определением понятия

Методика
изучения
математических
понятий
Понятие — это мысль, фиксирующая признаки
отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющих
отличить эти предметы и явления от смежных с ними.
Понятие — это форма мышления о целостной
системе существенных свойств объектов реального мира.
Математические понятия отражают в нашем
мышлении
определенные
формы
и
отношения
действительности, абстрагированные от реальных
ситуаций.
Основными характеристиками понятия являются его
содержание и объём.
Содержание
понятия
–
это
множество
существенных (характеристических) свойств данного
понятия, которые выделяют этот объект из множества
других.
Множество
объектов,
которые
обладают
характеристическими свойствами понятия, называется
объёмом понятия.
Словесное описание содержания понятия называется
определением понятия. Т.е. определение понятия —
предложение, раскрывающее содержание (смысл) этого
понятия.
Выбор формулировки определения понятия зависит от
построения теории, т.к. характеристические свойства
объекта,
входящие
в
содержание,
выбираются
неоднозначно. Главное чтобы они были необходимыми
достаточными для этого объекта.
Существуют
различные
способы
определения
математических понятий. Наиболее распространённый:
через род и видовые отличия.
Тогда логическая структура определения иметь вид:
В = { х / х А и Р(х)},
где В — множество объектов х, таких, что каждый их них
берётся из множества объектов А (родового класса), и
обладает видовыми отличиями Р, т.е. удовлетворяет
указанным условия (свойствам).
Если видовых отличий Р несколько, то
логическая связь между ними может быть:
- конъюнктивной,
- дизъюнктивной,
- смешанной (в том числе содержащей
кванторы: «для любого», «существует»).
В свою очередь, можно указать различные
способы задания видовых отличий Р:
а) перечислением некоторого набора свойств
(биссектриса угла);
б)
конструктивно,
указанием
способа
построения (цилиндрическая поверхность);
в) индуктивно (арифметическая, геометрическая
прогрессии);
г) через отрицание (скрещивающиеся прямые).
Существуют определённые требования к
определениям математических понятий:
 определение
должно
иметь
форму
категоричного суждения, об определении не
имеет смысла говорить, истинно оно или ложно;
 определение должно быть соразмерным, в нём
должны
быть
существенные
признаки,
необходимые и достаточные для того, чтобы
отличить определяемое понятие от всех других
понятий;
Существуют определённые требования
определениям математических понятий:
к
 определение должно быть минимальным, не
содержать излишних требований;
 определение не должно содержать порочного
логического круга (тавтологии). Например, прямым
углом называется угол, содержащий 900;
 при введении с помощью определений системы
понятий необходимо избегать омонимии –
использования одного и того же термина в разных
смыслах;
Существуют определённые требования к
определениям математических понятий:
 логически определение есть формула, из
которой нельзя убрать и к которой нельзя
добавить ни одного слова;
 определение нельзя подменять его признаком,
т.е. в определении должно быть слово
«называется».
Методологические знания и умения, которые должны
усваивать школьники при изучении определений понятий:
– понятие определения, виды определений, их логическая
структура, смысл входящих в них кванторов;
– понятие корректности определения;
– генезис образования понятия, его термина и символа;
– требования, предъявляемые к определению понятия;
– способы работы с определением понятия: действия
подведения под понятие и выведения следствий;
– умение проводить классификацию, систематизацию
понятий;
– понимание
необходимости
доказательства
существования понятия.
А
- Какие геометрические фигуры вы знаете?
- Какие виды углов вы знаете?
- Постройте их?
p1
p2
q1
q2
p4
p3
q3
q4
Б
1
p1
t4
r4
6
p5
r5
q5
p4
4
q3
5
q2
r2
p3
r3
p2
t2
q1
r1
3
2
t1
r6
p6
q6
q4
r7
q7
p7
7