Истинный балл

ЛЕКЦИЯ 3.
ПОНЯТИЕ НАДЕЖНОСТИ
В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЕСТОВ
Курс лекций проф. А. А. Алексеева
по психометрике

𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 + 𝑿 𝒆
Charles Edward Spearman
10 September 1863 –17 September 1945
КЛАССИЧЕСКАЯ

МОДЕЛЬ ИСТИННОГО БАЛЛА
Наблюдаемый балл как случайная величина
= 𝑿𝒕 + 𝑿𝒆 ,
где 𝑿𝒐 - наблюдаемый балл,
𝑿𝒕 - истинный балл,
𝑿𝒆 - ошибка измерения.
 𝑿𝒐
ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Истинный балл как математическое ожидание
случайной величины 𝑿𝒐
 𝑿𝒕

ИСТИННОГО БАЛЛА
= 𝑬𝑿 𝒐
Для дискретных случайных величин:
𝑵
𝑬𝑿 =
𝒙𝒊 𝒑𝒊
𝒊=𝟏

Для непрерывных случайных величин:
∞
𝑬𝑿 =
𝒙𝒇(𝒙)𝒅𝒙
−∞
ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОШИБКИ
Ошибка измерения как случайная величина
 𝑿𝒆

= 𝑿𝒐 − 𝑿𝒕
Среднее значение распределения ошибок
 𝑿𝒆
= 𝑬𝑿𝒆 = 𝑬 𝑿𝒐 − 𝑿𝒕
 𝑿𝒆
= 𝑬 𝑿𝒐 − 𝑬 𝑿𝒕
 𝑿𝒆 = 𝑬 𝑿𝒐 − 𝑿𝒕
 Так как 𝑬 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 , то 𝑿𝒆 = 𝑿𝒕 − 𝑿𝒕 = 𝟎.
АКСИОМЫ
КЛАССИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИСТИННОГО БАЛЛА
1. Среднее значение ошибок измерения в
генеральной совокупности испытуемых равно
нулю (𝑿𝒆 = 0).
 2. Корреляция между истинным баллом и его
ошибочным
компонентом
в
генеральной
совокупности испытуемых равна нулю (𝒓𝑻𝑬 = 0).
 3. Когда испытуемые выполняют два отдельных
теста и баллы каждого испытуемого по двум
тестам предполагаются случайно выбранными из
двух независимых распределений возможных
наблюдаемых
баллов, корреляция между
ошибочными компонентами баллов по этим двум
тестированиям равна нулю (𝒓𝑬𝟏𝑬𝟐 = 0).

Таблица 3.1а
ОТВЕТЫ НА ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ОПРОСНИК САМООЦЕНКИ
Испытуемый
(Xo)
(Xt)
(Xe)
Наблюдаемый
Истинный
Ошибка
балл
балл
Эшли
120
=
130
+
–10
Боб
145
=
120
+
25
Карл
95
=
110
+
–15
Дениза
85
=
100
+
–15
Эрик
115
=
90
+
25
Фелиция
70
=
80
+
–10
Среднее
105
105
0
Дисперсия
608,33
291,67
316,67
Стандартное
24,66
17,08
17,80
отклонение
Надежность
0,48
rot =
0,69
roe
0,72
= RXX =
=
Rte =
0,000
rot2
0,48
roe2
0,52
=
=
ДИСПЕРСИЯ
НАБЛЮДАЕМЫХ БАЛЛОВ
𝑺𝟐𝒐 = 𝑺𝟐𝒕 + 𝑺𝟐𝒆
𝑺𝟐𝒐 = 𝑺𝟐𝒕 + 𝑺𝟐𝒆 + 𝟐𝒓𝒕𝒆 𝑺𝒕 𝑺𝒆
𝒓𝒕𝒆 = 𝟎
𝑺𝟐𝒐 = 𝑺𝟐𝒕 + 𝑺𝟐𝒆
НАДЕЖНОСТЬ КАК ОТНОШЕНИЕ ДИСПЕРСИЙ
ИСТИННОГО И НАБЛЮДАЕМОГО БАЛЛОВ
(КОЭФФИЦИЕНТ
RXX
2
t
2
o
НАДЕЖНОСТИ)
s
291,67
 
 0,48.
s
608,33
Таблица 3.1б
ОТВЕТЫ НА ПЕРЕРАБОТАННЫЙ ОПРОСНИК САМООЦЕНКИ
Испытуемый
(Xo)
(Xt)
(Xe)
Наблюдаемый
Истинный
Ошибка
балл
балл
Эшли
135
=
130
+
5
Боб
130
=
120
+
10
Карл
95
=
110
+
–15
Дениза
85
=
100
+
–15
Эрик
100
=
90
+
10
Фелиция
85
=
80
+
5
Среднее
105
105
0
Дисперсия
408,33
291,67
116,67
Стандартное
20,21
17,08
10,80
отклонение
Надежность
0,71
rot =
0,84
roe
0,53
= RXX =
=
Rte =
0,000
rot2
0,71
roe2
0,29
=
=
НАДЕЖНОСТЬ КАК ОТСУТСТВИЕ ДИСПЕРСИИ
ОШИБКИ
НАДЕЖНОСТЬ КАК КВАДРАТ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ
НАБЛЮДАЕМЫМИ И ИСТИННЫМИ БАЛЛАМИ
НАДЕЖНОСТЬ КАК НУЛЕВОЙ КВАДРАТ КОРРЕЛЯЦИИ
МЕЖДУ НАБЛЮДАЕМЫМИ БАЛЛАМИ И ОШИБКОЙ
 𝑹𝑿𝑿
=𝟏−
𝒓𝟐𝒐𝒆 ;
Докажем, что 𝒓𝟐
𝒐𝒆
𝒄𝒐𝒆
; 𝒄𝒐𝒆
𝒔𝒐 𝒔𝒆
𝑿𝒐 −𝑿𝒐 𝑿𝒆 −𝑿𝒆
𝑵

𝒓𝒐𝒆 =

𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 + 𝑿𝒆 ; 𝑿𝒆 = 𝟎; 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 ;



𝒄𝒐𝒆 =
𝒓𝒐𝒆 =
=
=
𝑿𝒕 +𝑿𝒆 −𝑿𝒕 𝑿𝒆 −𝑿𝒆
𝑵
𝒄𝒐𝒆
𝒔𝒐 𝒔𝒆
𝑹𝑿𝑿 = 𝟏
=
𝒔𝟐𝒆
𝒔𝒐 𝒔𝒆
− 𝒓𝟐𝒐𝒆
=
𝒔𝒆
;
𝒔𝒐
=𝟏−
;
; 𝒄𝒐𝒆 = 𝒔𝟐𝒆 ;
𝒓𝟐𝒐𝒆 =
𝒔𝟐𝒆
𝒔𝟐𝒐
𝒔𝟐𝒆
.
𝒔𝟐𝒐
.
𝒔𝟐𝒆
;
𝟐
𝒔𝒐
СТАНДАРТНАЯ
 𝒔𝒆𝒎
ОШИБКА ИЗМЕРЕНИЯ
= 𝒔𝒆 ; 𝒔𝒆𝒎 = 𝒔𝒐 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿
 𝑹𝑿𝑿
=
𝒔𝟐𝒕
𝒔𝟐𝒐
=𝟏−
𝒔𝟐𝒆
;
𝒔𝟐𝒐
𝒔𝟐𝒆
 𝟐 = 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿 ;
𝒔𝒐
𝟐
𝟐
 𝒔𝒆 = 𝒔𝒐 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿
 𝒔𝒆
;
= 𝒔𝒐 𝟏 − 𝑹𝑿𝑿 .
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
ТЕСТЫ
(X
И
Y)
Условия параллельности тестов:
 𝑿𝒕 = 𝒀𝒕 ; 𝒔𝑿𝒆 = 𝒔𝒀𝒆 .
 Докажем, что 𝒓𝒙𝒚 = 𝑹𝑿𝑿 .
 Если 𝒔𝑿𝒆 = 𝒔𝒀𝒆 , то 𝒔𝑿𝒐 = 𝒔𝒀𝒐 = 𝒔𝒐;

 𝒓𝒙𝒚
 𝒓𝒙𝒚
=
=
 𝒄𝑿𝒕𝒀𝒆

𝒄𝒙𝒚
=
𝒄𝒙𝒚
=
𝒄𝒙𝒚
. Т.к. 𝑿𝒐 = 𝑿𝒕 + 𝑿𝒆 , то
𝒔𝒙 𝒔𝒚
𝒔𝒐 𝒔𝒐
𝒔𝟐𝒐
𝑪𝑿𝒕𝒀𝒕 +𝑪𝑿𝒕𝒀𝒆 +𝑪𝑿𝒆𝒀𝒕 +𝑪𝑿𝒆𝒀𝒆
𝒔𝟐𝒐
=
𝑪𝑿𝒕𝒀𝒕
𝒔𝟐𝒐
т.к.
= 𝒄𝑿𝒕𝒀𝒆 = 𝒄𝑿𝒆𝒀𝒆 = 𝟎 по определению.
Т.к. 𝑿𝒕 = 𝒀𝒕 , то 𝒄𝑿𝒕𝒀𝒕 =
𝒔𝟐𝒕
и 𝒓𝒙𝒚 =
𝒔𝟐𝒕
𝒔𝟐𝒐
= 𝑹𝑿𝑿