(518.9 КБ)

Топологические пространства
•
•
•
•
Топология, топологическое пространство
База топологии, сепарабельность
Аксиомы отделимости
Компактность
Учебник: А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин
Элементы теории функций и функционального
анализа. §5,6, с. 83-105
Топология, топологические пространства
Пусть Х – множество.
Опр. Cистема подмножеств τ называется топологией в Х
если удовлетворяет условиям:
1) 𝑋, ∅ ∈ 𝜏;
2) Объединение любого числа множеств из τ принадлежит
τ;
3) Пересечение любого конечного числа множеств из τ
принадлежит τ.
Опр. Топологическое пространство – множество с
заданной в нем топологией 𝑇 = 𝑋, 𝜏 .
Любое множество принадлежащее τ – открытое.
Топология, топологические пространства
Окрестностью точки 𝑥 ∈ 𝑋 топологического пространства T
назовем любое открытое множество, содержащее х.
х – точка прикосновения 𝑀 ∈ 𝑇, если любая окрестность х
содержит хотя бы одну точку множества М.
х – предельная точка 𝑀 ∈ 𝑇, если любая окрестность х
содержит хотя бы одну точку множества М отличную от х.
Замыкание множества М – [𝑀] - совокупность всех точек
прикосновения множества.
𝔜 − база топологии пространства 𝑇 − совокупность
открытых подмножеств, таких что любое открытое
множество из 𝑇 есть объединение конечного или
бесконечного числа множеств из 𝔜.
Топология, топологические пространства
Теорема 1. Для того чтобы система подмножеств 𝔜 = 𝐺𝜏
была базой необходимо и достаточно, чтобы 𝔜
удовлетворяла условиям 1) и 2).
1) Любая точка пространства содержится в хотя бы одном
открытом множестве 𝐺𝜏 ;
2) Если 𝑥𝜖 𝐺1 ∩ 𝐺2 , то ∃𝐺3 ⊂ 𝐺1 ∩ 𝐺2 : 𝑥 ∈ 𝐺3 .
Пространства со счетной базой – пространства в которых
существует хотя бы одна база, состоящая из не более чем
счетного числа множеств.
Пространства со счетной базой – сепарабельные
пространства.
Компактность топологических пространств
Система множеств 𝑀𝛼 - покрытие множества X, если 𝑋 ∈
покрытия, являющееся покрытием 𝑇 = 𝑋, 𝜏
называется подпокрытием.
𝛼
𝑀𝛼 . Часть
Лемма Гейне-Бореля. Из всякого открытого покрытия отрезка
можно выделить конечное подпокрытие.
Опр. Топологическое пространство Т называется компактным,
если любое его открытое покрытие содержит конечное
подпокрытие.
Опр. Система подмножеств 𝑀𝛼 множества Т – центрирована, если
любое конечное пересечение членов системы непусто.
Теорема1. Топологическое пространство 𝑇 = 𝑋, 𝜏 компактно
тогда и только тогда, когда каждая центрированная система его
замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.
Аксиомы отделимости
1. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑇 ∃𝑂𝜀1 𝑥 : 𝑦 ∉ 𝑂𝜀1 𝑥 и ∃𝑂𝜀2 𝑦 : 𝑥 ∉ 𝑂𝜀1 𝑦 .
2. Любые две различные точки пространства Т имеют
непересекающиеся окрестности (хаусдорфова аксиома
отделимости). T – хаусдорфово пространство.
Опр. Окрестность множества М – любое открытое
множество, содержащее М.
3. Любая точка х и не содержащее ее замкнутое множество
имеют непересекающиеся окрестности.
4. Аксиома нормальности. Пространство нормально, если в
нем всякие непересекающиеся множества имеют
непересекающиеся окрестности.
Опр. Компактное топологическое пространство,
удовлетворяющее аксиоме хаусдорфовости – компакт.
Компактность топологических пространств
Свойства:
1. Если Т компактное пространство, то каждое его бесконечное
подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.
2. Замкнутое подмножество компактного пространства –
компактно.
3. Замкнутое пространство компакта – компакт.
4. Компакт замкнут в любом содержащем его хаусдорфовом
пространстве.
5. Всякий компакт – нормальное пространство.
6. Непрерывный образ компактного пространства компактен.
7. Пусть Т – компактное пространство, f непрерывная числовая
функция, тогда f ограничена на Т и достигает на Т своих
верхней и нижней граней.