обработка и приближенное уравнивание теодолитного хода

1
ОБРАБОТКА И ПРИБЛИЖЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ
ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА
Цель - научить обработке и приближенному уравниванию теодолитного хода,
включая решение обратной и прямой геодезических задач, вычисление угловой невязки,
введение поправок в измеренные углы, вычисление дирекционных углов всех сторон
хода, а также приращений координат, линейных невязок, исправленных приращений
координат и координат точек хода.
Тема включает следующее упражнение: обработка и приближенное уравнивание
разомкнутого теодолитного хода и графическая накладка хода по координатам его
вершин.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
В результате полевых работ по проложению теодолитного хода получают
следующие данные:
а) горизонтальные углы при вершинах теодолитного хода
между его сторонами; б) расстояния между вершинами хода; в) углы наклона сторон
хода к горизонту.
Эти данные подвергают предварительной обработке.
1. Проверяют записи и вычисления средних значений углов в полевом журнале
(таблица 1). Если измерения горизонтальных углов выполнены двумя полуприемами
при двух положениях вертикального круга, то сначала вычисляют значения углов из
полуприемов, затем - из отдельных приемов и, наконец, - среднее из всех приемов.
При вычислении левых по ходу углов из полуприемов угол получают как разность
отсчетов по правилу: «отсчет на переднюю по ходу точку» минус «отсчет на заднюю
по ходу точку»(если при вычитании получается отрицательный угол, то к нему нужно
прибавить 360°). При вычислении правых по ходу углов порядок вычитания меняется:
из «отсчета на заднюю по ходу точку» следует вычесть «отсчет на переднюю по ходу
точку».
Пример 1. Проверить запись и вычисление горизонтальных углов в полевом
журнале (измерялись левые по ходу углы).
Таблица 1
Вычисление средних значений горизонтальных углов в полевом журнале
№ точки Круг
№ точки
стояния
наблюдения
2
2
2
2
КП
КЛ
КП
КЛ
Отсчеты
Средний
Углы из
полуприемов приемов
I
II
(I+II)/2
1
004
04
004
3
4215
15
4215
1
15001
02
180°01,5'
3
32212
11
180°11,5'
1
9002
02
9002
3
13212
12
13212
1
33001
01
33001
3
1211
11
1211
Среднее из двух приёмов
4211
4210,5'
4210
4210
4210,0
4210
4210,2
2
2. Вычисляют горизонтальные проложения измеренных сторон хода.
Горизонтальное проложение стороны теодолитного хода может
вычислено по формуле:
𝑑 = 𝐷 cos 𝛾
быть
(1)
где D - расстояние, измеренное лентой, а 𝛾 – угол наклона стороны хода к горизонту.
Пример2.
Вычислить
микрокалькулятором.
горизонтальное
проложение,
пользуясь
𝑑= 115,04  𝑐𝑜𝑠 10°30= 115,04  0,9832549 = 113,11364 = 113,11м.
В некоторых случаях при прокладке теодолитного хода не имеют возможности
измерить непосредственно расстояние между двумя вершинами теодолитного хода,
поскольку между ними имеется непреодолимое препятствие (река, лес, крутой склон).
В этом случае необходимое горизонтальное проложение определяется посредством
косвенных измерений. При определении неприступного расстояния на местности
строят два треугольника (рисунок 1), в которых измеряют или все внутренние углы,
или такое их число, которое даст возможность определить неприступную сторону с
двойным контролем, например,
|FE1| =b1, |FE2|=
b2.
k1, k2, k4 и k5. В
треугольниках измеряют базисы
Из треугольника E1FG искомая сторона FG определяется по
формуле:
|FG| =
b1  sin k1
sin(k1+ k2)
(2)
Из треугольника E2FG искомая сторона FG определяется по формуле:
|FG| =
b2  sin k5
sin(k4+ k5)
В качестве горизонтального проложения при прокладке теодолитного хода берут
среднее из вычисленных расстояний.
Рисунок 1. Определение неприступного расстояния
(3)
3
Пример 3. Определить неприступное расстояние с использованием таблиц
натуральных значений тригонометрических функций.
Таблица 2
Вычисление неприступного расстояния из двух треугольников
Порядок
действий
Обозначения
действий
Результаты
вычислений
Порядок
действий
Обозначения
действий
Результаты
вычислений
1
k1
5641,3
4
k4
8817,2
2
k2
7815,1
5
k5
5737,1'
7
k1+k2
13456,4'
8
k4+k5
14554,2'
9
sin(k1+k2)
0,707847
10
sin(k4+k5)
0,695808
3
b1
115,18
6
b2
90,29
11
sink1
0,835696
12
sink5
0,844499
13
|FG|
135,98
14
|FG|
136,02
15
|FG|
136,00
Неприступное расстояние может быть определено из решения одного
треугольника, однако в этом случае необходимо измерять все три угла треугольника и
базис (рисунок 1, FGE). В этом случае определяется угловая невязка измерения углов
треугольника:
𝜔 = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 − 180°
𝜔 =5641,3+7815,1+4503,0−180= − 000,6
Поправки в измеренные углы вводятся поровну со знаком, обратным невязке. В
нашем примере
k1 =5641,3 + 00,2 = 5641,5
k2 =7815,1 + 00,2 = 7815,3
k3 = 4503,0 + 00,2 = 4503,2
Неприступное расстояние вычисляется по формуле:
|FG| =
b1  sin k1
(4)
sin k3
В нашем примере:
|FG| =
115,18  sin(5641,5)
sin(4503,2)
= 136,0043 136,00 м.
4
3. Определяют дирекционные углы примычных сторон хода. Перед
приближенным уравниванием разомкнутого теодолитного хода необходимо
определить дирекционные углы начальной и конечной примычных сторон хода, а для
замкнутого хода - начальной твердой (примычной) стороны хода. Дирекционные углы
примычных сторон определяются по координатам начальной и конечной точек сторон.
Эта задача является составной частью более общей обратной геодезической
задачи. Рассмотрим подробнее различные варианты ее решения.
В обратную геодезическую задачу входит определение дирекционного угла
стороны и ее горизонтального проложения по координатам крайних точек стороны
(рисунок 2). Решение обратной геодезической задачи выполняется по следующим
формулам
𝑦2−𝑦1 ∆𝑦1−2
𝑡𝑔 ∝ ′1−2 =
=
(5)
𝑥2 −𝑥1 ∆𝑥1−2
𝑑1−2 =
𝑥2 −𝑥1
cos 𝛼1−2
=
∆𝑥1−2
cos 𝛼1−2
=
𝑦2 −𝑦1
sin 𝛼1−2
=
∆𝑦1−2
sin 𝛼1−2
(6)
Рисунок 2. К решению обратной геодезической задачи и приближенному
уравниванию теодолитного хода
Формула (5) не позволяет однозначно определить дирекционный угол, так как
тангенс принимает одинаковые значения для углов в первой и третьей и,
соответственно, во второй и четвертой четвертях. Для определения дирекционного угла
следует учитывать знаки приращений координат, тогда
∝ ′1−2 , если ∆y1−2 > 0, ∆x1−2 > 0
180° −∝′ 1−2 , если ∆y1−2 > 0, ∆x1−2 < 0
𝛼1−2 ={
180° +∝ ′1−2 , если ∆y1−2 < 0, ∆x1−2 < 0
360° −∝ ′1−2 , если y1 − 20, x1 − 20
(7)
5
Вычисление и приближенное уравнивание разомкнутого теодолитного хода
(рисунок 2) выполняется в ведомости (таблица 3) в следующем порядке:
1. Выписывают из полевого журнала в графу 1 номера точек, в графу 2 горизонтальные углы, округленные до 0,1, при этом в примечании указывают, какие
взяты углы - левые или правые по ходу, в графу 5 - горизонтальные проложения
сторон, округленные до 0,01 м, в графы 10, 11 - координаты начальной и конечной
точек примычных сторон хода (𝑋𝐴, ,𝑌𝐴 , 𝑋𝐵 , 𝑌𝐵 , 𝑋𝐶 , 𝑌𝐶 , 𝑋𝐷 , 𝑌𝐷 ), в графу 4 - начальный и
конечный дирекционные углы хода (∝𝐻 =∝𝐴𝐵 и∝𝐾 =∝𝐶𝐷 ). Дирекционные углы
округляют до 0,1
2. Вычисляют сумму измеренных углов хода и подсчитывают угловую
невязку хода по формулам:
𝑓𝛽 =𝛴𝛽лев −180𝑛 − (𝛼𝐾 − 𝛼𝐻 )
или
(8)
𝑓𝛽 =𝛴𝛽прав −180𝑛 − (𝛼𝐻 − 𝛼𝐾 ),
где 𝛴𝛽лев и𝛴𝛽прав
- сумма измеренных углов (левых или правых по ходу),
𝑛 - число измеренных углов.
Допустимая угловая невязка вычисляется по формуле
𝑓𝛽доп =1,5√𝑛,
(9)
где 𝑛 - количество измеренных углов. Последняя формула для одноминутного
теодолита имеет вид𝑓𝛽доп =1,5√𝑛, для 30-секундного теодолита, согласно
инструкции, 𝑓𝛽
доп
=1,0√𝑛. Если угловая невязка хода по абсолютной величине
не превышает допустимой угловой невязки, то ее распределяют, вводя поправки
в измеренные углы. Поправки вводятся во все углы поровну, со знаком,
противоположным невязке. Поправки округляют до 0,1. Сумма поправок
должна быть равна невязке, взятой с обратным знаком. Поправки вписывают в
графу 3, а исправленные углы - в графу 4. Сумма исправленных углов должна
быть точно равна теоретической сумме углов теодолитного хода:
180𝑛 + (𝛼𝐶𝐷 − 𝛼𝐴𝐵 )- для левых углов,
180𝑛 + (𝛼𝐴𝐵 − 𝛼𝐶𝐷 )- для правых углов.
3. В графе 4 вычисляют дирекционные углы сторон теодолитного
хода, для чего используется дирекционный угол начальной твердой стороны, найденный при решении обратной геодезической задачи.
Дирекционный
угол
следующей
стороны
теодолитного
хода
(𝛼𝐶𝜋 ) определяют по формуле:
𝛼𝐶𝜋 =𝛼пр + 𝛽лев − 180
или
(10)
𝛼𝐶𝜋 =𝛼пр + 180−𝛽прав
6
где.𝛼пр - дирекционный угол предыдущей стороны теодолитного хода, а
𝛽лев и𝛽прав -
левый и правый углы между рассматриваемыми сторонами
теодолитного хода, т.е.
𝛼𝐵−1 = 𝛼𝐴−𝐵 + 𝛽1 − 180
𝛼1−2 = 𝛼𝐵−1 + 𝛽2 − 180
--------------------------------𝛼𝐶𝐷 = 𝛼𝑛−2−𝐶 + 𝛽𝑛 − 180
(если очередной дирекционный угол окажется отрицательным, то к нему
нужно прибавить 360°).
Контролем
правильности
введения
поправок
и
вычисления
дирекционных углов является совпадение вычисленного дирекционного угла
стороны CD и угла 𝛼𝐶𝐷 , найденного при решении обратной геодезической
задачи.
Таблица 3
Вычисление и приближенное уравнивание разомкнутого теодолитного хода
№
точки
1
Измеренн
ые углы
(лев)
Поправк
и ()
2
3
Вычисление приращений координат
Исправленные
приращения
координат
Координаты точек
Исправле
нные углы
(испр.)
Плоские
дирекционн
ые углы ()
Длины
горизонтальных
проложений
сторон (d)
∆𝑥, м
Поправ
ки
y, м
Поправ
ки
∆𝑥, м
y, м
x, м
y, м
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6617536,28
6376180,47
6617913,85
6375663,96
6617817,51
6375604,76
6617706,65
6375526,08
6617784,02
6375416,69
6617868,93
6375277,59
6617771,81
6375212,56
А
30610,0
В
8524,1
+0,5
8524,6
21134,6
1
18347,3
+0,5
26952,2
+0,5
17607,5
+0,4
9224,9
+0,4
-59,23
+0,03
-96,34
-59,20
136,00
-110,89
+0,03
-78,73
+0,05
-110,86
-78,68
134,02
+77,35
+0,02
-109,44
+0,05
+77,37
-109,39
17607,9
30123,0
С
+0,02
26952,7
30515,1
3
-96,36
18347,8
21522,4
2
113,11
163,00
+84,88
+0,03
-139,15
+0,05
-139,10
-139,10
9225,3
21348,3
D
∑ 𝛽лев = 807°36,0
∑ 𝑑 = 546,13
∑ ∆𝑥 = −45,02
𝑓𝛽 = ∑ 𝛽лев − 180° × 𝑛 − (𝛼𝐾 − 𝛼𝐻 ),
𝑓𝛽 =807°36,0−900°00,0 − (213°48,3 − 306°10,0) = −2,3
𝑓𝑥
𝑓𝑦
𝑓𝛽доп = 1,5√𝑛, n=5
𝑓абс
𝑓𝛽доп = 1,5√5 = 3,4
𝑓отн
∑ ∆𝑦 = −386,55
∑ ∆𝑥 − (𝑥𝐾 − 𝑥𝐻 ); 𝑓𝑥 = −45,02 − (−44,92) = −0,10 м
= ∑ ∆𝑦 − (𝑦𝐾 − 𝑦𝐻 ); 𝑓𝑦 = −386,55 − (−386,37) = −0,18 м
=
=
√𝑓2𝑥 + 𝑓2𝑦 ;𝑓абс
=
𝑓абс
∑𝑑
;
𝑓отн
=
=
√(0,10)2 + (0,18)2
0,21
546,3
=
1
2600
= 0,21 м
8
Пример 7.
1)𝛼𝐴−𝐵 = 317°55,1,
𝛽𝐵(лев) = 117°35,0,
тогда 𝛼В−1 = 𝛼А−В + 𝛽В − 180° или 𝛼В−1 = 255°30,1
2)𝛼3−4 = I7°I9',
𝛽4(лев) = 9б°37'
тогда 𝛼4−5 = 𝛼3−4 + 4 − 180° +360 или𝛼4−5 = 293°5б
4. Далее, решая прямую геодезическую задачу, находят
координат x и y, округляют их до двух знаков после запятой.
Приращения координат определяют по формулам:
приращения
∆𝑥 = 𝑑 cos 𝛼, ∆𝑦 = 𝑑 sin 𝛼,
(11)
где d - горизонтальное проложение, а 𝛼- дирекционный угол соответствующей
стороны хода.
5. Определяют невязки в приращениях координат
(𝑓𝑥, 𝑓𝑦 ),
абсолютную
(𝑓абс ) и относительную (𝑓отн ) линейные невязки хода:
𝑓𝑥 = ∑ ∆𝑥 − (𝑥𝐾 − 𝑥𝐻 ),
𝑓𝑦 = ∑ ∆𝑦 − (𝑦𝐾 − 𝑦𝐻 ),
𝑓абс = √𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦2 ,
𝑓отн =
где 𝑥𝐾 , 𝑦𝐾
𝑓абс
,
∑d
- координаты конечной точки хода (на рисунке 2 𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ),
𝑥𝐻 , 𝑦𝐻 - координаты начальной точки хода (на рисунке 2 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 )
∑ d- сумма горизонтальных проложений сторон хода.
Невязки в приращениях координат считаются допустимыми, если
𝑓отн ≤ 1⁄2000
6. Вводят поправки во все вычисленные приращения координат, записывая их
под соответствующими приращениями со знаком, обратным знаку невязки.
Величины поправок пропорциональны горизонтальным проложениям сторон хода.
Поправки определяют до двух знаков после запятой. Контролем правильности
вычисления поправок является равенство их суммы невязке с обратным знаком.
7. Вычисляют исправленные приращения координат, записывая их в графы 11
и 12.
8. В графах 13 и 14 вычисляют координаты X и Y вершин теодолитного хода
по формулам:
𝑥сл = 𝑥пр + 𝑥пр−сл
𝑦сл = 𝑦пр + 𝑦пр−сл
т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс
приращение координат между ними. Координаты первой точки (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ) задаются.
Контролем правильности вычислений является совпадение заданных
вычисленных координат точки С(𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 )
и
9
Задания
1.
По записям в полевом журнале (таблица 4) вычислить угол 𝛽1 (рисунок 2).
2.
По вертикальному углу 𝛾𝐵−1 и наклонному расстоянию 𝐷𝐵−1 (таблица 5)
вычислить горизонтальное проложение 𝑑𝐵−1 (рисунок 2)
3.
По базису треугольника и его углам (таблица 6) вычислить неприступное
расстояние 𝑑1−2 (рисунок 2)
4.
По данным таблицы 7 определить ∝𝐴−𝐵 , 𝑑𝐴−𝐵 , ∝𝐶−𝐷 , 𝑑𝐶−𝐷
5.
Произвести обработку и приближенное уравнивание теодолитного хода
(таблица 8,рисунок 3), используя решения перечисленных выше задач.
Таблица 4
Записи в полевом журнале по измерению горизонтального угла (𝛽𝐵лев ) на
начальной точке хода.
№
варианта
1-й прием
КП
2-й прием
КЛ
КП
КЛ
А
1
А
1
А
1
А
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
204
315
426
537
648
759
910
1021
1132
1243
1354
1505
1616
1727
1838
1949
2100
2211
2322
2433
2544
2655
2806
2917
3028
3139
11959
13110
14221
15332
16443
17554
18705
19816
20927
22038
23149
24300
25411
26522
27633
28744
29855
31006
32117
33228
34339
35450
601
1712
2823
3934
9309
9422
9535
9648
9801
9914
10027
10140
10253
10406
10519
10632
10745
10858
11011
11124
11237
11350
11503
11616
11729
11842
11955
12108
12221
12334
21103
22216
23329
24442
25555
26708
27821
28934
30047
31200
32313
33426
34539
35652
805
1918
3031
4144
5257
6410
7523
8636
9749
10902
12015
13128
18112
18219
18326
18433
18540
18647
18754
18901
19008
19115
19222
19329
19436
19543
19650
19757
19904
20011
20118
20225
20332
20439
20546
20653
20800
20907
29908
31015
32122
33229
34336
35443
550
1657
2804
3911
5018
6125
7232
8339
9446
10553
11700
12807
13914
15021
16128
17235
18342
19449
20556
21703
27045
27154
27303
27412
27521
27630
27799
27848
27957
28106
28215
28324
28433
28542
28651
28800
28909
29018
29127
29236
29345
29454
29603
29712
29821
29930
2840
3949
5058
6207
7316
8425
9534
10643
11752
12901
14010
15119
16228
17337
18446
19555
20704
21813
22922
24031
25140
26249
27358
28507
29616
30725
10
Таблица 5
Вертикальные углы (𝛾𝐵−1 ) и расстояния, измеренные лентой (DB−1), для стороны
В-1 теодолитного хода.
№
варианта
𝛾𝐵−1
DB−1
№ варианта
𝛾𝐵−1
DB−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
030
041
052
103
114
125
136
147
158
209
220
231
242
176,85
176,85
176,86
176,87
176,88
176,89
176,91
176,92
176,94
176,96
176,99
177,01
177,04
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
253
304
315
326
337
348
359
410
421
432
443
454
505
177,06
177,09
174,12
177,16
177,19
177,23
177,27
177,31
177,35
177,39
177,44
177,49
177,54
6.
Вычертить схему теодолитного хода в масштабе 1/5000. (См. рисунок 4)
11
Рисунок 3. Схема теодолитного хода к заданию: варианты а-в.
12
Таблица 6
Углы и базис треугольника для определения неприступного расстояния между
первой и второй точками теодолитного хода.
№
варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
b1, (EF)
F
E
G
114,28
115,39
116,50
117,61
118,72
119,83
120,94
122,05
123,16
124,27
125,38
126,49
127,60
128,71
129,82
130,93
132,04
133,15
134,26
135,37
136,48
137,59
138,70
139,81
140,92
142,03
8816
8813
8811
8808
8805
8802
8759
8756
8753
8750
8747
8744
8741
8738
8735
8732
8729
8726
8723
8720
8717
8714
8711
8708
8705
8702
6346
6334
6323
6311
6259
6248
6237
6225
6214
6202
6151
6140
6129
6117
6106
6055
6044
6033
6022
6011
6000
5949
5938
5927
5917
5906
2757
2812
2826
2841
2855
2910
2924
2939
2953
3008
3022
3036
3050
3105
3119
3133
3145
3201
3215
3229
3243
3257
3311
3325
3338
3352
13
Таблица 7
Координаты твердых точек теодолитного хода (АВ – начальная сторона, CD –
конечная сторона)
№
варианта
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
𝑥С
6428122,37
6428083,41
6428046,76
6428010,56
6427978,87
6427951,66
6427929,76
6427913,83
6427904,35
6427901,62
6427905,72
6427916,52
6427933,70
6427956,72
6427984,90
6428017,38
6428053,16
6428091,17
6428130,25
6428169,21
6428206,86
6428242,06
6428273,75
6428300,96
6428322,86
6428338,79
𝑦𝐶
𝑥𝐷
4382459,19
6428562,49
4382455,09
6428563,71
4382444,29
6428551,64
4382427,11
6428526,64
4382404,09
6428489,49
4382375,91
6428441,29
4382343,43
6428383,53
4382307,64
6428317,96
4382269,64
6428246,55
4382230,56
6428171,50
4382191,60
6428095,07
4382153,95
6428019,59
4382118,75
6427947,36
4382087,06
6427880,56
4382059,85
6427821,23
4382037,95
6427771,17
4382022,02
6427731,90
4382012,54
6427704,61
4382009,81
6427690,14
4382013,91
6427688,91
4382024,71
6427700,98
4382041,89
6427725,98
4382064,91
6427763,13
4382093,09
6427811,32
4382125,57
6427869,09
4382161,36
6427934,66
𝑋𝐴 = 6428954,42,
𝑋В = 6428126,31
𝑌𝐴 = 4381986,32 𝑌𝐵 = 4382234,50
𝑦𝐷
4382189,31
4382265,74
4382341,22
4382413,45
4382480,25
4382539,58
4382589,64
4382628,92
4382656,20
4382670,68
4382671,90
4382659,83
4382643,83
4382597,68
4382549,48
4382491,72
4382426,14
4382354,74
4382279,69
4382203,26
4382127,78
4382055,55
4381988,75
4381929,42
4381879,36
4381840,08
14
Таблица 8
Измеренные горизонтальные углы и горизонтальные проложения сторон
теодолитного хода
№ точек
Измеренные углы 
Горизонтальные проложения d
Вариант А
B
Из таблицы 4
Из таблицы 5
1
20140
Из таблицы 6
2
2533
87,67
3
16219
114,11
C
19741
Вариант Б
B
Из таблицы 4
Из таблицы 5
1
20140
Из таблицы 6
2
8716
90,72
3
13244
139,81
4
3714
146,29
5
29038
114,11
C
19741
Вариант В
B
Из таблицы 4
Из таблицы 5
1
20140
Из таблицы 6
2
20007
163,40
3
7522
125,34
4
9155
171,16
5
21236
139,81
6
3714
146,29
7
29038
114,11
C
19741
15
Рисунок 4 Образец вычерчивания схемы теодолитного хода