Lekciya_7

Лекция № 7.
Принципы линейной обработки дискретных сигналов.
Линейная обработка дискретных сигналов (цифровая обработка, цифровая
фильтрация) – произвольная линейная операция над входными дискретными данными.
Дискретный фильтр (цифровой фильтр) – дискретная система (физическое
устройство или компьютерная программа) преобразующая последовательность
дискретных отсчетов x(n) входного сигнала в последовательность отсчетов  y(n)
выходного сигнала, обладающая свойствами линейности и стационарности:
y(n)  F  x(n) ,
(7.1)
где F – линейный стационарный оператор преобразования. Линейность означает, что
выходная реакция системы на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы,
поданные на вход по отдельности. То есть в линейной системе входной
последовательности 1 x1 (n)   2 x2 (n) на выходе соответствует последовательность
1 y1 (n)  2 y2 (n) при любых коэффициентах i . Стационарность системы означает, что
задержка входного сигнала приводит к такой же задержке выходного сигнала, не меняя
его формы.
Преобразование сигналов дискретными (цифровыми) фильтрами описывается
разностным уравнением. Дифференциальное уравнение, описывающее линейную
систему, преобразуется в форму разностного уравнения, если отсчеты функции
происходят в равноотстоящие моменты времени: 0, T , 2T ,..., nT ,... Для аналоговой
системы линейное дифференциальное уравнение в операторном виде записывается так:
A( p) y (t )  B( p) x(t ),
где A( p)  a0  a1 p  a2 p 2  ...  am p m ;
B( p)  b0  b1 p  b2 p 2  ...  bl p l ;
(7.2)
(7.3)
(7.4)
ai , b j  коэффициенты дифференциального уравнения; m  порядок уравнения (порядок
наивысшей производной в от выходного сигнала); l  порядок наивысшей производной от
входного сигнала; m  l.
При переходе от аналоговой формы к дискретной порядок уравнений m и l
сохраняется, но значения коэффициентов ai , b j меняются. Введя обозначения:
y (n)  y (nT ); x(n)  x(nT ) , и q  r y(n)  y(n  r ) , получим:
 a0  a1q 1  a2 q 2  ...  am q  m  y (n)  b0  b1q 1  b2 q 2  ...  bl q  l  x (n) .
(7.5)
1
Разностное уравнение (7.5) в общем виде записывается следующим образом:
m
l
i 0
j 0
 ai y(n  i)   bj x(n  j),
или
(7.6)
y(n)   ai y(n  i)   b j x(n  j ).
(7.7)
m
l
i 1
j 0
Таким образом, дискретный фильтр представляет собой линейную комбинацию
равноотстоящих отсчетов x ( n  j ) некоторой функции x(t ) , а также вычисленных
значений на выходе фильтра y (n  i ) .
Если в формуле (7.7) все коэффициенты ai  0 , фильтр называют нерекурсивным
(трансверсальным). Он работает по алгоритму:
y(n)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2)  ...  bl x(n  l ).
(7.8)
Если хотя бы один из коэффициентов ai  0 , то фильтр называют рекурсивным
(фильтром с обратной связью). В нем для формирования n  го значения выходного
сигнала используют предыдущие значения как входного, так и выходного сигналов.
Основные структурные элементы дискретных (цифровых) фильтров. В
дискретных фильтрах в соответствии с (7.7) используют три операции: задержку на
интервал отсчета, сложение и умножение. Соответственно основными элементами
дискретных фильтров как физических устройств являются:

элемент единичной задержки (на интервал дискретизации сигнала);

сумматор;

умножитель.
Условные обозначения этих элементов и выполняемые ими операции
представлены в таблице 7.1.
Элемент
Символическое обозначение
Выполняемая операция
Элемент единичной
задержки
Сумматор
x ( n)
Z 1
y ( n)
y (n)  x(n  1)
+
y ( n)
y (n)   xi (n)
x1 (n)
x2 (n)
i 1
...
xk (n)
Умножитель
m
x ( n)
k
y ( n)
y ( n)  m x ( n)
2
Дискретный сигнал в процессе его цифровой обработки может быть разложен
(представлен) только по системам дискретных базисных функций, у которых отсчеты по
времени совпадают с отсчетами сигнала. Рассмотрим несколько наиболее важных систем
дискретных базисных функций.
1. Цифровой единичный импульс, или единичный отсчет:
1, n  k
u0 (n  k )  
0, n  k
(7.9)
u0 (n  k )
1,0
n
k
На рисунке показан единичный импульс, задержанный на k отсчетов. Этот импульс в
дискретных системах играет такую же роль, как дельта-функция Дирака  (t ) в
аналоговых системах. Однако единичный импульс – это реализуемый сигнал, а второй
– обобщенная функция. Единичный импульс без задержки записывается в виде:
1, n  0
u0 (n)  
0, n  0
(7.10)
2. Цифровой единичный скачок, или ступенчатая функция:
1, n  0
u1 (n)  
0, n  0
(7.11)
u1 (n)
1,0
n
0
3. Экспоненциальная дискретная функция (убывающая экспонента):
a n , n  0
e(n)  
0, n  0
e( n )
1,0
(7.12)
a 1
n
4. Косинусоидная дискретная функция:
3
C (n)  cos(2
n
)
n0
(7.13)
C ( n)
1, 0
n
1, 0
На рисунке C (n)  cos 0 n,
0  2 8.
5. Комплексная дискретная экспонента:
e jn  cos(n)  j sin(n).
(7.14)
При изменении n модуль функции e j n остается равным единице, а фаза n
нарастает по линейному закону. Это значит, что вектор, изображающий данный сигнал в
комплексной плоскости, равномерно вращается против часовой стрелки, описывая
окружность радиуса 1.
Определим некоторые, важные для дальнейшего, виды последовательностей
дискретных отсчетов. Последовательность y (n)  x(n  k ) называется сдвинутой и
получается из последовательности x(n) при ее сдвиге по оси n вправо, если k  0 , и
влево, если k  0.
Периодической является последовательность x(n) , удовлетворяющая условию
x(n)  x(n  mN ) , где m, N  целые числа, m  1, 2,... Число N называется периодом
последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале
одного периода, например при 0  n  N 1.
Круговой (периодической) сверткой двух периодических с периодом N
последовательностей x1 (n) и x2 (n) называется последовательность
N 1
N 1
m0
m0
y (n)   x1 (m) x2 (n  m)   x1 (n  m) x2 (n)
(7.15)
Последовательность (7.15) является периодической с периодом N .
Введем определение спектра дискретного сигнала. Пусть дискретный сигнал x(n)
получен дискретизацией с шагом T непрерывного аналогового сигнала x(t ) . Модель
дискретного сигнала xд (t ) может быть записана в виде:
xд (t ) 

 x(nT ) (t  nT )
(7.16)
n 
Тогда спектральная плотность S ( j ) дискретного сигнала запишется в виде:
4
S ( j ) 


xд (t )e  jt dt 




 x(nT )  e
n 
 jt


  x(nT ) (t  nT )e
dt 
 n 
 (t  nT )dt 

 x(nT )e
n 

 jt
 j nT


 x(n)e
(7.17)
 j n
.
n 
Из (7.17) следует, что спектр дискретного сигнала является периодической
функцией частоты  с периодом, равным частоте дискретизации д  2 T . Отсюда
обратное преобразование Фурье для дискретного сигнала будет иметь вид:
T
x(n)  x(nT ) 
2
 T



S ( j )e jnT d 
(7.18)
T
Очевидно, что свойство периодичности спектра распространяется также на его модуль
S ( j ) и аргумент arg  S ( j). Для вещественных последовательностей модуль спектра
S ( j ) является четной функцией частоты, а аргумент – нечетной функцией частоты.
5