F1 ( x) F2 ( x) C const .
Следствие. Если F (x) − одна из первообразных для функции f (x) на (a; b) , то любая другая первообразная (x) для функции f (x) на промежутке (a; b) имеет вид
( x) F ( x) C , где C − некоторая постоянная.
Совокупность всех первообразных для функции f (x) на промежутке
(a; b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) на промежутке (a; b) и обозначается
f ( x)dx .
В силу следствия из теоремы 1
f ( x)dx F ( x) C ,
где F (x) − одна из первообразных для f (x) , C − некоторая постоянная.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1) d f ( x)dx f ( x)dx .
2)
dF( x) F ( x) C .
3) Линейность интеграла. Если существуют первообразные функции
56
f1 ( x) и f 2 ( x) , а c1 и c2 − любые вещественные числа, то существует первообразная функция для функции c1 f1 ( x) c2 f 2 ( x) , причем
c f ( x) c
1 1
2 f 2 ( x)
dx c1 f1 ( x)dx c2 f 2 ( x)dx .
3. При интегрировании наиболее часто используется следующие методы.
1. Если
f ( x)dx F ( x) C , то
f (ax)dx
1
a
F (ax) C,
f ( x b)dx F ( x b) C ,
(5.1)
f (ax b)dx
1
a
F (ax b) C
где a и b некоторые постоянные.
2. Простейшие приемы интегрирования, основанные на алгебраических
преобразованиях подынтегральных функций.
3. Подведение под знак дифференциала
f (u( x))u( x)dx f (u( x))d (u(x)) ,
(5.2)
так как u ( x)dx d (u( x)) .
4. Формула интегрирования по частям:
udv uv vdu .
(5.3)
Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не
вызывало особых трудностей. За u, как правило, принимается такая функция,
дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций,
интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида Pn ( x) f ( x) :
Pn ( x) e ax , Pn ( x) sin ax, Pn ( x) cosax, Pn ( x) ln x, Pn ( x) arcsinx, Pn ( x) arctgx ,
где Pn (x) многочлен от x
57
Указания
1. Правило выбора частей:
Если f (x) тригонометрическая или показательная функция, то
следует положить u Pn ( x), dv f ( x)dx .
Если f (x) логарифмическая или обратная тригонометрическая
функция, то u f ( x), dv Pn ( x)dx .
2. Интегрирование по частям можно применять несколько раз подряд.
3. Интегрирование по частям
e
ax
sin bxdx и некоторых других инте-
гралов можно привести к линейному уравнению относительно этих интегралов после двукратного применения формулы (5.3).
5. Интегрирование рациональных дробей, т. е. отношений двух многочленов Qm (x) и Pn (x) (соответственно m-й и n-й степени): R( x)
Qm ( x )
Pn ( x )
, сво-
дится к интегрированию правильных дробей. Если m n , то R(x) называется
правильной дробью, если m n неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель
можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби
Qm ( x)
Q ( x)
,
S n m ( x) k
Pn ( x)
Pn ( x)
где S nm ( x), Qk ( x) многочлены;
Например,
x4 4
x 2 3x 1
Qk ( x )
P( x )
правильная дробь (k n) .
неправильная дробь. Разделив ее числитель на
знаменатель (по правилу деления многочленов «уголком», см. пример 1 ”Дифференциальное исчисление“), получим
x4 4
2
x 3x 1
x 2 3x 10
33x 14
x 2 3x 1
.
Интегрирование правильных дробей сводится к разложению подынтегральной функции R (x) на простейшие, всегда интегрируемые дроби, вида
1.
58
A
A
Mx N
Mx N
; 2.
; 3. 2
; 4. 2
,
k
xa
( x a)
x px q
( x px q) k
(5.4)
где A, a, M, N, p, q постоянные числа; k целое положительное число, а трехчлен x 2 px q не имеет действительных корней.
6. Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность
состоит в переходе от переменной x к новой переменной t : x (t ) .
При выборе подстановки оправдан был бы выбор по принципу “что хуже, сложнее − принять за новую переменную t ”.
Два способа замены переменной
Переменную интегрирования в неопределенном интеграле можно заменить
любой непрерывной функцией:
x (t ),
f ( x)dx dx (t )dt f ( ) (t )dt .
(5.5)
Формула (5.5) определяет собой два способа замены переменной. При
чтении формулы слева направо получается способ I: x (t ), dx (t )dt . Если
f ( ) (t)dt
будет проще, чем интеграл
f ( x)dx , то эта замена переменной
целесообразна. При чтении справа налево получается способ II:
(t ) x,
f ( ) (t )dt (t )dt dx f ( x)dx .
Если последний интеграл проще первого, то замена переменной целесообразна
Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, т.
е. выбор функции (t ) , не всегда очевидна. Однако для некоторых часто
встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки, как
ax b
ax b
R x, n
dx, t n
;
cx
d
cx
d
R x,
a 2 x 2 dx, x a sin t ;
R x,
R x,
a
x 2 a 2 dx, x
,
sin t
a 2 x 2 dx, x a tg t ;
59
где R символ рациональной функции.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение первообразной функции для функции f (x) на
промежутке (a; b) .
2. Приведите примеры функций, имеющих первообразные.
3. Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той
же функции f (x) .
4. Что называется неопределенным интегралом?
5. Напишите таблицу основных интегралов.
6. Допишите формулы:
Если
kf ( x)dx ..., f ( x) f ( x)dx ... .
1
2
( x)
f ( x)dx F ( x) C , то f (ax b)dx ... . ( x) dx ...
7. Каковы простейшие свойства неопределенного интеграла?
8. Найдите
(2x 1) dx двумя способами: а) непосредственно как инте2
грал от степенной функции со сложным аргументом; б) раскрыв скобки и проинтегрировав полученную сумму. Покажите, что полученные результаты не
противоречат друг другу.
9. В чем состоит прием «прибавить-отнять»?
10. В чем состоит прием «умножить-разделить»?
11. Как выделить целую часть рациональной дроби
Pn ( x )
Qm ( x )
при n m ?
12. Как интегрировать четные положительные степени синуса или косинуса?
13. Как интегрировать положительные степени тангенса?
14. Какие можно два способа замены переменной?
15. Что значит подвести функцию под знак дифференциала?
16. Какие функции удобно интегрировать по частям?
17. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить с помощью метода интегрирования по частям.
18. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей I, II, III и IV типов.
19. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби в случае простых вещественных корней знаменателя.
60
20. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби в случае простых вещественных кратных корней знаменателя.
21. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на
простейшие дроби для случая, когда среди корней знаменателя имеются пары
простых комплексно-сопряженных корней.
22. Что такое метод неопределенных коэффициентов при разложении
дроби на сумму простейших дробей?
23. Что такое метод частных значений при вычислении неопределенных
коэффициентов?
x2
24. На какие простейшие дроби разлагается дробь
( x 1) 2 ( x 2 x 1)
?
25. Найдите методом частных значений неопределенные коэффициенты
в разложении дроби
x
( x 2)( x 3)
26. Найдите методом частных значений неопределенные коэффициенты
в разложении дроби
x2
2
( x 2)(x 2 3)
. У к а з а н и е . Положите y x 2 и затем
примените метод частных значений.
27. Какие подстановки рационализируют интеграл от дробно-линейной
иррациональности?
28. С помощью, каких тригонометрических подстановок вычисляются
интегралы
1 x 2 dx,
x 2 3dx,
x 2 3dx ?
29. Изложите методы нахождения интегралов вида
Rx; (ax b)
p
; (ax b) q ; ; (ax b) r dx ,
где p, q, , r − рациональные числа; R − рациональная функция.
30. Изложите метод нахождения интегралов вида
R(sin x : cos x)dx , где
R − рациональная функция.
4. Вычисление определенного интеграла. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
b
f ( x)dx F ( x)
a
b
F (b) F (a ) ,
(5.6)
a
если F ( x) f ( x) и первообразная функция F (x) непрерывна на отрезке [a; b] .
61
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми линиями x a, x b и частью графика функции y f (x) , взятой со знаком плюс, если f ( x) 0 , и со знаком минус, если
f ( x) 0 .
Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по тем же
правилам, что и в неопределенном интеграле, только нет обратного перехода
к исходной переменной, и есть новая операция − замена пределов интегрирования (новые пределы интегрирования вычисляются по старым пределам через
замену).
Самое главное при замене переменной
не забывать заменять пределы интегрирования.
Интегрирование по частям определенного интеграла. Для интегралов вида
b
P ( x) f ( x)dx , где
n
Pn (x) − многочлен, а f (x) − основная элементарная функ-
a
ция, применяется формула интегрирования по частям:
b
b
b
udv u v vdu .
a
a
(5.7)
a
Отличие от аналогичной формулы для неопределенного интеграла только в расстановке пределов.
Вычисление определенных интегралов с симметричными пределами. Если,
пределы интегрирования симметричны относительно нуля, то
если f ( x) f ( x),
0,
a
f ( x)dx
2 f ( x)dx, если f ( x) f ( x).
a
0
a
(5.8)
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.
62
b
2. Пусть
f ( x)dx 0,
f ( x) 0 . Как это истолковать геометрически?
a
a
3. Докажите, что
a
( x 2 )dx 2 ( x 2 ) dx .
a
0
4. Перечислите свойства определенного интеграла.
5. Каков геометрический смысл теоремы о среднем для определенного
интеграла?
6. Следует ли из интегрируемости суммы интегрируемость слагаемых?
7. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и
частного двух функций.
8. Интегрируема ли сумма двух функций, если одно слагаемое интегрируемо, а другое нет?
9. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и
частного двух функций.
10. Интегрируема ли сумма двух интегрируемых функций?
11. Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и
частного двух неинтегрируемых функций.
12. Пусть функция f (x) интегрируема на [a; c] и неинтегрируема на
.
[c; b] Что можно сказать о ее интегрируемости на [a; b] ?
13. При каких условиях справедлива формула Ньютона-Лейбница?
14. Перечислите условия, при выполнении которых справедливы:
а) формула замены переменной;
б) формула интегрирования по частям.
15. С помощью, каких подстановок вычисляются интегралы, содержащие дробно-линейные иррациональности?
16. Для вычисления, каких типов интегралов удобны тригонометрические подстановки?
17. Для вычисления, каких типов интегралов удобен метод интегрирования по частям?
5. Если интервал интегрирования [a; b] не ограничен (b или a ) или
функция f (x) не ограничена в окрестности одного из пределов интегрирования (ппр x a, x b, x c (a; b)) , то по определению полагают
f ( x)dx
a
lim
b
b
b
a
f ( x)dx, f ( x)dx
b
lim
a
f ( x)dx ,
(5.9)
a
и
63
b
b
f ( x)dx lim
0
a
b
b
f ( x)dx,
a
f ( x)dx lim
0
a
f ( x)dx .
a
(5.10)
c 1
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx .
a
1 0
2 0
a
c
2
Интегралы в левых частях равенств (5.9) и (5.10) называются несобственными
интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (5.9) и (5.10). Если же предел
не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
6. Вычисление площадей плоских фигур. Область называется правильной
относительно оси O y (Ox ) , если любая горизонтальная (вертикальная) прямая
пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область правильная относительно осей Ox и Oy, то она просто называется правильной областью. Области на рис. 6 правильные относительно оси O y , на рис. 7 относительно оси Ox .
у
y
d
c
О
a
b
x
Рис. 6.
O
x
Рис. 7.
Условимся дальше области, правильные относительно оси О y (Ox ) , штриховать
линиями, параллельными оси O y (Ox ) .
64
1. Если область G, правильная относительно оси O y , проектируется на
ось Ox в отрезок [a; b] , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением y f1 ( x) , и верхнюю, задаваемую
уравнением y f 2 ( x) . Тогда область G определяется системой неравенств
a x b,
G:
f1 ( x) y f 2 ( x),
а площадь фигуры, заключенной между кривыми y f 2 ( x) и y f1 ( x) , на
отрезке [a; b] вычисляется по формуле
b
S
f
2 ( x ) f1 ( x )
dx .
(5.11)
a
Если область G, правильная относительно оси Ox, проектируется на ось
Oy в отрезок [c; d ] , то ее граница разбивается на две линии: левую границу
области, задаваемую уравнением x g1 ( y) , и правую, задаваемую уравнением
x g 2 ( y) . В этом случае область G определяется системой неравенств
g ( y ) x g 2 ( y ),
G: 1
c y d,
а площадь фигуры, заключенной между кривыми x g 2 ( y) и x g1 ( y) , на
отрезке [c; d ] вычисляется по формуле
d
S
g ( y ) g ( y ) d y .
2
1
(5.12)
c
2. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями x (t ), y (t ) , то площадь криволинейной
трапеции
65
S (t ) (t ) d t ;
(5.13)
где и определяются из уравнений ( ) a и ( ) b .
3. В случае, когда непрерывная кривая задана в полярных координатах
уравнением r r ( ) , площадь криволинейного сектора O M 1 M 2 , ограниченного данной кривой и двумя полярными радиусами O M 1 и O M 2 , которые
соответствуют значениям 1 и 2 полярного угла, выражается интегралом
S
1
2
2
r
2
( )d .
(5.13)
1
7. Вычисление длины дуги
1. Пусть дуга AB кривой задана уравнением y f (x) , где f (x) непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги AB
b
l
1 ( y ) 2 dx .
(5.14)
a
2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
x x(t ) , y y(t ) , где x(t ), y(t ) непрерывно дифференцируемые функции,
длина дуги вычисляется по формуле
l
( xt ) 2 ( yt ) 2 dt .
(5.15)
Здесь α, β значения параметра t, соответствующие концам дуги AB.
3. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением
r r ( ) , то длина l дуги AB вычисляется по формуле
2
l
r 2 (r ) 2 d ,
1
где 1 и 2 соответствуют концам дуги AB.
66
(5.16)
8. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми линиями x a ,
x b, y 0 и частью графика кривой y f (x) , вращается вокруг оси Ox . Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле
b
b
f
a
a
V y 2 dx
(2x 3)
dx
Пример 1. Найти
2
2
( x)dx .
(5.17)
.
▲ Используя формулы (5.1), имеем
(2x 3)
dx
2
1 d (2 x 3) 1
1
(2 x 3) 2 d (2 x 3)
C .
2 (2 x 3) 2 2
2(2 x 3)
1
1 1
1 2
1
.▼
C
2 2x 3
2 (2 x 3)2 (2 x 3)2
2(2 x 3)
П р о в е р к а .
Пример 2. Найти
x(1 ln x) .
dx
▲ Применяя (5.2), получим
dx
x(1 ln x) x
dx
Пример 3. Найти
d (1 ln x)
d (1 ln x)
ln 1 ln x C . ▼
1 ln x
x cos 2xdx .
▲ Применяя формулу (5.3), имеем
du dx,
u x,
x cos 2 xdx
dv
cos
2
xdx
,
v
cos
2
xdx
0
.
5
sin
2
x
0.5x sin 2 x 0.5 sin 2 xdx 0.5x sin 2 x 0.25 sin 2 xd (2 x)
0.5 x sin 2 x 0.25 cos 2 x C .
▼
67
Пример 4. Найти
▲
e
2x
sin xdx .
du cos xdx,
u sin x,
e 2 x sin xdx
2x
2x
2x
dv e dx, v e dx 0.5 e
du sin xdx,
u cos x,
0.5 e 2 x sin x 0.5 e 2 x cos xdx
2x
2x
d v e dx, v 0.5 e
0.5 e 2 x sin x 0.5 0.5 e 2 x cos x 0.5 e 2 x sin xdx
0.5 e 2 x sin x 0.25 e 2 x cos x 0.25 e 2 x sin xdx .
Перенося последний интеграл в левую часть равенства, получим
1.25 e 2 x sin xdx 0.5 e 2 x sin x 0.25 e 2 x cos x C .
Следовательно,
e
Пример 5. Найти
2x
sin xdx 0.4 e 2 x sin x 0.2 e 2 x cos x C . ▼
3x 2 7 x 10
(x
dx .
4)( x 2)
▲ Рациональная подынтегральная дробь является правильной (см. методы
интегрирования 4) и разлагается на простейшие дроби вида (5.4):
2
3x 2 7 x 10
A
Mx N
.
( x 2 4)( x 2) x 2 x 2 4
Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он
совпадает со знаменателем исходной подынтегральной функции. Числители в
левой и правой частях последнего равенства будут тождественно равными, т.е.
3x 2 7 x 10 A( x 2 4) (Mx N )(x 2) .
68
Для нахождения неизвестного коэффициента A используем метод частных
значений, т. е. подставим вместо переменной x ее частное значение, совпадающее с вещественным корнем знаменателя, x 2 . Получим равенство 8 8 A , откуда
следует, что A 1 .
Для вычисления значений M, N используем метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного тождества, получаем систему уравнений
x2 3 A M ,
x 7 N 2M ,
Решение этой системы: M 2, N 3 . Таким образом,
3x 2 7 x 10
(x
2
2x 3
1
dx
2
dx
4)( x 2)
x2 x 4
x
3
dx
2
4
x2 x
dx
2 xdx
2
4
d ( x 2)
d ( x 2 4)
dx
3 2
2
x2
x 4
x 4
ln | x 2 | ln( x 2 4) 1.5 arctg 2x C . ▼
8
Пример 6. Найти
3
xdx
1 x
.
1 x t , dx 2tdt, x 3 8
t 2 3
1 x x t 2 1
8
xdx
3
3
2
(t 2 1)2t
dt
t
t3 3
8
32
2 (t 2 1)dt 2 t 2(9 3) 2 2
.▲
3
2
3
3
2
3
Пример 7. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи
мость: 1)
x
1
dx
2
4 x 13
4
; 2)
sin
0
dx
2
x
.
69
▲ 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным
верхним пределом интегрирования. Согласно определению (5.9), имеем
x
b
dx
4 x 13
2
1
lim
b
( x 2)
dx
1
2
9
1
x2
arctg
b 3
3
lim
b
1
1
b2
1
lim arctg
arctg1
.
3 b
3
3 2 4 12
2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной
функции; функция f ( x) 12 терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе
sin x
при x 0 . Согласно определению (5.10) получаем
4
sin
0
4
dx
2
x
lim
0
sin
dx
2
x
lim tg x
0
4
1 lim tg 1 .
0
Оба несобственных интеграла сходятся. ▼
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 3x x 2 и
y x .
▲ Находим точки пересечения данных кривых:
y 3x x 2 ,
x 3x x 2 , x( x 4) 0, x1 0, x2 4,
y x,
y1 0, y2 4.
y x,
y x,
у
y x
2
х
−2 −1 O
1
2
y 3x x 2
−2
−4
Рис.8
70
3
4
0 x 4,
Следовательно, по формуле (5.11) имеем (см. рис. 8)
2
x y 3x x ;
3x x
4
S
2
0
x 3 4 32
( x) dx (4 x x 2 )dx 2 x 2
.▼
3 0 3
0
4
Пример 9. Вычислить длину одной арки циклоиды
x a(t sin t ) , y a(1 cost ) .
▲ Поскольку все арки циклоиды одинаковы, рассмотрим ее первую арку,
вдоль которой параметр t изменяется от 0 до 2 (см. рис. 9). Тогда, согласно
формуле (5.15), имеем xt a(1 cos t ), yt a sin t ,
у
2
О
2
4
Рис. 9
2
l
a
1 2 cos t cos 2 t sin 2 t dt
0
2
х
2
a 2 (1 cos t ) 2 a 2 sin 2 t dt
0
a
6
2
2(1 cos t ) dt a
0
2
2 sin 2 2t dt 2a sin 2t d t 4a cos 2t
0
0
2
8a . ▼
0
Пример 10. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox
кривой y 4 x x 2 , y 0, x 2 (0 x 2) .
▲ Объем полученного тела вращения найдем по формуле (5.17):
x3 2
V y 2 dx (4 x x 2 )dx 2 x 2 16 . ▼
3 0
3
0
0
2
2
После изучения темы ”Неопределенный и определенный интеграл“ выполните
контрольную работу 5.
71
Контрольная работа 6
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Литература
[1], гл. XXI, XXII; [2], т. 2, гл. 13; 3гл. 11, п. 13, 5; [4], гл. 15; [5], ч. 2,
гл. 4; [6], 11; [8].
Основные теоретические сведения
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 1-го порядка
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
между собой аргумент, функцию, ее производные: F x; y; y; ; y (n) 0 .
Порядок дифференциального уравнения равен порядку высшей производной, содержащейся в уравнении. Дифференциальное уравнение первого
порядка F ( x; y; y) 0 .
Решение (интеграл) − явная (неявная) функция y y( x) ( x; y) 0 ,
обращающая дифференциальное уравнение в тождество.
Общим решением (совокупность всех решений) − функция, которая
удовлетворяет трем условиям:
1) содержит n произвольных постоянных величин, если n − порядок
дифференциального уравнения;
2) при любых значениях произвольных постоянных является решением;
3) при произвольных начальных условиях позволяет решать задачу Коши (по заданным начальным условиям определить частное решение).
Решение уравнения y f ( x; y) существует в области X, где функция
f ( x; y) непрерывна.
Геометрический смысл основных понятий
Дифференциальное уравнение первого порядка y f ( x; y) геометрически
представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым.
Общее решение − однопараметрическое семейство интегральных кривых
y y( x; C) , где C − параметр.
Решения, получающиеся из общего решения y y ( x, C ) при определенном значении произвольной постоянной C, называется частными.
График всякого решения y y (x) данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости xOy , называется интегральной кривой этого
уравнения.
72
Частное
решение
уравнения
y f ( x; y)
−
интегральная
кривая
y y( x; C ) , угловые коэффициенты касательных к которой определяются
данным дифференциальным уравнением. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y y0 при x x0 (другая запись
( 0)
y
x x0
y0 или y( x0 ) y0 ), называется задачей Коши.
Пример. Пусть дано дифференциальное уравнение y xy .
Что есть что?
1) Дифференциальное 2) Общее решение 3) Частное решение
уравнение
y2 x2 C 2
y 2 x 2 25
у
y
у
M 0 (3; 4)
C 5
Интегральная кривая,
соответствующая начальному
условию y(3) 4 .
Рис. 10.
2. Рассмотрим методы нахождения решений дифференциальных уравнений 1го порядка. Отметим, что общего метода нахождения решений не существует.
Обычно рассматривают типы уравнений, и для каждого из них находят свой
способ нахождения решения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида
y f1 ( x) f 2 ( y) ,
(6.1)
где, f1 ( x) и f 2 y) − непрерывные функции, называется дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными.
Для отыскания решения уравнения (6.1) нужно, как говорят, разделить в
нем переменные. Для этого
dy
1) заменим в (6.1) y на dx ,
2) умножим обе части уравнения на dx ,
3) разделим обе части уравнения f 2 ( y) ( f 2 ( y) 0) .
73
Тогда уравнение принимает вид
dy
f1 ( x)dx .
f 2 ( y)
(6.2)
В этом уравнении переменная x входит только в правую часть уравнения, а
переменная y − только в левую часть. Следовательно, переменные разделены.
Далее необходимо проинтегрировать уравнение (6.2) и записать общий интеграл (решение).
Однородные дифференциальные уравнения. Функция f ( x, y) называется
однородной функцией измерения k относительно аргументов x и y если равенство f ( x, y) k f ( x, y) справедливо для любого числа R , при котором
функция f ( x, y) определена, k const .
Например, функция f ( x, y) 3x 4 x 2 y 2 5 y 4 является однородной четвертого измерения k 4 , так как
f (x, y) 3(x) 4 (x) 2 (y) 2 5(y) 4 4 (3x 4 x 2 y 2 5 y 4 ) 4 f ( x, y) .
Если k 0 , то функция будет однородной нулевого измерения, т.е.
f (x, y) 0 f ( x, y) f ( x, y) .
Дифференциальное уравнение в нормальной форме
y f ( x, y )
(6.3)
называется однородным относительно переменных x и y, если f ( x, y) однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Так как однородное дифференциальное уравнение (6.1) в нормальной
форме всегда можно записать в виде y f ( x, y) f (x, y) , то, положив
. Следовательно, уравнение (6.3) с поy xt t , y t xt сводится к уравнению с разделяющи-
1x , получим y
мощью замены
dy
dx
f 1,
y
x
y
x
y
x
мися переменными относительно x и новой функции t t (x) .
74
Чтобы решить однородное уравнение, нужно
y
1) ввести подстановку t x или y xt, y t xt и упростить
полученное уравнение;
2) разделить переменные и проинтегрировать уравнение;
3) результат интегрирования упростить, пропотенцировать, если
нужно, и записать общий интеграл, вернувшись к исходной переменной.
Линейные уравнения. Уравнение называется линейным, если функция, а также ее производная входят в него в первой степени (линейно), т.е. уравнение
вида
(6.4)
y p ( x) y q ( x ) .
Если q( x) 0 , то уравнение называется однородным; если q( x) 0
неоднородным. Общее решение однородного линейного уравнения получается
путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной постоянной интегрирования C.
Данное линейное уравнение можно интегрировать также с помощью замены y u( x) v( x) , где u ( x), v( x) две неизвестные функции. Для определения u и v можно составить две идентичные системы. Подставьте y u v и
y uv vu в уравнение (6.4) и убедитесь в этом сами
uv u(v p( x)v) q( x)
(6.5)
vu v(u p( x)u) q( x)
(6.6)
uv vu p( x)uv q( x)
v p( x)v 0,
Из уравнений (6.5) получается одна система,
а из (6.6) −
u v q ( x),
u p( x)u 0,
вторая
vu q( x).
В каждой из систем первое уравнение выбрано произвольно потому, что
две неизвестные u и v нельзя найти из одного уравнения. Пользоваться можно
любой системой.
75
Что необходимо для решения линейных уравнений
Прежде всего, нужно проверить признаки линейного уравнения: y и y
входят в уравнение в первой степени (линейно). Затем следует выполнить следующие операции:
1) Положить y u v , тогда y uv vu и подставить y и y в
уравнение (6.4).
2) Составить систему для определения u и v. Решить ее (допустим
относительно v) . При определении v не нужно писать произвольную постоянную, ибо v(x) достаточно знать с точностью до постоянной величины.
3) Подставить в уравнение uv q(x) величину v и решить полученное уравнение.
4) Записать ответ y uv , используя пункты 2) и 3).
5) Чтобы найти частное решение, нужно начальное условие подставить в общее решение и определить C.
Уравнение Бернулли. Одним из уравнений, сводящимся к линейным уравнениям, является уравнение Бернулли, которое имеет вид
y p( x) y q( x) y ,
(6.7)
где α − любое вещественное число, кроме 0 и 1.
Чтобы свести уравнение (6.7) к линейному уравнению, нужно поделить
обе его части на выражение y : y p( x) y 1 q( x) . Положить
z y 1 , z ( 1) y y , тогда
1
1
z p( x) z q( x) − линейное уравне-
ние, которое можно решать методом замены переменной или методом вариации, а затем найти y из замены y 1 z .
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение дифференциального уравнения 1-го порядка и его
общего и частного решения (интеграла).
2. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го
порядка и укажите ее геометрический смысл.
3. Дайте геометрическое истолкование дифференциального уравнения 1го порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.
76
4. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения 1-го порядка. Найдите общее решение уравнения
dy
dx
2y
x
и укажите, где условия этой теоремы не выполняются.
5. Дайте определение уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения.
6. Дайте определение однородного дифференциального уравнения 1-го
порядка. Изложите метод нахождения его общего решения.
7. Дайте определение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Изложите метод нахождения его общего решения.
8. Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения
его общего решения.
9. Что называется особым решением дифференциального уравнения 1-го
порядка?
3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
1. Уравнение n-го порядка y (n) f ( x) (не содержит явно
y, y, , y (n1) ) решается последовательным интегрированием.
2. Уравнение 2-го порядка F ( x, y, y) 0 (не содержит явно искомой
функции y) преобразуется в уравнение 1-го порядка посредством подстановки
dz
).
y z (x) (откуда y z dx
3. Уравнение 2-го порядка F ( x, y, y) 0 (не содержит явно аргумента x) преобразуется в уравнение 1-го порядка посредством подстановки
dz dy
dx z z ).
y z ( y) (откуда y dy
Что необходимо для решения
уравнений 2-го порядка допускающих понижение порядка
1. Определить тип уравнения.
2. По типу подобрать нужную подстановку.
3. Получить и решить уравнение 1-го порядка.
4. Вернуться к исходной функции. Решить полученное уравнение 1-го
порядка.
4. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид py qy ry f (x) , где p, q, r числа, причем
p 0 . Если f ( x) 0 , то уравнение называется однородным, а если f ( x) 0
неоднородным.
77
Квадратное уравнение pk 2 qk r 0 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения py qy ry 0 .
Пусть D q 2 4 pr дискриминант характеристического квадратного
уравнения. Возможны следующие случаи зависимости общего решения от
корней характеристического уравнения (k1; k 2 ) :
1. D 0 (корни действительные разные k1 k2 ) общим решением
служит функция y C1 e k1x C2 e k2 x ;
2. D 0 (корни действительные равные k1 k 2 ) общим решением
служит функция y (C1 C2 x) e k1x ;
3. D 0 (корни комплексные k1,2 a bi ) общим решением является
функция y eax C1 cosbx C2 sin bx .
Что нужно знать для составления общих решений уравнения
y py qy 0
1) Уметь составить характеристическое уравнение по виду дифференциального уравнения. Для этого нужно формально заменить y (n) (n 0, 1, 2) любой буквой в степени n: y y (0) заменить k 0 1 , y y (1) заменить k 1 k ,
y y (2) заменить k 2 .
2) Уметь решать квадратное уравнение k 2 pk q 0 по формуле
p
p2
q
2
4
или по теореме Виета k1k 2 q, k1 k 2 p .
3) Знать на память вид общего решения в зависимости от k1 и k 2 .
k1, 2
5. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.
Теорема. Если yч некоторое частное решение неоднородного уравнения
p y q y r y f (x) и yo общее решение соответствующего однородного
уравнения py qy ry 0 , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид y yo yч .
78
Правило нахождения частного решения ( yч ) неоднородного уравнения
методом неопределенных коэффициентов.
1. Пусть f ( x) Pn ( x) , где Pn (x) многочлен степени n, тогда:
а) yч Qn (x) , где Qn (x) многочлен той же степени n с неопределенными коэффициентами, если k1 0 и k2 0 ;
б) yч x Qn (x) , если k1 0 (или k2 0 );
в) yч x 2 Qn ( x) , если k1 k2 0 .
2. Пусть f ( x) Pn ( x) ex , тогда:
а) yч Qn ( x) ex , если k1 , k2 ;
б) yч x Qn ( x) ex , если k1 (или k 2 );
в) yч x 2 Qn ( x) ex , если k1 k2 .
3. Пусть f ( x) e x Pn ( x) cos x Sn ( x) sin x , где Pn (x) и S n (x) многочлены, наибольшая степень которых n, тогда:
а) ( yч ) e x Qn ( x) cos x Rn ( x) sin x , если i a bi ;
б) ( yч ) x e x Qn ( x) cos x Rn ( x) sin x , если i a bi , где
Qn (x) и R n (x) многочлены с неопределенными коэффициентами.
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды уравнения 2-го порядка допускают понижение порядка?
2. Как понизить порядок уравнения y (n) f ( x) ?
3. Как понизить порядок уравнения y f ( x; y) ?
4. Как понизить порядок уравнения y f ( y; y) ?
5. Как решить задачу Коши для уравнений 2-го порядка?
6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного). Докажите основные свойства частных
решений линейного однородного дифференциального уравнения.
7. Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых
функций. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю.
8. Сформулируйте теорему об общем решении линейного однородного
дифференциального уравнения 2-го порядка.
79
9. Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения 2-го порядка, если известно одно его частное
решение.
10. Выведите формулу для общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в
случае вещественных различных корней характеристического уравнения.
11. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае равных вещественных корней характеристического уравнения.
12. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.
13. Сформулируйте теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.
14. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида e x Pn ( x) , где Pn (x) − многочлен степени n 0 .
15. Изложите правило нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида e x ( A cos x B sin x) .
16. В чем состоит краевая задача для дифференциального уравнения?
Пример 1. Найти общее решение уравнения x y y x 2 y 2 .
▲ Так как функции xy и x 2 y 2 однородные второго измерения, то данное
уравнение – однородное (см. п. 2). Сделаем замену y tx, y t t x . Тогда
x tx(t t x) x 2 (tx) 2 , t x 2 (t t x) x 2 (1 t 2 ) .
Предполагая, что x 0 , сокращаем обе части уравнения на x 2 . Далее имеем:
dt
t 2 tx dx
1 t 2 , txdt dx .
Разделяя переменные (для разделения переменных необходимо перенести все, что содержит t в одну сторону, а все, что содержит x в другую, при
этом dx и dt должны быть только в числителях), последовательно находим:
80
tdt
dx
, tdt
x
dx t 2
,
ln | x | ln C , t 2 2 ln | Cx | .
x 2
В последнее выражение вместо переменной t подставим значение
y
x
. Получим
общий интеграл y 2 2 x 2 ln | Cx | . Разрешив его относительно y, найдем общее
решение исходного дифференциального уравнения: y x 2 ln | Cx | . ▼
Пример 2. Найти общее решение уравнения xy e x xy 0 .
▲ 1. Убедившись, что данное уравнение линейное (см. п. 2), полагаем
y( x) u ( x) v( x) , тогда y uv vu
и данное уравнение преобразуется к виду
x(uv vu) xuv e x , xuv xu(v v) e x .
v v 0,
Составим систему для определения u и v:
xu v e x .
Решаем первое уравнение системы
dv
dx
v 0,
dv
v
dx, ln | v | x, v e x
(при определении v не нужно писать произвольную постоянную величину, ибо
v(x) достаточно знать с точностью до постоянной величины). Подставляем во
второе уравнение системы v e x и решаем полученное уравнение:
xu e x e x , x du
1, du
dx
dx
,
x
u ln | x | C .
Зная u и v, находим искомую функцию y: y uv C ln | x | e x .
2. Перепишем данное уравнение так: xy xy e x . Рассмотрим однородное
уравнение xy xy 0 x y y 0 . Так как x 0 (значение x 0 не является решением неоднородного уравнения), то
y y 0
dy
dx
y ln | y | x ln C ln
y
C
x y C e x
общее решение однородного уравнения.
81
Применяем далее метод вариации произвольной постоянной C. Общее
решение неоднородного уравнения будем искать в виде
y C( x) e x ; y C( x) e x C( x) e x .
Подставив значения y и y в неоднородное уравнение, получим
xC( x) e x xC( x) e x xC( x) e x e x xC( x) e x e x .
Т.к. e x 0 , то xC ( x) 1 x
dC( x)
dx
1 dC( x)
dx
x
C ( x) ln | x | C .
Подставив это значение C (x) в общее решение неоднородного уравнения, получим y ln | x | C e x общее решение неоднородного уравнения. ▼
Пример 3. Найти общее решение уравнения yx ln x y .
▲ В уравнении нет в явном виде искомой функции y. Понизим порядок этого
уравнения, положив y z (x) . Тогда y z и исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
dz
dz
dx
x ln x z
ln | z | ln ln x ln C1 z C1 ln x .
dx
z
x ln x
Т.к. z y
dy
dx
, то последнее уравнение является дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными
dy
dx
C1 ln x dy C1 ln xdx y C1 ln xdx
u ln x, du dxx
C1 x ln x dx C1 x(ln x 1) C .
dv dx, v x
Получили общее решение исходного уравнения y C1 x(ln x 1) C2 . ▼
Пример 4. Найти общее решение уравнения y 2 2 yy 0 .
▲ В уравнении нет в явном виде аргумента x. Понизим порядок уравнения
82
dz и исходное уравнение превращается в
подстановкой y z ( y) , тогда y z dy
уравнение с разделяющимися переменными
z 2 2 yz
C
dz
dz
dy
1
0
ln | z | ln | y | ln C1 z 1 .
dy
z
2y
2
y
Т.к. z y
dy
dx
, то последнее уравнение является дифференциальным
уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными
dy
dx
C1
y
y dy C1dx
2
3
y 2 C1 x C2 y C1 x C2 3 . ▼
3
2
Пример 5. Найти общее решение уравнения y 4 y 13 y 5 sin 2 x и частное
решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)
▲
2
29
, y(0)
1
29
.
Рассмотрим однородное уравнение y 4 y 13 y 0 . Соответствующее
характеристическое уравнение имеет вид k 2 4k 13 0 , откуда k1 2 3i ,
k 2 2 3i . Следовательно, yo e 3x (C1 cos3x C2 sin 3x) общее решение
однородного уравнения.
Подберем вид частного решения для данного уравнения.
f ( x) 5 sin 2 x: Pn ( x) 0, S n ( x) 5, n 0, 0, 2, i k1,2 ,
Q0 ( x) A, R0 ( x) B, yч A cos 2 x B sin 2 x.
Подставляя ( yч ) и ( yч ) в неоднородное исходное уравнение, получим
тождество ( yч решение данного уравнения). Для удобства вычислений будем выписывать выражения yч , ( yч ) , ( yч ) в отдельные строки и слева за
вертикальной чертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэффициенты, складывая и приводя подобные члены, имеем:
13 yч A cos 2 x B sin 2 x,
4 ( yч ) 2 A sin 2 x 2 B cos 2 x,
1 ( yч ) 4 A cos 2 x 4 B sin 2 x,
83
( yч ) 4( yч ) 13 yч (13 A 8B 4 A) cos 2 x (13 B 8 A 4B) sin 2 x 5 sin 2 x .
Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой части последнего тождества, находим A, B и yч :
8
cos 2 x 9 A 8B 0, A 29
9
sin 2 x 8 A 9 B 5, B 29
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
8
yч 29
cos 2 x
9
sin 2 x
29
,
а общее решение неоднородного уравнения
8
9
y yo yч e 2 x C1 cos 3x C 2 sin 3x 29
cos 2 x 29
sin 2 x .
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y (0)
2
29
3 x
y 2C1 cos 3 x C 2 sin 3 x e
y (0)
1
29
8
C1 29
2
29
C1
10
;
29
3C1 sin 3x 3C2 cos 3x 16
sin 2 x 18
cos 2 x;
29
29
2C1 3C 2 18
C2
29
1
.
29
Искомое частное решение таково:
y e 2 x
1029 cos 3x 291 sin 3x 298 cos 2 x 299 sin 2 x . ▼
После изучения темы ”Дифференциальные уравнения“ выполните контрольную работу 6.
84
Контрольная работа 7
Теория рядов
Литература
[1], XVII, XIX; [2], т. 2, гл. 16, 17; 3гл. 13; [4], гл. 14; [5], ч. 2, гл. 3;
[6], 12; [8].
Основные теоретические сведения
1. Выражение вида
a1 a2 an
a
n
,
(7.1)
n 1
где an R , называется числовым рядом. Числа a1 , a2 , , an , называются
членами ряда, число an общим членом ряда.
Суммы
S1 a1, S2 a1 a2 , , Sn a1 a2 an
называются
ча-
стичными суммами, а S n n-й частичной суммой ряда (7.1).
Числовой ряд
a
n
называется сходящимся, если существует предел
n 1
его частичных сумм Sn
a
n
. Число S lim S n называется суммой ряда.
n
n 1
Если же предел частичных сумм не существует, то ряд (7.1) называется
расходящимся.
Необходимый признак сходимости.
Если ряд (7.1) сходится, то lim an 0 .
n
Достаточный признак расходимости.
Если lim an C 0 , то ряд (7.1) расходится.
n
К достаточным признакам сходимости для рядов с положительными членами an 0 относятся:
1. Признак сравнения. Если даны два ряда
85
a1 a2 an
a
n
,
(7.2)
n 1
b1 b2 bn
b
n
(7.3)
n 1
и для всех n N выполняется неравенство 0 an bn , то:
1) из сходимости ряда (7.3) следует сходимость ряда (7.2);
2) из расходимости ряда (7.2) следует расходимость ряда (7.3).
2. Признак сравнения в предельной форме. Если
lim
an
n bn
C (0 C ) ,
(7.4)
то ряды (7.2) и (7.3) одновременно сходятся или расходятся.
В качестве эталонных рядов для сравнения обычно служат:
1) ряд
n , сходящийся при 1 и расходящийся при 0 1 ;
1
n1
aq
2) ряд
n1
, сходящийся при 0 q 1 и расходящийся при q 1 .
n1
3. Признак Д-Аламбера. Если существует
lim
n
то ряд
a
n
an1
,
an
(7.5)
сходится при 1 и расходится при 1 . Если же 1 , то
n 1
вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.
4. Радикальный признак Коши. Если существует
lim
n
то ряд
a
n
an ,
(7.6)
сходится при 1 и расходится при 1 . Если 1 ради-
n 1
кальный признак Коши неприменим.
86
n
a
5. Интегральный признак Коши. Пусть положительный ряд
n
имеет
n 1
производящую функцию f (n) an , положительную, непрерывную и убываю
щую. Тогда ряд
n 1
an и интеграл
f ( x)dx
одновременно сходятся или расхо-
0
дятся.
Числовой ряд (7.1), члены an которого имеют разные знаки, называется
знакопеременным.
Если ряд
( 7.7)
| a1 | | a2 | | an |
сходится, то ряд (7.1) также сходится и называется абсолютно сходящимся.
Если ряд (7.7) расходится, а ряд (7.1) сходится, то ряд (7.1) называется
неабсолютно (условно) сходящимся.
Ряд вида
(7.8)
a1 a2 a3 (1)n1 an ,
где an an 1 0 , называется знакочередующимся рядом.
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (7.8) удовлетворяют условиям: 1 a1 a2 an ; 2 lim an 0 , то ряд (7.8) сходится.
n
2. Ряд вида
a0 a1 ( x a) an ( x a) n
a ( x a)
n
n
.
(7.9)
n 0
называется степенным рядом (относительно ( x a) ), где a0 , a1 , , an ,
постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, a фиксированное
число. Если a 0 получаем степенной ряд вида
a
nx
n
.
(7.10)
n 0
Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если (7.9) сходится при | x a | R и расходится при | x a | R . Если | x a | R , ряд может,
87
как сходиться, так и расходиться. Интервал (a R; a R) называется интервалом сходимости степенного ряда (7.9). Радиус сходимости R может быть
найден по формуле
R lim
n
1
an
или R lim n
.
n
an1
| an |
(7.11)
Областью сходимости степенного ряда является интервал ( R; R) , к которому в отдельных случаях добавляются одна или обе границы интервала (что
зависит от свойств конкретного исследуемого ряда).
Степенной ряд (7.9) внутри интервала сходимости можно почленно
дифференцировать и интегрировать с сохранением радиуса сходимости.
3. Рядом Фурье периодической функции f ( x), l x l , называется ряд вида
a0
nx
nx
,
an cos
bn sin
2 n 1
l
l
f ( x)
(7.12)
где
l
an
1
nx
f ( x) cos
d x, n 0, 1, 2, ;
l
l
l
l
1
nx
bn
f ( x) sin
d x, n 1, 2, .
l
l
l
Если периодическая функция с периодом 2l кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [l ; l ] , то ее ряд Фурье (7.12) сходится для любого x R
к сумме
f ( x 0) f ( x 0)
S ( x)
.
2
Отсюда следует, что S ( x) f ( x) в точках непрерывности функции f (x) и
сумма S (x) равна среднему арифметическому пределов слева и справа функции f (x) в точках разрыва первого рода.
Функция, заданная на полупериоде [0; l ] , может быть представлена различными рядами Фурье.
88
При четном продолжении данной функции на второй полупериод [l; 0]
получается ряд по косинусам:
f ( x)
a0
2
l
an cos
n 1
nx
2
nx
; an
f ( x) cos
d x , n 0, 1, 2, ; bn 0 ; (7.13)
l
l
l
0
а при нечетном продолжении ряд по синусам:
f ( x)
l
bn sin
n 1
nx
2
n x
; an 0; bn
f ( x) sin
d x; n 1,2, 3, .
l
l
l
(7.14)
0
Чтобы определить сходимость ряда
a
n
, нужно:
n 1
1. Проверить необходимый признак сходимости. Если lim an 0 , то
n
ряд расходится;
2. Если lim an 0 , то необходимо применить один из достаточных
n
признаков:
а) признак ДАламбера или Коши (какой лучше подойдет к данному примеру);
б) интегральный признак Коши, если легко найти
f ( x)dx ;
1
в) признак сравнения, если
f ( x)dx
найти трудно, а признак
1
ДАламбера или Коши бессилен.
arctg2n 3
.
n
n 1
Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд
▲ Проверяем необходимый признак
lim
n
arctg(2n 3)
2
lim
0.
n
n
1
(
2
n
3) 2
89
Здесь для вычисления предела использовано правило Лопиталя. Т.к.
lim an 0 , то проверяем сходимость по признаку ДАламбера (7.5). Так как
n
arctg(2n 3)
, то, заменяя в выражении n-го члена n на
n
arctg2(n 1) 3 arctg(2n 5)
величину n 1 , находим an
.
n 1
n 1
Затем ищем предел отношения последующего члена an1 к предыдуще-
общий член ряда a n
му an при n :
lim
n
an1
arctg(2n 5) n
arctg(2n 5)
n
lim
lim
lim
n (n 1) arctg(2n 3)
n arctg(2n 3) n n 1
an
lim
1 (2n 3) 2
n 1 ( 2n 5) 2
1 1 .
Поскольку полученный предел равен 1, признак ДАламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (для вычисления предела использовано правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В
качестве эталонного ряда выберем ряд
1n , b
n
n 1
1
n
и в силу формулы (7.4) по-
лучим
a
C lim n lim
n bn
n
arctg(2 n 3)
n
1
n
lim
n
arctg(2n 3) n
lim arctg(2n 3) .
n
n 1
2
Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный
ряд с общим членом bn 1n расходится (гармонический ряд). ▼
Пример 2. Найти область сходимости ряда
(1)
n 0
90
n
( x 2) n
2n n 1
.
Для определения области сходимости степенного ряда
an x n
an ( x a) n
n 0
n 0
необходимо:
1) вычислить радиус сходимости по формуле (7.11);
2) исследовать сходимость ряда при x R ( x a R) ;
3) записать область сходимости по результатам предыдущих
пунктов.
▲ Т.к. an
(1) n
2n n 1
R lim
n
, an 1
(1) n 1
2 n 1 n 2
(1) n 2 n 1 n 2
, то
1 n2
n2
2 lim
2.
n 1 1
n 1
n
lim 2
2 n n 1 (1) n 1
n
Значит, степенной ряд сходится при | x 2 | 2 , т.е. в интервале (0; 4) .
Если x 0 , получаем ряд
(1) n
n 0
Положим f ( x)
(0 2) n
2
n
n 1
1
n 1
n 0
.
1
при x 0 ; эта функция положительная, непрерывная
x 1
и убывает. Тогда несобственный интеграл
0
dx
x 1
b
lim
b
( x 1)
12
b
d ( x 1) lim 2 x 1 lim 2 b 1 2 ,
b
b
0
0
т.е. расходится, а значит, данный ряд также расходится.
Если x 4 получаем знакочередующийся ряд
n 0
(1) n
(4 2) n
2
n
n 1
(1)
n 0
n
1
n 1
.
Так как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают
91
1
1
1
2
1
, и lim
n
3
n 1
0,
то, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Так как ряд, составленный из
абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд
n 0
1
n 1
, расходится, то исследуе-
мый ряд сходится условно (неабсолютно). Таким образом, область сходимости
исследуемого степенного ряда (0; 4] . ▼
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) , заданную на интервале
0 при 2 x 0,
имеющую период 2 l 4 .
(2; 2) выражением f ( x) x
при 0 x 2,
2
▲ Как сама функция, так и ее первая производная кусочно-монотонная и ограниченная на (2; 2) . Значит, функцию можно разложить в ряд Фурье вида
(7.12). В нашем случае l 2 . Подсчитаем коэффициенты Фурье:
a0
an
1
2
2
f ( x) cos
2
1
bn
2
2
2
1
2
2
f ( x)dx
2
1
2
2
2 dx 2 ;
x
1
0
2
2
2 , если n нечетное,
nx
1 x
nx
dx
cos
dx ( n )
2
2 2
2
0 , если n четное;
0
nx
1
f ( x) sin
dx
2
2
2
0
x
nx
1 4(1) n
sin
dx
2
2
4 n
(1) n 1
.
n
Итак, в каждой точке непрерывности функции имеем:
f ( x)
1
2
nx (1) n 1
nx
.
cos
sin
2
2
4 n1 (2n 1)
2
n
2
В точках разрыва функции ряд сходится к значению
1
2
среднему
арифметическому предельных значений функции слева и справа. ▼
92
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение сходящегося и расходящегося ряда.
2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
3. Сформулируйте признак сравнения рядов с положительными членами.
4. Сформулируйте признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.
5. Сформулируйте признак Коши сходимости рядов с положительными
членами.
6. Сформулируйте интегральный признак сходимости.
7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда.
8. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся
рядов.
9. Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов.
После изучения темы ”Дифференциальные уравнения“ выполните контрольную работу 7.
Контрольная работа 8
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Литература
1, л. XV; 2, гл. 8, 9; [3], гл. X; [4], гл. 11,12; 5, гл. VII; 6 10; 8.
Основные теоретические сведения
1. Если переменной x дать некоторое приращение x , а y оставить постоянной, то функция z f ( x; y) получит приращение x z , называемое частным
приращением функции z по переменной x:
x z f ( x x; y) f ( x; y)
(8.1)
Аналогично, если переменная y получает приращение y , а x остается
постоянной, то частное приращение функции z по переменной y
y z f ( x; y y) f ( x; y) .
(8.2)
Если существуют пределы
93
x z z
z x f x ( x; y ) ,
x 0 x
x
lim
lim
y 0
yz
y
z
z y f y ( x; y ) ,
y
(8.3)
(8.4)
то они называются частными производными первого порядка функции
z f ( x; y) по переменным x и y соответственно.
Аналогично определяются частные производные функций любого числа
независимых переменных. Так как частная производная по любой переменной
является производной по этой переменной, найденной при условии, что
остальные переменные постоянные, то все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.
2. Полным приращением функции z f ( x, y) называется разность
z f ( x x, y y) f ( x, y) .
(8.5)
Главная часть полного приращения функции z f ( x; y) , линейно зависящая от приращений независимых переменных x и y , называется полным
дифференциалом функции и обозначается dz . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен
dz
z
z
dx dy ,
x
y
(8.6)
где dx x, dy y произвольные приращения независимых переменных,
называемые их дифференциалами.
3. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям значений функции основано на приближенном равенстве z dz или
f ( x0 x; y0 y) f ( x0 ; y0 ) f x ( x0 ; y0 ) x f y ( x0 ; y0 )y .
(8.7)
4. Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде F ( x; y; z ) 0 и
F ( x0 ; y0 ; z0 ) 0 , то уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
имеет вид
94
Fx ( x0 ; y0 ; z 0 )( x x0 ) Fy ( x0 ; y0 ; z 0 )( y y0 ) Fz ( x0 ; y0 ; z 0 )( z z 0 ) 0 , (8.8)
а уравнение нормали
x x0
y y0
z z0
.
Fx ( x0 ; y0 ; z 0 ) Fy ( x0 ; y0 ; z 0 ) Fz ( x0 ; y0 ; z 0 )
(8.9)
5. Функция z f ( x; y) имеет в точке M 0 ( x0 ; y0 ) локальный максимум (минимум), равный f ( x0 ; y0 ) , если существует такая δ - окрестность этой точки, что для
всех отличных от M 0 точек M ( x; y) из этой окрестности имеет место неравенство f ( M ) f (M 0 ) f (M ) f (M 0 ) .
Необходимые условия существования локального экстремума: если функция f ( x; y) в точке M 0 имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них
в этой точке не существует (критические точки функции f ( x; y) ).
Достаточные условия существования локального экстремума.
(M 0 ), B f xy (M 0 ), C f yy
(M 0 ) , тогда:
Пусть A f xx
1) если AC B 2 0 , то f ( x, y) имеет в точке M 0 локальный экстремум ( при A 0 локальный максимум, при A 0 локальный минимум);
2) если AC B 2 0 , экстремума в точке M 0 нет;
3) если AC B 2 0 , функция может иметь, а может не иметь локальный экстремум.
6. Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области достигает
своего наибольшего (наименьшего) значения либо в критической точке, лежащей внутри области, либо на границе этой области. Для отыскания
наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо найти все критические точки, лежащие внутри данной области и на ее
границе, вычислить значения функции в этих точках, а также во всех остальных точках границы, а затем путем сравнения полученных чисел выбрать
наибольшее и наименьшее из них.
7. Число
lim
M M0
u(M ) u(M 0 )
MM 0
называется производной скалярного поля u (M )
(функции u (M ) ) в точке M по направлению l и обозначается символом
Производная по направлению
u (M )
l
u (M )
l
.
является скоростью изменения функции
95
по направлению l в точке M. Если в прямоугольной системе координат Oxyz
l 0 cos ; cos ; cos , то
u u
u
u
cos
cos
cos .
l x
y
z
(8.10)
Градиентом скалярного поля u (M ) в точке M называется вектор
gradu
u u u
u
u
u
i
j
k ;
;
.
x
y
z
x y z
Из равенства (8.10) следует, что
u
(grad u l 0 ) ,
l
(8.11)
u
( M ) | grad u | | l 0 | cos | grad u | cos , т.к. | l 0 | 1 . Здесь угол
l
между векторами l 0 и grad u в точке M.
откуда
Очевидно, что
u
l
принимает наибольшее значение при 0 , т.е. в направ-
лении grad u в данной точке. Иначе говоря, вектор grad u в данной точке указывает направление наибольшего роста поля u (функции u) в этой точке, а
grad u есть скорость роста функции u в этом направлении.
Пример 1. Найти частные производные
u
x
,
u
y
,
u
z
функции u z x 3 y e z .
▲ Считая функцию u функцией только одной переменной x, а переменные y
и x рассматривая как постоянные (см. формулу (8.3)), находим
u 3
z x
x 2
. Ана-
логично, считая u функцией только y, а затем только z, получаем
u
u
ez ,
x3 y e z . ▼
y
z
Пример 2. Найти полное приращение z и полный дифференциал dz функции z 3x 2 xy y 2 1 в точке M 0 (1; 2) . Вычислить приближенное значение
z1 функции в точке M 1 (1.01; 2.02 ) , исходя из значения z0 функции в точке
M 0 и, заменив приращение функции при переходе от точки M 0 к точке M1
96
дифференциалом. Вычислить абсолютную погрешность, которая получается
при замене полного приращения функции ее полным дифференциалом.
▲ Найдем полное приращение и полный дифференциал данной функции
в некоторой точке M ( x, y) при произвольных значениях x и y . По определению (8.5)
z 3( x x) 2 ( x x)( y y) ( y y) 2 1 (3x 2 xy y 2 1) .
После преобразований получим
z (6x y) x ( x 2 y)y 3 ( x) 2 xy (y) 2 .
Согласно определению, выражение (6x y) x ( x 2 y)y , линейное относительно x и y , есть полный дифференциал dz (6 x y) x ( x 2 y)y .
Абсолютная погрешность, которая получается при замене полного приращения ее полным дифференциалом | z dz | | 3( x) 2 xy (y) 2 | .
Найдем теперь полное приращение z , полный дифференциал dz и абсолютную погрешность | z dz | при заданных числовых значениях. При
x0 1 и y0 2, x1 1.01 , y1 2.02 имеем
x 1.011 0.01, y 2.02 2 0.02 ,
z (6 1 2) 0.01 (1 2 2) 0.02 3 0.012 0.01 0.02 0.022 0.0201,
dz (6 1 2) 0.01 (1 2 2) 0.02 0.02 ,
| z d z | | 0.0201 0.02 | 0.0001 .
Вычислим приближенно значение z1 функции в точке M1 . Находим
значение данной функции в точке M 0 : z0 3 12 1 2 22 1 2 .
Значения x и y найдены выше. Найдем частные производные данной
функции: f x ( x; y) 6x y; f y ( x; y) x 2 y . Тогда
f x ( x0 ; y0 ) f x (1; 2) 6 1 2 8 ;
f y ( x0 ; y0 ) f y (1; 2) 1 2 2 3 .
Воспользовавшись теперь формулой (8.7), получим
z1 2 8 0.01 (3) 0.02 2 0.08 0.06 2.02 . ▼
Пример 3. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z 2 x 2 y 2 в точке, для которой x 1, y 1 .
▲ Прежде всего, определим аппликату точки касания из условия, что точка
лежит на поверхности. Подставив в данное уравнение поверхности x 1, y 1 ,
получим z 2 12 12 3 . Следовательно, точкой касания является точка
97
M 0 1; 1; 3 . Перепишем уравнение в виде F ( x, y, z) 2 x 2 y 2 z 0 . Находим
частные производные Fx , Fy , Fz и их значения в точке M 0 :
Fx 4 x; Fy 2 y; Fz 1 ;
Fx (M 0 ) 4 1 4; Fy (M 0 ) 2 1 2; Fz (M 0 ) 1 .
Подставив найденные значения частных производных и координаты точки M 0
в уравнения (8.8) и (8.9), получим уравнение касательной плоскости
4( x 1) 2( y 1) ( z 3) 0 , или 4x 2 y z 3 0 ,
x 1 y 1 z 3
и уравнения нормали
.▼
4
2
1
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z x 2 y 2 xy x y
в области, ограниченной линиями x 0, y 0 , x y 3 .
▲ Находим критическую точку M1 из следующей системы:
z
x 2 x y 1 0,
z
2 y x 1 0,
y
откуда x 1, y 1 . Получили точку M1 (1; 1) , в которой z1 (M1 ) 1 .
Исследуем данную функцию на границе области.
На прямой линии x 0 имеем z y 2 y , и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [3; 0]
2 . Получили точку локального
Находим z y 2 y 1 0, y 12 , z yy
минимума M 2 (0; 12 ) , в которой z2 (M 2 ) 14 .
На концах отрезка z3 (0; 3) 6, z 4 (0; 0) 0 .
Аналогично на прямой линии y 0 имеем:
z x 2 x, zx 2x 1 0 , x 12 , z x x 2 , т.е. M 3 ( 12 ; 0) точка локального минимума, в которой z5 (M 3 ) 14 . В точке (3; 0) z6 (3; 0) 6 .
На отрезке прямой x y 3 имеем, исключив y из z в соответствии с уравнениями y x 3; z 3x 2 9x 6, zx 6x 9 0 , x 32 , отсюда находим критическую точку M 4 ( 32 ; 32 ) , в которой z7 ( M 4 ) 34 .
98
Сравнивая все полученные значения z, заключаем, что zнаиб 6 достигается в
точках, (3; 0) и (0; - 3) а zнаим 1 в критической точке M1 1; 1 . ▼
Пример 5. Найти производную функции u xyz в точке A(1; 2; 4) по направлению от точки A к B(3; 4; 5) .
▲ Частные производные функции u в точке A:
u
u
u
( A) yz 2 4 8;
( A) xz 1 4 4;
( A) xy 1 2 2 .
x
y
z
A
A
A
Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором AB равен
l0
(2; 2; 1)
Тогда по формуле (8.10) получим
u
l
( A) 8 23 4 23 2 13
4 41
23 ; 23 ; 13 .
AB
AB
26
3
.▼
Пример 6. Найти градиент скалярного поля u xyz в точке M (2, 3, 4) .
▲ Согласно определению градиента, имеем
u
u
u
gradu ( M ) ( M );
( M );
( M ) yz; xz; xy (12; 8; 6) . ▼
y
z
M
x
Вопросы для самопроверки
1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий.
2. Что называется функцией трех переменных, ее областью определений? Как можно геометрически истолковать область определения функции
трех переменных?
3. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются поверхностями уровня функции u x 2 y 2 z 2 ? Постройте линии уровня функции z x 2 y .
4. Что называется пределом функции двух переменных в точке? В каком
случае эта функция называется непрерывной в точке, в области?
5. Что такое полное приращение функции u f (M ) в точке M 0 ?
6. Выразите приращение функции u xy в точке M 0 (1; 2) через приращения x и y аргументов?
7. Что называется точкой разрыва функции двух переменных?
99
8. Что называется частным приращением функции в данной точке? Как
получить частное приращение функции из ее полного приращения? Запишите
частные приращения функции u xy в точке M 0 (1; 2) .
9. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила
нахождения частных производных функции нескольких переменных. В чем
состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?
10. Когда функция z f ( x; y) называется дифференцируемой в данной
точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному значению?
11. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?
dz
12. Напишите формулу вычисления полной производной dx
сложной
функции z f (u; v) , где u u( x), v v( x) . Как записать эту формулу в случае
ux?
13. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функций
двух переменных.
14. Что называется производной функции u u( x; y; z) в данной точке
M 0 по направлению вектора l? Напишите формулу ее вычисления.
15. Что называется градиентом скалярного поля u u( x; y; z) в данной
точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам свойства градиента.
16. Что называется максимумом (минимумом) функции двух переменных? Сформулируйте необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.
17. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.
18. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.
После изучения темы ”Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных“ выполните контрольную работу 8.
100
Контрольная работа 9
Общая схема построения интегралов
Теория поля
Литература
1, гл. XXVI-XXVIII; 2, т. 2, гл. 14, 15; 3, гл. XII; 4, гл. 13; [5], ч. II,
гл. 1, 2; [6], 13-15.
Основные теоретические сведения
1. Если область G, правильная относительно оси Oy (см. “Неопределенный и
определенный интеграл, п.6”), проектируется на ось Ox в отрезок [a; b] , то ее
граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую
уравнением y y1 ( x) , и верхнюю, задаваемую уравнением y y2 ( x) . Тогда
область G определяется системой неравенств
a x b,
G:
y
(
x
1 ) y y2 ( x),
а двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрирование ведется по переменной y, а внешнее – по переменной x)
G
b
y2 ( x )
f ( x; y)dy .
f ( x; y )dxdy dx
a
(9.1)
y1 ( x )
Если область G, правильная относительно оси Ox, проектируется на ось
Oy в отрезок [c; d ] , то ее граница разбивается на две линии: левую границу
области, задаваемую уравнением x x1 ( y) , и правую, задаваемую уравнением
x x2 ( y ) . В этом случае область G определяется системой неравенств
x ( y ) x x2 ( y ),
G: 1
c y d,
а двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрирование ведется по переменной x, а внешнее – по переменной y)
101
d
x2 ( y )
x ( y)dx .
f ( x; y )dxdy dy
G
c
1
(9.2)
x1 ( y )
Выражения, стоящие в правых частях равенств (9.1), (9.2), называются
повторными (или двукратными) интегралами. Переход от равенств (9.1) к
(9.2) и обратно называется изменением порядка интегрирования.
2. Пусть в двойном интеграле
f ( x; y)dxdy прямоугольные координаты x, y
G
преобразуются к новым (криволинейным) координатам u, v, которые связаны с
x, y соотношениями
(9.3)
x x(u; v); y y(u; v) .
Если между областями G и G , лежащими в плоскостях xOy и uOv ,
установлено соотношениями (9.3) взаимно однозначное отображение, причем
функции (9.3) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области G и якобиан преобразования в области G не обращается в нуль, т. е.
x
u
y
u
x
v 0 ,
y
v
то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле:
f ( x, y)dxdy f x(u, v), y(u, v) | | dudv ,
G
(9.4)
G
где выражение | | dudv называется элементом площади в криволинейных
координатах.
В полярных координатах формулы (9.3) имеют вид
x r cos , y r sin .
(9.5)
Формулы (9.5) связывают прямоугольные координаты x, y с полярными координатами r, при условии, что полюс помещен в начало координат и поляр102
ная ось направлена вдоль оси Ox. В этом случае якобиан преобразования
r . Следовательно, | | r , и поэтому формула (9.4) принимает вид
f ( x; y)dxdy f (r cos; r sin )rdrd .
G
(9.6)
G
3. При вычислении тройных интегралов особую роль играет понятие правильной трехмерной области, которое вводится по аналогии с правильной
двумерной областью. Область Ω, ограниченная снизу и сверху однозначными и
непрерывными поверхностями z z1 ( x; y), z z 2 ( x; y) , правильная относительно оси Oz. Она обладает следующими свойствами:
1) всякая прямая, параллельная оси Oz и проведенная через внутреннюю
точку области Ω (т. е. не лежащую на границе области), пересекает границу
области ровно в двух точках;
2) проекция G области Ω на плоскость Oxy представляет собой правильную область относительно оси Ox или оси Ox.
Для правильной области Ω относительно оси Oxy справедливы неравенства
a x b,
y1 ( x) y y2 ( x),
z ( x; y) z z ( x; y)
2
1
и следующая формула для вычисления тройного интеграла:
b
y 2 ( x ) z 2 ( x; y )
dy f ( x, y, z)dz .
f ( x; y; z )dxdydz dx
a
y1 ( x )
(9.7)
z1 ( x; y )
Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае правильной простейшей области Ω сначала интегрируют функцию f ( x; y; z) по одной из переменных (например, z) при условии, что оставшиеся две переменные принимают любые постоянные значения в области интегрирования. Затем результат
интегрируют по второй переменной (например, y) при любом постоянном значении третьей переменной в Ω и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например, x) в максимальном диапазоне ее изменения в области Ω.
103
4. Пусть в тройном интеграле
f ( x; y; z)dxdydz прямоугольные координаты
x, y, z преобразуются к новым координатам u, v, w, которые связаны с x, y, z
соотношениями
(9.8)
x x(u; v; w); y y(u; v; w); z z (u; v; w) ,
которые однозначно разрешимы относительно u, v, w:
u u( x; y; z); v v( x; y; z); w w( x; y; z) .
(9.9)
Если функции (9.8) имеют в области ( область в пространстве
O uvw , в которую отображается область Ω пространства Oxyz с помощью
формул (9.9)) непрерывные частные производные 1-го порядка и якобиан преобразования
x x x
u v w
y y y
u v w
z z z
u v w
в области не обращается в нуль, то ограниченная замкнутая область Ω
пространства Oxyz взаимно однозначно отображается на область пространства Ouvw и для тройного интеграла имеет место следующая формула
замены переменных:
f ( x; y; z)dxdydz f x(u; v; w),
y (u; v; w), z (u; v; w) | | dudvdw . (9.10)
В цилиндрических координатах r , , z имеем:
x r cos , y r sin ,
z z,
0 2 , 0 r , z
| | r , dxdydz rdrddz.
104
(9.11)
В сферических координатах , , получаем:
x sin cos ,
0 r ,
y sin sin , z cos ,
0 2 ,
0 ,
(9.12)
| | sin , dxdydz sin drdd .
2
2
5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода (по координатам)
от векторной функции a(M ) P( x; y) i Q( x; y) j , определенной на кривой l,
сводится к одной из приведенных ниже формул.
1) Если кривая AB задана уравнением y f (x) и при перемещении из
точки A в точку B x меняется от a до b, то
a dl
AB
b
P( x; y )dx Q( x; y )dy
AB
P( x; f ( x)) Qx; f ( x)) f ( x dx .
(9.13)
a
2) Если кривая AB задана уравнением x (y) и при перемещении из
точки A в точку B y изменяется от c до d, то
a dl
AB
d
P( x; y )dx Q( x; y )dy
AB
P( ( y); y) ( y) Q ( y); y dy .
(9.14)
c
3) Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x x(t ) ,
y y(t ) и при перемещении из точки A в точку B параметр t меняется от значения до , то
a dl
AB
P( x; y)dx Q( x; y)dy Px(t ); y(t ) x(t ) Qx(t ); y(t ) y (t ) dt . (9.15)
AB
Вместо криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно вычислять двойной интеграл, если воспользоваться формулой Грина
Q
P
P( x; y)dx Q( x; y)dy x y dxdy .
l
G
105
Если под знаком криволинейного интеграла стоит полный дифференциал, т. е.
P
y
Q
x
, то такой интеграл не зависит от пути интегрирования и его
можно вычислить по любому пути, но лучше всего этот интеграл вычислять со
звеньями, параллельными осям координат
P
Q ( AC ) : y y A , dy 0
(CB) : x x B , dx 0
P( x; y)dx Q( x; y)dy y x
AB
xB
P( x; y
yB
A ) dx
xA
Q( x
B;
y )dy.
yA
6. Вычисление поверхностного интеграла второго рода от векторной функции a(M ) P( x; y; z) i Q( x; y; z) j R( x; y; z) k по поверхности S сводится к
вычислению двойного интеграла:
a n
0
S
dS
a n
G
z f x; y
dxdy ,
(9.16)
где область G является проекцией поверхности S на плоскость Oxy;
n gradz f ( x; y) ; поверхность S задается функцией z f ( x; y) . В двойном
интеграле переменную z следует заменить на f ( x; y) . В выражении для n знак
«+» или «» ставится в зависимости от выбранной ориентации (стороны) поверхности S.
7. В общем случае полем величины называется область трехмерного пространства, с каждой точкой которого в каждый момент времени связано определенное значение . Если величина скалярная (температура, давление и т.
д.), то поле называется скалярным. Если есть вектор (сила, скорость и т. д.),
то соответствующее поле называется векторным.
Векторное поле a(M ) P( x; y; z) i Q( x; y; z) j R( x; y; z) k характеризуется скалярной величиной дивергенцией
div a
и векторной величиной – ротором:
106
P Q R
x y z
(9.17)
i
rot a
x
P
j
y
Q
k
R Q P R Q P
i
k ,
j
z y z z x x y
R
(9.18)
где частные производные вычислены в точке M.
Слово «дивергенция» означает «расходимость». Дивергенция характеризует
плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке. По знаку
дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в
рассматриваемой точке M. Так, если div a(M ) 0 , то в точке M – источник, а
если div a(M ) 0 , – сток. Если же div a(M ) 0 , то источников и стоков в точке M нет.
Ротор характеризует завихренность поля a в данной точке.
Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке области. Так как div a характеризует
плотность источников поля a, то в той области, где поле a соленоидально, нет
источников этого поля. Векторное поле называется безвихревым в области ,
если в каждой ее точке rot a 0 . Векторное поле называется потенциальным
в области , если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля u (M ) : a gradu .
Ротор любого потенциального поля равен нулю. Поэтому говорят, что
потенциальное поле является безвихревым.
8. Потоком векторного поля a( M ), M ( x; y; z) S через поверхность S в
сторону единичного вектора нормали n 0 {cos ; cos ; cos } поверхности
S называется поверхностный интеграл второго рода (скаляр) Π
a n
0
dS .
S
Если взять другую сторону поверхности (изменить ориентацию), то вектор n 0 изменит направление на противоположное; поэтому скалярное произведение (a; n 0 ) , а, значит, и поток (поверхностный интеграл ) изменит знак.
Если a скорость движущейся жидкости, то представляет собой количество жидкости, протекающей через поверхность S в заданную сторону в единицу времени. Эта величина называется в гидродинамике потоком жидкости
через поверхность S. Поэтому и в случае произвольного векторного поля a(M )
интеграл называется потоком векторного поля через поверхность S.
107
Формула ОстроградскогоГаусса устанавливает связь между потоком вектора
a через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали и дивергенцией этого вектор
a n
S
0
dS
div a d ,
(9.19)
где объем, ограниченный поверхностью S. Чтобы поток был отличен от
нуля, внутри области должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы
ОстроградскогоГаусса следует, что тогда и div a будет отлична от нуля. Таким образом, div a характеризует источники поля. Само векторное поле как бы
расходится от источников. Отсюда и происходит название «расходимость» или
«дивергенция».
9. Циркуляцией векторного поля a(M ) по замкнутой линии l в заданном
направлении называется криволинейный интеграл
l
l
Ц Pdx Qdy Rdz a dr ,
(9.20)
где dr dx i dy j dz k .
Если взять другое направление обхода кривой (изменить ориентацию),
то вектор dr изменит направление на противоположное, поэтому скалярное
произведение a dr , а, значит, и циркуляция (криволинейный интеграл (9.20))
изменит знак.
Если a вектор силы, то циркуляция Ц представляет собой работу силового векторного поля вдоль кривой l в заданном направлении.
Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией вектора a вдоль
любого замкнутого контура l и потоком ротора этого вектора через поверхность S, ограниченную упомянутым контуром
Pdx Qdy Rdz rot a n
l
0
dS .
(9.21)
S
Направление нормали n должно быть согласовано с направлением обхода контура l.
Чтобы циркуляция была отлична от нуля для малого контура, окружающего некоторую выбранную точку поверхности, поле a должно поворачиваться (иметь завихрение) вблизи этой точки. Из формулы Стокса следует, что то108
гда и rot a вблизи этой точки будет отличен от нуля. Таким образом,
rot a(M ) rot характеризует завихрение поля в точке M. Отсюда и происходит
название «вихрь» или «ротор».
Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
y
1
0
dy
f ( x, y)dx .
1 1 y 2
Чтобы изменить порядок интегрирования
в данном повторном интеграле, нужно:
1) записать область интегрирования по пределам повторного интеграла в виде неравенств и построить их;
2) записать область интегрирования иначе, изменив порядок интегрирования на обратный порядок интегрирования;
3) расставить новые пределы.
В результате перемены порядка интегрирования может вместо
одного интеграла получиться два и больше и, наоборот, из нескольких –
один повторный интеграл.
Помните, что внешние пределы постоянны, а внутренние чаще
всего переменны.
▲ 1) Из пределов интегрирования в повторном интеграле следует, что область
интегрирования G данного повторного интеграла ограничена прямыми линиями y 0 и y 1 , линией x 1 1 y 2 и прямой x y , т. е.
y x 1 1 y 2 ,
G:
0 y 1.
Линия x 1 1 y 2 x 1 1 y 2 представляет собой дугу окружности
( x 1)2 y 2 1 с центром в точке C(1; 0) и радиусом равным 1 (см. рис. 8).
109
у
x y
x 1 1 y 2
−0.5
−2
−1
O
х
Рис. 8
2) Область интегрирования G, правильная относительно оси Oy, проектируется
на ось Ox в отрезок [2; 0] . Верхняя граница области интегрирования y2 ( x) на
отрезке [2; 0] задана двумя аналитическими выражениями: y x и
y 1 ( x 1) 2 . Следовательно, разбиваем область интегрирования прямой,
параллельной оси Oy и проходящей через точку пересечения линий
( x 1)2 y 2 1 и y x , абсцисса которой , на две области G1 и G2 :
2 x 1,
1 x 0,
G1 :
G2 :
2
0 y 1 ( x 1) ,
0 y x.
y
1
3) Получаем
0
dy
1( x 1) 2
1
f ( x; y)dx
1 1 y 2
2
dx
0
0
x
f ( x; y)dy dx f ( x; y)dy . ▼
1
0
Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z 0 ,
z 4 x2 y2 .
▲ По заданным уравнениям поверхностей строим область методом сечений
(находим сечения тела координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им): x 0 : z 4 y 2 парабола; y 0 : z 4 x 2 парабола;
z 0 : x 2 y 2 4 окружность.
Следовательно, z 4 x 2 y 2 параболоид вращения. Область G (сечение параболоида плоскостью z 0 ) окружность
z 4 x 2 y 2 ,
G:
x2 y 2 4 .
z 0
110
Перейдем к цилиндрической системе координат.
V
dxdydz
2
4 r 2
2
0 2 ,
rdrddz 0 r 2,
0 z 4 r 2
d rdr dz d rdr z
0
0
0
0
0
2
2
4 r 2
2
d 2r
2
r
1
4
4
2
0
2
2
d r (4 r
0
2
)dr
0
2
4 d 8 . ▼
0
0
0
( xy 1)dx x
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
2
ydy от точки
l
A(1; 0) до точки B(0; 2) : 1) по прямой линии 2 x y 2 , 2) по дуге параболы
4x y 2 4 , 3) по дуге эллипса x cost, y 2 sin t .
у
x cost , y 2 sin t
1
O
0.5
х
2x y 2
4x y2 4
Рис. 9
▲ Сделаем чертеж (рис. 9).
2 x y 2,
AB :
1) ( xy 1)dx x ydy y 2 2 x, dy 2 dx,
x 1,
AB
xB 0
A
2
111
x(2 2 x) 1 x
0
2
0
(2 2 x)( 2) dx (4 x 3 6 x 2 2 x 1)dx
1
1
0
( x 4 2 x 3 x 2 x) 1 .
1
AB :
4x 4 y 2 ,
2
2) ( xy 1)dx x ydy x 1 14 y , d x 12 ydy,
y 0,
AB
yB 2
A
2
2
1 14 y 2 y 1 12 y 1 14 y 2
0
y dy
2
2
1
16
y 5 18 y 4 12 y 3 12 y 2 32 y dy
0
3)
( xy 1)dx x
AB
2
1
96
y6
1
40
y 5 14 y 4 16 y 3 34 y 2
2
0
17
.
15
AB :
x cos t , y 2 sin t ,
ydy
dy 2 cos tdt
dx sin tdt,
(cos t 2 sin t 1)( sin t ) cos
2
2
y 0 2
2 0 2
t 2 sin t 2 cos t dt
0
2
2
2
0
0
2 sin td (sin t ) sin tdt 4 cos3 td (cos t )
2
0
23 sin 3 t cos t cos 4 t
112
2
0
4
.▼
3
,
x 1 0
t 0 2
Пример 4. Вычислить поток векторного поля a y 3 i x3 j z 2 k через замкнутую поверхность S, образованную плоскостью z 2 и частью конуса
x 2 y 2 z 2 ( z 0) . Проверить результат с помощью формулы ОстроградскогоГаусса.
▲ Поверхность S состоит из двух поверхностей:
S1 части конуса
x y z и S 2 части плоскости z 2 . Поэтому поток через поверхность S
равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:
2
2
2
Π Π1 Π 2
a n
1
dS1
S1
a n
2
dS2 ,
S2
где n1 и n2 внешние единичные нормали к конусу и плоскости соответственно (см. рис. 10).
у
n2
n1
О
х
Рис. 10.
Вычислим поток через поверхность S1 , уравнение которой в явном виде
z x 2 y 2 (так как z 0 ). Исключая z из уравнений S1 и S2 , получим
уравнение границы области G (проекции поверхности S1 на плоскость Oxy ):
x 2 y 2 4 . Вектор внешней нормали к поверхности S1
x
n1 n1 grad z x 2 y 2
;
x2 y2
x
y
;
; 1 .
2
2
x2 y2
x y
; 1
2
2
x y
y
113
Здесь в выражении для нормали выбран знак «», так как угол между осью Oz
и нормалью n1 тупой, и, следовательно, cos Oz ;n1 0 .
Найдем скалярное произведение векторов a и n1
x
an1 y 3 ; x 3 ; z 2
;
2
x y2
3
3
xy x y
; 1
z2 .
2
2
2
2
x y
x y
y
Учитывая, что z x 2 y 2 на поверхности S1
a n1
z x y
2
2
xy 3 x 3 y
x y
2
2
x2 y 2 ,
3
3
xy x y x 2 y 2 dxdy . Область G есть
2
2
G x y
круг x 2 y 2 4 . Поэтому переходим к полярным координатам
по формуле (9.16) получаем 1
x2 y2 r 2 ,
0 2 ,
x r cos ,
y r sin , d x d y r d r d , 0 r 2.
Π1
2
d r
0
2
114
r 4 cos sin 3 cos3 sin
r 2 rdrd
r
G1
4
cos sin cos 2 r 3 dr
0
5
1
sin 2 cos 2 r
2
5
0
2
2
0
r4
2
2
2
d 32 1 sin 4d 4 d
4 0
5 4
0
0
8 1
cos 4
5 4
2
4 2 8
0
Вектор внешней нормали к поверхности S2 n 2 grad ( z 2) (0; 0; 1) .
Здесь в выражении для нормали выбран знак «+», так как n 2 Oz . Тогда
имеем
an 2 y 3 ; x 3 ; z 2 (0; 0; 1) z 2 ; a n 2
2
2
2
r2
4 dxdy 4 d rdr 4
2
G2
0
0
0
2
z 2
4;
2
d 16 .
0
Таким образом, поток векторного поля через поверхность S S1 S 2 равен
Π Π1 Π2 8 16 8 .
Найдем решение этой задачи с помощью формулы ОстроградскогоГаусса (9.20). Дивергенция поля a y 3 i x3 j z 2 k равна
div a
( y 3 ) ( x 3 ) ( z 2 )
2z ,
x
y
z
а поток (в цилиндрической системе координат)
Π
2
x r cos ,
0 2 ,
2 z dxdydz
y r sin ,
0 r 2,
d x d y d z r d r d d z, r z 2
2
2
2
2
2
z rdrddz 2 d rdr zdz 2 d r 12 z 2
0
0
r
0
0
2
2 d r 2
0
2
2
0
1
2
r
2
dr 2 r
0
2
18 r 4
2
2
dr
0
d 8 .
0
115
Следовательно, как и в первом случае, Π 8 . ▼
Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля a y 3 i x3 j z 2 k по
контуру l, образованному пересечением поверхностей S1 : x 2 y 2 z 2 ( z 0)
и S 2 : z 2 . Проверить результат с помощью формулы Стокса.
▲ Пересечением указанных поверхностей (см. пример 4) является окружность
x 2 y 2 4 . Направление обхода контура выбираем так, чтобы ограниченная
им область G (круг) оставалась слева. Запишем параметрические уравнения
контура (окружности) x 2 cos t , y 2 sin t , z 2 . По формулам (9.20) и (9.15)
получаем
x 2 cos t , dx 2 sin tdt,
Ц y dx x dy z dz y 2 sin t , dy 2 cos tdt, 0 t 2
z 2,
l
dz 0,
3
3
2
2
2
8 sin 3 t sin tdt 8 cos3 t 2 cos tdt 4 0 16
0
sin
4
t cos 4 t dt
0
2
2
16 sin 2 t cos 2 t 2 sin 2 t cos 2 t dt 16
0
2
1
1
sin 2
2
2t dt
0
2
1 cos 4t
3t sin 4t 2
16 1
dt 16
24 .
4
16 0
4
0
Применим теперь формулу Стокса (9.21). При возрастании параметра t от 0 до
2 движение по окружности происходит против часовой стрелки относительно
единичного вектора n 2 k (0; 0; 1) . Ротор данного векторного поля находим
по формуле (9.18)
i
rot a
x
y3
116
j
y
x3
k
z
z2
( z 2 ) ( x 3 ) ( z 2 ) ( y 3 ) ( x 3 ) ( y 3 )
i
j
k
y
x
x
z
z
y
0; 0; 3( x 2 y 2 ) .
Скалярное произведение вектора rot a на вектор n 2
rot an 2 0; 0; 3( x 2 y 2 ) (0; 0; 1) 3( x 2 y 2 ) .
Поэтому искомая циркуляция (9.21)
Ц
rot a n
2
x
dS 3
s
2
y 2 dxdy
G
x r cos , x 2 y 2 r 2 , 0 2 ,
y r sin , d x d y rdrd , 0 r 2
2
2
2
3 d r 2 rdr 3
0
0
0
r4
4
2
d 24 ,
0
что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое интегральная сумма?
2. Что называется двойным интегралом от функции f ( x; y) по области
X? Укажите его геометрический смысл.
3. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении
постоянного множителя за знак двойного интеграла.
4. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных интегралов.
5. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного
интеграла, аналогичную теореме для определенного интеграла.
117
6. Что называется повторным интегралом от функции f ( x; y) по области X? Как он вычисляется?
f ( x; y)dxdy
7. Сведите двойной интеграл
к повторному интегралу
G
двумя способами, если G − круг, ограниченный окружностью
( x 1) 2 ( y 2) 2 25 .
8. Что называется тройным интегралом от функции f ( x; y; z) по пространственной области V ?
9. Что называется трехкратным интегралом от функции f ( x; y; z) по
области V? Как он вычисляется?
10. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов.
11. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.
12. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 1-го рода; б) предела интегральных сумм.
13. Что называется криволинейным интегралом по координатам? Сформулируйте известные вам свойства криволинейного интеграла.
14. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 2-го рода; б) предела интегральных сумм.
15. Что называется криволинейным интегралом по длине дуги плоской
кривой?
16. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной
уравнением y f ( x) или x ( y) ?
17. Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное направление?
18. Каков смысл обозначения
Pdx Qdy ?
L
19. Сформулируйте теорему о связи между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.
20. Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов 2-го рода.
21. Напишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых
она верна.
22. Выведите формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.
23. Что означает утверждение: «Криволинейный интеграл
Pdx Qdy
L
не зависит от пути интегрирования»?
118
24. Что означает утверждение: «Выражение Pdx Qdy является полным
дифференциалом в области G?
25. Дайте определение односвязной области на плоскости.
26. Что называется поверхностным интегралом? Напишите формулы для
его вычисления.
27. Сформулируйте понятие векторного поля.
28. Дайте определение поверхности: а) двусторонней; б) односторонней;
в) ориентированной.
29. Каким характеристическим свойством обладает, двустороння поверхность; односторонняя поверхность?
30. Зависят ли от ориентации поверхности: а) поверхностный интеграл
1-го рода и его интегральные суммы; б) поверхностный интеграл 2-го рода?
31. Как вводится положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности, ограниченной этим контуром?
32. Напишите формулу Стокса и сформулируйте условия, при которых
эта формула верна.
33. Напишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива.
34. Дайте определение скалярного и векторного полей и приведите примеры физических полей.
35. Что такое поверхности уровня?
36. Что такое векторные линии?
37. Дайте определение производной по направлению для скалярного и
векторного полей. Как связана производная по направлению с частными производными?
38. Найдите производную скалярного поля u ( x x0 ) 2 y 2 z 2 в
точке A(0; 0; 0) по направлению: а) оси Ox; б) оси Oy; в) вектора l = {1; 1; 1}.
39. Дайте определение градиента скалярного поля. Как связана производная по направлению l с градиентом скалярного поля в данной точке?
40. Какое векторное поле называется потенциальным?
41. Дайте определение дивергенции векторного поля. Каков физический
смысл дивергенции?
42. Что называется потоком векторного поля?
43. Дайте определение ротора векторного поля. Каков физический
смысл ротора?
44. Какое векторное поле называется безвихревым?
45. Какое векторное поле называется соленоидальным?
46. Что такое оператор Гамильтона?
119
47. Запишите с помощью оператора Гамильтона: а) градиент скалярного
поля; б) дивергенцию векторного поля; в) ротор векторного поля; г) формулу
для производной скалярного поля по направлению l.
48. Используя правила вычислений с оператором Гамильтона, докажите,
что div[ab ] (b rot a) (a rot b) .
49. Что такое полная производная; локальная производная? Что они характеризуют и каким соотношением связаны?
После изучения тем ”Общая схема построения интегралов. Теория поля“
выполните контрольную работу 9.
120
