Метод конечных элементов - Балтийский федеральный

А.В. Румянцев
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Калининград – 2010
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. КАНТА
А.В. Румянцев
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Издание третье, переработанное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальностям теплофизического,
теплоэнергетического и теплотехнического профиля
Калининград - 2010
1
УДК 621. 43
Румянцев А.В. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности: Учебное пособие / Изд. 3-е, перераб. – Российский госуниверситет им. И. Канта. – Калининград. 2010. – 95 с.
ISBN –
В учебном пособии рассматриваются основы метода конечных элементов в
формулировке метода взвешенных невязок – метода Галеркина – применительно к
нестационарным задачам сложного теплообмена в объектах различного назначения
(авиационно-космических, теплоэнергетики и теплотехники). Пособие содержит
большое количество задач, решение которых способствует практическому освоению
материала. Приведенная в пособии подробная процедура получения алгоритма вычислительной программы наполнена физическим смыслом, что должно способствовать осознанному использованию получивших широкое распространение “тяжелых“
программ типа “NISA“, “ANSYS“ и многих других, базирующихся на методе конечных элементов, и, особенно, физически грамотному заданию граничных условий.
Предназначено для студентов, аспирантов и инженеров теплофизического
(теплотехнического) профиля. Изложено в форме, доступной для самостоятельного
изучения и получения практических навыков решения инженерных задач сложного
теплообмена численным методом конечных элементов.
Печатается по решению редакционно-издательского Совета Российского государственного университета им. И.Канта.
Рецензенты:
кафедра
кафедра
В.Н. Скоков
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………….5
ГЛАВА 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ …………………………………12
1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной
системе координат ………..............................................................................12
1.2 Краевые условия задачи ……..……………………………………………….15
1.3 Краткая характеристика методов решения краевой задачи………………...18
Задание 1 ……………………………………………………………………….20
ГЛАВА 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ
ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ……................................................................20
2.1 Методы взвешенных невязок ..……………………………………………......20
2.2 Основная концепция метода конечных элементов ………………………….23
Задание 2 ...…………………………………………………………………….26
ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МКЭ ………………………………26
3.1Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов ……………………27
3.2 Дискретизация области на элементы ...………………………………………29
3.3 Нумерация элементов и узлов ………...…………...........................................31
3.4 Индексация узлов, формирование таблицы входных данных……………...33
Задание 3 ...……………………………………………………………………34
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТА ...…......................35
4.1 Метод Крамера .............……………………………………………………....36
4.2 Метод Лагранжа …...………………………………………………………....40
4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа …...……………………………….42
4.4 Эрмитовы элементы …………………………………………………………43
4.5 Свойства базисных функций……………………..........................................44
Задание 4 ……………………………………………………………………..46
ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МКЭ ….........................................47
5.1 Общее решение краевой задачи методом Галеркина………………...........47
5.2 Матричное представление элементного вклада …………………………..50
5.3 Формирование глобальных матриц ………………………………………..53
5.4 Стандартизация матриц элемента ...………………………………………..55
5.5 Естественная система координат…………………………………………...57
3
5.6 Средние температуры элемента…………………..........................................60
Задание 5 …………………………………………...........................................61
ГЛАВА 6. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕММЕНТОВ..................................................................61
6.1 Задание краевых условий задачи ……………………………………………62
6.2 Решение системы динамических уравнений ……………………………….64
6.3 Учет температурной зависимости свойств элемента ...…............................67
6.4 Радиационный компонент теплообмена ………………………………….. 69
6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность и
пространственная изотропия…………………………………………………72
Задание 6……………………………………………………………………....76
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.….…..…………………………………………………....77
ПРИЛОЖЕНИЕ 1………………………………………………………………………81
ПРИЛОЖЕНИЕ 2………………………………………………………………………84
4
ВВЕДЕНИЕ
Теорией теплопередачи или теплообмена называется наука, изучающая процессы переноса тепла в пространстве с неоднородным температурным полем. Наука о
теплообмене насчитывает несколько столетий, но настоящего расцвета она достигла
лишь в XX веке, найдя широкое применение при решении назревших практических
задач техники. Из раздела теоретической физики учение о теплообмене превратилось
в самостоятельную научно-техническую дисциплину.
Особенно сложные и важные задачи стоят в области изучения теплообмена в
современной авиационной, ракетной и космической технике. При сверхзвуковых скоростях полета значительно изменяются условия теплопередачи в отдельных элементах конструкции летательного аппарата, возникает необходимость его охлаждения
или защиты от аэродинамического нагрева. Проблема тепловой защиты космического
летательного аппарата, изучаемая в течение последних 30-40 лет, не утратила своей
актуальности и сегодня, несмотря на достигнутые определенные успехи [19, 32, 36,
45-52].
Не менее важные и сложные проблемы учета теплообмена возникают при конструировании современных авиационных и ракетных двигателей. Высокая тепловая
напряженность реактивных двигателей, использование криогенных топлив и многие
другие важные вопросы требуют от современного конструктора этих двигателей умения произвести сложный инженерный расчет теплообмена в них и в их агрегатах.
Большое значение теория теплообмена имеет в расчетах как самих тепловых
режимов летательных аппаратов, так и систем их обеспечения, а также систем жизнеобеспечения экипажа, надежной работы радиоэлектронной аппаратуры и т.д. [46-52].
На теории теплообмена базируются методы получения тепловой энергии, распределения, транспортирования, использования с помощью тепловых машин, аппаратов и установок, − паровых и водогрейных котлов, теплообменников, паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания и т.п. Анализ процессов теплообмена
в теплоэнергетических и теплосиловых установках позволяет выявить их влияние на
эффективность работы этих установок и определить пути ее повышения [21, 22, 23, 35
– 38]. В современной атомной энергетике теория теплообмена используется для расчета тепловых режимов ядерных энергетических установок, проектирования систем
их обеспечения и безопасности [39].
5
Таким образом, курс "теплопередача" является одной из важнейших теплотехнических дисциплин, необходимых для современного инженера в области авиационной, ракетной и космической техники, в теплотехнике и теплоэнергетике. Цель изучения дисциплины − подготовка студентов к освоению теории и методов расчета теплообмена в спецкурсах, и к использованию полученных знаний и навыков на стадии
курсового и дипломного проектировании впоследствии в профессионал деятельности.
Проектирование теплотехнического устройства независимо от назначения последнего неотъемлемой своей частью содержит тепловое моделирование [45-52].
Тепловое моделирование представляет собой типичную задачу оптимального
управления тепловым режимом. Главное содержание задач оптимизации в том, чтобы
из различных возможных реализаций рассматриваемого процесса выбрать такую, при
которой тепловой режим был бы наилучшим по некоторому заранее указанному критерию [39- 42].
Выбор оптимальных тепловых режимов невозможен без методов и средств
точного решения прямой задачи теплопроводности. Как правило, это требование первично [44]. Методы и средства решения ординарных задач оптимального управления
и обратных задач теплопроводности необходимы, важны, оптимизируют расчеты, но
требования к ним вторичны. Задачи прогноза, задачи конструктивных расчетов можно решать, лишь имея математическую модель прямой задачи теплопроводности, метод и средства ее решения, каковым является тепловой режим теплотехнического
устройства в целом или отдельных его подсистем (элементов) [45].
Под тепловым режимом традиционно понимается последовательность (во времени) температур всех частей теплотехнического устройства, необходимых для его
нормального функционирования на любом этапе. Именно такое содержание понятия
"тепловой режим" однозначно определяет смысл задачи обеспечения теплового режима или понимания состояния, связанного с нарушением теплового режима [32].
В инженерной практике температурные требования обычно формулируются
как требования к диапазону температур, в пределах которого обеспечивается одинаковая надежность работы всех элементов устройства. Чем уже диапазон допустимых
температур, тем больше весовые и энергетические затраты на обеспечение теплового
режима. Поэтому так важен учет всех компонент теплообмена, приводящий к расширению диапазона температур, снижение требований к системе обеспечения режима
6
[45-52].
В настоящее время все большее значение в инженерной практике теплового
проектирования приобретает математическое моделирование процессов теплообмена
в сложных системах. Оно позволяет заранее с помощью относительно простых
средств проверить расчетным путем правильность принятых инженерных решений и
устранить возможные ошибки на стадии проектирования до изготовления системы.
Сущность математического моделирования кратко можно выразить триадой "модельалгоритм-программа". Речь идет о замене объекта его моделью и о дальнейшем исследовании на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов [40, 41, 42,
46, 50].
Математическая тепловая модель может быть выражена различными средствами − от языка функционального анализа и дифференциальных уравнений до вычислительного алгоритма и машинной программы.
Математическая модель должна отражать структуру и характерные особенности рассматриваемых процессов или явлений, иметь подробное формализованное математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений и функциональных соотношений, а также моделирующий алгоритм. Математическая модель
должна быть, по возможности, универсальной, т. е. обеспечивать расчеты и моделирование сложного нестационарного теплообмена в многоэлементных системах любой
геометрической конфигурации с локально распределенными динамическими внутренними и внешними тепловыми нагрузками.
На стадиях от эскизного проектирования до экспериментальной отработки
включительно одной из основных задач математического моделирования является
определение действительных значений температур в характерных точках объекта и
систем обеспечения теплового режима, их соответствия требуемым значениям во
всем расчетном диапазоне изменения внутренней тепловой нагрузки и внешних воздействий при заданной структуре и параметрах разрабатываемого объекта.
Среди численных методов решения дифференциальных уравнений метод конечных элементов (МКЭ) является наиболее эффективным и универсальным [2, 3, 6].
Метод конечных элементов на сегодняшний день является общепризнанным
методом структурного анализа в целом ряде областей науки и техники [1-8]. В значительной мере это объясняется:
7
• возможностью задания локальных граничных условий;
• простой физической интерпретацией его вычислительных операций;
• большой геометрической гибкостью и применимостью к широкому классу
дифференциальных уравнений в частных производных [2, 3, 6];
• обеспечением единственности получаемого решения во всех точках рассматриваемой области;
• эффективностью и экономичностью при его машинной реализации в сравнении с другими методами.
Область применения МКЭ существенно расширилась, когда было показано, что
возможна не только его вариационная формулировка, но и формулировка на основе
метода взвешенных невязок, в частности, метода Галеркина.
Универсальность метода Галеркина обеспечивается использованием непосредственно дифференциального уравнения с его краевыми условиями, описывающего
исследуемый физический процесс, и не требующий поэтому предварительного конструирования минимизируемого затем функционала, как это делается в вариационной
формулировке МКЭ. Метод Галеркина позволяет получить решение в обобщенном
виде в любой системе координат для объекта любой размерности и геометрии с сохранением всех преимуществ метода конечных элементов в целом.
Данное учебное пособие посвящено изложению основ теории МКЭ применительно к краевым задачам теории поля с опорой на метод Галеркина как наиболее
универсальный и точный среди других версий. Общие вопросы практической реализации метода изложены в разделах со 2-й по 6-ю главы пособия, что позволяет
использовать его в инженерной практике различных специальностей. Наибольшее
внимание уделено задачам сложного теплообмена в самой общей постановке, и дано
их решение в общем виде − в форме алгоритма вычислительной программы.
Побудительной причиной написания пособия послужило следующее: в литературе (и не только учебного характера), посвященной численным методам решения
краевых задач теории поля, подобное пособие отсутствует; в монографиях по теории
и практике применения МКЭ задачи теплопроводности приводятся лишь в иллюстративных целях, причем для осесимметричных задач в [23] предложены неверные решения, как нами показано в [14]. Наиболее важный для объектов авиационной и космической техники радиационный компонент теплообмена вообще не рассматривался.
8
Материал пособия органически связан с изучаемыми на младших курсах дисциплинами, такими как математический анализ, векторное и тензорное исчисление,
дифференциальные уравнения, численные методы анализа, теория теплообмена, программирование и применение ЭВМ. Предполагается, что студент хотя бы в общем
виде знаком с целями и задачами проектирования и, в частности, теплового проектирования теплотехнических устройств, соответствующих профилю его будущей специальности [35-38, 40, 41, 47-49].
Из-за ограниченности объема в пособии опущены некоторые специальные вопросы математического характера, относящиеся больше к теории, нежели к практике
применения МКЭ, и не излагается вариационная формулировка метода. Достаточно
подробное освещение этих вопросов имеется в литературе [1-8] и при желании их
можно освоить самостоятельно, поскольку общие вопросы теории и практики применения МКЭ в пособии даны.
В отличие от традиционного подхода, в пособии рассмотрены только трехмерные (объемные) задачи сложного теплообмена, что естественно с физической точки
зрения: конвективный, радиационный теплообмен и внешние поверхностные нагрузки должны учитываться на самих поверхностях элемента, а не на условных границах
по его периметру, как это делается в двумерных и одномерных задачах. Такая подмена приводит к количественным несоответствиям, так как площади поверхностей элемента и условных границ – это не одна и та же величина, и, кроме того, нормали к
ним не совпадают, что особенно скажется при учете ориентационной зависимости
внешней нагрузки. Освоив изложенную в пособии методику получения решения
трехмерной задачи, не трудно найти решение задач меньшей размерности. Именно в
этих целях в Приложении 2 дан каталог одно- и двумерных элементов.
Элементы высокого порядка – квадратичные, кубичные и т.д., а также сопутствующие им вопросы численного интегрирования в пособии не рассматриваются,
ибо линейные мультиплекс-элементы обеспечивают достаточную для инженерных
расчетов точность получаемого с помощью МКЭ решения задачи сложного теплообмена. Как правило, погрешности задаваемых параметров при тепловом проектировании довольно велики, и это делает нецелесообразным поиск более точного решения.
Задачей данного пособия является практическое освоение студентами (и специалистами теплотехнического профиля) одного из наиболее эффективных современ-
9
ных методов численного решения нестационарной задачи сложного теплообмена в
объектах самого различного назначения, и методики получения обобщенного алгоритма универсальной вычислительной программы. Изучение материала пособия
должно носить последовательный характер с обязательным выполнением заданий к
каждой главе. Чтение лекций следует совмещать с практическими занятиями, ориентированными на выполнение приведенных в пособии заданий. Завершать курс желательно вычислительным практикумом по расчету температурного поля элементов
конкретных достаточно простых конструкций. На изучение курса, как показывает 30и летний опыт его преподавания, достаточно 90 часов аудиторных занятий (54 лекционных и 36 практических занятий) и примерно 36 часов для самостоятельной работы.
В настоящее время получили широкое распространение “тяжелые“ программы
расчета, такие, например, как “NISA”, “ANSYS”, “SOFISTIKA” и другие, базирующиеся на конечных элементах и позволяющие численно исследовать процессы различной физической природы в многоэлементных системах и в сложных конструкциях.
Освоение данного пособия позволяет осознано использовать эти программы, особенно в части физически грамотного задания граничных условий и последующего анализа полученных результатов расчета. Пособие окажется полезным студентам как теплофизического профиля, так и, особенно, студентам математического профиля, подходящих к решению физических задач с формальных математических позиций. Опыт
преподавания показал, что cтуденты-математики быстрее осваивают математические
аспекты “тяжелой” программы, но наполнение ее физическим смыслом вызывает у
них большие трудности. В принципе, пособие следовало бы сопроводить перечнем
теплофизических свойств веществ и их размерностью, но это привело бы к существенному увеличению его объема. Представляется достаточным дать ссылку на
справочную литературу.
Опыт чтения курса показал, что последовательность изложения материала во
втором издании пособия не совсем логична: во второй главе дается общее решение
краевой задачи в рамках МКЭ, в то время как студенты еще не ознакомлены с другими его аспектами. Поэтому в третьем издании этот материал перенесен в 5-ю главу. В
четвертой главе добавлены сведения об эрмитовых элементах, которые могут использоваться в случае больших градиентов температуры без того, чтобы увеличивать количество лагранжевых элементов, как обычно поступают в подобных случаях. В ше-
10
стой главе убран пункт 6.4, посвященный частному вопросу учета конвективного
компонента при течении теплоносителя по неизотермическому каналу. Вместо него
приведены необходимые, на наш взгляд, сведения математического характера, относящиеся к вопросам сходимости и точности получаемого с помощью метода конечных элементов численного решения задачи теплопроводности. В остальном материал
пособия сохранен без изменений принципиального характера.
Представляется желательным снабдить пособие инструкцией пользователя
“тяжелой“ программы, типа “NISA“ или
“ANSYS“, что позволило бы проверить
освоение студентами (и не только ими) всего материала пособия на конкретных примерах путем сопоставления аналитического решения задачи с полученным численным. К сожалению, такая инструкция по объему сопоставима с объемом пособия, и
поэтому она будет издана отдельно, как самостоятельное приложение к пособию. Работа подготовительного характера в этом направлении ведется с помощью аспирантов и наиболее грамотных студентов, что позволит завершить ее в ближайшее время.
11
ГЛАВА 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Физические процессы обычно описываются дифференциальными уравнениями
различного порядка с начальными и граничными условиями к ним. В зависимости от
искомой величины − векторной или скалярной − решение уравнения описывает в общем случае пространственно-временное распределение этой величины, называемое ее
векторным или скалярным полем. В этой главе будут приведены выражения дифференциального уравнения переноса (типа известных из курса дифференциальных уравнений уравнения Лапласа и Пуассона) и граничных условий к ним в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат и дана краткая характеристика аналитических методов его решения.
1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
Диапазон физических задач, решаемых с помощью этого уравнения, достаточно велик. Приведем лишь некоторые из встречающихся в инженерной практике: теплопроводность [1], фильтрация в пористой среде [2, 3], невихревое течение идеальной
жидкости [5], задачи механики сплошных сред [4, 6] и электромагнетизма [7].
Вид нестационарного уравнения переноса хорошо известен из курса дифференциальных уравнений [9]:
k u  xi ,   w  xi ,   u( xi , ) /  ,
i = 1, 2, 3.
(1.1.1)
где ∆− лапласиан (дифференциальный оператор 2-го порядка); u(xi,τ) − искомая функция, описывающая поле значений физической величины; w(xi,τ) − задаваемая функция
координат и времени; τ − время; k, η − коэффициенты, физический смысл которых
обусловлен природой исследуемого процесса; xi, τ − текущие переменные.
Размерность и геометрическая форма области существования функции u(xi,τ)
определяются, очевидно, геометрией изучаемого объекта (конструкции или ее элемента) Поэтому целесообразно записать уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат, что даст возможность применять его к объекту любой геометрии и размерности. Как станет ясно впоследствии, такая форма записи будет полезна при использовании метода конечных элементов (МКЭ) для решения
уравнения.
Введем некоторую криволинейную ортогональную систему координат ξi

(i=1,2,3) , единичные орты e i которой равны
12


r
ei 
 i

r
.
 i
(1.1.2)

Здесь r − радиус-вектор точки с координатами  i , а модуль его производной
по криволинейной координате  i , называемый параметром Ляме, равен:
rj
1/ 2
2
 3
h j  j  
    xi  j  
 j  i 1

,
j =1, 2, 3.
(1.1.3)
Элементы длины, площади поверхности и объема в этой системе координат
связаны с приращениями координат через параметры Ляме:
3
dli  hi d i ; dS ij  hi h j d i d j ; dV   hi d i .
(1.1.4)
i 1
Градиент функции есть вектор, который в криволинейной системе координат
описывается формулой [9]:
3
3

1  
 

ei   ei .
i 1 hi  i
i 1 l i
(1.1.5)
Оператор Лапласа может быть записан так:


 
  div      .
С учетом ортогональности системы координат подстановка (1.1.5) в последнее
выражение даст [11, 25]:

1 3 

J i 1  i
 J   1 3
 J  
 2
   hi

 ,
 hi  i  J i 1 li  hi li 
(1.1.6)
где J − якобиан преобразования декартовой системы координат в криволинейную,
равный произведению параметров Ляме:
3
J   hi .
(1.1.7)
i 1
Таким образом, дифференциальное уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат будет иметь вид:
1 3
 J  
kii hi

  w  u  .

J i 1
li  hi li 
(1.1.8)
Конкретный вид уравнения (1.1.8) в той или иной системе координат можно
13
получить, если задать функции связи между декартовыми xi и криволинейными  i
координатами.
Очевидно, что в декартовой системе xi  i , в силу чего все параметры Ляме
hi  1 ; следовательно, dli  dxi и J  1 . В итоге на основании (1.1.8) имеем уравнение
переноса в декартовой системе координат:
3
 kii
i 1
2u
 w  xi ,   u  .
li2
(1.1.9)
Связь между координатами xi декартовой и цилиндрической системами координат − 1  r ,  2   ,  3  z − выражается известными соотношениями [11]:
x  x1  r  cos ;
y  x2  r  sin ;
z  x3  z .
Подставляя производные этих функций связи в (1.1.3), найдем параметры Ляме
и якобиан:
h1  1 ;
h2  r ;
h3  1 ;
J  1,
(1.1.10а))
2u
1 u
 k11
 w  r , , z,   u  .
2
h2 l1
li
(1.1.11)
что после внесения их в уравнение (1.1.8) дает:
3
 kii
i 1
В случае сферической системы координат – 1  r ,  2   (азимутальный угол),
 3   (полярный угол) – связь между координатами также известна [11]:
x  r  cos  sin  ;
y  r  sin  sin  ;
z  r  cos  .
Параметры Ляме и якобиан будут следующими:
h1  1 ;
h2  r  sin ;
h3 = r ;
J  r 2 sin ,
(1.1.10 б))
и уравнение примет вид:
2u
2 u
1
u
kii 2  k11
 k33 ctg 
w  r , ,  ,   u  .

h3 l1
h3
l3
li
i 1
3
(1.1.12)
Заметим, что согласно (1.1.4):
 l i  1 hi   i  .
(1.1.13)
Из курса аналитической геометрии [11] известно, что орты криволинейной ор

тогональной системы координат направлены по нормали e1  и по касательным e2  и
14
e3  к соответствующим координатным линиям и не сохраняют свои направления в
пространстве при изменении координат точки, оставаясь при этом ортогональными.
Введем понятие порядка симметрии S системы координат, равном числу изменяющих

свое направление ортов e i при изменении координат точки. Тогда полученные выражения дифференциальных уравнений (1.1.9), (1.1.11) и (1.1.12) могут быть представлены в обобщенном виде:
  2 u S  1 1   i ,2  2 i ,1   i ,3   S ,2 
u 
 i ,3  S ,3
k


Ctg


  w i ,   u  .



ii
2
hS
1   S ,3
li 
i 1
 li
3
(1.1.14)
  ij  1 при i  j;
Здесь  ij − символ Кронекера, равный, как известно, 
 ij  0 при i  j.
При записи (1.1.14) учтено, что для цилиндрической системы S = 2 – e1,2  const ,
для сферической S = 3 − все ei  const , а для декартовой вместо S = 0
(все ei  const ) формально положено S = 1.
Обобщенное нестационарное уравнение (1.1.14) является математической моделью процесса переноса независимо от его физического содержания. Для конкретизации процесса достаточно задать физический смысл входящих в уравнение коэффициентов, что однозначно определит и физическую природу функции u(xi,τ). В электрической интерпретации, например, соответствующие величины будут связаны с величинами проводимости, источника зарядов и потенциала [7]. В интересующем нас
процессе теплопроводности коэффициенты kii являются главными значениями тензора анизотропной теплопроводности [2, 24], η = cpρ − объемная теплоемкость, w − объемная плотность мощности внутреннего источника (стока) тепла, а искомая скалярная
величина u(ξi,τ) − температура T i ,  .
1.2 Краевые условия задачи
В задачах теории поля единственность решения уравнения переноса (1.1.14)
обеспечивается заданием краевых условий задачи: начального поля искомой величины в момент времени, выбранный за нулевой   0 :
u1 ,  2 ,  3 ,0  u 0 1 ,  2 ,  3  ,
(1.2.1)
и граничных условий, которые в задачах теории поля чаще всего формулируются в
виде следующих условий на границе (или ее части) области определения задачи:
15
а) задано поле температур T  поле  −так называемое главное граничное условие:
T    f   ,  i  S ;
(1.2.2)
б) задано обобщенное условие сложного теплообмена [1] − или естественное
граничное условие:
q

 qкe,i  qRe ,i  q e     0 ,
si
(1.2.3)
входящие в (1.2.3) слагаемые описывают теплообмен: q - кондуктивный; q ke,i конвективный (на внешних e и внутренних i поверхностях элемента); q Re,i − радиационный (внешний и внутренний); q e   − внешний поверхностный источник тепла, зависящий в общем случае от времени. Поверхность S ej,i представляет собой j -й участок внешней или внутренней границ, и в совокупности образует oбe границы области в целом (в случае ее многосвязности).
В задачах теплопроводности принято граничные условия задачи подразделять
на четыре рода, а именно:
1-го рода – Т(хi,τ) = f(хi), при этом функция может быть задана в виде константы, например, Т(хi,τ) = Тс;
2-го рода – (qλ + qc)Si = 0; где qc – внешний поверхностный источник энергии
(Вт/м2), чаще всего равный константе; кондуктивный компонент описывается законом
Фурье;
3-го рода – (qλ + qα)Si = 0; связывает кондуктивный и конвективный удельные
потоки на поверхности Si; конвективный компонент описывается законом Ньютона;
4-го рода – полагаются непрерывными температурные поля и удельные тепловые потоки на границе раздела двух сред: Тi(xi)Sk = Tj(xj)Sk; qλi(xi)Sk = qλj(xj)Sk.
По определению граничное условие – это условие энергетического сопряжения
на внешней поверхности тела при наличии двух (трех) механизмов теплообмена или
на границе раздела двух сред. По сути – это условия теплового баланса на поверхности раздела.
Кондуктивный компонент описывается законом Фурье и в обобщенной криволинейной системе координат согласно (1.1.5) имеет вид:
16
 q S
 3
T 
   ii
ei  .
 i 1 li S j
j
(1.2.4)
Конвективный компонент в аналитической теории теплопроводности обычно
выражают законом Ньютона [20]:
 qk S
j
  S j T  Tcp    S j T   S j Tcp ,
(1.2.5)
где  S – коэффициент теплообмена при естественной или смешанной конвекциях,
j
вопросам расчета которого посвящена обширная литература [19–29], но в аналитической теории теплопроводности он полагается заданным в виде некоторого числа;
Тср.– температура среды или теплоносителя.
Радиационный компонент нелинейно зависит от температуры и, согласно закону Стефана-Больцмана [30]:
 qR  S
j
  S j   0 T 4  Tcp4  ,
(1.2.6)
где  S − полусферическая интегральная степень черноты поверхности;  0 = 5,67·10-8
j
Вт/м2К4 – постоянная Стефана-Больцмана.
Запишем естественное граничное условие (1.2.3) с учетом (1.2.4)−(1.2.6) в
обобщенном виде:
3

i 1
ii
T
ei   S j T  DS j  0 ,
li
(1.2.7)
где под DS понимается величина:
j
DS j   S j Tcp  qRe,i  q e   .
(1.2.8)
В целях линеаризации граничного условия радиационный компонент зачастую
представляют в виде, аналогичном конвективному компоненту [20, 24, 32]:
qR   R (T  Tcp ) ,
где  R   S  0 T 3  T 2Tcp  TTcp2  Tcp3  , и затем объединяют с конвективным компоненj
том, вводя суммарный коэффициент теплообмена    S   R . Величину  R рассчиj
тывают, полагая T  T * − некоторой характерной температуре изучаемого процесса
[32]. Если при описании внешнего радиационного теплообмена с такой процедурой
линеаризации можно согласиться, то для внутреннего теплообмена подобная замена
нежелательна, так как в этом случае радиационный компонент рассчитывается с учетом оптико-геометрического фактора – средних разрешающих угловых коэффициен-
17
тах излучения, обусловленного взаимным расположением теплообменивающихся поверхностей и их степеней черноты.
1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
Классификация методов решения тесно связана с видом математической
формулировки задачи теплопроводности. Кроме того, их можно разделить по общим
признакам на три большие группы: точные аналитические, приближенные аналитические и численные методы.
Аналитические методы позволяют получить функциональные зависимости для
распределения температуры и проанализировать влияние различных факторов на температурное поле исследуемого объекта [20 –24]. Для математической формулировки
задачи в виде дифференциального уравнения теплопроводности и соответствующих
краевых условий определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этого уравнения. Возможности точных аналитических методов в
этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности,
когда теплофизические характеристики материала не зависят от температуры, а граничные условия выражается линейной комбинацией температуры и ее градиента на
поверхности тела. Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач. Однако при этом погрешности, внесенные в математическую формулировку при линеаризации, в некоторых случаях могут
быть настолько существенными, что приведут к большим количественным ошибкам,
а иногда исказят и физический смысл полученного решения [44].
Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно
возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [26]. Возможности точных аналитических
методов в случае анизотропности теплофизических свойств крайне ограничены.
Наконец, эти методы приложимы к получению и исследованию температурного поля
тел (конструкций) простой геометрической формы (пластина, цилиндр, шар) и лишь
при осесимметричных граничных условиях. Тем самым, задание локальных граничных условий, наиболее часто встречающихся в реальных конструкциях, из рассмотрения исключается.
_________________________________________________________________________
‫ ٭‬Этот пункт может быть опущен читателем, знакомым с методами решения краевых задач,
без ущерба для понимания последующего материала.
18
Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных
уравнений теплопроводности разработаны методы последовательных приближений
(простой итерации [24] или усреднения функциональных поправок [24]), возмущений
(малого параметра), различные асимптотические и вариационные методы [20, 24].
Инженерные методы расчета температурных полей конструкций (или их элементов) сочетают в себе как приближенные аналитические, так и численные методы
[19, 31, 36, 44, 52].
Методы численного решения являются приближенными, так как они базируются на переходе от непрерывной (континуальной) математической модели процесса
теплопроводности к приближенной дискретной модели. Однако выбор параметров
дискретной модели позволяет регулировать степень приближения, а гибкость и универсальность численных методов в сочетании с удобством их реализации на ЭВМ дает возможность получать приемлемые для инженерной практики результаты.
С точки зрения достоверности определения температур элементов конструкции
и возможностей учета влияния всех существенных факторов, наиболее эффективными являются численные методы. Совершенствование и распространение вычислительной техники превращают эти методы в удобный, а, зачастую, и единственный
инструмент анализа тепловых режимов конструкций и агрегатов различного назначения на стадиях их проектирования и экспериментальной отработки [31, 38, 47, 48,
50– 52].
Численные методы базируются, как правило, на уравнении переноса, представленном в дифференциальной или в интегральной формах. Различия между ними состоят в способе использования уравнения и краевых условий. Одними из широко распространенных являются методы, основанные на конечно-разностной аппроксимации
уравнения и граничных условий. Однако по точности они уступают численным методам решения нелинейных интегральных уравнений [24].
При решении тепловых задач комплексного проектирования объектов космической техники широко используется так называемый метод изотермических элементов (метод алгебраического приближения), основанный на системе уравнений элементарного баланса тепловых потоков в дискретной модели конструкции, состоящей
из теплоемких масс и теплопроводящих стержней (элементов) [32, 45 – 52]. Достоинство метода – исключительная геометрическая гибкость; недостаток – сложность рас-
19
чета кондуктивных связей между элементами и, главное, отсутствие полной физической адекватности исследуемому процессу переноса (игнорирование контактного
термического сопротивления на границе между элементами).
Задание 1
1.1 Получите
выражения
уравнения переноса (1.1.14)
в
декартовой,
цилиндрической и сферической системах координат – S = 1,2,3.
1.2 Проделайте эту же операцию для граничных условий (1.2.7).
ГЛАВА 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ
ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Метод конечных элементов является численным методом и основан на замене
объекта (конструкции или ее части) совокупностью подобластей (элементов), для
каждой из которых отыскивается приближенное решение задачи теплообмена. Это
означает, что для каждого элемента необходимо записать дифференциальное уравнение переноса и граничные условия, характеризующие процессы теплообмена на граничных поверхностях именно этого элемента, и затем получить решение в том или
ином виде. Объединение "элементных" решений по определенному правилу дает решение задачи для объекта в целом. В этой главе будет изложена основная концепция
МКЭ.
2.1 Методы взвешенных невязок
Большая группа методов приближенного решения дифференциальных
уравнений
базируется
на
математической формулировке, связанной с
интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют
методами взвешенных невязок [4, 12, 13].
Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:
Lu 0   p  0 ,
xi  V ,
(2.1.1)
F u 0   0 ,
xi  S .
(2.1.2)
Здесь L−дифференциальный оператор; xi − пространственные координаты; V и S −
объем и внешняя граница исследуемой области; u0– точное решение.
Будем считать, что некоторая функция u также является решением уравнения, и
оно может быть аппроксимировано набором функций N n xi  :
20
M
u  xi , a n    a n N n  xi  ,
(2.1.3)
n 1
при этом коэффициенты a n − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.
В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов.
На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1)
находится функция  xi , a n  ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия u xi  от точного решения u 0 :
  xi , an   [ L(u( x0 )  p]  [ L u  xi    p]  0 .
(2.1.4)
В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты xi и М по-прежнему неизвестных коэффициентов a n .
На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку
(метод наименьших квадратов и метод Галеркина).
В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках − точках коллокаций
xi   X i 1 ,  X i 2 ,...,  X i M , количество которых равно числу неизвестных коэффициен-
тов a n . В этих М точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М
алгебраических уравнений для М коэффициентов a n :
 xi n , an   0 .
(2.1.5)
В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем
ее умножения на некоторые весовые функции wi , а затем минимизируют ее в среднем:
 xi , an   wi xi      wi dV  0 .
(2.1.6)
V
В методе наименьших квадратов − методе Рэлея-Ритца − в качестве весовой
функции выбирается сама ошибка, т.е. wi   , и требуется, чтобы полученная таким
способом величина (функционал) была минимальна:
21
I        2 dV .
(2.1.7)
V
Для этого должно выполняться условие:
I
an   0 ,
(2.1.8)
приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
В методе Галеркина в
качестве весовых функций берутся сами функции
u n xi , an  , называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке  :
  u n xi , a n      u n xi , an dV  0 .
(2.1.9)
V
Если L − линейный оператор, то система (2.1.9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов a n .
Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере [4]. Дано уравнение на
промежутке 0  x  1 :


Lu   p   2 u x 2  u  x  0 ,
с граничными условиями:
u0  0 , u1  0 .
Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде:
u x,  n   u1 x,  1   u 2 x,  2    1u1 x    2 u 2 x    1 x1  x    2 x 2 1  x  ,
удовлетворяющей граничным условиям (2.1.2) при любых  n . На первом этапе находим невязку:
 x,  1 ,  2   Lu x,  n   p  x  x  x 2  2 1  x 2  x 3  6 x  2 2 .
Выполним процедуру второго этапа:
1
1
 1 x1  x dx  0 ,
  x 1  xdx  0 .
0
0
2
2
Интегрирование приведет к системе двух уравнений:
3 
3
1
 10 20    1   12 
 3 13      1  ,

  2   
 20 
 20 105 
решением которых будут следующие значения  n : 1  71 369 ;  2  7 41. Прибли-
22
женное решение имеет вид: u  x 1  x  71 369  7 x 41 .
Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с
точным решением дано в таблице 1.
Таблица 1
u приближенное
u
точное
0,25
метод коллокаций
0,045
метод
Ритца
0,043
метод
Галеркина
0,0440
0,044014
0,50
0,071
0,068
0,0698
0,069747
0,75
0,062
0,059
0,0600
0,060056
x
Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах аппроксимирующих
функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того, этот метод применим при решении и нелинейных задач, включая те,
для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода
Рэлея-Ритца.
2.2 Основная концепция метода конечных элементов
Главная трудность при непосредственном применении классических методов
взвешенных невязок связана с выбором базисных функций для области определения
в целом. Эти функции должны не только удовлетворять граничным условиям, но и
достаточно полно описывать геометрию и другие характеристики задачи. Все эти
условия обычно трудно выполнить, особенно для объектов (конструкций) сложной
геометрии при наличии сложного теплообмена, и поэтому возможности методов в их
классическом смысле весьма ограничены.
С появлением быстродействующих ЭВМ получила развитие идея локализации
аппроксимирующих функций в малых областях (подобластях), называемых конечными элементами [2, 3, 4, 6].
Пусть имеется некоторая область определения задачи, ограниченная контуром
L , как это изображено на рис. 2.1. Внутри этой области и на ее контуре можно задать
произвольное количество точек с координатами X i i  1,2 . Значения искомой функции в этих точках пусть будут U i . Соединяя точки прямыми линиями, получим подобласти, совокупность которых аппроксимирует область в целом. При этом криволинейные участки контура L заменяется прямолинейными. Важно отметить, что полу-
23
ченная сетка из элементов, с помощью которой моделируется область определения за-
дачи, не является регулярной ни
Рис. 2.1 Разбиение области на элементы
геометрически, ни топологически. Это означает, что размеры и формы подобластей
(элементов) могут изменяться произвольно, их взаимные соединения не обязательно
должны следовать какой-либо регулярной структуре. Последнее обстоятельство
обеспечивает геометрическую гибкость метода.
Важной особенностью МКЭ является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах, их можно рассматривать независимо
друг от друга. Это значит, что каждый элемент можно считать изолированным от всей
совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в его узлах независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в
связанной модели, и от поведения функции на других конечных элементах. С математической точки зрения это означает следующее. Для каждого элемента записывается
локальная (элементная) аппроксимирующая функция:
u e   xi    N ne   xi U ne  X ie  ,
r
n 1
xi  V e  ,
i  1,2,3 ,

(2.2.1.)

e 
e 
где r − число узлов, принадлежащих e -му элементу; U n X i
− значения искомой
e 
e 
функции в его узлах; N n  xi  − базисная функция; V − объем элемента.
Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других элементов, т.е. дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого e -го элемента, например,
методом Галеркина [2, 3, 4, 12]:
 
r



  e , u  e    L  N n e  xi U n e X i e   pe  N ne  xi  dV  0.
Ve
  n1

(2.2.2)
24
Полученные на основании (2.2.2) матрицы для отдельных элементов, которые
 
e
e
содержат в качестве неизвестной узловые значения функции U n X i , формируют в
глобальные матрицы для всей области определения. Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в
узлах, что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом:
E
u  xi    u e  xi  ,
e 1
i  1,2,3 ,
xi  V ,
(2.2.3)
где E – число элементов, совокупность которых аппроксимирует область V в целом.
Реализация в рамках МКЭ представления области определения совокупностью
конечных элементов обусловливает следующие важные преимущества МКЭ, обеспечивая его широкое применение для решения задач теории поля:
• локальная аппроксимация на каждом элементе единственным образом определяется значениями искомой функции в узловых точках;
• обеспечивается широкая вариация задания граничных условий на отдельных
участках границы (внешней и внутренней) области;
• криволинейные участки границ области могут быть аппроксимированы прямыми линиями;
• размеры и геометрическая форма элементов могут быть разными;
• взаимные соединения элементов не обязательно должны следовать какойлибо регулярной структуре;
• свойства материала каждого элемента могут быть индивидуальными и, к тому
же, анизотропными;
• обеспечивается возможность повышения точности решения задачи путем увеличения количества элементов, ограничиваемого лишь мощностью используемой ЭВМ;
• вследствие наличия общих узловых точек, глобальные матрицы являются ленточными, т.е. содержат большое число нулей, незаносимых в память.
В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач теории поля являются следующие:
• построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках.
При этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в
25
целом;
• получение базисных функций элементов;
• построение матричного представления для каждого элемента на основании
(2.3.5);
• объединение всех элементов в ансамбль путем матричных преобразований;
• задание краевых условий для элементов;
• решение результирующей системы уравнений: обыкновенных дифференциальных первого порядка (нестационарный процесс) или алгебраических (стационарный процесс);
• вывод и оценка результатов; расчет любой другой функции, зависящей от
значений в узлах найденного решения задачи, например, средних − объемных
или поверхностных − температур элемента.
Эти этапы будут подробно рассмотрены в последующих главах.
Задание 2
2.1 На основании формул п. 2.1 получите методами коллокаций и Ритца
приведенные в таблице данные.
2.2 В приведенном в п. 2.1 примере понизьте на единицу степень полинома и
получите решение методом Галеркина. Сравните с данными в таблице и сделайте выводы.
2.3 Используя метод Галеркина, найдите решение уравнения
 2u  2u

c
x 2 y 2
с граничными условиями u  0 при x   a , y  b . Примите в первом приближе-



1
2
2
2
2
нии u  a1 a  x b  y .
2.4 Найдите приближенные значения u x  , удовлетворяющей дифференциальному уравнению
 2 u u

 x  0,
x 2 x
при u0  u1  0 и изменении x в интервале 0 ÷ 1. Примите u  x1  xa1  a2 x .
ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МКЭ
26
Первый этап конечно-элементной процедуры – декомпозиция исследуемого
объекта (конструкции или ее частей) на конечные элементы, взаимосвязанные в узловых точках, – включает в себя следующие операции:
• выбор типов элементов, совокупность которых аппроксимирует объект;
• задание размеров и, тем самым, количества элементов;
• нумерацию элементов и узлов, и индексацию последних.
Достаточно подробное рассмотрение этих операций составляет содержание
данной главы.
Отметим, что первый этап не связан ни с физической природой краевой задачи,
ни с версией – вариационной или взвешенных невязок,− используемой при ее решении. Первый этап – это чисто геометрический аспект метода конечных элементов,
имеющий своей целью формирование геометрической части таблицы входных данных, необходимой для машинной реализации МКЭ.
3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
Согласно основной концепции МКЭ каждый элемент рассматривается независимо от остального их ансамбля (см. п. 2.2). Размерность элемента определяется, очевидно, размерностью аппроксимируемой их совокупностью области определения задачи. Для соответствия элемента физической модели исследуемого объекта одномерный элемент может иметь поперечное сечение, площадь которого не обязательно постоянна по длине элемента, а двумерный элемент – единичную толщину, как это показано на рис. 3.1.
Так как каждый элемент рассматривается независимо от остальных, это дает
возможность создать каталог (или архив) разнообразных по геометрии и размерности
конечных элементов, обладающих различным порядком симметрии. С помощью такого набора элементов можно собрать любую конструкцию, подобно тому, как это
Рис. 3.1 Двумерная область единичной толщины и одномерная
область с произвольным сечением
27
делается с помощью элементной базы детского конструктора. Чем обширнее будет
каталог, тем большее разнообразие конструкций может быть реализовано с его помощью.
Краевые задачи теории поля независимо от их физической природы традиционно подразделяют по признаку размерности изучаемого объекта на одно-, двух- и
трехмерные. В задачах теплопроводности при наличии сложного (трехкомпонентного) теплообмена на внешних и внутренних поверхностях объекта такое подразделение
с физической точки зрения неприемлемо, так как поверхность (внешняя и внутренняя) самого объекта в этих случаях в теплообмене не участвует – последний осуществляется лишь на внешних границах двумерного объекта, получаемых путем искусственно вводимой его единичной толщины, или на поверхности приписываемого
одномерному объекту сечения произвольной формы, как это показано на рис. 3.1. В
силу сказанного базовый каталог элементов должен содержать только трехмерные
элементы.
В целях упрощения математического описания элементов и сохранения
наглядности при декомпозиции объекта на элементы, в качестве таковых следует
брать ячейки, образованные координатными поверхностями системы с соответствующим объекту порядком симметрии S . Узлами элемента будут точки пересечения
координатных линий. Для расширения элементной базы можно использовать и элементы, которые лишь частично образованы координатными поверхностями (трансля
цией вдоль одного из ортов системы), либо трансляцией точек в направлениях l i , не

совпадающих с ортами e i .
Базовый каталог конечных элементов с иллюстрацией их геометрической формы, являющийся рабочим инструментом при декомпозиции области, представлен в
Приложении 1. В левом столбце каталога указаны:
• номер элемента eek , присвоенный ему в каталоге, с указанием орта
i
трансляции;
• порядок симметрии S ;
• количество r узлов элемента.
В инженерной практике часто встречаются конструкции, собранные из осесимметричных элементов − цилиндров, конусов и т.д., порядок симметрии которых
S  1 . Соответственно геометрии объекта задачи теплопроводности с S  2,3 − так
28
называемые осесимметричные задачи, − в общем случае следует разделить на два типа задач:
• полностью симметричные − граничные условия не зависят от угловой
координаты θ;
• ограниченно симметричные.
Ограниченно симметричные задачи с S  1 являются особыми инженерными
задачами теплопроводности в силу следующих причин:
• объект представляет собой какую-то часть (по углу или углам)
осесимметричной фигуры;
• распределение тепловых − объемных и (или) поверхностных − нагрузок носит
локальный характер (граничные условия не являются осесимметричными в силу особенностей самой конструкции и (или) условий ее функционирования, что присуще,
например, всем космическим объектам [32]);
• объект − многосвязная область (например, перфорированные цилиндр, конус,
шар и т.д.).
Указанные признаки ограниченной симметрии могут присутствовать в задаче
порознь, в любой комбинации или все одновременно. В базовом каталоге конечных
элементов даны ограниченные по углу (углам) трехмерные элементы S  2,3 , образованные координатными поверхностями системы. Они легко получаются поворотом на
угол ∆θ соответствующих плоских фигур (на рисунке заштрихованы). Элементы с
номерами 2, 6, 7 лишь частично образованы координатными линиями: путем трансляции треугольника в направлении e3 или поворотом его на угол  вокруг оси Z . И
только третий элемент − тетраэдр – никак не связан с координатной сеткой: он получен трансляцией точек (узлов).
Осесимметричные элементы легко получить поворотом на угол 2 заштрихованных элементообразующих поверхностей (граней).
Включенные в базовый каталог элементы позволяют собрать конструкцию
сложной геометрической формы, чем и обусловлено одно из важных преимуществ
МКЭ перед другими численными методами.
3.2 Дискретизация области на элементы
В общем случае конструкции различной сложности редко имеют единый порядок симметрии, – как правило, разные ее части обладает разными величинами S . По-
29
этому в конструкции сначала выделяют части с одинаковым порядком симметрии
(необязательно одинаковые, очевидно, по геометрической форме), которые затем разбиваются на конечные элементы, содержащиеся в базовом каталоге с соответствующим порядком симметрии. Процедура представления объемной конструкции совокупностью элементов показана на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Разбиение объемной конструкции на элементы
а) с разными S (вид сверху); б) с одинаковыми S .
Узел элемента не может располагаться на линии, соединяющей узлы граничащего с ним элемента. Если границами является разные по размерам элементы, то соблюсти указанное требование можно двумя способами:
• при сохранении однотипности элементов увеличением их количества;
• использованием элемента (элементов) другого типа. Оба способа приведены на
рис. 3.3.
Выгодность второго способа очевидна: в первом случае число элементов, аппроксимирующих большеразмерные части конструкции, удвоилось при одновременном возрастании общего количества узлов; во втором случае количество узлов осталось неизменным, а число элементов увеличилось всего на два независимо от того, на
сколько элементов была разбита большеразмерная часть конструкции.
Рис. 3.3. Способы разбиения области на элементы разных размеров.
Цифры – это номер элемента по каталогу
30
Размеры элемента задаются с учетом следующих условий:
• на одной и той же поверхности элемента граничные условия должны
быть физически одинаковыми, – должна соблюдаться равномерность
распределения по поверхности всех видов тепловых нагрузок;
• объемная нагрузка не может занимать часть элемента;
• материал элемента должен быть одним и тем же по физическим свойствам.
Очевидно, что чем меньше размеры элемента, тем с большей точностью выполняется первое требование. Уменьшать размеры элементов желательно в тех частях
конструкции, где ожидаются (интуитивно) наиболее резкие изменения искомой
функции. Это особенно важно при использовании элементов низкого порядка, обеспечивающих лишь постоянство градиента функции.
Для полностью осесимметричной задачи S  2,3 вследствие отсутствия угловой зависимости по  дискретизируется сечение объекта плоскостью, проходящей
через ось симметрии. Отсутствие одной из координат понижает на единицу размерность базисных функций, что существенно упрощает процедуры дискретизации области и получения решения (т.к. u l2  0 ). Количество узлов при декомпозиции плоскости, очевидно, много меньше, чем при декомпозиции объема на ограниченные элементы. Поэтому в двумерном случае можно использовать мелкую сетку, т.е. элементы малых размеров.
Использование генетической связи между ограниченно симметричными
   2  и осесимметричными   2  элементами позволяет не вводить в базовом
каталоге отдельно номера для последних, а ограничиться индексацией номера по

"трансляционному" орту e2 , как это показано в каталоге.
Искусство разбиения объекта на элементы зависит от имеющихся навыков.
При их отсутствии или недостаточности надеяться на хорошие результаты не приходится. В программах типа “NISA” или “ANSYS” разбиение на элементы может быть
осуществлено в автоматическом режиме, но при этом осуществляется слишком мелкое разбиение, вследствие чего требуется большой объем памяти и длительность времени расчета существенно возрастает. Поэтому при проведении расчетов предварительного характера достаточно проводить дискретизацию конструкции на элементы в
ручном режиме.
31
3.3 Нумерация элементов и узлов
Элементы, на которые разбита конструкция, необходимо индивидуализировать,
что проще всего достигается присвоением ему номера e . Он никак не связан с номером e k элемента по каталогу, фиксирующим его геометрию. Нумерация элементов не
влияет на вычислительные аспекты МКЭ и поэтому представляет собой простую процедуру, опирающуюся на естественное пожелание удобства при пользовании. Очевидно, что элементы, относящиеся к частям конструкции при укрупненном ее расчленении, должны
иметь последовательную нумерацию. Номер элемента будем заключать в круглые
скобки – (e) – во избежание путаницы с номером e k (по каталогу) и с номерами узлов.
Нумерация узлов существенно влияет на эффективность вычислений. Применение МКЭ к решению дифференциального уравнения приводит к системе алгебраических уравнений (необязательно линейных), большое число коэффициентов в которой равно нулю. Все ненулевые коэффициенты (и некоторые нулевые) в глобальной
матрице коэффициентов находятся между двумя линиями, параллельными главной
диагонали. Расстояние между главной диагональю и этими линиями называется
шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они
не заносятся в память ЭВМ (это одно из преимуществ МКЭ). Уменьшение ширины
полосы приводит к уменьшению требуемого объема памяти и к сокращению времени
вычислений.
В конкретных расчетах структура
матрицы может быть представлена
набором целочисленных пар
Ei, j  ,
каждая из которых означает пару переменных (т.е. номера строки и столбца). Полуширина М матрицы определяется при этом максимумом величины i  j  1 , взятой по всем E -элементам матрицы
[3]:
M  1  max i  j .
E
(3.3.1)
При работе с векторными величинами (например, скорость или перемещение в узле),
32
величину M нужно умножить на число n неизвестных в узле (число компонент векторной величины). В общем случае:


M  1  max i  j  n .
E
(3.3.2)
Для скалярной величины, такой как температура, очевидно, n  1.
Объем памяти, необходимой для профильной записи матрицы, определяется
формулой:
P    i  j  1 .
(З.3.3)
E
Правильной нумерацией узлов, очевидно, будет та, которая минимизирует либо полуширину M , либо профиль P , в зависимости от предполагаемой формы
записи. В большинстве случаев минимизация M минимизирует и P .
На
рис.
3.4
представлены
различные
варианты
нумерации
узлов
(и элементов). Сопоставление получаемых M показывает предпочтительность последнего варианта, в котором обеспечивается наименьшая из максимальных разница
между номерами узлов, принадлежащих одному элементу. Это достигается последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела. Если от четырехугольных элементов перейти к треугольным, то при правильной
нумерации меньшие M получаются при проведении левой диагонали, как показано
на рис. 3.3. Переход к треугольным элементам лишь удваивает число элементов, не
Рис. 3.4 К вопросу нумерации узлов
сказываясь на количестве узлов. Как уже указывалось, нумерация элементов носит
произвольный характер, так как формирование глобальных матриц из матриц элементов осуществляется по номерам узлов, а не элементов.
33
3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
При математическом описании элемента необходимо узлы элемента индивидуализировать, т.е. сделать их отличимыми друг от друга.
С этой целью каждому узлу присваивается индекс i, j, k , l ,..., r в зависимости от
количества узлов элемента. Выбор i -го узла элемента произволен, индексация
остальных узлов выполняется последовательно в направлении против часовой стрелки. Проиндексировав узлы, составляют таблицу, которая ставит в соответствие индексы элемента глобальным номерам его узлов. С помощью этой таблицы впоследствии осуществляется включение матрицы элемента в соответствующие глобальные.
Фиксация положения элемента в пространстве осуществляется заданием координат его проиндексованных и занумерованных узлов.
Процесс дискретизации области определения задачи завершается формированием геометрической части таблицы входных данных.
На
рис.
3.5
изображена
двумерная
(для
наглядности)
область,
разбитая на два элемента. Узлы, выбранные в качестве i-х,
обозначены
звездочками. В скобках указаны номера
элементов и координаты узлов R, Z  .
Геометрическая часть таблицы входРис. 3.5 Пример дискретизации сечения
осесимметричной детали
ных данных с указанием номера элемента по каталогу имеет следующий
вид.
Таблица входных данных должна содержать, естественно, сведения о свойствах
материала элемента – его механических, теплофизических, электрических и т.п. свойствах, соответствующих физической природе задачи. Эти сведения целесообразно
объединить в физический каталог, в котором каждому материалу присвоен номер eфк .
Например, девятый номер присвоен ниобию Nb , а третий - нержавеющей стали.
Введение в программу постоянно пополняемого физического каталога унифицирует
ее и делает компактной таблицу входных данных, поскольку громоздкие, занимающие несколько разрядов данные о свойствах материала элемента (притом для каждого, даже если они одинаковые) заменяются не более чем тремя разрядами номера материала по физическому каталогу.
34
Задание 3
3.1 Дискретизируйте объект – треугольную прямую призму – на два неодинаковые
по размерам элемента. Задайте координаты узлов; составьте таблицу входных
данных.
3.2 Дискретизируйте делением по углу и по длине на 4 элемента объект,
Таблица 2
Геометрическая часть таблицы входных данных
Номер
элемента
Номер
элемента по
физическому
каталогу
Номер
элемента по
базовому
каталогу
(e)
eфк
ekei
(1)
9
42
(2)
3
52
Индекс
и
номер
узла
i
j
k
l
1
3
4
2
3
5
6
4
Координаты
узлов
Ri
Rj
Rk
Rl
0,0
2,0
2,0
0,0
2,0
3,0
3,0
2,0
Zi
Zj
Zk
Zl
1,0
1,0
3,0
3,0
1,0
1,0
3,0
3,0
пред-
ставляющий собой четверть (по углу  ) полого цилиндра. Задайте координаты узлов; составьте таблицу входных данных.
3.3 Какие свойства материала элемента следует внести в физический каталог в задачах теплопроводности?
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТА
Изложенная в п. 2.2 основная концепция метода конечных элементов математически описывалась соотношениями (2.2.3) и (2.2.1):

xi  V , 

e 1
i  1,2,3 .
r
e
e
e
e
e 
u xi    N n xi U n X i , xi  V .

n 1
E
u xi    u e xi ,
 
Это означает, что независимо от используемой в дальнейшем версии МКЭ –
вариационной или взвешенных невязок, ищется приближенное решение u e  xi  для
каждого e -го элемента вне связи с решениями для остальных элементов, а затем суммированием этих "элементных" решений находится приближенное решение задачи.
Процедура отыскания u e  xi  на первом этапе заключается в нахождении кон-
35
кретного вида базисных функций N ne xi  элемента, т.е. в математическом его описании. Подробное рассмотрение этого этапа приводится в данной главе.
4.1 Метод Крамера
Математическое описание элемента можно получить тремя способами. В этом
параграфе приведен первый, как наиболее общий.
Для наглядности рассмотрение проведем на конкретном примере двумерного
треугольного элемента с тремя узлами i, j, k (см. рис. 4.1).
Представим приближенное решение для элемента полиномом 1-го ранга с
неизвестными коэффициентами  i i  1,2,3 :
u e  x, y    1   2 x   3 y ,
x, y  A .
(4.1.1)
Подставляя в (4.1.1) координаты узлов и получаемые в результате значения
функции в каждом из узлов – U i ,U j ,U k , соответственно, получим систему уравнений
(4.1.2) для определения  i :
Рис. 4.1
1 X i
1 X
j

1 X k
Yi 
Y j 
Yk 
 1  U i 
   = U  ,
 2  j 
  3  U k 
(4.1.2)
решение которой можно получить методом Крамера.
Определитель этой системы уравнений равен 2А – удвоенной площади элемента [11]:
1
2
1 1 X i
  2 1 X j
3 1 X k
3
Yi  i
Y j  j  2 A .
Yk  k
(4.1.3)
36
Запишем в развернутом виде решение системы (4.1.2) на языке алгебраических
дополнений:
  1  A11U i  ( A21 )U j  A31U k ;
   2  ( A12 )U i  ( A22 )U j  ( A31 )U k ;
  3  A13U i  ( A23 )U j  A33U k .
Подставим найденные значения  i в (4.1.1) и сгруппируем члены, умножаемые на узловые значения функции Uq (q=i,j,k):
u e  x, y  


1
 A11    A12  x  A13 y  U i    A21   A22 x    A23  y  U j   A31    A32  x  A33 y  U k .
 
Выражения в квадратных скобках зависят от координат узлов элемента и текущих переменных x и y . Их принято называть функциями формы, базисными или интерполяционными функциями элемента. Представим их в общем виде:
N qT  x, y  
1
T
 Aqp   1xy  ,

q  i, j , k .
(4.1.4)
Элементами матрицы A qp служат алгебраические дополнения Aqp определителя
(4.1.3):
 A11
Aqp    A21
 A31
 A12
A22
 A32
A13 
 A23 
A33 
q, p  1,2.3
(4.1.5)
и являются определителями 2-го порядка.
Более удобной является несколько иная форма записи базисных функций:
N q  x, y  
1
 aq  bq x  cq y  ;

q  i, j , k .
(4.1.6)
Сопоставляя последнее выражение с (4.1.4) и (4.1.5), видим, что коэффициенты
a q , bq , c q – это столбцы матрицы (4.1.5) при фиксированном p  1,2,3, соответственно;
i j k
это элементы соответствующей строки этой же мат1 2 3
при фиксированном q  
рицы. Например, при p  1 и q  i, j , k получим:
ai  A11 ,
a j   A21 ,
ak  A31 ;
i
1
при q   и p  1,2,3 для базисной функции будем иметь:
37
N i  x, y  
1
1
 ai  bi x  ci y    A11  A12 x  A13 y  .


Раскрывая алгебраические дополнения, найдем конкретные выражения коэффициентов через координаты узлов элемента:
ai = XjYk – XkYj ;
aj = XkYi – XiYk ;
ak = XiYj – XjYi ;
bi = Yj – Yk ;
bj = Yk – Yi ;
bk = Yi – Yj ;
c i = X k – Xj ;
cJ = Xi – Xk ;
c k = Xj – Xi .
(4.1.7)
Переход к другим системам координат осуществляется заменой текущих переменных x , y : в цилиндрической – на r , z ; в сферической – на r и r  .
С введением понятия базисной функции аппроксимирующую функцию (4.1.1)
(или (4.1.4)) можно представить как явную функцию ее узловых значений U q :
u e  x, y   Ni  x, y Ui ( X i , Yi )  N j  x, y U J ( X J , YJ )  Nk  x, y U k ( X k , Y )k ,
(4.1.8а))
или в матричной форме:
u e ( x, y)  [ N e ( x, y)]{U e ( X q , Yq )} ,
(4.1.8б))
где [ N e(x,y)] – матричная строка базисных функций; { U e ( X q , Yq ) } – вектор-столбец
значений функций в узлах элемента.
Степень аппроксимирующего полинома определяет число узлов, которым должен обладать элемент, – оно должно равняться числу неизвестных коэффициентов  i ,
входящих в полином. Например, если вместо (4.1.1) взять полином 2-ой степени:
u e  x, y   1  2 x  3 y  4 x2  5 xy  6 y 2 ,
то для определения  q элемент должен содержать шесть узлов – q =1,2…..6.
Располагать дополнительные узлы l , m, n следует на сторонах треугольника,
желательно (но не обязательно) в их серединах, как показано на рис. 4.2. Элементы с
полиномом 2-ой степени называют квадратичными, 3-ей степени - кубичными и т.д.
Находить базисные функции этих элементов очень сложно, так как для этого необходимо раскрывать определители q-го порядка.
Если дополнительные узлы соединить прямыми, то треугольный элемент разобьется на четыре треугольные подобласти меньшего размера. Замена квадратичного
38
элемента четырьмя линейными существенно упрощает математическую процедуру
отыскания решения, – система уравнений становится линейной.
Рис. 4.2 Расположение дополнительных узлов на сторонах элемента
Аппроксимирующую функцию (4.1.1) для двумерного треугольника легко
обобщить на трехмерный элемент – тетраэдр – добавлением третьей – z-ой координаты:
u e  x , y , z    1   2 x   3 y   4 z , x, y , z  V e .
(4.1.9)
Рис. 4.3
Из вида (4.1.9) следует, что формулы для тетраэдра получаются, минуя все
aq
1
 
Xi
Yi
Zi
1 Xj
1 Xk
1 Xl
Yj
Yk
Yl
Zj
 6V e ;
Zk
Zl
 A11
 A
 Aqp    21
 A31

  A41
bq
cq
 A12
A13
A22
 A32
A42
 A23
A33
 A43
dq
 A14  i
A24  j
;
 A34  k

A44  l
(4.1.10)
процедуры, из формул для треугольника простым увеличением на единицу порядка
определителя (4.1.3) и ранга матрицы (4.1.5). При этом элементы  Aqp  – алгебраические дополнения определителя  , становятся определителями 3-го порядка.
Базисные функции тетраэдра будут иметь вид, аналогичный функциям треугольного элемента (4.1.4) или (4.1.6):
1
T
N  x, y, z    Aqp  1xyz  ,

T
q
i j k l
q
1 2 3 4 ,
p  1,2,3,4
(4.1.11)
39
или
N q  x, y , z  
1
 aq  bq x  cq y  d q z  .

(4.1.12а))
Формула интерполяционной функции для тетраэдра имеет вид:
u e ( x, y, z)  [ N e ( x, y, z)]{U e ( X q , Yq , Z q )}.
(4.1.12б))
Описанный первый способ получения базисных функций, основанный на решении уравнений методом Крамера, удобен для простых, так называемых симплексэлементов, допускающих использование полинома первого порядка. Число узлов
симплекс-элементов на единицу больше его размерности, т.е. минимально возможное.
Для элементов, контуры которых не совпадают с координатной сеткой системы,
первый способ является единственно возможным.
4.2 Метод Лагранжа
Достоинство первого способа состоит в его применимости к любым элементам
независимо от их размерности и количества узлов. С его помощью при известном в
явном виде аппроксимирующем полиноме p -го ранга базисные функции в принципе
всегда могут быть найдены, так как матрица типа (4.1.2) обратима, поскольку ее
определитель (4.1.3) отличен от нуля, – площадь или объем элемента никогда не равны нулю. Универсальность метода Крамера нивелируется его неэффективностью при
числе узлов элемента r  4 .
К элементам, образованным координатными линиями, целесообразно применять более простой метод Лагранжа.
Рассмотрим аппроксимацию функции u ( x) полиномом p -го ранга, считая, что
значения функции заданы как U 1 ,...,U p 1 в p  1 точках X 1 ,..., X p 1 . Из численного анализа известно, что функция u ( x) может быть задана как полином p -ой степени:
p 1
u ( x)   Li ( x )  U i ,
(4.2.1)
i 1
где Li ( x) – полином Лагранжа, определяемый равенством:
p 1
x Xj
j i
Xi  X j
Li ( x)  
.
(4.2.2)
Если под u x  понимать аппроксимирующую элементную функцию u e ( x) , то из
40
сопоставления (4.2.1) с (2.2.1) видно, что полиномы Лагранжа – это базисные функции элемента, а базовые точки X 1 ,..., X p 1 – координаты его узлов, или узловые точки.
Проиллюстрируем метод Лагранжа на примере изображенного на рис. 4.4 элемента, образованного координатными линиями декартовой системы [4].
Использование равенств (4.2.1) и (4.2.2) на стороне 1–2 (y=const), позволяет
определить u(x) на этой стороне:
u 12  L1 ( x)U1  L2 ( x)U 2 ,
L1 ( x) 
где
x  X2
x  X1
; L2 ( x) 
;
X1  X 2
X 2  X1
Аналогично на стороне 4–3 ( y  Const ) получим:
u 43  L1 ( x)U 4  L2 ( x)U3 .
Применяя эти же рассуждения для сторон с x  Const , найдем:
u( x, y)  L1 ( y) u 12  L2 ( y) u 43 , где L1 ( y)  y  Y4 ; L2 ( y)  y  Y1 .
Y1  Y4
Y4  Y1
Собирая полученные выражения, для аппроксимирующей функции элемента
будем иметь:
u e ( x, y )  L1 ( x) L1 ( y )U1  L2 ( x) L1 ( y )U 2  L2 ( x) L2 ( y )U 3  L1 ( x) L2 ( y )U 4  [ N ]{U }.
Видно, что попарные произведения полиномов Лагранжа соответствуют базисным функциям элемента:
N i ( x, y ) 
1
 x  X j   y  Yl  ;
A
N k ( x, y ) 
1
 x  X i   y  Yj  ;
A
N j ( x, y ) 
1
 x  X i  y  Yk  ;
A
N l ( x, y ) 
1
 x  X j   y  Yi  .
A
Здесь A  X j  X i Yk  Y j  – площадь элемента.
Обобщая эти соотношения на трехмерный элемент – координатную ячейку,
41
придем к его математическому описанию в виде произведения трех лагранжевых полиномов, справедливому при любом S  1, 2,3 :
1
3
N q i    i   i  p    i q   i  p  ,

 

i 1
p ≠ q,
(4.2.4)
где ξi – текущая переменная; ζi – координаты q-го и p-го узлов; p – индексы узлов, с
которыми узел q расположен на координатных поверхностях  i  Const .
Как следует из (4.2.4), методом Лагранжа легко получить базисные функции
всех элементов каталога, кроме второго, шестого и седьмого.
4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
Особенность 2-го, 6-го и 7-го элементов в том, что они лишь частично образуются координатными поверхностями системы. Поскольку число их узлов r  4 , применять к ним универсальный метод Крамера нецелесообразно. Возможен другой, более эффективный способ, сочетающий методы Крамера и Лагранжа.
Введем иерархию элементов, подразделив их на порождающие с r  4 , и порождаемые с r  4 . Порождение элемента можно осуществить трансляцией порождающего элемента в общем случае в произвольном направлении, или его поворотом вокруг некоторой оси на угол  – для ограниченно симметричных, или на 2 – для
осесимметричных элементов. В результате размерность порожденного элемента увеличится на единицу.
Так как порождающий элемент не образован координатными поверхностями,
то его базисные функции находятся методом Крамера при r  4 , а затем к нему применяется метод Лагранжа, который равнозначен операциям трансляции или поворота.
В силу этого, достаточно базисные функции порождающего двумерного элемента
умножить на полином Лагранжа L k  в направлении орта трансляции, чтобы получить базисные функции порожденного объемного элемента N q  i  :
N q (i )  N q ( j ) L( k ) ,
i  1,2,3;
j  1,2;1,3;2,3;
k  j.
(4.3.1)
Применяя обобщенный метод Крамера-Лагранжа ко второму элементу каталога, для его базисных функций получим следующее выражение:
42
Nq  x, y, z   Nq  x, y   Lp  z  ,
при
i, j , k , p  l ;
q
l , m, n, p  i,
(4.3.2)
где N q  x, y  – базисные функции (4.1.7) треугольного элемента; а полиномы Лагранжа
равны:
Ll ( z)    z  Zl  /  Zl  Zi  ;
Li ( z )   z  Zi   Zl  Zi  .
(4.3.3)
Эти же формулы описывают и седьмой элемент базового каталога, если в
базисных функциях переменные x, y заменить на r, z , а в полиноме Лагранжа – z на  :
N q (r ,  , z )  N q (r , z ) L p ( ) .
(4.3.4)
У шестого элемента на полиномы Лагранжа L p   умножаются лишь базисные
функции узлов j и k .
Все полностью симметричные элементы базового каталога относятся к порожденным поворотом на 2 порождающих их двумерных элементов. В силу того, что
при этом L p    1 , базисные функции порожденных и порождающих их элементов
идентичны.
4.4 Эрмитовы элементы
Наряду с лагранжевыми элементами могут быть использованы и эрмитовы
элементы. Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо лагранжевых.
При этом узловой вектор будет включать узловые значения не только функции, но и
ее производные.
Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент с r узлами, причем узлы не
обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеется две степени
свободы – функция u и ее производная du/dx. Следовательно, пробная функция для
элемента может быть записана в виде:
r
u 

u e ( x)    N 0i ( x)U i  N1i ( x)  1 .
x 
i 1 
(4.4.5)
У базисной функции Nij в этом равенстве первый индекс обозначает порядок дифференцирования по соответствующей узловой переменной, а второй – номер узла.
Для того, чтобы в (4.3.5) в узле k давало uk и ∂uk/∂x, функции N0i (x) и N1i(x) должны
(при i≠j) удовлетворять соотношениям:
43
N0i(Xi) = 1, N1i(Xi) = 0, N′0i(Xi) = 0, N′1i(Xi) = 1,
(4.4.6)
′
′
N0i(Xj) = 0, N1i(Xj) = 0, N 0i(Xj) = 0, N 1i(Xj) = 0.
Этим равенствам удовлетворяют эрмитовы полиномы:
r
( x  X i )2 
Xi  x 
N 0i ( x)  
1

2

,

2
j 1 X i  X j 
j 1 ( X i  X j ) 


r
r
( x  X j )2
j 1
( X i  X j )2
N1i ( x)  
 ( x  X i ). , j ≠ i . (4.4.7)
В качестве конкретного примера рассмотрим случай r=2. Равенство (4.4.5) при
этом примет вид:
u e ( x)  N01 ( x)u1  N11 ( x)
u1
u
 N02 ( x)u2  N12 ( x) 2 ,
x
x
(4.4.8)
где базисные функции (записанные по индексам i,j) получены из (4.4.7) и (4.4.8):
( X j  x) 2 
x  Xi 
( x  X i )2
N 01 ( x) 
1  2
 , N 02 ( x) 
X j  X i 
( X j  X i ) 2 
( X j  X i )2
N11 ( x) 
( X j  x)2
( X j  X i )2
( x  X i ),
N12 ( x) 

Xj x 
1  2
,
X j  X i 

( x  X i )2
( x  X j ).
( X j  X i )2
(4.4.9а))
(4.4.9б))
Для двумерных эрмитовых элементов интерполяция применяется дважды:
первая – в направлении x, а вторая – в направлении y, что дает базисные функции в
виде произведения одномерных базисных функций.
4.5 Свойства базисных функций элемента
В общем случае элементные аппроксимирующие функции u e  i  должны быть
непрерывными, а их производные до n  1 порядка – непрерывными или постоянными
внутри элемента и между элементами ( n – порядок старшей производной в дифференциальном уравнении краевой задачи). Вследствие того, что по версии МКЭ:
u e (i )  [ N (i )]{U ( i )},
i  1,2,3 ;
i V e ,
указанными свойствами должны обладать и базисные функции N q  i  элемента
q  i, j,... .
Так как узловые значения функции U q – это числа с размерностью искомой физической величины u , базисные функции элемента должны быть безразмерными. В
этом нетрудно убедиться, проанализировав формулы предыдущих параграфов этой
44
главы.
Подставив в базисную функцию (4.2.4) координаты q -го узла, получим:
3
N q   i      i  q    i  p    i  q    i  p 



i 1
1
 1.
Если в выражение (4.2.4) подставить координаты p -х узлов  p  q  , то оно даст
 i    i    0 . Таким образом, базисная функция должна удовлетворять следуюp
p

щим необходимым условиям:


N q  i  p  0 ,
N q   i  q   1 ,


q  p.
Просуммируем столбцы матрицы A (4.1.6), описывающие
(4.5.1)
коэффициен-
ты базисных функций (4.1.7) симплекс-треугольника:
1 k
1
 A11  A21  A31   1 ,
aq 

 1 q i
1
так как
1   A11  A21  A31  ;
1 k
1
 A12  A22  A32   1 Y j  Yk  Yk  Yi  Yi  Y j   0 ;
bq 

 1 q i
1
1
1 k
1
 A13  A23  A33   1 X k  X j  X i  X k  X j  X i   0 .
cq 

 1 q i
1
1
Из этих равенств вытекает еще одно необходимое условие, которому должны
удовлетворять базисные функции произвольного (а не только треугольного) элемента
с произвольным количеством r узлов:
r
 N    1 ,
q 1
q
i
i V e ,
(4.5.2)
которое может быть отнесено к нормировочному.
Нарушение требования (4.5.2) однозначно свидетельствует, что какие-то (или
все) базисные функции элемента определены неверно.
Градиент искомой физической величины u определяется производными базисных функций и узловыми значениями U q :
u i   [Nq (i ) / i ]{U ( i )} ,
i  1,2,3 .
(4.5.3)
Согласно (4.2.4) и (4.3.1) первые производные базисных функций элементов
каталога будут содержать оставшиеся после дифференцирования текущие перемен-
45
ные и их произведения в первой степени. Такие элементы принято называть мультиплекс-элементами. У этих элементов непрерывными являются и первые производные
базисных функций, но только по двум переменным, а вторые производные по этим же
переменным постоянны.
У линейного тетраэдра (и треугольника), как видно из (4.1.14), первые производные базисных функций постоянны и равны коэффициентам bq , c q , d q при текущих
переменных. Такие элементы называют симплекс-элементами (простыми). Как было
показано выше, суммы коэффициентов bq , c q , d q равны нулю. Следовательно, для
произвольного симплекс-элемента с r узлами имеем:
 N q (i ) 
  0.
i 
i 1 
r

(4.5.4)
Соотношение (4.5.4) можно считать одним из признаков принадлежности элемента к семейству симплекс-элементов.
Постоянство градиента внутри симплекс-элемента требует использования малых по размерам элементов, чтобы точнее аппроксимировать быстро меняющуюся
функцию u(i ) . Автоматически это обусловливает дискретизацию исследуемой области на большое число элементов со всеми вытекающими отсюда последствиями.
В заключение еще раз заметим, что элементы принято классифицировать на лагранжевы и эрмитовы в зависимости от того, включает ли узловой вектор только значения функции – лагранжевы, или и значения ее производных – эрмитовы элементы
[6]. Все элементы базового каталога по этой классификации являются лагранжевыми.
Задание 4
4.1 Найдите базисные функции элементов:
а) X i  2.0 ; X j  3.8 ;
б) X i  2.0 ; X j  2.9 ; X k  3.8 ;
в) X i  Yi  0.5 ; X j  2.0 ; Y j  0 ; X k  0.75 ; Yk  1.5 ; г) докажите справедливость найденных выражений для всех базисных функций;
4.2 Покажите, что для симплекс-треугольника Ni(x,y) = 0 в узлах j и k.
4.3 Покажите, что Ni  x, y   0 в произвольной точке отрезка Lik . Найдите значения этой функции, изменяя значения x в пределах от Xi до Xk , и постройте
ее график.
46
4.4 Покажите, что базисные функции 4-го элемента базового каталога удовлетворяет критерию (4.5.2).
4.5 Методом Лагранжа найдите базисные функции радиальных двумерных треугольника и четырехугольника, лежащих в основании 4-го и 5-го элементов
каталога.
4.6 Методом Лагранжа найдите базисные функции элементов, порождающих
элементы каталога с номерами 8-10.
4.7 Найдите трансляцией базисные функции 5-го элемента базового каталога.
4.8 Найдите базисные функции для элементов 2 2 или 21 каталога. Проверьте
результат по критерию (4.5.2).
4.9 Возможна ли дискретизация 2-мерной области треугольными элементами
разного порядка?
ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МКЭ
В третьей и четвертой главах были рассмотрены первые два этапа применения
МКЭ к решению краевых задач – построение сетки из конечных элементов и получение их базисных функций. В данной главе описаны и, по возможности, проиллюстрированы на конкретных примерах математические процедуры, приводящие к получению расчетных, т.е. программируемых соотношений метода.
5.1 Общее решение краевой задачи методом Галеркина
В рамках метода конечных элементов решение уравнения переноса (1.1.14)
можно найти с помощью его вариационной версии или версии метода взвешенных
невязок, в частности, метода Галеркина.
В первом случае требуется предварительно сконструировать функционал [2, 3,
4], обладающий экстремальными свойствами, что существенно снижает эффективность вариационного подхода. К тому же функционал, адекватный решаемой задаче,
может отсутствовать вообще или не минимизировать искомую функцию в узловых
точках. Отсутствие жестких правил регламентации оставляет открытым вопрос о правильности построенного функционала вплоть до стадии проверки размерности получаемых на его основе расчетных соотношений метода. Указанные недостатки наглядно проявляются при работе в системе координат с порядком симметрии S  1 [1, 14].
Отсутствие процедуры формирования функционала и использование непосред-
47
ственно дифференциального уравнения делает методы взвешенных невязок более
предпочтительными, особенно если учесть возможность получения с их помощью
решения, содержащего варьируемый параметр S , т.е. найти общее решение уравнения, справедливое в любой системе координат. 0бщее решение задачи получим с помощью метода Галеркина, для чего достаточно, как указывалось в п. 2.2, найти его
для отдельного элемента (см. (2.2.2)).
Уравнение переноса (1.1.14) и граничное условие (1.2.7) к нему должны быть
записаны для произвольного элемента, что легко достигается приписыванием всем
входящим в них функциям и параметрам индекса e , указывающего номер элемента.
Запишем аппроксимирующую функцию элемента в более удобной матричной форме:
u e (i )  [ N e (i )]{U e ( i )} ,
i  1,2,3 ,
(5.1.1)
где [ N e  i  ] – матричная строка размером 1  r , элементами которой являются базисные функции в узлах элемента; { U e (ζi)}−вектор-столбец размером r  1 значений искомой функции в узлах элемента; r − число принадлежащих элементу узлов, ξi , ζi –
текущие переменные и координаты узлов, соответственно (i=1,2,3). В дальнейших
выкладках для краткости записи индекс e опускаем.
Согласно методу Галеркина приближенное решение уравнения переноса
(1.1.14) для элемента в общем виде будет описываться выражением (2.2.2), в которое
внесен дифференциальный оператор (1.1.14):
3

u 
 
  2 u S  1 1   i ,2  2 i ,1   i ,3   S ,2 

T
I e   [ N ]T  kii  2 

  ctgi  i ,3 S ,3
 dV   [ N ] wdV 
hS
1   S ,3
li 
i 1
 l
Ve
Ve


  [ N ]T   u   dV  0 ,
V
(5.1.2)
e
T
где N T   Ni N j ...N r  – вектор-столбец базисных функций для элемента с r узлами.
Соотношение (5.1.2) содержит дифференциальный оператор 2-го порядка, что
не позволяет использовать линейные базисные функции, математически описывающие элементы базового каталога. С целью понижения порядка оператора выразим
вторую производную функции u(i ) по обобщенной переменной l i следующим образом:
48
[ N ]T
2u 

li
li

[ N ]T u
T u 
[
N
]

 .


li 
li
li

(5.1.3)
Первое слагаемое в (5.1.2) на основании (5.1.3) представим в виде:
3
T
 [ N ]  kii
V
e
i 1
3
2u

dV


2

li
li
V e i 1
3
 T u 
[ N ]T u
[
N
]
k
dV

k
dV .


ii
ii
e 
li 

l

l
i

1
i
i

V
(5.1.4)
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, заменим в (5.1.4) первый
интеграл по объему интегралом по поверхности S e ,охватывающей объем элемента V e :
3
3
 
u 
u
T
T
dS .
 [ N ] kii
 dV   [ N ] kii
li 
li
i 
S e i 1
  l
V e i 1
Подинтегральное выражение в поверхностном интеграле выразим из предварительно умноженного на [ N ]T граничного условия (1.2.7):
3
[ N ]
T
i 1
kii
u
 [ N ]T   S u  [ N ]T  DS .
li
Используя версию МКЭ (5.1.1), можем написать:
u  N 
   {U } ;
li  li 

u
 U 
 [N ]
  [ N ]{U } .

  
Подставляя полученные путем указанных преобразований результаты в уравнение (5.1.2), решение задачи для элемента e запишем в общем виде:
T
 [ N ] S  1 (1   i ,2 )(2 i ,1   i ,3   S ,2 )
[ N ]
  
I   k 


[ N ]Ctg (i ) i ,3 S ,3  
 {U }dV 
hS
1   S ,3
li
 li

V e i 1
3
e
e
ii
(5.1.5)
   S J ([ N ]T [ N ]) S J {U }dS J    e [ N ]T [ N ]{U }dV 
Se
Ve
3
dV   hi d i ,
i 1
 w [N ]
e
T
dV 
Ve
S
j
D
SJ
([ N ]T ) S J dS J  0.
Se
 Se .
j
Найденное методом Галеркина общее решение (5.1.5) справедливо для элемента любой размерности i  1,2,3 и геометрии  S  1, 2,3 с произвольным r числом узлов. При вариационном же подходе функционал необходимо конструировать для
49
каждой из систем координат отдельно.
Решение для всей области определения получается суммированием по всем EE
элементам элементных вкладов: I   I e .
e 1
5.2 Матричное представление элементного вклада
Из курса матричной алгебры известно, что произведение матрицы размером
s  1 (вектор-столбец) на матрицу размером 1 s (матричная строка) дает матрицу
размером s  s . Поэтому подынтегральные выражения в формуле (5.1.5) для вклада
элемента с r узлами в решение задачи представляют собой матрицы размером r x r,
или – как последние два члена – вектор-столбцы размером r  1 . Так как интегралы
берутся в определенных размерами элемента пределах, членами проинтегрированных
матриц будут – в конечном итоге – числа, независимо от того, в каком виде удается
осуществить интегрирование – в аналитическом или в численном.
Каждая матрица имеет свое традиционное наименование в зависимости от физической природы решаемой задачи. Так, в задачах теплопроводности первый член в
(5.1.5) называют объемной частью (интегрирование ведется по объему элемента)
матрицы теплопроводности [kV ] , описываемой выражением
i
(5.2.1):
  N 
  N 
S  1 1   i ,2  2 i ,1   i ,3   s ,2 
 
k    [N ]

 Ctgi  i ,3 S ,3     dV .

hS
1   S ,3
i 1
  li 
  li 
T
i
[kV ] 

Ve
3
e
ii
Верхний индекс показывает, по какой переменной  i осуществляется дифференцирование базисных функций элемента. Ранг матрицы равен r , где r –число узлов
элемента. У элементов базового каталога r = 4÷8.
Вид производных базисных функций, полученный на основании (1.1.13) –
 li  1 hi   i  – с учетом значений параметров Ляме в различных системах коор-
динат (см. (1.1.10)), представлен в таблице 3.
В матричном представлении первый член в (5.1.5) имеет вид:
3
[kVe ]{T }   [kVi ]{T } ,
i  1,2,3 .
(5.2.2)
i 1
В соответствии с физической природой задачи вместо {U q } берем температуру {Tq } .
50
Число компонент объемной части матрицы теплопроводности (5.2.1) равно
трем (по числу координат) для естественно ограниченных (S=1) ограниченно симметТаблица 3
Производные базисных функций
∂/∂li
S
i=1
i=2
i=3
dV
1
∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z
dxdydz
2
∂/∂r
(1/r) ∂/∂θ
∂/∂z
rdrdθdz
3
∂/∂r
(1/rSinβ) ∂/∂θ
(1/r) ∂/∂β
r2drdθSinβdβ
ричных  S  2,3 элементов. У полностью симметричных элементов оно сократится
до двух – вследствие азимутальной симметрии  -й компонент i  2 исчезнет.
Вторую матрицу в (5.1.5), также умножаемую на вектор-столбец {U }  {T } , по
аналогии называют матрицей теплопроводности элемента, но ее поверхностной частью (интегрирование ведется по поверхности j -ой грани):
[kSe ]    Se j  N T N  dS j ,
Sj
Sj
S
j
 Se .
(5.2.3)
j
Нижний индекс S j у матричного произведения базисных функций означает,
что базисные функции узлов, не принадлежащих j -й поверхности, должны быть заменены нулями согласно их свойству (4.5.1), а объемные (трехмерные) базисные
функции принадлежащих грани узлов – преобразованы, т.е. из объемных превращены
в двумерные поверхностные базисные функции, так как поверхность описывается

уравнением  i  Const (т.е. нормальна орту e i ). Очевидно, что и dS j для разных поверхностей выражается по-разному.
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере. Пусть j -й поверхностью
является нижняя грань второго элемента каталога и ей присвоен номер 1. Она содержит
узлы
i, j , k ,
и,
следовательно,
базисные
функции
остальных
узлов
N l  N m  N n  0 . Уравнение плоскости, которой принадлежит первая поверхность:
z  Z i  Z j  Z k  Const . Это означает, что в базисных функциях узлов этой поверхно-
сти текущую переменную z нужно заменить на их z -e координаты, в силу чего на
основании (4.3.3) полином Лагранжа Ll ( z ) станет равным единице. Для базисной
51
функции на этой грани будем иметь:
Nq ( x, y, z)S j  Nq ( x, y) , q  i, j , k , dS  dxdy .
Вторая – верхняя грань – идентична первой, но у нее N i  N j  N k  0 ,
z  Z l ,m,n , поэтому Li ( z )  1 .
Остальные грани не являются в общем случае координатными плоскостями, и
поэтому базисные
функции
их
узлов
нельзя
преобразовать; кроме
того,
dS 3, 4,5  dldz , что усложняет процедуру интегрирования. Число компонент объемной
части матрицы теплопроводности (5.2.1) равно трем.
Базисные функции тетраэдра также, очевидно, не преобазуются в общем случае, но процедура интегрирования упрощается переходом к естественной системе координат (см. п. 5.3).
В матричном представлении второй член в решении (5.1.5) имеет вид,
аналогичный (5.2.2):
n
[kSe ]{T }  [kSe j ]{T } ,
(5.2.4)
j i
где n - число граней элемента, на которых  S  0 .
j
Число компонент поверхностной части матрицы теплопроводности в общем
случае равно числу n граней элемента, т.е. n = 4÷6. Для удобства математического
представления матрицы (5.1.2) и (5.1.4) объединяют (их ранги одинаковы), что дает:
[ k
i
V

e
]  [kS ] {T }  [k e ]{T } ,
(5.2.5)
где [k e ] – матрица теплопроводности элемента (матрица жесткости в задачах упругости).
Третий член выражения (5.1.5) принято называть матрицей демпфирования в
задачах упругости, и матрицей теплоемкости в задачах теплопроводности:
[C e ]   [ N ]T [ N ]dV .
(5.2.6)
Ve
Как видно из (5.2.6), матрица [ C e ] всегда симметрична; η = cp ρ = Cv– объемная теплоемкость материала элемента.
Физический смысл этой матрицы в обеих задачах один и тот же, – она демпфирует (уменьшает) изменения определяемой величины (в частности, температуры) и,
52
тем самым, характеризует инерционные свойства материала элемента (следовательно,
и объекта в целом).
Остальные члены, именуемые объемной и поверхностной частями вектора тепловой нагрузки (вектор нагрузки в задачах упругости), запишутся так:
{ fVe }  we     [ N ]T dV ;
V
(5.2.7)
e
n
{ f Se }  { f Sej } ; где { f Sej }  Ds j   ([ N ]T ) S J dS J .
j i
(5.2.8)
SJ
Процедура нахождения поверхностных частей матрицы теплопроводности
(5.2.3) и вектора тепловой нагрузки (5.2.8) идентичны. Число компонент поверхностной части вектора тепловой нагрузки равно количеству граней элемента, на которых
DS J ≠ 0. В общем случае число компонент равно 4÷6.
Для удобства записи оба вектора объединяют в один вектор тепловой нагрузки:
{ f e }  { fVe }  { f Se } .
Собирая все члены, получим определяющую элемент систему r ( по числу
узлов элемента) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в их
матричном представлении:
I e  [C e ]dT e / d   [k e ]{T e }  { f e  }  0 .
(5.2.9)
Переход от частной производной по времени к обыкновенной объясняется тем,
что временная производная рассматривается как функция только координат в каждый
фиксированный момент времени. Стационарный случай     0 будет описываться
системой r алгебраических уравнений:
I e  [k e ]{T e }  { f e }  0 .
(5.2.10)
5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
Глобальные матрицы получаются суммированием соответствующих матриц
элементов по всем элементам области определения задачи:
E
E
e 1
e 1
[C ]   [C e ] ; [ K ]   [k e ] ;
E
{F  }   { f e  } ,
(5.3.1)
e 1
где E – число элементов, геометрически аппроксимирующих изучаемый объект.
Так как область содержит R узлов, то система r уравнений (5.2.9) превращает-
53
ся в систему R уравнений для R неизвестных значений искомой функции – температуры – в этих узлах:

[C ]{T  }  [ K ]{T  }  {F  }  0 .
(5.3.2)
Очевидно, что при E  1 , R  r . Таким образом, ранг глобальной матрицы, а,
следовательно, и объем памяти для ее записи, определяется не числом элементов, а
количеством R узлов. При этом всегда R > E. Поэтому к дискретизации области следует подходить рационально: количество узлов должно обеспечить требуемую точность решения и, в то же время, не слишком завысить объем памяти. При дискретизации разных по размерам частей конструкции одним из средств удовлетворения этим
требованиям является, как показано в п. 3.2, использование элементов разной геометрии.
В методе конечных элементов каждый элемент рассматривается независимо от
других. Поэтому при записи его матриц естественно оставлять в ней только те
члены, которые относятся к данному элементу, а остальные – нулевые – в его матрицы не включать. Благодаря этому размер матриц элемента равен r  r или r  1 , и их
называет сокращенными. Такая форма записи существенно экономит объем памяти.
Процедуру формирования глобальных матриц рангом R легко осуществить, расширив ранг r элементных сокращенных матриц до ранга R , располагая при этом их
члены согласно глобальным номерам узлов элемента (т.н. метод прямой жесткости).
При таком способе суммирование Е элементных матриц рангом r, т.е. формирование
глобальных матриц, становится тривиальной процедурой (типа известной игры “морской бой “). Сущность метода состоит в следующем.
Строкам и столбцам сокращенной матрицы элемента вместо индексов i, j,..., n
его узлов приписываются зафиксированные в таблице входных данных (см. стр.40)
соответствующие им глобальные номера. Номера строк и столбцов сокращенной матрицы элемента указывают теперь "координаты" каждого члена этой матрицы в сетке
глобальной матрицы, что и проиллюстрировано ниже.
а) Сокращенная
матрица элемента k e
54
б) Переформированная матрица элемента
при ее включении в глобальную K
Остальные места в глобальной матрице K займут, очевидно, члены сокращенных матриц других элементов. Так как элементы имеет общие узлы, то члены матриц
с "координатами" этих узлов будут алгебраически суммироваться. Использование метода прямой жесткости значительно сокращает загрузку памяти. В реальной программе сокращенные матрицы элементов после их вычисления могут сразу заноситься в соответствующие глобальные и из памяти удаляться.
5.4 Стандартизация матриц элементов
Алгоритм вычислительной программы реализации метода конечных элементов
должен содержать проинтегрированные – стандартизованные – матрицы элементов
базового каталога.
Интегрирование матриц элементов каталога, представляющих собой координатные ячейки, не вызывает затруднений, так как в этом случае оно ведется по независимым переменным  i i  1,2,3 . Благодаря этому интеграл по объему сводится к
произведению трех однократных определенных интегралов, каждый из которых берется по одной из независимых переменных.
Для получения конкретного вида интегрируемой матрицы необходимо проделать следующие операции:
• найти конкретные выражения базисных функций всех узлов элемента, используя один из способов математического его описания (см. главу 4) в зависимости от типа элемента;
• пользуясь таблицей производных (cм. стр. 56), определить производные базисных функций по текущим переменным;
• подставить найденные конкретные функции в соответствующие элементы
матрицы и проинтегрировать их;
• свести в матрицу результаты интегрирования ее элементов.
55
Согласно (5.2.6) матрица теплоемкости любого элемента всегда симметрична и
ее элементами, расположенными на главной и над главной диагональю матрицы, будут интегралы:
 [ N  ] dV  0
2
i
 [ N  ][ N  ]dV  0 ,
и
q
i
p
i
q  1,2,..., r .
(5.4.1)
Ve
vE
соответственно; r – число узлов элемента. Соотношение (5.4.1) может рассматриваться как тестовое для проверки правильности найденной ранее базисной функции.
Компоненты объемной части матрицы теплопроводности (5.2.1) в разных системах координат описываются следующими конкретными выражениями, полученными с помощью таблицы производных:
1) декартова система координат, S  1 ; все три компонента определяются интегралом общего вида:
[kVi ]  ii
[ N ]T [ N ]
e i  i dV ;
V
 i  x, y, z ;
dV=dxdydz;
(5.4.2)
2) цилиндрическая система координат, S  2 :
 [ N ] 1
 [ N ]
[k ]   rr  
 [ N ]
dV ;
r
r
 r
Ve 
T
dV  rdrd dz ;
r
V
[ N ]T [ N ] dV
[kV ]   


;

 r 2
Ve

(5.4.3)
[ N ]T [ N ]
[k ]   zz 

dV ;
z
z
Ve
z
V
3) сферическая система координат, S  3 :
 [ N ] 2
 [ N ]
[k ]   rr  
 [ N ]
dV ;
r
r
 r
Ve 
T
r
V
[ N ]T [ N ]
dV
[kV ]   

 2 2 ;

 r Sin 
Ve

dV  r 2 drd Sin d  ;
T
 [ N ]
 [ N ] dV
[kV ]     
 [ N ]Ctg  
 2 .

  r
Ve 

(5.4.4)
Подставляя в (5.4.2)–(5.4.4) базисные функции и их производные для конкретного элемента каталога, последующим интегрированием находятся стандартизованные – программируемые сокращенные матрицы теплопроводности. Элементами
стандартизованных матриц будут либо числа, либо функции координат элемента. В
вычислительной программе значения этих координат берутся из таблицы входных
данных. В качестве множителей перед стандартизованными матрицами стоят величи-
56
ны теплофизических коэффициентов из физического каталога.
Процедура нахождения стандартизованных матриц поверхностной части матрицы теплопроводности описана в п. 5.1.
Стандартизация объемной части вектора тепловой нагрузки (5.2.7) сводится к
интегрированию базисных функций конкретного элемента каталога. Поверхностная
его часть (5.2.8) находится так же, как и поверхностная часть матрицы теплопроводности, но при этом интегрируются поверхностные базисные функции, а не их произведения.
5.5 Естественная система координат
В случае произвольной глобальной системы координат значения узловых координат ограничены только границами области интегрирования. Было бы полезным
упрощением, если бы значения этих координат были равны –1, 0, и +1. Этого можно
достигнуть выбором локальной (местной) системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой естественных координат. Преимущество естественных координат в том, что интегрирование по элементу часто может быть проведено в стандартном аналитическом виде [1, 4, 6].
Естественные координаты могут быть, очевидно, одно- двух- и трехмерными.
В одномерном случае
переход к
естественной системе координат осу-
ществляется трансляцией начала системы координат в начало отрезка X i . Тогда в
системе 0 i имеем:
i  x  X i ,
или, отнеся к длине отрезка:
1 
x  X1
.
X 2  X1
Точно так же, выбирая начало в точке
X 2 , найдем:
2 
Рис. 5.1
X2  x
.
X 2  X1
Из выражений для нормированных координат  i видно, что это полиномы Лагранжа:
57
~
 1  L2 ( x ) ;
~
 2  L1 ( x) .
(5.4.5)
Таким образом, в одномерном случае естественные координаты – это лагранжевы, или L -координаты, обладающие, как было показано ранее, всеми свойствами
базисных функций. Поэтому аппроксимирующую функцию элемента можно записать
в естественной системе координат так:
u e ( x)  L1 ( x)Ui ( X i )  L2 ( x)U j ( X j ) ,
поскольку N1 ( x)  L1 ( x) и N 2 ( x)  L2 ( x) .
Преимущество веденных L -координат в том, что интегрирование можно провести аналитически согласно формуле:
L
m
1
Ln2 dl 
e
m!n!
e ,
m  n  1!
(5.4.6)
где  e - длина элемента.
Нормированная координата площади в двумерном случае аналогична нормированной координате длины в одномерном. Для произвольно выбранной точки P в
трехузельном треугольном элементе такая координата определяется делением площади треугольника А1 (см. рис. 5.2) на площадь А всего треугольника: L1  A1 A . Аналогично для остальных частей треугольника:
L2  A2 A ;
L3  A3 A .
и
Рис. 5.2
Совмещая точку P с каждым из узлов, видим, что в узлах L -координаты равны
1, и равны 0 на сторонах, противоположных узлу, что и показано на рис. 5.2. Кроме
того, очевидно выполнение равенства:
3
3
 L    A A  1.
i 1
i
i 1
i
58
Отсюда следует, что из трех L -координат независимыми являются только две
любые из них, как и следовало ожидать для двумерного случая. Таким образом, введенные плоские L -координаты удовлетворяют всем свойствам базисных функций
элемента.
Найдем конкретное выражение для L -координаты. Площадь A1 треугольника
с вершинами P ( x, y ) , 2 X 2,Y2  и 3 X 3,Y3  , как известно, равна:
1 x
1
A1  1 X 2
2
1 X3
y
1
Y2   X 2Y3  X 3Y2   Y3  Y2   x   X 3  X 2   y  .
2
Y3
Разделив на площадь A треугольника, видим, что L1 ( x, y) полностью совпадает с базисной функцией N1 ( x, y) , симплекс-треугольника (см. (4.1.5)). Следовательно:
N j ( x, y )  L2 ;
Ni ( x, y)  L1 ;
Nk ( x, y)  L3 .
(5.4.7)
Интегрирование с использованием плоских L -координат осуществляется согласно формуле:
L
m
1
Ln2 L3p dA 
Ae
m !n ! p !
(2 Ae ) .
m

n

p

2
!


(5.4.8)
В трехмерном случае естественными координатами служат, очевидно, отношения объемов, или объемные L -координаты. Произвольно выбранной точкой P( x, y, z )
тетраэдр делится на четыре подобъема. Тогда для объемной L -координаты будем
иметь:
Li  Vi e / V e .
Легко показать, что и в этом случае базисные функции равны L -координатам:
Ni ( x, y, z )  L1 ;
N j  L2 ;
N k  L3 ;
N l  L4 .
(5.4.9)
Независимыми являются любые три из четырех объемных L -координат.
Интегралы для получения стандартизованных матриц просто находить в объемных L -координатах согласно формуле:
L
m
1
Ve
Ln2 L3p Lq4 dV 
m !n ! p !q !
(6V e ) .
 m  n  p  q  3 !
(5.4.10)
59
Отметим, что в формулах интегрирования с помощью L -координат (5.4.6),
(5.4.8) и (5.4.10) в знаменателе стоит сумма показателей степени L -координат плюс
число, соответствующее размерности элемента. Это правило помогает легко запомнить формулы интегрирования.
Базисные функции элемента, или L -координаты, можно использовать и для
установления связи между декартовой и естественной системами координат:
x = x(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{X}; y = y(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{Y},
(5.4.11)
где {X} и {Y} – вектор-столбцы, элементами которых являются глобальные координаты (в декартовой системе) узлов элемента; индекс m показывает, что базисные функции элемента использованы для преобразования координат. Например, радиус-вектор
в цилиндрической системе координат можно на основании (5.4.11) представить следующим образом:
r  [ Lp (r )]{Rq (r )}  [ L1 L2 L3 ][ Ri R j Rk ]T  L1 Ri  L2 R j  L3 Rk ,
(5.4.12)
где Ri , j ,k – радиальные координаты узлов симплекс-треугольника. Такая замена очень
продуктивна при нахождении стандартизованных матриц элементов, стороны которых не совпадают с координатными линиями системы [1, 2].
При задании двух множеств узлов – одно для определения аппроксимирующей
функции элемента, другое – для преобразования координат, возможны три случая:
• число узлов для определения формы элемента меньше числа узлов, используемых при определении интерполяционной функции, это – субпараметрические
элементы:
• число узлов одинаковое – изопараметрические элементы;
• число узлов формы больше числа узлов полинома – это суперпараметрические
элементы.
Возможность задания двух независимых множеств узлов позволяет сочетать
как интерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии,
так и элементы сложной формы с простыми интерполяционными полиномами [2, 6].
5.6 Средние температуры элемента
Как будет показано в следующей главе, учет температурной зависимости
теплофизических параметров, расчет конвективного и радиационного компонент теп-
60
лообмена требуют знания средних – объемной и поверхностной –температур элемента. Они определяются, как известно, формулами:
TVe 
1
T  i dV ;
V e Ve
TSej 
1
Sj
 T  dS ,
i
(5.5.1)
Sj
где j -номер поверхности.
T e (i )  [ N e (i )]{T e ( i )}
С учетом версии МКЭ:
стандартизованные выражения для средних температур конкретного элемента каталога будут следующими:
TVe 
1
Ve
 [ N  ]{T ( )}dV ; T
i
i
e
Sj

Ve
1
Sj
 [ N  ]
i
Sj
Sj
 {TS j ( i )}dS j .
(5.5.1)
После интегрирования согласно (5.5.1) стандартизованные соотношения для
средних температур элементов каталога программируются.
Сопоставляя (5.5.1) с (5.2.7) и (5.2.8), видим, что средние температуры фактически уже найдены, поскольку интегралы в сравниваемых выражениях одинаковы. В
(5.5.1) достаточно внести лишь объем элемента и площади j -x поверхностей.
В заключение укажем, что базисные функции элемента должны удовлетворять
не только сформулированным в п. 4.4 необходимым условиям, но и достаточным:
 N q  i dV  0 ,
V
e
1
Ve
r
  N  dV  1 ,
q
i
(5.5.2)
q Ve
которые должны выполняться одновременно. В задачах теплопроводности достаточность условий (5.5.2) (второе из них может рассматриваться как нормировочное) вытекает из следующих физических соображений: объемная нагрузка независимо от характера – равномерного или неравномерного – ее распределения по узлам может быть
только положительной, а сумма узловых нагрузок должна равняться величине w e
объемной нагрузки элемента в целом. К этим же выводам можно прийти и анализируя
формулы (5.5.1) для средних температур.
Задание 5
5.1 Получите базисные функции всех элементов каталога.
5.2 Получите все стандартизованные матрицы второго, третьего и шестого
элементов каталога, используя L -координаты.
61
5.3 Найдите среднеповерхностные температуры одного из элементов каталога.
ГЛАВА 6. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ
Формой реализации метода конечных элементов как численного метода решения краевой задачи теории поля является вычислительная программа, представляющая собой задаваемую ее алгоритмом последовательность стандартных процедур. В
предшествующих главах были описаны методы и способы стандартизации отдельных
вычислительных аспектов программы по реализации МКЭ. В данной главе рассмотрен завершающий этап построения программы – получение системы алгебраических
уравнений, позволяющей определить поле значений искомой величины, в частности,
температуры. В последних трех пунктах главы затронуты некоторые вопросы методического характера.
6.1 Задание краевых условий задачи
В пятой главе была описана методика получения стандартизованных матриц
элемента, которые заносятся в программу. В качестве множителей эти матрицы содержат величины, которые либо отражают свойства элемента – объемная теплоемкость и коэффициенты теплопроводности в соответствующих матрицах, либо задаются граничными условиями задачи: коэффициент  Se конвективного теплообмена и
j
комплексный коэффициент DS
j
в поверхностных компонентах стандартизованной
матрицы теплопроводности (см. (5.2.3)) и вектора тепловой нагрузки (см. (5.2.8)), соответственно.
Введенный в п. 1.2 комплексный коэффициент DS (см.(1.2.8)) описывал сложj
ный теплообмен на границах элемента и объединял три его компонента:

DS j   Tср  q Re,i    q e

Sj
n
,
S
j i
j
 Se ,
(6.1.1)
где n – число ограничивающих элемент поверхностей.
Объединение физически разнородных механизмов в DS было произведено чиj
сто математически на том основании, что все поверхностные компоненты, образующие вектор тепловой нагрузки, описываются единой формулой (5.2.8).
Задать граничные условия – это значит указать геометрическую, физическую и
количественную характеристики поверхностного теплообмена. Геометрическая характеристика сводится к указанию поверхности элемента, на которой осуществляется
62
тот или иной вид теплообмена; физическая описывает механизм (компонент –  ,  , q )
теплообмена; количественная – его интенсивность.
В целях стандартизации процедуры задания граничных условий для элементов
базового каталога, поверхностям каждого его элемента присвоены номера 1, 2, 3, 4, 5,
6, а его узлам – индексы i, j,..., q . Это позволяет задавать поверхность, на которой
осуществляется теплообмен, не индексами принадлежащих ей узлов, а присвоенным
ей в каталоге номером, что существенно сокращает объем вводимой информации.
Процедура задания граничных условий представлена в таблице 4.
Таблица 4
Таблица входных данных (  =0)
Номер
элемента
ГлоФиз.
Баз.
балькаканый
таталог
лог
1
2
3
e
eфк
ekei
12
9
7
Индекс
и
глоб.
номер
узла
4
i
j
.
.
.
q
1
3
7
6
2
Координаты
узлов
ξ1
ξ2
ξ3
5
Xi
Xj
.
.
.
Xq
6
Yi
Yj
.
.
.
Yq
7
Zi
Zj
.
.
.
Zq
Конвективный
т/о
Радиационный
т/о
Поверхностмощность
Объемная
мощность
Вектор
нач.
температур
8
α1
α2
.
.
.
α6
9
S1
S2
.
.
.
S6
10
q1
q2
.
.
.
q6
11
12
w
{T0}
6300
293
250
580
128
322
Радиационный компонент содержит степень черноты поверхности  Se , величиj
на которой (и ее температурная зависимость) занесена в физический каталог. Поэтому
при задании граничных условий достаточно указать лишь номер поверхности элемента, на которой осуществляется радиационный теплообмен, не приводя самого значения  Se , – оно определяется номером элемента по физическому каталогу.
j
Граничные условия для каждого элемента вводятся в расширенную таблицу
входных данных, содержащую в себе и ее геометрическую часть (cм. стр. 40).
В таблице 4 наряду с граничными условиями – позиции 8, 9, 10, указаны элементы с объемным источником (стоком) тепла – поз. 11, и начальное условие – поз.
12, т.е. вектор значений среднеобъемных температур элементов, задаваемых пользователем программы по тем или иным соображениям. Лишь базируясь на таблице
63
входных данных, стандартизованные матрицы элемента можно превратить в числовые. Тем самым числовыми становятся и глобальные матрицы.
В общем случае объемная тепловая нагрузка w e зависит от времени, так как
является активным элементом в системе обеспечения теплового режима (СОТР) объекта [49 – 52]. При релейном управлении она задается в программе отдельной временной циклограммой.
Внешний тепловой поток q e обычно тоже является функцией времени вследствие его ориентационной зависимости при движении объекта, например, космического аппарата по орбите [32]. Зависимость q e   может задаваться аналитически или
временной циклограммой, как это показано в таблице 5.
6.2 Решение системы динамических уравнений
Задание
граничных
условий
позволяет
программно
превратить
глобальные матрицы в числовые. В стационарном случае это означает, что
получена система R (по количеству узлов) алгебраических уравнений с числовыми
коэффициентами при неизвестных узловых значениях Tq или U q , которая может быть
разрешена с помощью стандартной программы (например, “GELG”, реализующей
метод Гаусса).
В нестационарном случае получается система R обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с числовыми глобальными матрицами [1]:
[C]{T ( )}  [ K ]{T  }  {F  }  0 ,
  0,
(6.2.1)
с начальным условием, включенным в таблицу данных:
{T  }  {T  0}  {T0 }.
(6.2.2)
Система уравнений (6.2.1) вместе с (6.2.2) представляет собой известную
Таблица 5
Временная циклограмма q(τ)
Время
(мин.)
0 ÷ 30
30 ÷ 60
Номер
элемента
3
5
12
3
7
14
Номер
поверхности
1
4
3
2
1
6
Величина
мощности (Вт)
20
35
74
51
40
62
задачу Коши. Для ее решения применим метод конечных элементов, для чего пред-
64
ставим (см. рис. 6.1) временную ось  совокупностью m отрезков (элементов), не
обязательно одинаковой длины  k , хотя последнее и удобнее. Кривая T   дает графическое изображение временной зависимости температуры не в отдельном глобальном r-ом узле, а всего вектора значений температуры в R глобальных узлах, т.е. T   –
это вектор-столбец размером R  1 . Для отображения этого факта на рисунке применен жирный шрифт.
Используя версию МКЭ, аппроксимирующую функцию на  -м временнόм
элементе представим в виде:
T ( k )    [ N  ]{T } ,
(6.2.3)
где [ N  ]   N i   N j    – матричная строка базисных временных функций;
{T }  Ti  k  Tj  k  – вектор-столбец всей совокупности TR значений температуT
ры в i -м и в j -м узлах k -го временнόго элемента.
В качестве базисных функций возьмем линейную модель, которая в естественной системе временных координат имеет вид:
N i    1    k  L1 ,
N j      k  L2 ,  k   j   i .
(6.2.4)
Применив метод Галеркина к дифференциальному уравнению (6.2.1), для k -го
временнόго элемента получим систему уравнений в интегральной форме:
j
 [ N ( )]

T
[C ][ N ( )]{T }  [ K ][ N ( )]{T }  {F }d  0 .
(6.2.5)
i
Рис. 6.1
Интегрирование этого выражения с помощью L -координат приводит к системе
алгебраических линейных уравнений:
65
1

[C ] {T j }  {Ti }  [ K ]  2{T }i  {T j }  {F }  0, 
k
3


1
1
[C ] {T j }  {Ti }  [ K ] {Ti }  2{T j }  {F }  0. 

k
3
1
Разрешим ее относительно { T j  k  }:
2

2

 [C ]  [ K ] {T j  k }   [C ]  [ K ] {Ti  k }  {Fi  k }  {Fj  k } .
k

k

Вводя обозначения:
[ A] 
2
k
[C ]  [ K ] , [ P ] 
2
k
[C ]  [ K ] ,
(6.2.6)
последнее выражение запишем компактно:
[ A]{T j  k }  [ P]{Ti  k }  {Fi  k }  {Fj  k } .
(6.2.7)
Уравнение (6.2.6) содержит две неизвестные – совокупности значений температур TR в i -м и в j -м узлах k -го элемента. Для обеспечения непрерывности интерполяционной функции (6.2.3) в общем для соседних элементов узле должно выполняться условие:
{Ti  k }  {Tj  k 1 } .
(6.2.8)
Подставляя (6.2.8) в (6.2.7) и опуская одинаковый для всех членов уравнения
индекс j , получим рекуррентное уравнение, позволяющее выразить координатные
узловые значения температуры на  k -м временнόм шаге через совокупность их значений на предыдущем –  k 1 -м шаге:
[ A]{T  k }  [ P]{T  k 1 }  {F  k 1 }  {F  k } .
(6.2.9)
Полученное уравнение (6.2.9) может быть решено относительно {T  k } очевидно только в том случае, если {T  k 1 } известны. Именно это обусловливает обязательную последовательность данного процесса, – он должен начинаться с   1 с последующим перебором значений   2,3,..., m . Эта процедура может быть охарактеризована как псевдоитерационный процесс, в котором последующее значение вычисля-
66
ется по найденному на предыдущем шаге. Отличие заключается в том, что значения в
j-м узле находятся по значениям в i-м узле, а в итерационной процедуре значения искомой величины уточняются в одном и том же узле по найденному на предыдущем
шаге в этом же узле.
На первом временнόм шаге в качестве {T  k 1 } будет фигурировать, очевидно,
начальное – задаваемое – условие (6.2.2) в i -м временном узле, что и позволяет найти
по уравнению (6.2.9) значения температур в j -м узле этого же – с   1 – временного
элемента:
[ A]{T j  1 }  [ P]{Ti  0 }  {Fi  0 }  {Fj  1 } .
(6.2.10)
Определение {Tj 1 } по уравнению (6.2.10) и, тем самым, согласно (6.2.8) и
значений {Ti  2 } в i -м узле второго временнόго элемента с k  2 , позволяет организовать последовательный процесс в соответствии с рекуррентным уравнением (6.2.9).
Таким образом, методом Галеркина система R дифференциальных уравнений
решена и сведена к системе R алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами при неизвестных значениях температуры в R глобальных координатных узлах на
каждом k -м временнόм элементе.
Другие способы решения системы динамических уравнений (6.2.1) описаны в
[2, 6] (решение методом конечных разностей).
6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
Полученное в п. 6.2 выражение (6.2.10) является решением линейного уравнения теплопроводности с линейными граничными условиями, так как все теплофизические параметры задачи полагались постоянными. Это ограничение общности решения может быть снято программными методами [1].
При небольшой величине  k временного шага изменения температуры на k -ом
шаге будут невелики, в силу чего параметры задачи можно считать постоянными на
этом временном элементе. Это тем более справедливо, если учесть, что температурная зависимость параметров довольно слабая – aT  T (через а обозначен теплофизический параметр) невелико. Однако постепенно изменения температуры будут
накапливаться и на каком-то временнόм шаге значения параметров следует перевычислить соответственно средней температуре элемента по заложенной в физическом
каталоге процедуре:
67
a T   b0  b1T  b2T 2 .
(6.3.1)
Здесь под aT  понимаются: коэффициент теплопроводности k ii ; объемная теплоемкость   c p  ; bi  Const .
Для установления момента времени, в который нужно производить перерасчет
параметров, на каждом шаге  k , начиная с k  2 , достаточно сравнить среднеобъемную температуру элемента (см.(5.4.1)) с ее значением на первом временном отрезке:
TVe  TV  k   TV 1  .
e
(6.3.2)
По задаваемой величине T , например, ≈ 100К, можно теперь определить номер к-го временнόго шага, с которого нужно перевычислить по (6.3.1) параметры тех
элементов e′, для которых условие TVe  100K оказалось выполненным. Для этих
'
элементов находятся разности:
ae  a  k   a  k 1  ,
e'
'
и в стандартизованных матрицах элементов e′ коэффициенты a 1  заменяются на
a , что позволяет найти поправочные числовые матрицы [ce ] и [kVe ] .Все найденные
'
'
указанным способом поправочные матрицы заносятся по известной процедуре (см. п.
5.2) в глобальные матрицы [ A 1 ] и [ P 1 ] , что приводит к поправленным на температурную зависимость параметров матрицам [ A  k ] и [ P  k ] . Относительно поправки объемной теплоемкости следует иметь в виду, что температурная зависимость ср
и ρ носит противоположный характер: если ср растет с температурой, то ρ – падает,
так что их произведение крайне слабо зависит от температуры. Поэтому поправлять
матрицу теплоемкости на температурную зависимость едва ли целесообразно.
В отличие от глобальных матриц, глобальный вектор тепловой нагрузки F
формируется на каждом временнόм элементе, поскольку в общем случае:
w e  w e  k 
и
q e  q e  k  .
Поверхностная его часть определяется комплексным коэффициентом


DSe j  k     S j  k   q Re,i   k   q e  k  ,
e
который так же находится на каждом  k .
Таким образом, рекуррентное уравнение (6.2.10) с внесенными поправками на
68
температурную зависимость параметров, по которому нужно проводить расчет
температур на следующем–  k 1  ом шаге, будет иметь вид [1]:


[ A  k ]{T  k 1 }  [ P  k ]{T  k }  {F  k }  {F  k 1 } .
На
(6.3.3)
последующих временных шагах температура "поправленных" e
элементов сравнивается с их же температурой на  k шаге, а температура остальных
E  e' элементов – с их температурой на  1 шаге. Следовательно, неравенство (6.3.2)
после  k -го шага расщепляется на два неравенства:
TV  k  n   T  k   100 K ,
e'
n  1,2,...
TV  k  n   TV  1 
E e
'
(6.3.4)
 100 K .
При выполнении любого из них процедура внесения поправок повторяется.
6.4 Радиационный компонент теплообмена
Конвективный компонент теплообмена характеризуется его интенсивностью –
коэффициентом теплоотдачи α. Его зависимость от температуры довольно слабая, поскольку температура отнесения определяется как средняя температур теплоносителя
и обтекаемого тела – T  (Tf  Tw ) / 2 , которые влияют на числа Рейнольдса и Нуссельта – параметры конвективного процесса теплоотдачи – лишь через слабую зависимость от температуры коэффициента теплопроводности и динамической вязкости газового теплоносителя. Поправка лежит в пределах 5÷10% и ею можно пренебречь.
В отличие от других видов теплообмена, радиационный (лучистый) теплообмен существует всегда вследствие недостижимости абсолютного нуля температуры, и
поэтому, в принципе, он должен учитываться при любых температурах. Одним из
факторов, объясняющих значение теплового излучения, является вид зависимости
энергии излучения от температуры. В случае теплопроводности и конвекции перенос
энергии между двумя участками пропорционален разности температур этих участков
приблизительно в первой степени. Перенос энергии тепловым излучением зависит от
разности абсолютных температур отдельных тел, каждая из которых возведена примерно в четвертую степень. Из этого основного различия механизмов обмена энергией при излучении, конвекции и теплопроводности следует, что роль излучения повышается при возрастании уровня абсолютных температур. При проектировании
69
устройств, предназначенных для использования в условиях космоса, предусматривают высокотемпературные режимы их работы для достижения высокой тепловой эффективности.
Вторая отличительная особенность переноса излучения – не обязательное
наличие среды для обмена энергией излучения между участками, в то время как для
переноса энергии конвекцией или теплопроводностью присутствие физической среды
обязательно. Если среда отсутствует, то излучение становится единственно возможным способом переноса тепла. Так, например, для отвода отработанного тепла от
космических энергетических установок может быть использовано только излучение
[19, 27, 32, 47 – 52].
Радиационный теплообмен с окружающей средой внешних элементов в диффузно-сером приближении можно описать выражением [1, 16]:


q Re  k Se   0 ee  k 1  TS4e  k 1   Tcp4 ,
(6.4.1)
где  0 – постоянная Стефана-Больцмана 5,67  10 8 Вт м 2  К 4 ;  e – интегральная
степень черноты; TS – среднеповерхностная температура; e – номер внешней "радиаe
ционной" поверхности элемента.
Радиационный теплообмен между en и em элементами – внутренний теплообмен, описывается более сложной формулой, основанной на зональном методе расчета
лучистого теплообмена в замкнутой системе изотермических поверхностей [1, 16]:
E
qRi  k  n    0 ienn  iemm Tm4  k 1   Tn4  k 1    n , m ,
e
(6.4.2)
mn
где  n, m – средний разрешающий угловой коэффициент излучения, величина которого
находится решением системы уравнений:
 n,m   1   j   n, j j ,m  n,m ,
E
(6.4.3)
j l
включающих известные средние геометрические угловые коэффициенты излучения
n,m . В частности, для камеры стационарного плазменного двигателя (СПД) они даны
в работах [17, 18]. Под температурами Tm и Tn в (6.4.2) понимаются среднеповерхностные температуры этих поверхностей.
Так как элемент имеет несколько поверхностей, то одни из них могут участво-
70
вать во внешнем e , а другие – во внутреннем i радиационном теплообмене. Поэтому
поверхностная часть вектора нагрузки для одного и того же элемента будет иметь в
общем случае два радиационных компонента – внешний и внутренний:
f 
e
R Se

 q 
e e
R Se
f 
N STe dS ;
i
R Si

Se
 q 
i e
R Si
N STi dS .
Si
Процедура учета температурной зависимости  Sj T  аналогична описанной в п. 6.3.
Согласно изложенному способу учета радиационного компонента сложного
теплообмена, неизвестные узловые значения температур в четвертой степени не появляются в системе определяющих уравнений, и она остается линейной, что значительно упрощает процедуру ее решения методом Гаусса. При необходимости повысить точность результатов расчета нужно: а)- в формулах (6.5.1), (6.5.2) заменить
среднеповерхностные температуры TS  k 1  на найденные на  k -м шаге температуры
TS  k  ; б)- полученные новые значения внешнего и внутреннего компонент радиаци-
онного теплообмена включить в глобальный вектор нагрузки; в)- заново решить систему уравнений. Эту процедуру уточнения результатов на  k  ом шаге можно повторять до тех пор, пока их различие не станет меньше наперед заданной величины
T .
Важность учета радиационного компонента теплообмена проиллюстрирована
в таблице 6 результатами расчета по описанной методике теплового режима цилиндра
при различных значениях степени черноты поверхности  [1, 16].
Сравнение температур (по столбцам) при разных  показывает, что они
существенно падают при одновременном росте их градиента в радиальном направлении. Большие различия температур в первой   0 и второй   0 строках свидетельТаблица 6
ε
Температура в узлах, К
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,3
0,9
710
592
556
708
590
553
705
587
551
646
525
488
643
521
483
640
517
477
600
470
432
598
467
428
595
464
422
ствуют о значительном вкладе радиационного компонента теплообмена в общий
энергетический баланс.
Таблица 7
71
Величина температурного градиента
τ,
мин.
Т1, К
α ≠ 0, ε = 0
0,5
342,9
∂Т1/∂τ
Т2, К
α ≠ 0, ε ≠ 0
∂Т2/∂τ
297,3
20,2
1,0
352,8
1,5
354/9
2,0
355,3
2,5
355,4
20,6
307,6
4,2
19,0
317,1
3,2
13,4
323,8
0,2
0,6
324,1
Радиационный теплообмен оказывает существенное влияние не только на величину температуры в узлах, но и на динамику процесса, о чем можно судить по данным таблицы 7. Видно, что как сами температуры, так и их временнáя производная
достаточно сильно отличаются друг от друга при нулевых и ненулевых значениях  .
6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
и пространственная изотропия
Остановимся кратко на некоторых вопросах математического характера.
Обычно решение, полученное методом конечных элементов, является приближением
к истинному, или точному решению. Как близко это вычисленное решение к точному,
и сходится оно или нет – это два важных вопроса, требующих ответа. Попытаемся
оценить точность и сходимость метода конечных элементов.
Точность – это мера близости численного решения к точному, или истинному.
Устойчивость определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое вычисление является результатом аппроксимации,
округления или других ошибок, которые неограниченно накапливаются, вследствие
чего истинное решение тонет в ошибках. Сходимость – это постепенное приближение
последовательно вычисляемых решений к предельному по мере того, как уточняются
некоторые вычислительные параметры, такие, как размер элемента или ранг базисной
функции в пробном решении. Термин “сходимость“ в этом же смысле применяется и
к итерационной процедуре, в которой некоторые или все результаты одного вычисления становятся входной информацией для другого (повторного) вычисления. В сходящейся процедуре разница между последовательными результатами уменьшается,
стремясь в пределе к нулю. Более подробные сведения по этим вопросам можно
найти в курсах по численному анализу и методам вычислений.
72
В добавление к обычным ошибкам округления и аппроксимации, связанным с
какой-либо вычислительной процедурой, есть и ошибки, связанные с самим методом
конечных элементов. К ним относятся:
• ошибки дискретизации, являющиеся результатом геометрических различий
границы области и ее аппроксимации по методу конечных элементов;
• ошибки пробной, или базисной функции, обусловленные разностью между
точным решением и его представлением пробной функцией.
Ошибки дискретизации могут быть уменьшены использованием более мелких
элементов или расположением криволинейных около границы. Ошибки пробной
функции не обязательно уменьшаются по мере уменьшения размера элемента и могут поэтому мешать сходимости к точному решению или даже приводить к расходимости.
В общем случае полиномиальная пробная функция может только тогда дать
точное решение на элементе конечного размера, когда полином является полным и
имеет бесконечную степень. Последовательность линейно независимых функций считается полной, если можно найти такое число N и набор постоянных аi , при которых
для произвольной допустимой функции u того же пространства R справедливо неравенство
N
u   aii

i 1
для любой наперед заданной величины ε. Поскольку на практике возможно использовать конечное число членов, представление пробной функции в виде полинома не
может быть ничем иным, как приближением к точному решению. Это означает, что
на элементе конечного размера пробная функция в виде полинома конечной степени
всегда содержит ошибку.
Элементный вклад (5.1.5) содержит функцию T e и ее производные до порядка
n включительно. Полиномиальное представление для T e должно содержать, как минимум, степень n, если n-я производная отлична от нуля. Выбирая полиномы n-ой
степени, получим в пределах элемента следующие представления:
73
T e ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  .......  an x n ,
dT e / dx  a1  2a2 x  .......  nan x n 1 ,
(6.4.1)
.
.
d nT e / dx n  n !an .
Отсюда видно, что, поскольку полином для T e ( x) является полным, каждая из производных имеет в своем представлении член, не зависящий от х. По мере того, как размер элемента стремится к нулю, каждая из производных стремится к своему точному
значению, и, следовательно, также ведет себя и элементный вклад. В результате процедура сходится.
Вышесказанное
позволяет
сформулировать
критерий 1 ограниченной
сходимости: условием сходимости является представление переменной внутри элемента в виде полного полинома как минимум степени n, где n – наивысший порядок
производной в определяющем (ключевом) интеграле (5.1.5).
Когда для представления переменной T e ( x, y, z) используется полином более
высокой степени, чем указанный минимум, от аппроксимации можно ожидать большей точности и меньшей ошибки пробной функции и, как следствие, более высокой
скорости сходимости.
Наряду с понятием полноты, вводится еще одна характеристика пробной функции, – согласованность. Пробная функция рассматривается как согласованная, если
переменная и ее производные вплоть до порядка n-1 непрерывны при переходе через
границу между элементами, где n – порядок самой высокой производной в ключевом
интеграле (5.1.5) для элементного вклада. Это позволяет сформулировать критерий 2
ограниченной сходимости : условие сходимости состоит в том, что элементы должны
быть согласованными, т.е. при переходе через границу между элементами должны
быть непрерывны сама функция и ее производные вплоть до порядка n-1 включительно. Отсюда следует, что квадратичные и более высокого порядка элементы, будучи, согласно определению, согласованными, безусловно обеспечивают сходимость
метода конечных элементов в версии как метода Галеркина, так и вариационного. Для
одного и того же класса задач критерии 1 и 2 являются достаточными условиями сходимости метода конечных элементов независимо от его формулировки.
Существует еще один критерий 3 сходимости, связанный с размером элемента,
а именно, условие сходимости состоит в том, что по мере стремления к нулю размера
74
элемента, члены с производными и функцией в уравнениях должны стремиться к
функции той гладкости, что и точное решение в предположении непрерывности последней.
Из изложенного выше может сложиться впечатление, что все типы элементов,
для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны. Это не совсем так, поскольку на практике очень важна еще и точность. Как можно
практически оценить вычисленного решения? Если иметь в виду общий случай, то, к
сожалению, никак. Одним из двух способов, однако, часто можно получить достаточный показатель точности.
Первый из них очевиден: путем сопоставления с известным аналитическим
решением.
Второй метод требует предварительного определения типа сходимости для
конкретной формулировки МКЭ и для конкретной задачи. Если окажется, что сходимость улучшается монотонно по мере уменьшения размеров элемента, то можно решать задачу несколько раз с последовательно уменьшаемыми элементами, и для получения решения экстраполировать результаты.
Монотонная сходимость МКЭ к точному имеет место, если:
• тип элемента удовлетворяет условиям полноты и согласованности по
критериям 1 и 2;
• размеры сетки уменьшаются таким образом, чтобы элементы каждого
последующего уровня представляли собой части соответствующих
элементов предыдущего уровня;
• подмножество разбиений каждого уровня содержится в подмножествах
предыдущего уровня.
Представление зависимой переменной на элементе не должно зависеть от используемой системы координат, или, точнее, должно быть геометрически инвариантным для ортогональных преобразований системы координат. Это принято называть
пространственной, или геометрической изотропией. Кроме инвариантности геометрическая изотропия также гарантирует вдоль любой границы или ребра элемента
полноту полиномиального представления того же порядка, что и внутри элемента.
Когда в качестве пробной функции выбран полный полином, то элемент обладает геометрической изотропией. Если из полинома исключаются некоторые члены,
75
то это следует сделать так, чтобы элемент, соответствующий неполному полиному,
оставался по-прежнему геометрически изотропным. При
определении того, какие члены можно отбросить, ясно, что симметричные пары (как
x2, y2 или x3, y3, или x5y2, x2y5) не вносит несимметричность по отношению к той
или иной координате при условии, что порядок исходного полинома не уменьшился.
Для иллюстрации отбрасывания симметричных пар полного полинома, рассмотрим содержащий десять членов полной кубической полином от двух переменных:
T e ( x, y )  a1  a2 x  a3 y  a4 x 2  a5 xy  a6 y 2  a7 x 3  a8 x 2 y  a9 xy 2  a10 y 3 .
Элемент, которому соответствует этот полный полином, обладает геометрической
изотропией, но то же имеет место при использовании следующих неполных кубических полиномов:
T e ( x, y )  a1  a2 x  a3 y  a5 xy  a7 x 3  a8 x 2 y  a9 xy 2  a10 y 3 ,
T e ( x, y )  a1  a2 x  a3 y  a5 xy  a7 x 3  a10 y 3 .
или
В последних выражениях кубические члены сохранены, чтобы порядок исходного кубического полинома не уменьшился.
В заключение заметим, что в практике метода конечных элементов полные полиномы, как правило, не употребляются.
Задание 6
6.1 Как
изменится
радиационный
динамическое
компонент
уравнение для
представить
в
элемента,
граничных
если
условиях
выражением qR   0 T 4  Tcp4  , а не в виде числа, определяемого на
предыдущем шаге, согласно (6.5.1)? Какие трудности программного и
математического характера должны при этом возникнуть?
6.2 Возможны ли случаи, когда радиационный компонент можно не
учитывать?
76
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
По методу конечных элементов
1. Румянцев А.В. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности: Учеб.
пособ. Изд-во Калининградского госуниверситета, 1997, 100 с.
2. Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
3. Норри Д., Ж. деФриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.
4. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.
5. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. М.:
Судостроение, 1979.
6. Оден
Дж.
Конечные
элементы
в
механике
сплошных
сред.
М.:
Мир, 1976, 464 с.
7. Силвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и
инженеров-электриков. М.: Мир, 1986.
8. Кандидов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. М.: Изд-во МГУ, 1980.
9. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравне-
ния: Учеб. пособ, М.: Наука, 1985, 231 с.
10. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965, 426 с.
11. Пытьев Ю.П., Васильева А.Б., Пытьева Г.П. Аналитическая геометрия с эле-
77
ментами линейной алгебры: Учеб. пособ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986, 140 с.
12. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982, 254 с.
13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977, 536 с.
14. РумянцевА.В., Васильев В.В. Решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности методом конечных элементов с
использованием ком-
плекс-элемента. Деп. ВИНИТИ, № 123-В94.
15.Румянцев А.В. Температура теплоносителя в длинном неизотермическом
канале. Деп. ВИНИТИ, № 2679-В95.
16. Румянцев А.В., Сергеенкова Р.С., Васильев В.В. Решение нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности методом конечных элементов с учетом
радиационного теплообмена. Деп. ВИНИТИ, № 125-В94.
17. Румянцев А.В., Агапитов Д.А., Остроух А.Н., Хоменко А.В. Система угловых
коэффициентов излучения коническо-цилиндрической камеры с торцами. Деп.
ВИНИТИ, № 1963-В94.
18. Румянцев А.В., Хоменко А.В., Васильев В.В. Система угловых коэффициентов
излучения коаксиальной камеры с кольцевыми торцами. Деп. ВИНИТИ, №
1654-В95.
По основам теплообмена и тепловому проектированию
19. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике: Учебник для авиационных специальностей вузов./ Авдуевский В.С., Галицейский Б.М.,
Глебов Г.А. и др. М.: Машиностроение, 1992, 582 с.
20. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967, 599 с.
21. Арнольд П.В., Михайловский Г.А., Селиверстов В.Н. Техническая термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1979, 444 с.
22. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика: Теплопередача. М.: Высшая школа,
1988, 479 с.
23. Исаченко В.П., Осипов В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. М.: Энергия, 1975,
424 с.
24. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983, 328 с.
25. Темкин А.Г. Обратные методы теплопроводности. М.: Энергия, 1973, 464 с.
26. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978, 480 с.
78
27. Дрейцер Г.А. Конвективный теплообмен в каналах: Учеб. пособ. М.: Изд-во
МАИ, 1984, 77 с.
28. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Свободно-конвективный теплообмен:
Справочник. Минск: Наука и техника, 1982, 400 с.
29. Себеси Г., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. М.: Мир, 1987, 592 с.
30. Зигель Р., Хауэлл Д. Теплообмен излучением. И.: Мир, 1975, 934 с.
31. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.:
Машиностроение, 1978, 184 с.
32. Залетаев В.М., Капинос Ю.В., Сургучев О.В. Расчет теплообмена космического
аппарата. М.: Машиностроение, 1979, 208 с.
33. Галицейский Б.Н. Теплопередача в авиационных двигателях. М.: Изд-во МАИ,
1985, 82 с.
34. Алемасов В.Е. Теория ракетных двигателей. М.: Оборонгиз, 1965.
35. Теплообмен в энергетических установках космических аппаратов. Галицейский Б.М., Данилов Ю.И., Дрейцер Г.А., Кошкин В.К. М.: Машиностроение, 1975,
272 с.
36. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита. М.: Энергия, 1976, 392 с.
37.Тепловой расчет котельных агрегатов (нормативный метод). М.: Энергия, 1973,
296 с.
38. Вульман Ф.А., Хорьков Н.С Тепловые расчеты на ЭВМ теплотехнических
установок. М.: Энергия, 1975, 198 с.
39. Маргулова Т. Атомные электрические станции. М.: Высшая школа, 1978, 311 с.
40. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательного аппарата. М.: Машиностроение, 1979, 216 с.
41.Попырин Л.С. Математическое моделирование и оптимизация теплоэнергетических установок. М: Энергия, 1978, 415 с.
42. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными тепловыми режимами.
Киев.: Наукова думка, 1979, 359 с.
43. Лаврентьев М.Н., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 288 с.
44. Коздоба Л.А. Вычислительная теплофизика. Киев.: Наукова думка, 1992, 276 с.
79
45. Панкратов Б.М. Основы теплового проектирования транспортных космических
систем. М.: Машиностроение, 1988, 303 с.
46. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его
среды. Под ред. акад. Петрова Г.И. М.: Машиностроение, 1971, 380 с.
47. Конструкция и проектирование космического летательного аппарата. М.: Машиностроение, 1986, 344 с.
48. Гущин В.В., Панкратов Б.Н., Родионов А.Д. Основы устройства и конструирования космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1992, 278 с.
49. Малоземов В.В. Выбор проектных параметров подсистем терморегулирования.
М.: Изд-во МАИ, 1986, 344 с.
50. Малоземов В.В., Логинов С.Н., Мартиросова Е.И. Математическое моделирование элементов, агрегатов и систем обеспечения теплового режима летательных
аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 1986, 91 с.
51. Малоземов В.В., Логинов С.Н., Кутепов С.Н. Анализ и исследование подсистем обеспечения теплового режима летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ,
1987, 103 с.
52. Андрейчук О.Б., Малахов Н.Н. Тепловые испытания космического аппарата.
М.: Машиностроение, 1982, 143 с.
80
Приложение 1
БАЗОВЫЙ КАТАЛОГ ОБЪЕМНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
81
82
Осесимметричные объемные элементы
83
БАЗОВЫЙ КАТАЛОГ ОДНО- И ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Осесимметричные одно- и двумерные элементы получается поворотом на 2
порождающих ij -x одномерных элементов.
84
Приложение 2
Методика получения стандартизованных матриц элемента
Возьмем для примера 2-ой элемент базового каталога и применим к нему
обобщенный метод Крамера-Лагранжа, поскольку он лишь частично образован координатными плоскостями Z i  Const
Z l  Const . Присвоим узлам индексы
и
i, j,..., n , соблюдая правило обхода против часовой стрелки.
В основании треугольной прямой призмы
лежит симплекс-треугольник, трансляцией которо
го вдоль орта e3 на расстояние h  Z l  Z i образован
объемный элемент. Точно так же можно считать,
что элемент образован
трансляцией
верхнего

основания по орту  e3 . Базисные функции легко
находятся
по
обобщенному
методу
Крамера-
Лагранжа, т.е. умножением базисных функций симлекс-треугольников ijk и lmn на
полином Лагранжа Lz  (см. п. 4.3):
 i, j , k
N q x, y, z   N q x, y L p z  , при q  
l , m, n
pl
pi
(П.2.1)
Полиномы Лагранжа имеют вид:
Ll z    z  Z1  Z1  Z i  ;
Li z    z  Z i  Z1  Z i  .
(П.2.2)
Функции для симплекс-треугольника возьмем в виде (4.1.7):
N q  x, y ,  
1
aq  bq c  cq y ,

q  i, j,..., n ,
(П.2.3)
  2 A – удвоенная площадь треугольника (см. 4.1.3). Конкретные значения коэффи-
циентов в (П.2.3) нас пока не интересуют. Правильность базисных функций узлов
элемента гарантирована использованием обобщенного метода Крамера-Лагранжа.
Найдем производные базисных функций по текущим переменным x, y, z :
N q x, y 
x

bq L1 z 
;

1  Li z 
N q x, y 
y

cq L1 z  q  i, j, k
;

1  Li z  q  i, m, n
85
N q x, y 
z
 1 q  i , j , k
.
 N q x, y 
 1 q  l , m, n
(П.2.4)
Элементарный объем представим в виде
dV  dxdydz  dAdz ,
(П.2.5)
так как производные по x и y есть постоянные, умножаемые на полином L p  z  .
Найдем объемную часть матрицы теплопроводности, подставляя в (5.3.2) производные (П. 2.4) с учетом (П. 2.5):
k   xx
x
V
A
21
 b L
Zl
i
l
 b j Ll  bk Ll  bi Li  b j Li  bk Li
 b L  b L  b L  b L  b L  b L dz
T
i
l
j
l
k
l
i
i
j
i
k
i
(П.2.6)
Zi
21  2A .
2
Типичные интегралы:
Zl
Zl
 L z dz   L z dz  h 3 ;
Zl
Zi
Zi
2
l
 L z L z dz  h 6 .
2
i
l
Zi
i
(П.2.7)
Компонент kVy будет идентичен kVx , если bq заменить на c q . Поэтому запишем эти части матрицы в общем виде:
 i2
 2d i





h
pp
p

kV 
12  2 A 






j
k
2d i d j 2d i d k
2d 2j
l
m
di2
di d j
d 2j
2d j d k
2d k2
n 
di d k 
i
d j dk 
j
2 
dk k

l
m

n



(П.2.8)
Здесь при p  x , d p  bq ; при p  y , d p  c q .
Так как производная по z зависит только от x, y , то при интегрировании по
объему целесообразно перейти к плоским L -координатам:
kVz   zz
Z
h2
  L
1
 L2  L3 L1 L2 L3   L1  L2  L3 L1 L2 L3 dA .
T
A
86
Производя перемножение сцепленных матриц, и интегрируя с учетом (5.3.8),
получим окончательно:
 i
2





2
A
kVz   zz

24h 




j
k
1
1
2
1
l
2
2
n

 1 i
 2  1 j

 2 k

l
m

n

m
1
(П. 2.9)
Таким образом, объемная часть матрицы теплопроводности элемента будет
равна:
kV  kVx  kVy  kVz .
(П.2.10)
Полученные результаты (П.2.8) и (П.2.9) рекомендуется проверить на правильность размерности, которая должна быть Вт К :
k   Вт
pp
В итоге имеем
мК ;
h  м ;
A  м 2 ;
d   м
2
2
.
Вт м  м 2

 Вт К .
мК
м2
Матрицы kVx , y , z - стандартизованы и поэтому заносятся в программу. Они станут
числовыми, если символы заменить их числовыми значениями, определяемыми по
узловым координатам A, bq , c q , h  Z  , а коэффициенты теплопроводности – на их величины согласно физическому каталогу.
Поверхностные части матрицы теплопроводности k S ( i  1,2,...,5 пo числу поj
верхностей) определяются согласно формуле (5.1.3). Присвоим поверхностям элемента номера:
ijk  1 ; lmn  2 ; ijml  3 ;
jknm  4 ;
ikml  5 .
Матрицы для поверхностей 1 и 2 будут отличаться только коэффициентами
a1  a2 , и индексами строк и столбцов, так как этим поверхностям принадлежат раз-
ные узлы. Интегрирование по dS1  dA можно провести с помощью L -координат. Базисные функции узлов найдем, приравнивая текущую z  Z1 для первой плоскости и
z  Z 2 - для второй. В итоге будем иметь:
87
N i S
1
N l S
2
N 
 N i x, y   L1 ;
j S
j
 N i x, y   L1 ;
N m S
2
 N j  x , y   L2 ;
 N j x, y   L2 ;
N k S
j
N n S
2
 N k x, y   L3 ;
 N k x, y   L3 ;
(П.2.11)
Подставим найденные базисные функции в (5.1.3) и проинтегрируем согласно
(5.3.8). Получим:
k S1
i
2
2 A 
T
  1  L1 L2 L3  L1 L2 L3 dA   1
24 
A



j
1
2
k

1 i
1 j .

2 k


(П.2.11)
По аналогии:
k S2   2
i
2
2 A 
24 



k

1 i
1 j .

2 k


j
1
2
(П.2.12)
На самом деле эти матрицы имеют ранг, равный шести, но мы не стали загромождать их выражения нулевыми строками и столбцами. Номера узлов покажут их
место в глобальной матрице K .
Матрицы для остальных поверхностей находятся так же легко благодаря переходу к плоским L - координатам. Типичные интегралы будут иметь вид:
Zl
 L dl  L f z dz 
2
p
 pq
Zi
 pq h
33
pq  ij , jk , ki ;
Zl
;
 L p Lq dl  Ll z Li dz 
 pq
Zi
 pq h
66
Zl
;
 L p Lq dl  Ll z Li dz 
 pq
Zi
 pq h
66
, (П.2.13)
f l, i.
Поверхностные сокращенные матрицы для S 3, 4 ,5 будут иметь одинаковый вид и
отличаются коэффициентом a , длиной  pq и индексами ненулевых строк и столбцов:
k S
4 2 2 1 
 pq h  4 1 2

,
 a
4 2
36 


4

S 3  S ijml ; S 4  S jknm ,
(П.2.14)
S 5  S iknl ;   3,4,5 .
Для определения матрицы достаточно строкам и столбцам матрицы (П.2.14)
88
присвоить индексы соответствующей плоскости. Формула (П.2.14), будучи стандартизованной, также заносится в программу.
Матрица теплоемкости (5.1.5) находится так же легко, только интегрирование с
помощью L - координат ведется не по dl , а по dA , а полином Лагранжа Ll ,i  z  интегрируется по dz . Типичные интегралы идентичны интегралам (П.2.13):
Zl
2
2
 L p dA  L f z dz 
A
L
A
Zi
Zl
p
2 A  h ;
Lq dA  Ll z Li dz 
12
 p  1,2,3

 f  l, i
3
(П.2.15)
2 A  h ,
24
Zi
p, q  1,2,3 .
6
Таким образом, матрица теплоемкости будет равна:
i
4



Ve 
C 

72 





j
k
l
m
2
2
2
1
4
2
2
2
4
2
2
4
2
n

1

1

2
,
2

2


4 
4
(П.2.16)
Zl
где V   dA  dz  A e h – объем элемента.
e
A
Zi
Умножением элементов матрицы на числовые значения   c p  и объема элемента, сокращенная матрица теплоемкости превращается в числовую и сразу заносится в глобальную соответственно номерам узлов.
Найдем объемную часть вектора тепловой нагрузки согласно (5.1.8):
Zl
f V  w e  LTp dA  L f z dz  w e
A
Zi
2 A E T
6
h
Ve T
 we
E ,
2
6
(П.2.17)
где E T – единичный вектор-столбец.
Из (П.2.17) видно, что распределение w e по узлам элемента равномерное, независимо от его геометрии. Это означает, что желательно иметь элемент с примерно
равными ребрами, чтобы распределение (П.2.17) было приближено к реальному фи-
89
зическому. Числовой вектор (П.2.17) заносится в глобальный вектор F .
Поверхностный компонент тепловой нагрузки находится по (5.1.9) так же просто, как и объемный:
f Se1  D1e  L1 L2 L3 000 dA  D1e
T
A1
Ae T
E1 .
3
(П.2.18)
Ae T
E2 .
3
(П.2.19)
По аналогии
f Se2  D2e  000 L1 L2 L3  dA  D2e
T
A2
Остальные компоненты найдем по формулам:
f
D
e
S3
e
3
 L1 L2 0 L1 L2 0
T
 ij
f
D
e
S4
Zl
dl  dz  D3e
Zi
Zl
e
4
 0 L L 0 L L  dl  dz  D
T
2
3
2
3
 jk
f
e
S5
D
e
5
e
4
Zi
Zl
 L 0L L 0L  dl  dz  D
T
1
3
1
e
5
3
 ki
Zi
h ij
4
h jk
4
E3T ;
(П.2.20)
E 4T ;
(П.2.21)
h ki T
E5 .
4
(П.2.22)
Превращая вектор-столбцы в числовые, их заносят соответственно номерам узлов в глобальный вектор F .
Таким образом, все стандартизованные и программируемые матрицы для 2-го
элемента базового каталога найдены. Остается найти средние температуры по формулам (5.4.1), поскольку они тоже должны находиться программно:
1
TV  
V

Zl

T
 L1 L2 L3 L1 L2 L3 dA  L f z dz T
A
Zi


1
 ET T ,
6
(П.2.23)
где E – единичная строка, T T – вектор-столбец узловых значений температуры.
Интегралы, которые следует взять для вычисления средних поверхностных
температур элемента, фактически уже взяты – это выражения (П.2.18) – (П.2.22).
Остаётся лишь единичные вектор-столбцы заменить на единичные строки и умножить их на вектор-столбец значений температуры в узлах, принадлежащих поверхности. В итоге будем иметь общую формулу для среднеповерхностной температуры:
90
TS r 
1
E r TrT .
r
(П.2.24)
Здесь r – число узлов, принадлежащих поверхности; E r , TrT – единичная матричная строка и температура в узлах, принадлежащих поверхности, соответственно.
Из выражений (П.2.23) и (П.2.24) видно, что средние температуры находятся
как среднее арифметическое температур элемента или плоскости, соответственно:
TVe 
1 n
T f ;
6 f i
TSr 
1
 Tr .
r r
(П.2.25)
Формулы (П.2.23) и (П.2.24) или их аналоги (П.2.25) программируются, так как
знание средних температур необходимо при учете температурной зависимости теплофизических свойств материала элемента и радиационного компонента теплообмена.
Описанная процедура стандартизации матриц элемента выполняется для каждого элемента базового каталога.
91