Тема урока: «Наибольшее и наименьшее значения функции». Урок по алгебре и началам анализа

Тема урока: «Наибольшее и
наименьшее значения
функции».
Урок по алгебре и началам анализа
В 10 классе.
Цель урока:
•проверить усвоение учащимися исследования
функций и построения графиков;
•ввести правило нахождения наибольшее и
наименьшее значения функции;
•сформировать у учащихся умение применять
алгоритм нахождения наибольшее и наименьшее
значения функции;
•рассмотреть применение метода поиска наибольших и
наименьших значений функции на примерах;
•развивать логическое мышление;
•воспитывать культуру речи учащихся, умение
наблюдать, обобщать и делать выводы.
Задачи урока:
закрепить вычислительные навыки;
продолжить работу над математической речью;
развивать навыки самостоятельной работы, работы
с учебником, навыки самостоятельного добывания
знаний;
продолжить
работу
над
развитием
самостоятельности
мышления,
мыслительных
операций: сравнения, анализ, синтез, обобщение,
аналогия;
развивать творческие способности учащихся.
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
Исследуйте функцию с помощью производной и
постройте её график.
у(х)=2х⁴+8/3 х³
у(х)=4х⁴-16/3 х³
Теорема Вейерштрасса
утверждает, что непрерывная на
отрезке функция f принимает на этом
отрезке наибольшее и наименьшее
значения, то есть существуют точки
отрезка , в которых f принимает на
этом отрезке наибольшее и наименьшее
значения.
Рисунок 1.
у
Рисунок 2.
Рисунок 3.
у
у
у наиб
унаиб
у
наиб
у
а
у
наим.
наим
в х
а
в
а
х
у
наим
в
х
Применяем производную при решении
прикладных задач по следующей схеме:
задача переводится на язык функции. Для этого
выбирают удобный параметр х, через который
интересующую нас величину выражают как
функцию f(x);
средствами анализа ищется наибольшее и
наименьшее значения этой функции на
некотором промежутке;
выясняется, какой практический смысл (в
терминах
первоначальной
задачи),
имеет
полученный (на языке функций) результат.
Наибольшее и наименьшее значения функции
На отрезке [а; в].
1) f‘(x₀);
2) f‘(x₀)=0 критические точки;
3) Выбираем х₀ принадлежащие [а; в];
4) Определяем f(a), f(b), f(x₀);
5) выбираем наибольшее и
наименьшее значения .
6)Ответ:max f(x)=f(x₀)=? min f(x)=f(x₀)=?
[а; в];
[а; в];
Текстовые задачи
(открытый промежуток).
1) Задаем переменную х по условию
задачи;
2) Задаем функцию по условию задачи;
3) Определяем интервал для х;
4) f‘(x₀);
5) f‘(x₀)=0 критические точки;
6) Выбираем х₀ принадлежащие (а; в);
7)определяем знаки производной в
отрытом промежутке (а; х₀) и (х₀; в).
8)Ответ:max f(x)=f(x₀)=? min f(x)=f(x₀)=?
[а; в];
[а; в];
Задача 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=х³-3х²-45х+1 на отрезке
[-4; 6].
D(y)=R.
1) у’=3х²-6х-45;
2) производная существует при всех значениях х, критические точки найдем из
условия у’=0;
3х²-6х-45=0;
х²-2х-15=0;
Х₁=-3 принадлежит [-4; 6].
Х₂=5 принадлежит [-4; 6].
х
-4
-3
5
6
у
69
82
-174
-161
Таким образом, у наим = - 174 (достигается в точке х=5).
у наиб =82 (достигается в точке х=-3).
Ответ: max y(x)=y(-3)=82, min y(x)=y(5)=-174 .
[-4;6]
[-4;6]
Задача 2.
Кусок проволоки длиной 48м сгибают так, чтобы образовался
прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Решение:
Пусть х м ширина прямоугольника, тогда (24-х) м длина прямоугольника.
х принадлежит (0;24).
Найти: S наиб .
S(x)=x(24-x)=24x-x²;
S’(x)=24-2x;
(0;12)
S’(x)=0; 24-2x=0; x=2 принадлежит(0;24).
S’(x)
+
S(x)
↗
12
(12;24)
max
_
144
↘
Ответ: наибольшее значение площади прямоугольника 144 м².
Самостоятельная работа в парах.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
У=1/2 х⁴-2х+3/2 на отрезке [-1;2].
Решение:
D(y)=R.
1) у’=2х³-2;
2) производная существует при всех значениях х, критические точки найдем из
условия у’=0;
2х³-2=0;
х³=1; х=1 принадлежит [-1;2].
х
-1
1
2
у
4
0
5,5
Таким образом, унаим. = 0 (достигается в точке х=1).
унаиб. = 5,5 (достигается в точке х=2).
Ответ: max y(x)=y(2)=5,5, min y(x)=y(1)=0 .
[-1;2]
[-1;2]
Число 4 представьте в виде суммы двух
неотрицательных
слагаемых
так,
чтобы
произведение этих чисел было наибольшим.
Пусть первое число х, тогда 4-х второе число.
х≥0 и 4-х≥0.
у(х) = х(4-х) наибольшее число, выраженное в виде
функции.
у(х)=4х-х²;
у‘(х)=4-2х;
у‘(х)=0;⇒х=2 принадлежит (0;4).
(0;2)
2
(2;4)
у‘(х)
+
У(х)
↗
max
↘
У(х)
возрастает
4
убывает
Ответ: 4=2+2.
-
Домашняя работа:
П.25. №: 305(в, г), 311.