Направление 10. Фундаментальные общенаучные исследования

НАПРАВЛЕНИЕ 10
Фундаментальные общенаучные исследования
(Науч. рук. д-р физ-мат. наук, проф. Р.А. Каюмов)
Кафедра высшей математики
Председатель
Зам. председателя
Секретарь
Р.Б. Салимов
Б.А. Кац
Ю.А. Шмагин
ПЕРВОЕ ЗАСЕДАНИЕ
5 апреля, 15.30, ауд. 4–309
1. Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин. Обобщение отображения Шварца-Кристофеля
на случай полигональной области со счетным множеством вершин и конечным
вращением касательной.
Доказана формула конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область с
бесконечным множеством вершин в неизвестных точках, с заданными внутренними углами
 k , k  1,2,, при этих вершинах и с заданными прообразами
t 0  0, t k , k  1,2,,
вершин на вещественной оси, вида
e i1 k 1 (1   / t  k )   k


z ( )  a 0 
0
 1(
2 1 )
k 1 (1   / t k ) k

0   k  1, 1   k  2,  k  1   k ,  k   k  1,
Здесь
вещественной осью
образами отрезков
d .
 0 , 1  углы,
(0, t1 ), (t 1 ,0) при отображении
образованные
с
z ( ) . Считаем, что
tk  0, tk  0, k  1, , эти числа образуют две монотонные последовательности, сходящиеся к

и
  соответственно, причем ряды

выполненными условия

k 1
k
 ,


k 1
k

1
,

k 1 t k

1
k 1
k
t
сходятся. Кроме того, считаем
   , гарантирующие конечное вращение касательной к
границе полигональной области. При дополнительных ограничениях на последовательности чисел
t k , t  k ,  k ,   k , доказана однолистность отображения
z ( ) . Результат обобщает на случай
полигональной области с бесконечным числом вершин известную формулу Шварца-Кристофеля для
отображения полуплоскости на многоугольник.
2. В.П. Деревенский. Алгебра косых рядов множества n  n - матриц.
H p ( n  n - матриц над R),
Пусть ( E ij ) – базис полной матричной алгебры
H p ( p  1  n, n  1)  ( n   ) -
мерные
подпространства
Mn
с
базисными
матрицами
Eij  2 (  0, n  1) , которые называются косыми рядами M n . Нумерация H p такова, что
подалгебра диагональных матриц,
H0 -
H и H  - подпространства верхних (+2) и нижних (-2) рядов.
Тогда справедлива.
Теорема. Совокупность ( H p ) 2n  1 косых рядов
M n образует алгебру с законом "умножения":
H p  H q  H p q , если p  q  n  1 , и H p  H q  0 , если p  q  n .
Установлено правило перемножения матриц, элементы которых принадлежат
339
H . Это правило
формулируется в символах косых рядов матричных сомножителей. Оно позволяет анализировать, из
каких рядов перемножаемых матриц образуются ряды произведения. Полученные результаты дают
возможность более простого оперирования треугольными и квази-треугольными матрицами. Они
позволяют формулировать достаточные условия разрешимости в квадратурах достаточно широкого
класса матричных дифференциальных уравнений.
3. А.И. Леонов, И.П. Семенов. Об одном варианте метода квадратур решения
интегральных уравнений с особенностями в ядре.
Рассматриваются интегральные уравнения
1
Kx  x(t )  1 M ( s ) h(t , s ) x( s ) ds  y (t ), 1  t  1,
где M  L (1;1), h(t , s ) y (t )  известные функции, x(t )  искомая.
1
Это уравнение решается приближенно одним из вариантов метода механических квадратур. За
основу метода берется так называемая интервальная квадратурная формула. Дано обоснование в
пространстве квадратично-суммируемых с определенным весом функций в промежутке (-1,+1).
4. Н.В. Лапин. К вопросу построения уравнений состояния не линейно упругого
тела.
Первоначально связь между компонентами напряжений и деформациями оболочки берем согласно
Грину путем введения функции энергии деформации. Накладывая на тело условия однородности и
изотропности функцию потенциальной энергии деформации аппроксимируем полиномам по степеням
инвариантов тензора деформации. В результате были получены два варианта уравнений состояний тела:
квадратичные уравнения и кубические уравнения типа "напряжения-деформация", справедливые для
области малой деформации.
В дальнейшем все преобразования проводились только с квадратичными уравнениями.
Квадратичные уравнения, полученные для области малой деформации, при помощи известного приема
В.В. Новожилова были распространены на область конечных деформаций. Затем, интегрируя
полученные соотношения по толщине оболочки, устанавливаем связь между усилиями, моментами и
деформациями срединной поверхности оболочки. Отметим так же, что при этом пренебрегаем
квадратами деформации по сравнению с единицей.
Таким образом, в рамках нелинейной теории при конечных деформациях предложен
"квадратичный" вариант уравнений состояний тела.
ВТОРОЕ ЗАСЕДАНИЕ
10 апреля, 15.30, ауд. 4–309
1. Л.А.Онегов. О кубатурных формулах для вычисления сингулярных интегралов
специального вида.
Многие задачи механики и математической физики сводятся к вычислениям сингулярных
интегралов различных видов и поэтому любые методы вычисления таких интегралов представляют
значительный интерес.
В данном докладе для приближенного вычисления сингулярного интеграла по плоскости
предлагаются кубатурные формулы двух видов: специальные кубатурные формулы и полные
кубатурные формулы.
Построение предлагаемых приближенных формул проводится на классе функций, в котором
сингулярный интеграл существует в смысле главного значения. Следует отметить, что исследуемые
формулы имеют удобный для численной реализации метод.
2. В.Л. Крепкогорский. Применение программы Maxima при изучении высшей
математики.
Мы привыкли, что компьютер используется при изучении прикладной математики. Это связано с
тем, что обычные программы работают только с числами. Если вводится переменные, то для них надо
задать численное значение. Такие программы не умеют вычислять производную или неопределенный
интеграл. В то же время известны программы, предназначенные для выполнения аналитических
действий, т.е. они могут работать с формулами. Хорошо известны такие программы как Mathematica,
340
Maple и MathCad (правда, его возможности в этом плане не велики). Широкому распространению этих
программ мешает их высокая стоимость. Например, стоимость Mathematic'и 5.1 от 2000 $.
Maxima – это не коммерческая программа, она распространяется совершенно свободно. В то же
время она может почти все, что могут делать ее дорогие аналоги. Например, интегрировать, решать
дифференциальные уравнения, разлагать функции в ряды Тейлора или Фурье, строить различные
графики, линии и поверхности.
Конечно, использование программ, которые могут решать многие примеры из курса высшей
математики, не означает полный переход преподавания на компьютер. По нашему опыту логично
завершить изучение каждой темы занятием с Maxim'ой. Конечно, общий подход к построению курса
высшей математики должен измениться. Например, в теме "Линейное программирование" (никакого
отношения к информатике) не имеет смысла увлекаться разбором сложных примеров и алгоритмов, а
надо сосредоточиться на решении задач, составлении системы ограничений, записи целевой функции.
3. Н.А. Иваньшин. Напряженное состояние в пластине с S-образной трещиной с
двумя каспами.
Рассматривается задача определения поля напряжения и направлений роста трещин в пластине с
S-образной трещиной с двумя каспами. Задача решается с помощью комплексных переменных. Вначале
находится функция, отображающая внешность трещины на внешность единичного круга, затем
находятся функции потенциалов напряжений. С учетом граничных условий составляется система
линейных алгебраических уравнений. В результате решения находятся неизвестные коэффициенты,
входящие в эти функции. Решение системы производится на ЭВМ с помощью программы, составленной
на языке Фортран. После нахождения коэффициентов, являющихся функциями, находим поле
напряжений во всей пластине, включая точки вблизи каспов. При решении задачи варьируются как
приложенные нагрузки, так и их направление. Задача решается для нагрузок сжатия и растяжения. В
дальнейшем в каспах определяются направления роста трещин в зависимости от приложенных
нагрузок.
4. Ю.А. Шмагин. Применение интегральных представлений при решении
некоторых дифференциальных уравнений второго порядка.
E.L.Ince предложил искать решение уравнений второго порядка
Lz u   u  f z u  g z u  0
в виде интеграла
u z    K z, t  t dt ,

 - некоторая дуга, K z, t  - ядро,  t  - неизвестная плотность. Если ядро K z, t  удовлетворяет
дифференциальному уравнению в частных производных Lz K   M t t , где M t некоторый линейный
дифференциальный оператор содержащий t и  , то справедливо равенство
t
Lz u    M t K  t dt.
где

Функция
u z  будет решением исходного уравнения, если сопряженный с M t оператор
M t    0 и тождественно равна нулю его билинейная форма в тождестве Лагранжа. Подбирая линию
 и ядро K z, t  для конкретных выражений f z  и g z , учтем, что конечный успех
решения зависит от того, решается ли уравнение M t    0 в квадратурах. Применяя эту схему можно
интегрирования
получить решения некоторых уравнений типа Бесселя.
9. Т.Ю. Горская. Вычислительная схема метода Галеркина для задачи
гидродинамики в одном осесиметрическом канале.
Рассмотрим стационарную систему уравнений Навье-Стокса в векторном виде:
 V  (V  )V  F  p,
divV  0, для V  , V  0 , для V   .
341
(1)
Символом V=(f,φ,H) обозначим искомый вектор скоростей, F - давление в области , область
  (r , z ) : 0  r  R( z ),0  z  т . Представим параметры скоростей, давления формулами:
vr  u0 f ( z, r ) , v  r ( z , r ) , v z  u0 H ( z, r ) , p  p0  u02 F ( z, r ) /Re, где Re  d ýu0  - число
Рейнольдса; d ý  4 cos  (r03  R03 ) (3(r 2 0  R 2 0 )) – эквивалентный диаметр трубы; r  r r0 , z  z L ,
~
~
R ( z )  R( z ) d ý - безразмерные переменные; R0  r0 L , R0  r0 d ý - безразмерные константы. Для
данной задачи граничные условия выглядят следующим образом:
z  0, f  0,   0, H  1, F  0,
F
f

 0,
 0,
 0,
z
z
z
H
F
 0,
 0;
r
r
r  R( z ), f  0,   1, H  0.
r  0, f  0,   0,
(2)
Для численного решения используется вариационно – разностный метод на базе метода
Галеркина, приближенное решение ищется в виде некоторого отрезка по некоторой системе линейно –
независимых функций, неизвестные коэффициенты – функции, которые находятся из условия
ортогональности невязки этой же системе функций.
Решение краевой задачи, соответствующей модели (1) – (2) будем искать в криволинейной
области
  (r , z ) : 0  r  R( z ),0  z  т.
Введем систему алгебраических финитных
функций
 z j r k , (r , z )  ;
g jk (r , z )  
0, (r , z )  .
Неизвестные функции
f , , H , F будем
(3)
искать в виде разложения по системе (3), неизвестные
коэффициенты разложения найдем из условия равенства нулю момента невязки, записанного в виде:
 (V ( g jk ), glm )  ((V)V ( g jk ), glm )  (F ( g jk ), glm )  0,
где (,) обозначено скалярное произведение, вычисляемое по формуле u , v   uvd.


342
Кафедра сопротивления материалов и основ теории упругости
Председатель
Зам. председателя
Секретарь
Р.А. Каюмов
А.У. Богданович
Л.С. Ольховик
ПЕРВОЕ ЗАСЕДАНИЕ
17 апреля, 10.00, ауд. 4224
1. Р.А. Каюмов. Разработка методов идентификации констант, входящих в
определяющие соотношения для ОАКМ, на основе решения обратных задач расчета
изделий из композиционных материалов.
На сегодня разнообразие конструктивных материалов приводит к необходимости определения их
механических характеристик непосредственно на предприятиях-потребителях этих материалов. Поэтому
эти предприятия должны иметь инструментарий для обработки экспериментов, из которых определяются
эти механические характеристики. Методы идентификации могут быть эффективно использованы
для определения характеристик материалов в составе уже имеющихся элементов реальных
конструкций (при наличии неразрушающих испытаний), поскольку со временем эти характеристики
меняются. Излагаются разработанные автором
методы идентификации констант, входящих в
определяющие соотношения, на основе решения обратных задач расчета изделий из композиционных
материалов. Физический закон представляется через аппроксимирующие функции с неизвестными
константами. Записываются уравнения механики, а в качестве внешних принимаются воздействия,
имевшие место в экспериментах. Совокупность всех уравнений равновесия записывается в виде системы
относительно искомых констант, на которые накладываются ограничения, вытекающие из физических
условий. Для отыскания этих констант предлагаются подходы, основанные на приближенном
выполнении уравнений механики и расширении класса искомых функций.
2. Ю.И. Бутенко. Краевые эффекты в двухслойных изотропных и ортотропных
полосах.
В работе рассматривается затухающий краевой эффект в двухслойных полосах, состоящих из двух
различных изотропных или ортотропных материалов. Задача формулируется как плоская задача теории
упругости в геометрически и физически линейной постановке. Решение задачи ищется в виде
асимптотического ряда по малому геометрическому параметру   h / l (h – полутолщина полосы, l –
длина полосы). Для этих объектов получены аналитические выражения, позволяющие определить
напряженно-деформированное (НДС) в любом сечении. Данные выражения содержат корни
характеристических уравнений соответствующих задач, где 1 характеризует глубину проникновения
краевого эффекта и постоянные интегрирования задачи. Постоянные интегрирования определяется при
выполнении статических краевых условий на торце полосы методом коллокаций. Рассматривается
влияние условий самоуравновешенности напряжений по высоте сечения. Построены программы по
определению корней характеристического уравнения и вычисления НДС в любом сечении с помощью
систем «Математика-5’» Рассмотрены многочисленные примеры при различных механических
характеристиках материалов и в нижнем загружении полос.
3. Ю.И. Бутенко, Р.А. Каюмов. Краевые эффекты (погранслои) в однослойных
полосах (стержнях) из ортотропного материала.
В работе построено точное решение определения НДС погранслоя для полосы из ортотропного
материала. Получены аналитические выражения для перемещений и напряжений, использование
которых возможно после решения соответствующих характеристических уравнений и определения
постоянных интегрирования задачи при выполнении краевых условий на торце полосы.
Характеристическое уравнение для полосы из ортотропного материала чаще всего имеет как
действительные, так и комплексные сопряженные корни. Поэтому разработана численная программа на
языке «Математика-5’» таким образом, чтобы она была востребована при любом сочетании корней
характеристического уравнения. В программе считается, что все корни характеристического уравнения
являются комплексными числами. В этом случае матрица алгебраической системы уравнений,
следующая из выполнения краевых условий на торце построена таким образом, чтобы постоянные
343
интегрирования, соответствующие
примеры.
мнимой части корней, равнялись нулю. Рассмотрены численные
4. Л.С. Ольховик. Об опыте проведения студенческих олимпиад КГАСУ по
сопротивлению материалов.
Для подготовки к олимпиаде по сопротивлению материалов на кафедре уже более 30 лет работает
кружок по решению нестандартных задач. Это позволяет наиболее сильным студентам познакомиться с
решением оригинальных задач, которые обычно не разбираются на практических занятиях и
предлагаются в качестве конкурсных на олимпиадах разного уровня. Темы задач: “Геометрические
характеристики сечений”, “Простые виды нагружения”, “Анализ напряженного состояния”. Члены
кружка являются активными участниками олимпиады КГАСУ по сопротивлению материалов (I
ВУЗовский тур Всероссийской олимпиады). По результатам университетской олимпиады формируется
команда из трех-четырех человек, которые продолжают подготовку в кружке к Поволжской олимпиаде.
В последние годы на Поволжской олимпиаде команда КГАСУ стабильно попадает в число призеров (2ое место 2009 г., 3-е место 2010 г., 2-ое место 2011 г.) и получает право участвовать во Всероссийской
олимпиаде по сопротивлению материалов.
5. Д.Е. Страхов. Исследование деформации высокопрочных полиэтиленовых
волокон
На экспериментальных данных построены регрессионные функции, описывающие поведение
полимерного материала. Использован метод минимизации квадратичной невязки между
экспериментальными и численными значениями деформаций в различные моменты времени. Для
прогнозирования длительной ползучести выбран метод аналогий, основанный на использовании
факторов, ускоряющих релаксационные процессы. Задача прогнозирования ползучести для заданных
значений температуры и напряжений сводилась к отысканию коэффициентов редукции, на основе
проведенных экспериментов, устанавливающих соответствующие масштабы времени деформирования.
Для описания процесса поведения полимера была принята модель наследственно-упругого материала с
ядром ползучести Абеля. Определены коэффициенты редукции для решения задач предсказания
поведения материала в условиях, наиболее близких к эксплуатационным, например, для больших
значений временного интервала или значений более высоких температур.
6. И.З. Мухамедова. Определение нелинейных жесткостных характеристик
модифицированного тканевого композитного материала (ТКМ) с предварительным
натяжением
Были исследованы экспериментальные данные образцов тканей, обработанных холодной плазмой
при предварительном натяжении. Предложен метод экспериментального определения жесткостных
характеристик ткани по результатам испытаний образцов вырезанных под разными углами к основе
( 0  ,90  ,30  ,45 ) при различных растягивающих усилиях. Задача сводиться к минимизации
квадратичной невязки между расчетными и экспериментальными данными. Приводятся результаты
обработки натурных экспериментов, а также результаты численных исследований задачи о растяжении
образцов ткани. С помощью разработанной модели была рассмотрена задача о деформировании
контрольного образца, вырезанного под углом 30  . Представлены зависимости усилия растяжения от
продольной деформации, а также зависимости поперечной деформации от продольной. Полученные
результаты согласуются с экспериментом в пределах 10-15 %.
7. Л.Р. Хайруллин. Исследование несущей способности трехслойных панелей с
технологическими перевязанными стыками среднего слоя, в зависимости от прочности
заполнителя.
При изготовлении трехслойных панелей с металлическими обшивками и с заполнителем из
ламелей минеральной ваты как по непрерывной так и по стендовой технологии, в готовых панелях
возникают, перевязанные соседними рядами ламелей, поперечные стыки заполнителя, расположенные в
шахматном порядке или «лесенкой». Одним из предельных состояний трехслойных конструкций при
поперечном изгибе от распределенной нагрузки является разрушение заполнителя около стыка среднего
слоя. С целью усовершенствования методики расчета трехслойных панелей, с технологическими
стыками среднего слоя, перевязанные соседними рядами ламелей, решена задача о разрушении
заполнителя от действия поперечных сил в области стыка среднего слоя. Для этого обшивка в области
стыка листов заполнителя, представлена в виде полубесконечной балки, лежащей на упругом
344
винклеровском основании, загруженной внешней нагрузкой, роль которой выполняет поперечная сила.
Получена формула для определения величины напряжений в заполнителе, в зоне прилегающей к стыку.
Указанные результаты имеют хорошую сходимость с данными ранее выполненных
экспериментальных и теоретических исследований.
8. Ф.Р. Шакирзянов. Сравнительный анализ методик расчета системы
«тонкостенная конструкция-грунт» с учетом выемки грунта, ползучести и деградации.
Рассматриваются две методики определения предельной нагрузки и осадки системы
«тонкостенная конструкция-грунт» от воздействия собственного веса системы и внешних нагрузок. В
первой методике оценка запаса предельной нагрузки системы проводится на основе теории предельного
равновесия, а осадка определяется по жеско-ползучей модели деформирования. Вторая методика расчета
основана на модели упруго-вязко-пластического деформирования, в котором прослеживается процесс
изменения напряженно-деформированного состояния (НДС) системы с учетом ползучести, деградации
механических свойств грунта (сцепления и угла внутреннего трения) в зависимости от интенсивности
накопленных деформаций ползучести, а также постепенной экскавации грунта.
В качестве модельной задачи рассматривается массив грунта под котлован с вбитыми
железобетонными шпунтами, из внутренней области которого вынимается грунт. Учитывается
собственный вес тонкостенной конструкции и грунта, а также распределенная нагрузка, действующая от
рядом находящихся зданий. Расчет проводится по разработанной ранее трехмерной модели однородного
грунта и обоснованной методики совместного расчета грунтового массива с железобетонным шпунтом
методом конечных элементов (МКЭ). Проводится сравнительный анализ методик расчета.
9. А.Р. Мангушева, А.М. Шакирова. Кратковременная и длительная прочность
пленочно-тканевого композиционного материала.
Разработана методика оценки снизу прочностных характеристик на основе анализа напряженнодеформированного состояния представительного элемента пленочно-тканевого композиционного
материала (ПТКМ), позволившая получить предельные кривые, а также провести анализ зависимостей
влияния механических и геометрических характеристик представительной ячейки ПТКМ на ее
кратковременную прочность.
Разработана методика оценки сверху прочностных характеристик на основе теории предельного
равновесия с учетом больших перемещений и деформаций и упрочнения фаз (компонент) композита.
Разработана численная методика оценки длительной прочности ПТКМ с учетом ползучести,
накопления микроповреждения и фотодеструкции фаз материала.
На основе численных экспериментов выявлены закономерности влияния механических и
геометрических характеристик фаз композита на прочность и долговечность ПТКМ.
ВТОРОЕ ЗАСЕДАНИЕ
18 апреля, 10.00 ауд. 4–224
1. Л. Гилязова, Л. Садриева (гр. 03-202, н. рук. Р.А. Каюмов). Оценка
остаточной прочности колонны, изготовленной из тонкостенных профилей.
Рассматривается задача оценки остаточной прочности колонны, изготовленной из тонкостенных
профилей, под действием циклической нагрузки. Для оценки остаточной прочности используется
классический подход, основанный на диаграмме Вёлера и линейном законе накопления повреждений.
Для простоты полагается, что под действием ветровой нагрузки колонна совершает только изгибные
циклические деформации, которые считаются симметричными. Проводится сравнительный анализ
остаточного ресурса стойки для двух вариантов циклической нагрузки. В первом используются
постоянные осредненные максимальные и средние значения нагрузки. Во втором используется
некоторая аппроксимация нагрузки во времени, близкая к истинному распределению во времени.
Результаты представлены в виде таблиц и графиков зависимости допустимого времени эксплуатации
стойки от геометрии сечения.
2. А. Бакирова, Е. Туйсина (гр. 03-201, н. рук. Р.А. Каюмов). Усталостное
разрушение железобетонной балки при местном поперечном нагружении.
Рассматривается задача усталостного разрушения железобетонной балки при местном поперечном
нагружении. Для простоты полагается, что под действием нагрузки балка совершает только изгибные
345
циклические деформации, которые считаются симметричными. Проводится сравнительный анализ
остаточного ресурса балки для двух вариантов циклической нагрузки. В первом используются
постоянные осредненные максимальные и средние значения нагрузки. Во втором используется
некоторая аппроксимация нагрузки во времени, близкая к истинному распределению во времени.
Предполагается, что в сечении имеется поперечная малая трещина. Изучается процесс ее развития. Для
этого используется закон, связывающий скорость подрастания трещины с ее длиной и номинальным
напряжением. Результаты представлены в виде таблиц и графиков зависимости допустимого времени
эксплуатации стойки от геометрии сечения.
3. А. Аюпова, Д. Набиуллин (гр. 03-202, н. рук. Р.А. Каюмов). Расчет бетонный
колонны, нагруженной через жесткую накладку.
Рассматривается задача об отыскании предельной нагрузки, приложенной к бетонной призме
через жесткую накладку. Решение проводится двумя способами. В первом используется поле
равномерных напряжений, предложенное Ходжем (трапеция Ходжа). При этом учитывается
геометрические ограничения на эти поля. Оптимальная статическая оценка предельной нагрузки
находится путем решения экстремальной задачи (варьируемыми параметрами являются углы
треугольников, из которых состоит трапеция Ходжа). Во втором способе используется подход,
предложенный Б.С.Соколовым. Решение проводится для двух условий прочности – Мора и Гениева.
Результаты сравнения, а также зависимости предельной нагрузки от механических характеристик
представлены в виде графиков и таблиц.
4. Р. Асадуллин, В. Шаяхметов (гр. 03-202, н. рук. Р.А. Каюмов). Оценка
остаточной прочности колонны, изготовленной из тонкостенных профилей.
Рассматривается задача оценки остаточной прочности колонны, изготовленной из тонкостенных
профилей, под действием циклической нагрузки. Для оценки остаточной прочности используется
классический подход, основанный на диаграмме Вёлера и линейном законе накопления повреждений.
Для простоты полагается, что под действием ветровой нагрузки колонна совершает только изгибные
циклические деформации, которые считаются симметричными. Проводится сравнительный анализ
остаточного ресурса стойки для двух вариантов циклической нагрузки. В первом используются
постоянные осредненные максимальные и средние значения нагрузки. Во втором используется
некоторая аппроксимация нагрузки во времени, близкая к истинному распределению во времени.
Результаты представлены в виде таблиц и графиков зависимости допустимого времени эксплуатации
стойки от геометрии сечения.
5. А.Р. Джавбураев, А.А. Султанова (гр. 03-206, н. рук. Ю.И. Бутенко).
Растяжение двухслойной полосы стержня.
Построена простейшая модель расчета на растяжение-сжатие двухслойной полосы (стержня) из
двух различных изотропных материалов. При продольной координате z перемещения слоев выбираются
в виде:
W (1)  W0(1) ( z )  y1W1(1) ( z ),
v (1)  v0(1) ( z ),
W (2)  W0(2) ( z )  y2W1(2) ( z ),
v(2)  v0(2) ( z ).
С учетом непрерывности функций перемещений и напряжений  y и  xy при переходе от слоя к
слою, задача сводится к двум искомым функциям
двухслойного стержня. Наличие
W0 и v0 , которые описывают НДС обоих слоев
v0 подтверждает появление изгиба при растяжении полосы. С учетом
вариационного принципа Лагранжа получены соответствующие уравнения равновесия для основных
искомых функций и статические краевые условия. Рассмотрен численный пример.
6. И.И. Тукаев, А.А. Сарварова (гр. 03-206, н. рук. Ю.И. Бутенко). Изгиб
двухслойной полосы.
Построена простейшая модель расчета на изгиб двухслойной полосы (стержня) из двух различных
изотропных материалов. При продольной координате z перемещения слоев выбираются в виде
W (1)  W0(1) ,
v(1)  v0(1)  y1v1(1) ,
W (2)  W0(2) ,
v(2)  v0(2)  y2 v1(2) .
346
С учетом непрерывности функций перемещений и напряжений
слою, задача сводится к двум искомым функциям
двухслойного стержня. Наличие при изгибе
y
и
 xy
при переходе от слоя к
W0 и v0 , которые описывают НДС обоих слоев
W0 подтверждает появление при изгибе растяжения
полосы. С учетом вариационного принципа Лагранжа получены соответствующие уравнения равновесия
для основных искомых функций и статические краевые условия. Рассмотрен численный пример.
7. К.Н. Сафин (гр. ОТГ-202, н. рук. Л.С. Ольховик). Разбор решения некоторых
нестандартных задач сопротивления материалов.
Приводится решение двух задач, которые были предложены участникам на заключительном III
туре Всероссийской (международной) олимпиаде по сопротивлению материалов (Пермь 2011 г.). Обе
задачи относятся к классу статически неопределимых задач для стержня с двумя жесткими заделками. В
1-ой задаче рассматривается стержень переменного сечения. Основная сложность – учет переменной
площади стержня в условии совместности деформаций. Решение 2-ой задачи для ступенчатого стержня
требует анализа напряженного состояния. Эта тема обычно вызывает трудности у студентов, так как в
учебной программе не нее отводится мало времени. Приводится подробное решение на основе анализа
напряженного состояния и обобщенного закона Гука. Разбор решения этих задач будет полезен
студентам для подготовки к олимпиаде.
8. Л.М. Султанова, Г.И. Сафина (гр. 9ПЗ 301, н. рук. Д.Е. Страхов). Оценка
влияния реального закрепления в геометрически неизменяемых системах.
При расчете любой конструкции неизбежно возникает проблема с выбором геометрической
схемы, которая является некой идеализированной заменой действительной конструкции. Такой наиболее
распространенной конструкцией является геометрически неизменяемая система из шарнирно
соединяемых стержней в виде фермы. Стержни фермы работают на растяжение или сжатие.
Рассматривать ферму с жесткими узлами в предположении, что стержни работают только на растяжение
и сжатие, можно, если силы приложены в узлах. В реальных конструкциях стержни фермы скрепляются
не шарнирно, а жестко при помощи сварки или заклепочного соединения. Тогда при жестком
соединении стержней ферма фактически является рамой.
В работе показано, из каких предположений считается, что стержни фермы по-прежнему работают
только на растяжение – сжатие.
9. К.Т. Ситдикова, Т.С. Ганиуллина (гр. 9ПЗ 301, н. рук. Д.Е. Страхов). Общая
устойчивость высотных сооружений.
При проектировании высотных сооружений, таких как заводские трубы, водонапорные и
телевизионные башни, опоры высоковольтных линий передач, подпорные стенки и т.д., большое
внимание уделяется вопросу общей устойчивости сооружения. Довольно часто устойчивость сооружения
оценивают отношением удерживающего момента к опрокидывающему моменту.
В действительности проблема намного сложнее и относительно высокие нормативные значения
минимального коэффициента устойчивости, призваны компенсировать недостоверность расчетной
методики. При таком подходе полностью игнорируется деформативность самой системы и в особенности
основания, расположенного под фундаментом конструкции.
Рассмотрены общие вопросы устойчивости жесткой колонны опирающейся через фундамент на
грунтовое основание.
10. Ю.Л. Шпякина (гр. ОЭН-201, н. рук. И.З. Мухамедова). Устойчивость
желобчатой полосы.
Интересными свойствами обладают желобчатые полосы при изгибе. Желобчатые полосы
используют в качестве упругого элемента пружинных двигателей. Ленты металлических рулеток также
иногда делают в виде желобчатых полос. Когда такая лента развернута, она имеет вид неглубокого
желоба и обладает заметной изгибной жесткостью, достаточной для того, чтобы продольная ось полосы
оставалась практически прямолинейной при действии собственного веса. Но если приложить к ленте
более значительную изгибающую нагрузку, то может произойти потеря устойчивости желобчатой
формы. В рассматриваемой задаче важную роль играет изменение формы поперечного сечения полосы.
Найдена кривая, описывающая форму искривленного поперечного сечения полосы и зависящая от
радиуса кривизны в продольном направлении. Показано, что неустойчивость упругой полосы
выражается в перескоках при изгибе ее как положительными, так и отрицательными моментами. После
347
перескока жесткость желобчатой полосы резко уменьшается. Это объясняется тем, что перескоку
соответствует почти полное исчезновение кривизны в поперечном направлении. В закритической
области полоса становится практически линейно деформируемой, но ее жесткость в десятки раз меньше
начальной жесткости.
11. А.Р. Яруллина (гр. ОЭН-201, н. рук. И.З. Мухамедова). Исследование
однородной прямой балки, лежащей на жесткой плоскости.
Однородная прямая балка некоторой длины и весом лежит на жесткой плоскости. В задаче нужно
определить величину напряжений, возникающих в балке при приложении к ее концу силы. После
приложения силы часть балки приподнимается. Другая часть будет лежать на плоскости и останется
прямой. Наиболее интересным и поучительным моментом в задачах, где имеет место соприкасание
упругой балки с жесткой поверхностью, является возникновение сосредоточенной силы на границе
участка прилегания. Возникновение этой силы обусловлено выбором расчетной схемы. При решении
задачи рассматривалась только изгибная жесткость балки и предполагалось, что сдвиговые деформации
в поперечных сечениях отсутствуют. Учета этих деформаций уже достаточно, чтобы обнаружить, что
схема контактных сил в виде равномерно рапределенной нагрузки и сосредоточенной силы является
приближенной
12. Л. Гилязова, Л. Садриева (гр. ОПГ-202, н. рук. Л.Р. Хайруллин). Еще одна
падающая башня? Некоторые вопросы прочности юбилейной арки «Красные ворота».
Одним из известных архитектурных сооружений Кировского района г. Казани являются
возведенные в 1888 г., в честь столетия Казанского порохового завода Главные ворота, впоследствии
получившие название Юбилейной арки («Красные ворота»). В средней части ворот расположена
большая проездная арка, в боковых, меньших по высоте частях – арки для пешеходов. В настоящее
время, при визуальном наблюдении обнаруживается крен этого сооружения. Указанный крен
существенно изменяет статическую схему работы башни, в связи с появлением и возможным
увеличением изгибающего момента. Основной нагрузкой и одновременно силой, обеспечивающей
связность арки, является ее собственный вес. Он же является и причиной возникновения изгибающего
момента.
Рассмотрены некоторые вопросы прочности арки с учетом крена и возможные последствия его
увеличения.
348
Кафедра физики
Председатель
Зам. председателя
Секретарь
Л.И. Маклаков
В.Л. Фурер
И.Н. Дементьева
ЗАСЕДАНИЕ
12 апреля, 14.00, ауд. 1–48
1. В.Л. Фурер. Изучение структуры, ИК и КР спектров дендронов двойного
назначения.
Изучены ИК и КР спектры дендрона G0v нулевого поколения, содержащего пять флуоресцентных
данзильных концевых групп, циклотрифосфазеновое ядро, и одну карбаматную группу.
Оптимизация геометрии и анализнормальных колебаний выполнен для дендрона G0v на основе
квантовохимических расчетов методом функционала плотности (ФП). Рассчитанные геометрические
параметры и гармонические частоты колебаний предсказаны в хорошем согласии с экспериментальными
данными.
Обнаружено, что молекула дендрона G0v имеет структуру выпуклой линзы с слегка неплоским
циклотрифосфазеновым ядром. Экспериментальные ИК и КР спектры дендрона G0v интерпретированы с
помощью распределeния потенциальной энергии. На основе расчетов методом ФП предложено отнесение колебаний. Частота ν(N−H) полосы в ИК спектре свидетельствует о присутствии H-связей в дендроне G0v. Интенсивности самых заметных полос в ИК спектре G0v воспроизводятся нашими расчетами.
Теоретическая кривая поглощения G0v в целом соответствует экспериментальному ИК спектру в широком диапазоне частот.
Итак, используемый метод ФП позволяет расчитать структуру, заряды на атомах, и воспроизвести
экспериментальный ИК спектр дендрона G0v. Рассчитанные отношения главных моментов инерции показывают, что молекулы G0v имеют асимметричную форму.
2. Г.Г. Сучкова, Л.И. Маклаков. Исследования по практическому использованию
хемометрического метода SMCR для качественного и количественного анализа методом
ИК-спектроскопии смесей сложного состава.
Метод ИК-спектроскопии широко применяется в для исследования структурных особенностей
различных соединений, для анализа смесей и идентификации чистых веществ. Наиболее важной задачей
анализа смесей является определение числа значимых компонентов, идентификацию и нахождение их
концентраций. Разложение (декомпозиция) ИК-спектров часто используется в спектроскопической
практике, однако использовались преимущественно смоделированные (сложенные по аддитивной схеме)
спектры смесей, которые не всегда могут обеспечить желаемоe качество разделения, из-за
перекрывающихся полос в спектрах многокомпонентных смесей. Этим определяется возрастающее
значение использования хемометрических способов обработки данных. Речь идет о так называемом
автомодельном разделении кривых (Self-modeling Curve Resolution, SMCR), главная задача которого
заключается в том, чтобы, имея экспериментальную информацию о многокомпонентной системе,
выделить реальный спектроскопический сигнал и оценить концентрацию каждого компонента без
использования физико-химической модели или дополнительной информации о системе. Одним из
перспективных методов решения задачи о “слепом разделении источников” (BSS, blind source separation)
является анализ независимых компонент (Independent Component Analysis, ICA). Были проведены
исследования по практическому использованию SMCR на основе нового алгоритма декомпозиции
суперпозиции сигналов SNICA (Stochastic Non-negative Independent Component Analysis), отмеченного в
литературе как наиболее подходящего для качественного и количественного анализа методом ИКспектроскопии смесей сложного состава. Проводится сравнительный анализ результатов декомпозиции
спектров модельных и технологических смесей различных по природе и числу компонентов.
3. Л.И. Потапова, Е.В. Сагадеев, Д.А. Куколева, В.Ф. Строганов. Определение
структур одно-, двух- и трехосновных низкомолекулярных карбоновых кислот, реагирующих с бетоном, методом ИК- спектроскопии.
Проблема биологического повреждения строительных конструкций в настоящее время является
весьма актуальной. Продуктами метаболизма микроорганизмов, поселяющихся на поверхности бетона,
является целый спектр одно-, двух- и трехосновных низкомолекулярных карбоновых кислот. Взаимодей-
349
ствие карбоновых кислот с бетоном, обусловленное протеканием реакции комплексообразования, приводит к проблеме биологического повреждения поверхности бетона и, соответственно, инициирует коррозию минеральных строительных конструкций.
Изучены ИК-спектры карбоновых кислот: уксусная кислота (ХЧ лед, ГОСТ 61-75), щавелевая
кислота (ХЧ, ГОСТ 22180-76), лимонная кислота (ЧДА ГОСТ 3562-69), которые использовались для
создания модельной слабоагрессивной среды.
На основе полученных ИК-спектральных данных можно предположить все три изученные карбоновые кислоты, как в кристалле, так и в водных растворах находятся в виде димеров, связанных межмолекулярной водородной связью, причем мономерная форма не реализуется даже в 1% водных растворах
кислот. На этот факт, в частности, указывает то обстоятельство, что в ИК-спектрах водных растворах
уксусной кислоты не было идентифицировано характеристических полос поглощения валентных колебаний свободных гидрокси- и карбонильных групп. Это связано с тем, что все гидроксильные и карбонильные группы молекул уксусной кислоты участвуют в водородном связывании между собой. Происходит образование весьма характерных для карбоновых кислот мостиковых водородных связей.
При анализе ИК-спектральных данных смесей водных растворов карбоновых кислот, можно сделать однозначный вывод, что и в смесях, карбоновые кислоты по-прежнему находятся в форме димеров.
4. И.А. Старовойтова, О.Н. Котермина, Л.М. Кузнецова, Э.М. Ягунд. Изучение методом ИК-спектроскопии кинетики формирования и структуры гибридных связующих на основе полиизоцианатов и жидких стекол, подвергнутых акустической
виброобработке.
Методом ИК-спектроскопии исследованы процессы формирования ряда композитов на основе
ПИЦ и натриевого жидкого стекла, подвергнутого обработке ультразвуком. Изучена сравнительная кинетика отверждения и измерена степень конверсии реакционноспособных групп как при комнатной температуре, так и при доотверждении при 80 и 100 0 С.
Установлено, что в ряде предельно отвержденных образцов конверсия изоцианатных групп достигает 95-97 %. Проведено математическое разделение сложного контура полосы Амид I на составляющие.
Установлено, что процентное соотношение образующихся функциональных групп в образцах зависит от
времени и температуры отверждения, а также от состава исходных композиций.
Показано, что при виброобработке жидкого стекла существенное изменение претерпевает контур
полосы валентного колебания ОН-групп, что может свидетельствовать о перераспределении в структуре
водородных связей.
5. В.И. Сундуков. Особенности самодиффузии в полимерах с широким молекулярно-массовым распределением.
Физико-химические свойства полимеров зависят от его молекулярных характеристик, в частности
от молекулярной массы. При исследовании растворов и расплавов полимеров тем или иным методом
возникает вопрос о соотнесении полученных результатов с молекулярной массой полимера.
Особенно актуальной эта задача становится, когда полимер обладает широким молекулярномассовым распределением (ММР). В данной работе была поставлена и решена задача о соотнесении
средней молекулярной массы, получаемой из экспериментальных данных измерения самодиффузии методом ядерного магнитного резонанса с импульсным градиентом магнитного поля, с характеристиками
ММР.
Для образцов с одной молекулярной массой диффузионное затухание имеет простую экспоненциальную форму, которой соответствует один коэффициент самодиффузии.
При наличии в исследуемом образце ММР диффузионное затухание имеет более сложный вид,
который можно трактовать как спектр коэффициентов самодиффузии. Параметры спектра трудно определить и на практике используется средний коэффициент диффузии, определяемый из начального
наклона диффузионного затухания.
На примере расплавов и растворов полиэтиленгликоля было показано, что значения средних диффузионных масс близки к значениям среднечисловой молекулярной массы.
350
Кафедра геодезии
Председатель
Зам. председателя
Секретарь
В.С. Боровских
В.И. Стебнев
З.Ф. Азизова
ЗАСЕДАНИЕ
10 апреля, 10.00, ауд. 2– 405
1. В.В. Лапаева. Некоторые особенности движения полюса Земли.
Изучение вращения Земли имеет не только научное, но и практическое значение, т.к. оно составляет основу для определения координат точек на земной поверхности и задает естественный стандарт времени. Движение полюса в основном определяется периодической (годовой) и затухающей Чандлеровской или свободной
нутацией, с периодом, близким к 1.2 года. Чандлеровское движение (ЧД) характеризуется циклическими изменениями амплитуды. В спектре изменения амплитуды обнаруживаются гармоники от 11 до 80 лет. Временной
интервал инструментальных наблюдений за движением полюса не превышает 170 лет. К тому же точность в
начале ряда наблюдений (около 70 лет) оставляет желать лучшего. Из полученных вариаций ЧД по данным
координат полюса создается впечатление, что оно имеет неправильный характер. Самые глобальные изменения
параметров ЧД имели место в 1927-1933гг, когда амплитуда составляла всего 0.02″-0.03″, а начальная фаза изменилась на 180˚. Далее происходило резкое увеличение качания Земли относительно оси ее вращения, которое
достигло максимума (0.3″) в 1951-1952гг. Затем в течение длительного времени (1963-1999гг) ЧД было стабильным – амплитуда составляла 0.13″-0.15″, не наблюдалось и значительных фазовых смещений. Однако в последние 10 лет происходило постепенное до 0.10″ уменьшение амплитуды ЧД. Продолжится ли оно далее, до уже
наблюдавшегося минимума, пока неизвестно, т.к. до сих пор неизвестен механизм возбуждения ЧД.
2. М.И. Шпекин, А.А. Баренбаум (Институт проблем нефти и газа РАН,
Москва). Применение орбитальной съемки высокого разрешения для определения
строительно-технических характеристик лунного грунта.
Рассмотрены возможности снимков высокого и сверхвысокого разрешения для исследования механических
свойств лунного грунта. Технология такого исследования основана на детальном анализе изображений лунной
поверхности на снимках с низкой окололунной орбиты. Такие снимки доставлены на Землю экипажами кораблей
Аполлон и переданы с борта спутника Lunar Reconnaissance Orbiter.В частности обследованы детали днища и
внутренних склонов нескольких молодых ударных кратеров. Обнаружено большое число участков, где формы
лунного рельефа имеют большую степень сходства с поведением ледников на Земле и поведением подтаивающих
склонов гор в приэкваториальных областях на Марсе. Такого рода формы рельефа могут быть интерпретированы
наличием в лунных породах, их которых они состоят, значительного количества вмороженного водяного льда.
Результаты обследования указывают на то, что в дополнение концепции поиска воды в полярных районах Луны,
целесообразно вести поиски в районах, где априори высока вероятность наличия в лунном грунте водяного льда. К
таким районам относятся области молодых ударных кратеров. Особенно тех из них, происхождение которых связывают с падением на Луну галактических комет состоящих почти полностью из льдов. Наиболее молодые ударные кратеры имеют возраст по разным оценкам от 0.2 до 3 млн.лет, тогда как время тектонического последействия
для них может составлять десятки миллионов лет (для Земли это время доходит до 180 млн.лет).Учитывая происхождение таких кратеров и периоды тектонического последействия, не лишены основания попытки обследования
молодых кратеров в экваториальной зоне Луны хорошо освещаемой Солнцем.
3. М.И. Шпекин, В.С. Боровских, В.И. Стебнев. Обследование строения ударных
кратеров на Луне для решения инженерно-технических и научно-прикладных задач на их
территории.
Территория ударных кратеров на Луне и планетах представляет собой одно из наиболее вероятных мест посадок будущих автоматических станций и пилотируемых космических кораблей. Наибольший практический интерес
составляют молодые ударные кратеры, поверхность которых хранит в себе сведения о кратерообразовании неискаженные более поздними падениями. На примере кратеров Эйткен и Циолковский представлены результаты обследования строения днища, выбросов и центральных горок. Выявлен ряд факторов, которые свидетельствуют об эндогенной активности лунных недр под поверхностью указанных кратеров. Обсуждаются вопросы происхождения полей
малых кратеров и самих малых кратеров на лавовом поле, природа которых, по-видимому, носит неударных характер. Свойства лунной поверхности, найденные в районе ударных кратеров, следует учитывать при проектировании
строительства объектов инженерно-технического и научно-прикладного назначения. В частности, рассматривается
возможность создания радиотелескопа радиусом антенны 60 и 90 километров в кратере с центральной горкой, а также
оптического телескопа для прецизионных многолетних рядов наблюдений. Результаты основаны на материалах орбитальной съемки с борта советских и американских космических кораблей.
351