Да, путь познания не гладок. Но знайте вы со школьных лет:

Да, путь познания не
гладок.
Но знайте вы со
школьных лет:
Загадок больше, чем
разгадок.
И поискам предела
нет.
Задачи на
построение сечений
Научиться строить сечения в
правильных многогранниках и
решать задачи по данной теме.
Построение сечений широко
используется в строительном
деле, архитектуре,
машиностроении, геодезии, во
многих других областях науки и
техники.
Многогранником называется ограниченное
тело, поверхность которого состоит из
конечного числа плоских
многоугольников(граней многогранника, а
стороны и вершины многоугольников
называются соответственно рёбрами и
вершинами многогранника).
Выпуклый многоугольник –
это многогранник
расположенный по одну сторону
от плоскости каждой его грани.
Секущей плоскостью
называется плоскость, по обе
стороны от которой имеются
точки данного многогранника
Что такое сечение
Сечением многогранника плоскостью
является многоугольник, представляющий
собой множество всех точек пространства
принадлежащих одновременно данным
многограннику и секущей плоскости.
Секущая плоскость пересекает грани
многогранника по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого
являются эти отрезки, называется
сечением многогранника.
Найдите ошибку в построении
сечения
1. Метод параллельных прямых
2.Метод следов
3. Метод дополнения
4. Метод деления
5. Метод переноса секущей
плоскости
В основу метода положено свойство
параллельных плоскостей «Прямые, по
которым плоскость пересекает данные
параллельные плоскости, параллельны
между собой».
План построения сечений
методом параллельных
прямых
•
•
Соединить точки,
принадлежащие
одной грани
многогранника.
В параллельных
гранях построить
линии,
параллельные
данным
Решение задач на
метод
параллельных
прямых
Дано: ABCDA1B1C1D1 -куб с основаниями
Р Є AD ; AP=PD;
T Є DC; DT=TC
Построить: сечение плоскостью,
проходящей через точки Р,Т.
Построение:
1.Соединяем точки Е и Р, т.к. они
лежат в одной грани ABA1B1
2.Строим RF Є BCB1C1 параллельно ЕР
3.Соединяем F и Т, т.к. они
принадлежат одной грани
4.Соединяем Т и Р, т.к. они
принадлежат одной грани
5.Строим RK параллельно ТР
6.Соединяем К и Е,
т.к. они принадлежат
одной грани.
ABDCиB1B1C1D1
R
D1
C1
K
B1
A1
F
E
D
C
T
A
P
B
Дано:ABCDA1B1C1D1-куб
Т и М-середины рёбер A1B1иAD
.
B1
Построить: сечение плоскостью,
M
проходящей через точки Т,М иD1 .
Построение:
A1
1.Соединяем точки D1 и Т, М и D1 , т.к. они
лежат в одной грани по отношению друг к
другу.
2.Через точку Т проведём прямую ТЕ
B
параллельную D1 M.
E
плоскости .
3.Соединяем точки Е и М.
A
5. MD1TE -искомое сечение.
T
C1
D1
C
D
Сначала строят на основной плоскости след
секущей плоскости (причем за основную
плоскость принимают большей частью
плоскость основания геометрического
тела).Затем, используя след секущей
плоскости, находят точки встречи ребер
многогранника с секущей плоскостью.
Используя полученные ( и данные ) точки,
получают следы секущей плоскости на гранях
многогранника.
План построения сечений
• Способ следов
• Вначале строят на
основной плоскости след
секущей плоскости
(причем за основную
плоскость принимают
плоскость основания
геометрического тела)
План построения сечений
• Используя полученные ( и
данные ) точки, получают
следы секущей плоскости
на гранях многогранника
• Затем используя след
секущей плоскости,
находят точки встречи
ребер многогранника с
секущей плоскостью.
1. Построить
проекции
точек M, N, K
на плоскость
ABC.
2. MK∩M1K1=S,
MN∩M1N1=T.
3. ST-искомый
след.
1. Построим прямую МЕ,
по которой пересекаются
плоскости МNР и АВС.
2. Точка М является их
общей точкой.
3. Продолжим отрезки NР
и ВС до их пересечения в
точке Е.
4. Прямая МЕ пересекает
ребро АС в точке Q.
5.Четырёхугольник
МNРQ- искомое сечение.
D
P
N
E
C
B
Q
M
A
Задача
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с верхней
гранью ABCD на ребрах BC , AB, AA1
отмечены соответственно точки P, Q, N.
Постройте сечение плоскостью,
проходящей через данные точки.
Решение задачи
Q
В
С
P
А
D
L
N
B1
C1
M
O
A1
K
D1
PQ||KM
NK||PL
QN||LM
1. Двух точек
принадлежащих одной грани
нет.
2. Точка R лежит в
плоскости основания. Найдем
след прямой KQ на
плоскости основания:
- KQ∩K1Q1=T1, T1R-след
сечения.
3. T1R∩CD=E.
4. Проведем EQ. EQ∩DD1=N.
5. Проведем NK. NK∩AA1=M.
6. Соединяем M и R.
Задача
В тетраэдре ABCD на ребрах CD, DA и
AB отмечены точки P, N, Q. Построить
сечение плоскостью, проходящей через
данные точки.
Решение задачи
D
NPQ  ACD
P
NPQ  ABD
NPQ  ABC
N
NPQ  BCD
С
А
R
Q
В
Задача 2
В тетраэдре ABCD на ребре АВ отмечена
точка М. Постройте сечение тетраэдра
плоскостью, параллельной AC и BD и
проходящей через точку М.
Решение задачи
D
B
A
M
C
Задача
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через
точки B, B1 , D, D1 проведена плоскость, а
на грани AA1B1B обозначена точка М.
Постройте сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точку М и
параллельной плоскости B1D1DB
.
№3
№3
Решение задачи
B1
A1
C1
D1
M
B
A
C
D
Самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
Решения варианта 1.
M
M
P
N
P
M
N
N
P
Решения варианта 2.
N
M
N
M
P
P
N
P
M
Домашнее задание:
Придумайте по две задачи на
построение сечения куба и
тетраэдра плоскостью.