Ортогональные преобразования евклидова

308801385
1
Ортогональные преобразования евклидова пространства 2
Теорема. Ортогональное преобразование евклидова пространства в
любой ортонормированной базе задаётся ортогональной матрицей. Обратно,
если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном
ортонормированном
базисе
задаётся
ортогональной
матрицей,
то
это
преобразование ортогонально.
Если преобразование  ортогонально, а базис е1,е2,…,еп ортонормированный,
то система векторов е1,е2,…,еп будет ортонормированным базисом. Матрица А
преобразования  в базисе е
е = А е
(8)
будет, следовательно, матрицей перехода от ортонормированного базиса е к
ортонормированному базису е, как доказано выше, будет ортогональной.
Обратно, пусть линейное преобразование  задаётся в ортонормированном
базисе е1,е2,…,еп ортогональной матрицей А. Имеет место, следовательно,
равенство (8). Так как базис е ортонормированный, то скалярное произведение
любых векторов, в частности любых векторов из системы е1,е2,…,еп, равно
сумме произведений соответствующих координат этих векторов в базисе е.
Поэтому, так как матрица А ортогональна,
(еi, еi) = 1, i = 1,2,…,n;
(еi, еj) = 0,
ij
то есть система е сама оказывается ортонормированным базисом пространства Еп.
Отсюда вытекает ортогональность преобразования .
К
числу
ортогональных
преобразований
евклидова
пространства
принадлежит, очевидно, тождественное преобразование. С другой стороны,
установленная связь между ортогональными преобразованиями и ортогональными
матрицами, а также связь между операциями над линейными преобразованиями и
над матрицами позволяют из известных свойств ортогональных матриц вывести
следующие свойства ортогональных преобразований евклидова пространства,
легко проверяемые непосредственно:
308801385
2
Всякое ортогональное преобразование является невырожденным и его
обратное преобразование также ортогонально.
Произведение любых ортогональных преобразований ортогонально.
Симметрические преобразования
Линейное преобразование  п-мерного евклидова пространства называется
симметрическим или самосопряженным, если для любых векторов a, b этого
пространства имеет место равенство
(a, b) = (a, b)
(1)
то есть символ симметрического преобразования можно переносить с одного
множителя на другой.
Примерами
симметрических
преобразований
служат,
очевидно,
тождественное преобразование и нулевое преобразование. Более общим примером
является линейное преобразование, при котором всякий вектор умножается на
фиксированное число , то есть а  =  а. Действительно, в этом случае
(a, b) = (a, b) =  (a, b) = (a, b) = (a, b)
Теорема. Симметрическое преобразование евклидова пространства в
любом ортонормированном базисе задаётся симметрической матрицей.
Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в
одном ортонормированном базисе задаётся симметрической матрицей, то это
преобразование симметрическое.
Пусть симметрическое преобразование  задаётся в ортонормированном
базисе е1,е2,…,еп матрицей А = (ij). Учитывая, что в ортонормированном базисе
скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответственных
координат этих векторов, получаем
ei ,e j      ik ek ,e j    ij ei ,e j    ei ,   jk ek    ji
n
 k 1
n


k 1

то есть, ввиду (1), ij = ji для всех i и j. Матрица А, таким образом, оказывается
симметрической.
308801385
3
Пусть теперь линейное преобразование  задаётся в ортонормированном
базисе е1,е2,…,еп симметрической матрицей А = (ij),то есть ij = ji для всех i и j.
n
Если b 
 i ei ,
n
c
i 1
  i ei – любые векторы пространства, то
i 1

b    i ei       i  ij e j ,


i 1
j 1 i 1

n
n  n
 


c    j e j      j  ji ei


j 1
i 1 j 1

 
n
n  n
Используя ортонормированность базиса е, получаем
n
n
n n
b,c     i  ij  j , b,c    i  j  ij
j 1 i 1
i 1 j 1
Так как ij = ji для всех i и j, правые части последних равенств совпадают, а
поэтому (b , c) = (b,c ), что и требовалось доказать.
Из полученного результата вытекает следующее свойство симметрических
преобразований:
Сумма
симметрических
преобразований,
а
также
произведение
симметрического преобразования на число являются симметрическими
преобразованиями.
Теорема.
Все
характеристические
корни
симметрического
преобразования действительны.
Так как характеристические корни любого линейного преобразования совпадают с характеристическими корнями матрицы этого преобразования в любом
базисе, с симметрическое преобразование задаётся в ортонормированных базисах
симметрическими матрицами, то достаточно доказать следующее утверждение:
Все
характеристические
корни
симметрической
матрицы
действительны.
Доказательство. Пусть 0 будет характеристическим корнем, может быть
комплексным, симметрической матрицы А = (ij), то есть, А – 0Е = 0. Тогда
система линейных однородных уравнений с комплексными коэффициентами
308801385
4
n
  ij x j
j 1
  0 xi ,
i  1,2, , n
имеет равный нулю определитель, то есть обладает ненулевым решением
1,2,…,п, вообще говоря, комплексным. Таким образом,
n
  ij  j
j 1
  0 i ,
i  1,2, , n
(3)
Умножая обе части каждого i-го из равенств(3) на число  i , сопряженное с числом
i, и складывая отдельно левые и правые части всех получившихся равенств,
приходим к равенству
n n
n

i 1 j 1
Коэффициент при 0
 ij i  j   0  i i ,
(4)
i 1
в (4) является отличным от нуля действительным
числом, будучи суммой неотрицательных действительных чисел, хотя бы одно из
которых строго положительно. Действительность числа 0 будет поэтому доказана,
если мы докажем действительность левой части равенства (4), для чего достаточно
показать, что это комплексное число совпадает со своим сопряженным. Здесь
используется симметричность действительной матрицы А.
n n
   ij  j  i
i 1 j 1

n n

i 1 j 1

n n
   ij  j  i

i 1 j 1
n n
 ji  j i  

i  j 1
n n
   ij  j  i

i 1 j 1
 ij i  j 
n n
   ij  j i
i 1 j 1
Предпоследнее равенство получено переменой обозначений для индексов
суммирования: вместо i поставлено j, а вместо j поставлено i. Теорема доказана.
Линейное преобразование  евклидова пространства Еп тогда и только
тогда
будет
симметрическим,
если
в
пространстве
Еп
существует
ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого
преобразования.
308801385
5
Доказательство. Если в Еп существует ортонормированный базис е1,е2,…,еп,
причём еi  = i еi, i = 1,2,…,n, то в базисе е преобразование  задаётся
 1


диагональной матрицей 

0
0 

2

 . Диагональная матрица является


 n 
симметрической, поэтому преобразование  задаётся в ортонормированном базисе
е симметрической матрицей, то есть будет симметрическим.
Обратное утверждение теоремы будем доказывать индукцией по размерности
п пространства Еп. При п = 1 всякое линейное преобразование  пространства Е1
непременно переводит любой вектор в вектор, ему пропорциональный. Отсюда
следует, что всякий ненулевой вектор а будет собственным вектором для , как
следует и то, что всякое линейное преобразование пространства Е1 будет
симметрическим. Нормируя вектор а, получим искомый ортонормированный базис
пространства Е1.
Пусть утверждение теоремы уже доказано для (п – 1)-мерного евклидова
пространства и пусть в пространстве Еп задано симметрическое преобразование .
Из доказанной выше теоремы вытекает существование для  действительного
характеристического корня 0. Это число будет, следовательно, собственным значением для преобразования . Если а – собственный вектор преобразования ,
относящийся к этому собственному значению, то и всякий ненулевой вектор, пропорциональный вектору а, будет для  собственным вектором, относящимся к тому
же собственному значению 0, так как (а)  =  (а) =  (0а) = 0(а). В
частности, нормируя вектор а, получим такой вектор еi, что е1  = 0е1, что
е1 = 0е1, (е1,е1) = 1. Ненулевой вектор е1 можно включить в ортогональный базис
е1,е2,…,еп
(5)
пространства Еп. Те векторы, первая координата которых в базисе (5) равна нулю,
то есть векторы вида 2е2 + …+ пап, составляют, очевидно, (п – 1)-мерное
308801385
6
линейное подпространство пространства Еп, которое обозначим через L. Это будет
(п – 1)-мерное
евклидово
пространство,
так
как
скалярное
произведение,
определённое для всех векторов Еп, определено и для векторов из L, причём
обладает всеми необходимыми свойствами.
Подпространство L состоит из всех тех векторов пространства Еп, которые
ортогональны вектору е1. Действительно, если а = 1е1 + 2е2 + …+ пап, то
ввиду ортогональности базиса (5) и нормированности вектора е1,
(е1,а) = 1(е1, е1) +2(е1,е2) + …+ п( е1,еп) = 1,
то есть (е1,а) = 0 тогда и только тогда, если 1 = 0. Если вектор а принадлежит
подпространству L, то есть (е1,а) = 0, то и вектор а  содержится в L.
Действительно, ввиду симметричности преобразования ,
(е1,а ) = (е1 ,а) = (0 е1,а) = 0 (е1,а) = 00 = 0,
то есть вектор а ортогонален е1 и поэтому содержится в L. Это свойство
подпространства L, называемое его инвариантностью относительно преобразования
, позволяет считать , рассматриваемое лишь в применении к векторам из L,
линейным преобразованием этого (п – 1)-мерного евклидова пространства. Оно
будет симметрическим преобразованием пространства L, так как равенство (1)
выполняясь для любых векторов Еп, будет выполняться, в частности, для векторов,
лежащих в L.
В силу индуктивного предположения в пространстве L существует
ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования ;
обозначим его через е2,…,еп. Все эти векторы ортогональны вектору е1, и поэтому
е1,е2,…,еп
будет
искомым
ортонормированным
базисом
пространства
Еп,
состоящим из собственных векторов преобразования . Теорема доказана.
Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм
Теорема. Для всякой симметрической матрицы А можно найти такую
ортогональную матрицу Q, которая приводит матрицу А к диагональному
308801385
7
виду, то есть матрица Q–1АQ, полученная трансформированием матрицы А
матрицей Q, будет диагональной.
Доказательство. Пусть дана симметрическая матрица А порядка п. Если
е1,е2,…,еп
–
пространства
некоторый
Еп, то
ортонормированный
матрица
базис
п-мерного
евклидова
А задаёт в этом базисе симметрическое
преобразование . В Еп существует ортонормированный базис f1,f2,…,fп,
составленный из собственных векторов преобразования ; в этом базисе  задаётся
диагональной матрицей В. Тогда
В = Q–1АQ
(1)
где Q – матрица перехода от базиса f к базису е,
е = Qf
(2)
Эта матрица, как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к
другому такому же базису, будет ортогональной. Теорема доказана.
Так как для ортогональной матрицы Q её обратная матрица равна
транспонированной, Q–1 = Q, то равенство (1) можно переписать в виде В = QАQ.
Известно, что именно так преобразуется симметрическая матрица А квадратичной
формы, подвергнутой линейному преобразованию переменных с матрицей Q.
Учитывая, что линейное преобразование переменных с ортогональной матрицей
является ортогональным преобразованием и что диагональную матрицу имеет
квадратичная форма, приведённая к каноническому виду, на основании предшествующей теоремы получаем следующую теорему о приведении действительной
квадратичной формы к главным осям:
Всякая действительная квадратичная форма f(x1,x2,…,xп) некоторым
ортогональным преобразованием переменных может быть приведена к
каноническому виду.
Хотя может существовать много различных ортогональных преобразований
переменных, приводящих данную квадратичную форму к каноническому виду,
однако сам этот канонический вид определяется однозначно:
308801385
8
Каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к
каноническому виду квадратичную форму f(x1,x2,…,xп) с матрицей А,
коэффициентами этого канонического вида будут характеристические корни
матрицы А, взятые с их кратностями.
Доказательство. Пусть форма f некоторым ортогональным преобразованием
приведена к каноническому виду
f(x1,x2,…,xп) = 1у12 + 2у22 +…+пуп2
Это ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов
переменных, а поэтому, если  – новая неизвестная, то
n
n
n
2
2
f  x1 , x 2 , , x n     xi    i yi    yi2
i 1
i 1
i 1
Переходя к определителям этих квадратичных форм и учитывая, что после
выполнения линейного преобразования определитель квадратичной формы
умножается на квадрат определителя преобразования, а квадрат определителя
ортогонального преобразования равен единице, приходим к равенству
1  
0
0
2  
A  E 


0
0


0
0


 n  
n
  i   
i 1
из которого вытекает утверждение теоремы.
Этому результату можно придать другую формулировку:
Какова
бы
ни
была
ортогональная
матрица,
приводящая
к
диагональному виду симметрическую матрицу А, на главной диагонали
полученной диагональной матрицы будут стоять характеристические корни
матрицы А, взятые с их кратностями.
Нужно научиться находить ортогональную матрицу Q, приводящую данную
симметрическую матрицу А к диагональному виду, или что то же самое, находить
её обратную матрицу Q–1. Ввиду (2) это будет матрица перехода от базиса е к
базису f, то есть её строки являются координатными строками в базисе е
308801385
9
ортонормированной системы из п собственных векторов симметрического
преобразования , определяемого матрицей А в базисе е. Остаётся найти такую
систему собственных векторов.
Пусть 0 – любой характеристический корень матрицы А и пусть его
кратность равна k0. Известно, что совокупность координатных строк всех
собственных векторов преобразования , относящихся к собственному значению
0, совпадает с совокупностью ненулевых решений системы линейных однородных
уравнений
(А – 0Е)Х = 0
(3)
Симметричность матрицы А позволяет написать здесь А вместо АТ. Из доказанных
выше
теорем
существования
ортогональной
матрицы,
приводящей
симметрическую матрицу А к диагональному виду, и единственности этого
диагонального вида вытекает, что для системы (3) всегда можно найти k0 линейно
независимых решений. Такую систему решений ищем известным методом, а затем
полученную систему ортогонализируем и нормируем.
Беря в качестве 0 поочерёдно все различные характеристические корни
симметрической матрицы А и учитывая, что сумма кратностей этих корней равна п,
получим систему из п собственных векторов преобразования , заданных их
координатами в базисе е. Для доказательства того, что это будет искомая
ортонормированная система собственных векторов, остаётся доказать лемму.
Собственные векторы симметрического преобразования , относящиеся
к различным собственным значениям, между собой ортогональны.
Пусть b  = 1b, с  = 2с, причём 1  2. Так как (b ,с) = (1b,с) = 1(b,с),
(b,с,) = (b,2с) = 2(b,с), то из (b ,с) = (b,с,) следует 1(b,с) = 2(b,с), или ввиду
1  2, (b, ,) = 0, что и требовалось доказать.