непрерывная деформируемая среда

6 часть
6-1
НЕПРЕРЫВНАЯ ДЕФОРМИРУЕМАЯ СРЕДА
6.1.Свойства материала
Уравнения
равновесия
непрерывной
среды
(см.таб.5.1.)содержат
напряжения.Итак, для записи соотношений свойств материалов необходимо
сформулировать что происходит, если в материале появляются напряжения. Такую
связь можно получить только экспериментально. Получить теоретически эти
соотношения из структуры материала возможно только в том случае, если структура
идеальна, но изготавленные по современным технологиям материалы имеют очень
большие отличия от идеальных структур.
6.1.1. Соотношения, возникающие при растяжении
Проводим эксперимент на растяжения образца материала как это показано на
рис. 6.1.
M
= F
F
S
S
L


F
F
Рис.6.1a

 =
L
Диаграмма растяжения мягкой стали
Рис 6.1.b Рис.6.1a
Экспериментально можем найти соотношение между приложенной к образцу
силой и удлинением образца F   как это показано на рис.6.1. b. Однако это
соотношение характеризует не только свойства материала. Чем образец будет длинее и
тоньше, тем удлинение  будет больше при той же силе.
Чтобы исключить влияние размеров, эксперимент проводят так, чтобы сила F
по всей площади поперечного сечения распределялась равномерно (учитывается только
длина средней части образца рис. 6.1a). тогда разделив F на площадь поперечного
сечения S, можем получить силу, действующую на кажды квадратный метр, т.е.
напряжение  =
F
.
S
Взяв удлинение  ко всей длине образца L получим относительное
удлинение каждого см , которое обычно называют продольной деформацией
=

.
L
Разделив значения сил экспериментальной кривой 6.1 b на S, а значения
удлинений на L,получим соотношение характеризующие материал.
 =  
Для большей части диаграммы мягкой стали (см. рис.6.1a) соотношение
линейно.
  E (E-модуль упругости).
В данном диапазоне нет остаточных деформаций (кривые нагрузки и разгрузки
совпадают).
Растяжение(сжатие) может быть в направлении всех трех координатных осей,
т.е.  i  E i ; i  x, y , z . Если используют это соотношение, тогда систему уравнений
непрерывной среды называют теорией упругости.
6-2
6.1.2.Соотношения деформаций сдвига
Одного соотношения   E , которое связывает напряжение
перпендикулярное к площади поперечного сечения (обычно называют
нормальным напряжением) и продольную деформацию, недостаточно, чтобы
характеризовать свойства деформируемого материала. Рассмотрим еще один
эксперимент(см. рис.6.2.a).Один конец тонкостенной трубы закрепим. А другой
повернем на угол . Ни длина трубы, ни размеры поперечного сечения не
изменятся, но очевидно, что труба деформирована.

 =Sr


M

l
r
=

Рис. 6.2.a
Рис.6.2.b
r
l
Рис.6.2.c
Если бы мы до эксперимента нарисовали квадрат на внешней
поверхности трубы, тогда прямой угол изменился бы на угол . Это называют
угловой деформацией. Учитывая, что труба тонкая, примем, что распределение
напряжений по толщине равномерно. Тогда, обозначая площадь поперечного
сечения S получим:  S r = M, т.е.
=
M
Sr
Экспериментально мы получаем зависимость M -  (см.рис.6.2 b). Связь
между углом закручивания трубы  и деформацией сдвига  можно получить из
соотношения
r
 . Разделив момент экспериментальной кривой на S r и
l
r
умножив угол закручивания  на , получим зависимость, характеризующую
l
 . l = r  , т.е.  =
  ( )
материал (см.рис.6.2.c)
На основной части диаграммы для мягкой стали наблюдается линейная
зависимость.
  G
В соотношениях   E и   G напряжения разной природы, они
действуют в сечении по разному.
Напряжения сдвига – напряжения, направления которых совпадают с
плоскостью в которой действуют, поэтому их общее обозначение  ij и
зависимость нужно записывать:
ij  ij (  ij )
или
 ij  G ij .
6-3
6.1.3.Уравнения свойств материала в общей системе уравнений
Запишем уравнения свойств материала в общую систему уравнений
непрерывной деформируемой среды, т.е. таб. 5.1.
Группа уравнений
Уравнения
Кол-во Неизвестные
уравн. величины
I
Уравнения 
ij, j  0;
равновесия
6
9-- >
 ij   ji ;
ij

II
Соотношения
физических
свойств
материала
 i  E i ;
ij  ij (  ij )
6
6-- >  i
 ij ;
IlI
Геометрические ???
?
соотношения
Taб.6.1
Всего
12
15
12 уравнений не дают возможность найти 15 неизвестных.
6.2. Геометрические соотношения
Рассматривая рис.6.3, можно заметить, что три проекции перемещения
однозначно определяют шесть деформаций
 i ,  ij
y
z
x
1
A
A
uy
uz
ux

  1   2


Рис. 6.3.
6-4
6.2.1.Связь между перемещением и линейной деформацией
Рассмотрим отрезок dx в деформированном и недеформированном
состоянии. Полученные соотношения будем использовать только для твердой
деформируемой среды, в которой обычно не бывает больших деформаций. Этот
прием позволяет использовать рис. 6.4.
Отрезок AB после деформации
y
ux
находится в положениии A1 B1,
1
Перемещение
точки
А
в
B
направлении оси x - ux. Точка B
1
перемещается в положение B1.
1
1
 B
A
Функцию перемещения ux для точек
A и B может отличатся только на
бесконечно малую величину, так как
A
B
x
расстояние между точками dx, т.е.
перемещение точки B.
dx
ux 
u x
dx
x
ux 
u x
dx
x
Рис.6.4
Примем, что деформации малы, это значит, что угол  мал и поэтому
cos   1 и dx длина деформированного отрезка A1 B1 =~ A1 B11, как
видно
из
рис.
6.4,
u x
u
dx )  u x  dx (1  x )
x
x
деформация  x по определению – удлинение отрезка dx
u
u
A1B11  dx  dx (1  x )  dx  x dx
x
x
к начальной длине dx
u
x  x .
x
A1B1  dx  (u x 
Такие же соотношения можеи получить для выражения деформаций
отрезков dy и dz . Объединим все три выражения в одно,
u
 i  i  u i,i
i
где для краткости точкой обозначена часная
u i
 u i,i
i
и индексс после точки
обозначает по какой из координат надо брать производную.
6.2.2 Связь между перемещениями и угловыми дефорациями
Еще одну группу геометрических соотношений можем получить найдя связь
между перемещениями u x , u y и  xy . Угловая деформация  xy - угол на
6-5
который изменяется прямой угол в недеформированном состоянии между
отрезками dx и dy, которые параллельны x и y осям. Из рис. 6.5. видно, что
искомый угол
 xy  1   2 .
Перемещение точки A в
направлении оси y - u y , а
u
u x  x dy
y
11
y
C
C
C
2
1
ux
B
1
1
A
A
перемещение бесконечно
близкой(находящейся
на
расстоянии dx) точки B
может изменятся только на
парциальное приращение
функции
т.е.
uy ,
1
uy
11
B
uy 
B
u y
dx
x
x
dx
u y
x
dx
Принимая снова, что 1
мало и поэтому A1B11=dx,
и
tg1  1 , записываем:
Рис.6.5
1  tg1 
B1B11
A1B11

uy 
u y
dx  u y
x
dx

u y
x
Рассматривая аналогичным образом перемещение точки C
в
направлении оси x (точка C находится на расстоянии dy от A ), получим второй
угол 2:
 2  tg 2 
C1C11
1 11

AC
ux 
u x
dy  u x
u
y
 x
dy
y
Зная 1 и 2, находим
 xy  1   2 
Заменив индексы
x
угловые деформации:
u x u y

y
x
.
и y переменными индексами i un j , получим все три
 ij 
 u i u j

 u i , j  u j, i
j
i
6-6
6.3. Модель непрерывной среды
Полученные геометрические соотношения позволяют
закончить формирование. Заполним пустые графы в таб. 6.1.
Группы уравнений
Уравнения
Кол-во
уравн.
I
 ij  0;
Уравнения
6
j
равновесия
 ij   ji ;
II
Соотношения   E ;
6
i
i
физических
свойств
ij  ij (  ij )
материала
III
Геометрические   u ;
6
i
i,i
соотношения
 ij  u i , j  u j, i ;
Всего
18
полностью
Неизвестные
величины
9-- >
 ij
6-- >  i
 ij ;
3-- > u i
18
Taб.6.2
Мы получили систему 18 уравнений с 18 неизвестными. Эта система уравнений
описывает среду (материал), но не вида реального объекта (описания внешних
поверхностей). Также эта система не содержит информацию о том как другие
тела (среды) воздействуют на исследуемый реальный объект.
6.3.1. Учет сил веса и инерции в модели непрерывной деформируемой
среды
Почти всегда движение объекта деформируемой непрерывной среды
(автомашины, самолета, робота) можно исследовать с помощью модели
твердого тела. В результате этого получаем перемещения, скорости и
ускорения. Это в свою очередь позволяет рассчитать силы и моменты инерции.
y
..
y
 y
 y  mu
 x
 x  mu
 x
 i  mu
..
..  z
z
..

y
O
..

x
..
x
x
Рис.6.6a
Рис.6.6a
Модель твердого тела (см. рис.6.6a) позволяет определить ускорения
автомашины. Можем определить инерционные силы, которые действуют на всю
автомашину ( mu
i   i
J i i   i ) . Их используем, чтобы определить не
сойдет ли автомашина с определенного пути. Напротив, когда нас интересует
прочность автомашины (напряжения) мы будем использовать модель
непрерывной среды, и примем, что система координт жестко связана с условно
6-7
неподвижной машиной (см. рис.6.6b). Ни в коем случае нельзя потерять силы
инерции, которые действуют на каждую деталь, на каждый cм3, а также на
бесконечно малый куб, для которого составляем всю систему уравнений
деформируемой среды.
На бесконечно малый куб среды с массой dm действуют три
 i . Могут действовать также три компаненты
компоненты силы инерции dm u
силы притяжения земли (координатная ось в общем может и не совпадать с
направлением силы тяжести) dm g i , где g - ускорение свободного падения.
Массу можем выразить как произведение плотности  и объема кубика
dV  dx dy dz .
Уравнения равновесия мы составили в параграфе 5.3.1.1.
Уравнение проекций всей сил на ось x
 yx
 xx

k
dx dydz 
dy dxdz  zx dz dxdy  0
 Fx  0 
x
y
z
k
дополним проекциями сил инерции и собственного веса. Видим, что все члены
можем сократить на dV  dx dy dz и уравнение получим в виде:
 xx  yx  zx
d 2u x


 ( 2  g x );
x
y
z
dt
Обобщив и записав в короткой форме, получим:
i  g i )
 ij, j  (u
j
Проверьте самостоятельно почему силы инерции и собственный вес
не изменяют уравнения моментов непрерывной среды!
6.4. Использование модели деформируемой среды для реального объекта
Собранная в таб. 6. 2 система уравнений описывает деформируемую
среду (материал), но не содержит информацию о реальном объекте.
Полная формулировка задачи состоит из трех частей:
A.Система уравнений среды (для деформируемой среды см. таб. 6.2);
B.Описание внешних поверхностей реального объекта ;
C.Граничные условия, которые показывают как другие тела (среды)
воздействуют на рассматриваемый реальный объект.
6.4.1.Граничные условия
Внешние поверхности реального объекта находятся в связи с другими
телами или средами. Uz reālā objekta ārējās virsmas notiek saskare ar citiem
ķermeņiem vai vidēm.В этом случае говорят, что реальный объект нагружен.
Возможны два вида воздействия:
a)на внешней поверхности  известны напряжения (силы);
b) на внешней поверхности  известны перемещения. u i  u i () .
6.4.2. Пример _ сжатие резинового амортизатора между стальными
пластинами.
Резиновый параллепипид, привулканизированный к стальным
пластинкам (см. рис.6.7.), создает вместе с ними амортизатор, т.е. резина не
может перемещаться относительно пластин.
6-8
Модель всех реальных объектов содержит:
A.Система уравнений среды
 ij  0;
j
 ij   ji ;
 i  E i ;
ij  ij (  ij )
 i  ui,i ;
 ij  u i , j  u j, i ;
B.Описание внешних поверхностей реального объекта virsmas 
Внешних поверхностей резинового параллепипида (см. выбранную систему
координат рис.6.7.)
y
F
резина
x
сталь
основа
z
Рис.6.7
образуют
Поверхность I уравнение поверхности
y = 0;
Поверхность Il уравнение поверхности y = h;
Поверхность Ill уравнение поверхности x = 0;
Поверхность IV уравнение поверхности x = a;
Поверхность V уравнение поверхности z = 0;
Поверхность V I уравнение поверхности z = b.
Размеры показаны на рис. 6-10 в видимой проекции резинового параллепипида.
Чтобы показать поверхности V и Vl необходимо было бы нарисовать еще одну
проекцию. Ради экономии объема конспекта мы этого не делаем, в надежде, что
читателю будет очевидно, что граничные условия на поверхностях V и Vl
совпадают с граничными условиями на поверхностях lll и lV.
6-9
C.Граничные условия
F
y
II

III
IV
h
x
a
I
Рис.6-10
Поверхность I
Поверхность I соприкасается с пласиной y=0 (т.е. координаты всех точек
поверхности I резинового параллепипида удовлетворяют уравнению y=0,
которое является уравнением плоскости). Эта поверхность в деформированном
состоянии остается в том же самом месте, где она была в недеформированном
состоянии, т.е. ни одна ее точка не движется. Подставляя y=0 в выражение
перемещения
ui =ui(x,y,zt), должны выполнятся следующие граничные условия
u x ( )  u x ( x,0, z , t )  0;
u y ( )  u y ( x,0, z , t )  0;
u z ( )  u z ( x,0, z , t )  0.
Поверхность II
Точки этой поверхности перемещаются в вертикальном направлении на -, но
не могут перемещаться горизонтально ни в направлении оси x ни в
направлении оси y. Уравнение поверхности
y=h, а граничные условия
u x ( )  u x ( x, h, z , t )  0;
u y ( )  u y ( x, h, z , t )   ;
u z ( )  u z ( x, h, z , t )  0.
Поверхность III
Перемещения этой поверхности неизвестны. На рисунке изображено возможное
деформированное положение, но его точная координата не известна. Нам
известно, что к данной поверхности не приложены внешние силы. Если на
поверхность не действуют силы, значит нет и напряжений (которые
определялись бы величиной внешних сил на единицу поверхности).
Поверхность III перпендикулярна оси x, т.е.
6-10
первый индекс напряжения x.
условия:
Уравнение поверхности
x=0. Граничные
p xx ( )   xx (0, y , z , t )  0 ;
p xy ( )   xy (0, y , z , t )  0 ;
p xz ( )   xz (0, y , z , t )  0 .
Поверхность IV
Также как на поверхности III , здесь не приложены внешние силы. Уравнение
поверхности x=a. Граничные условия:
p xx ( )   xx (a, y , z , t )  0 ;
p xy ( )   xy (a, y , z , t )  0 ;
p xz ( )   xz (a, y , z , t )  0 .
В граничные условия не можем включить то, что к верхней поверхности
приложена F, так как она приложена не к резиновому параллепипиду, а к
стальной пластине. Значение силы можем получить рассматривая равновесие
верхней стальной пластины:
F    yy ( x, h, z )dxdz
Выводы
На каждой поверхности или в общем виде в каждой точке поверхности
должны быть заданы три граничных условия. Чтобы понять то почему
достаточно 3-х граничных условий, можно принять, что из системы 18
уравнений можно было бы исключить неизвестные
 ij un  ij
оставив лишь
три функции ui . Для них тоже долны быть заданы три граничных условия.
Вопросы для проверки
1.Для каких материалов применима модель непрерывной среды?
2.Какова диаграмма расяжения мягкой стали?
3.Какое физическое свойство материала определяем при растяжении образца?
4.Что такое теория упругости?
5.Как получить уравнение свойств материала для сдвиговых деформаций?
6.Почему для деформируемой среды недостаточно уравнений равновесия и
уравнений свойств материаля?
7.Какие величины деформируемой среды связывают геометрические
соотношения ?
8-10.Вывести связь между перемещением и линейной
a)в направлении оси x;
b)в направлении оси y;
c)в направлении оси z.
11-13. Вывести связь между перемещениями и угловыми деформациями
a)между осями x и y;
a)между осями y и z;
a)между осями z и x.
14.Система уравнений модели непрерывной деформируемой среды.
6-11
15.Учет сил веса и инерционных сил в модели непрерывной деформируемой
среды.
16. Почему собственный вес не учитывается при написании уравнений
равновесия моментов модели деформируемой среды?
17.Использование модели деформирумой среды для реального объекта.
18.Что такое граничные условия? Дайте свой пример реального объекта.
19.Почему на каждой поверхности реального объекта должны быть заданы три
граничных условия?