Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе «Логарифмы. Логарифмические уравнения». Цели урока: 1. Образовательные – отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмической функции; применять их при решении логарифмических уравнений; уметь применять различные методы решения логарифмических уравнений. 2. Развивающие – развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся. Формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию исследовательской и творческой деятельности учащихся. 3. Воспитательные - формирование познавательной активности. Воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в математике не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту. (Слайд 2). Оборудование: интерактивная доска, памятки, формулы–справочники; карточки с заданиями; листы самооценки. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний Ход урока Организационный момент а) Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и очень нужный предмет. Для того, чтобы выполнить все задания, вы должны уметь применять все приобретенные знания по логарифму, поэтому эпиграфом нашего урока будут слова: «Усердие все превозмогает». б) Объявление темы урока, его цели: Сегодня на уроке мы будем повторять. Все свойства логарифмов подробно вспоминать. Логарифмические уравнения с О.Д.З. решать. Задания ЕГЭ С части разбирать. (Слайд3). На столе у каждого ученика лежит лист самооценки. После каждого этапа урока я рекомендую вам его заполнять. Лист самооценки Фамилия, имя ____________________________________________________ № п/п Этапы работы Достижения 1 Устная работа 1 балл. Воспроизведение опорных знаний 2 Исследовательская работа 6 баллов. Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их О.Д.З. Диктант По 1 баллу за верное выполнение каждого задания, max17 баллов. Знание свойств логарифмической функции Самостоятельная работа 1-4 балла. Умения учащихся применять разные методы при решении логарифмических уравнений 3 4 5 6 Логарифмический софизм 2˃3 2 балла. Дополнительное задание 2-9 баллов. Количество баллов Умения учащихся применять свойства логарифмов Работа поискового характера. Умение решать нестандартные уравнения. Итоговое количество баллов ____ Критерии оценивания: «3» 10 – 15 баллов, Оценка ____ «4» 16 – 30 баллов, «5» более 30 баллов. (Слайд 4). Актуализация знаний logab=x ⟺ ax= b, a˃0, a≠1, b˃0. Логарифмом b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Значение основания a должно быть a˃0 и a≠1. Число b принимает положительные значения. Логарифм по основанию 10 называется десятичным. Логарифм по основанию e называется натуральным. Примеры: (Слайды5,6). Сколько красивых формул в этой теме встречаем! Свойства логарифмов (Слайд 7). График логарифмической функции (Слайд 8). Устная работа Ребята, вам даются задания, которые вы должны выполнить. Получив ответы к каждому заданию, внизу таблицы выберите свои ответы и рядом с заданием, в пустые клеточки впишите соответствующие значения букв. № п/п 1 2 3 4 5 выражения ответы 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝐥𝐨𝐠 𝟔 𝟏𝟐-𝐥𝐨𝐠 𝟔 𝟐+3 𝟏𝟎𝐥𝐠 𝟎,𝟔 𝟑𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟒 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟒 (Слайд 9). Н 3 Ю 0 Б 1 Е 4 П 0,6 Г 0,5 Т 5 И 49 В -3 Р 2 Историческая справка. Джон Непер. Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц». (Слайд 10). Исследовательская работа. «Исследование влияния преобразований логарифмических выражений на их область допустимых значений» 1. Найдите ОДЗ уравнения log5(3x – 2) + log5(x – 7) = 2 + log52. 2. Преобразуйте уравнение, используя свойства логарифмов. 3. Найдите ОДЗ полученного уравнения и сравните её с исходной. Как изменилась ОДЗ (расширилась или сузилась)? 4. Решите уравнение. 5. Выполните проверку. Дайте ответ. 6. Появились ли в ходе решения посторонние корни? Объясните причину их появления. (Слайды11, 12). Вопросы: 1).Что происходит с ОДЗ при замене log2(x(x+3)) на log2x + log2(x +3)? 2).Что происходит с ОДЗ при обратной замене? 3).В каком случае могут потеряться корни? 4).В каком случае могут образоваться посторонние корни? Учащиеся высказывают свою гипотезу. Решение 1. log5(3x – 2) + log5(x – 7) = 2 + log52. О.Д.З. 5. Проверка: х > 𝟕, х − 𝟕 > 𝟎, 𝟐 { { х> 𝟕. при х=9 х>𝟑 𝟑х − 𝟐 > 𝟎 log525+log5(9 – 7)= 2 + log52 - верное равенство; Ответ: (7;+∞). х=9 – корень уравнения; 2. log5(3x – 2)(х-7) = log525+ log52 log5(3x – 2)(х-7) = log550. 𝟏 𝟐 при х=-1𝟑 3. О.Д.З. (3x – 2)(х-7)˃0, х˂𝟑 или х>7. 𝟏 𝟐 log5(-1𝟑 – 7) – не существует; Ответ:(−∞; 𝟑)∪(7;+∞). 𝟏 х=-1𝟑 – посторонний корень. Вывод: О.Д.З. расширилась. Ответ:9. 4. (3x – 2)(х-7) =50; 3х2-2х-21х+14=50; 3х2-23х-36=0; 6. Посторонний корень появился в 𝟏 результате расширения О.Д.З. Д =312; х1=-1𝟑, х2=9. Ответы: 1) ОДЗ сужается. 2) ОДЗ расширяется. 3) При сужении ОДЗ. 4) При расширении ОДЗ. (Слайды 13, 14). Коллективное обсуждение полученных результатов. Формулировка выводов. Вывод: Некоторые формулы действий с логарифмами обладают тем свойством, что при их использовании О.Д.З. уравнения либо расширяется, либо – сужается. И если первую ситуацию легко исправить проверкой истинности равенства для найденных решений, то вторая ситуация совершенно недопустима, так как может привести к потере решений. (Слайд 15). ( Слайд 7). Диктант по свойствам логарифмической функции 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Логарифмическая функция у = logax определена при любом х Функция у = logax определена при а > 0, а ≠1, х > 0 Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел + + Логарифмическая функция – четная Логарифмическая функция – нечетная + Функция у = logax – возрастающая при а >1 Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0) + График функции у = log аx пересекается с осью ОХ График логарифмической функции находится лишь в верхней полуплоскости График логарифмической функции симметричен относительно ОХ + График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0) + График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях Существует логарифм отрицательного числа + Существует логарифм дробного положительного числа График логарифмической функции проходит через точку (0; 0) (Слайды 16-18). Виды логарифмических уравнений и способы их решения (Слайд 19). 1) Простейшие логарифмические уравнения: log а x = b. b Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. х = а и х > 0. 2) Уравнения вида log а x = log а у. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем выражения под логарифмами х = у , x˃0, y˃0 . 3) Уравнения квадратного вида log 2а x + log а x + c = 0. Уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. 4) Уравнения вида 𝒂𝑥 = 𝒃. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию а. 5)Уравнения, которые можно привести к простейшим, используя свойства логарифмов. 6) Графический способ 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙=f(x). Строятся графики функций, расположенных в левой и правой частях уравнения и указывается корень уравнения. 7) Метод оценки границ. Определяются границы значений всех функций, указанных в уравнении. Самостоятельная работа а) Решите уравнение 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝐬𝐢𝐧 х-𝐬𝐢𝐧 𝟐х+27)=3 𝟕𝝅 б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 𝟐 ; −𝟐𝝅]. (Слайд 20). Решение а) 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝐬𝐢𝐧 х-𝐬𝐢𝐧 𝟐х+27)= 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐𝟕; х-любое; 𝐬𝐢𝐧 х − 𝐬𝐢𝐧 𝟐х+27=27; 𝐬𝐢𝐧 х −2𝐬𝐢𝐧 х 𝐜𝐨𝐬 х=0; 𝐬𝐢𝐧 х(𝟏 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬 х)=0; 𝟏 𝐬𝐢𝐧 х = 𝟎 или 𝐜𝐨𝐬 х=𝟐; х=πn, Ответ: а) х=πn, б) -3π; 𝝅 х=± 𝟑 +2πк, к𝝐𝐙. n𝝐Z; 𝝅 х=±𝟑 +2πк, к𝝐𝐙. n𝝐Z; − 𝟕𝝅 ; 𝟑 -2π. (Слайд 21). Логарифмический софизм 2>3 (Слайд 22). Рассмотрим верное неравенство: 1/4 >1/8. Преобразуем его к виду: (1/2)2>(1/2)3, Большему значению соответствует больший логарифм, значит: lg (1/2)2>lg(1/2)3. По свойству логарифма: 2 lg(1/2)>3 lg(1/2). После сокращения на lg(1/2) имеем: 2>3. В чем состоит ошибка этого доказательства? Решение: (Слайд 23). Ошибка в том, что при сокращении на lg1/2 не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg1/2 есть число отрицательное. Домашнее задание: Найдите ошибки! Раздать карточки (Слайд 24). 𝟐 Решите уравнение № 1 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝒙 + 𝟖х + 𝟏𝟔)=2. Решение: 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒)2=2; 2 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒) = 𝟐; 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒) = 𝟏; х+4=3; Решите уравнение № 2 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟑х + 𝟐) + 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (х + 𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝟐х + 𝟒). Решение: 1) 𝟑х + 𝟐˃𝟎, 𝟐) х + 𝟐˃𝟎, 𝟑) 𝟐х + 𝟒˃𝟎; 𝟐 𝟐 х˃− 𝟑, х˃-2, х˃-2. Значит, х˃− 𝟑. 2)3х+2+х+2=2х+4; 4х+4=2х+4; х=0 Решите уравнение № 3 Решение: 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐х+𝟏 х 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х=-1 Ответ: -1 . Ответ: 0. 𝟐х+𝟏 х =𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏)+𝐥𝐨𝐠 𝟏 х. = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) + 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟏 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝟐х + 𝟏) = 𝐥𝐨𝐠 𝟑( х + 𝟏), 𝟐х + 𝟏 = х + 𝟏, х + 𝟏˃𝟎, х = 𝟎, х˃-1, , 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝟐х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х, 𝟐х + 𝟏˃𝟎; 𝟏 х˃− 𝟐. 𝟏 Значит, х˃− 𝟐. Решите эти уравнения правильно. Ответы домашней работы : Ошибки в уравнении №1 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒)2=2 неравносильно 2 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒) = 𝟐, так как 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( х + 𝟒)2=2 𝐥𝐨𝐠 𝟑|х + 𝟒|. 2 𝐥𝐨𝐠 𝟑 |х + 𝟒| = 𝟐, 𝐥𝐨𝐠 𝟑 |х + 𝟒| = 𝟏, |х + 𝟒| = 𝟑, х+4=-3 или х+4=3, х=-7 или х=-1. Ответ: 0. О.Д.З. х≠-4, Ответ: -7; -1. Ошибки в уравнении №2 Пункт 4) 3х+2+х+2=2х+4 - неверный; (𝟑х + 𝟐)(х + 𝟐) = 𝟐х + 𝟒; 3𝒙𝟐 + 𝟖х + 𝟒= 𝟐х + 𝟒; 𝟐 х=0 или х=-2, 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟐х+𝟏 𝟐х+𝟏 х но х˃− 𝟑. 𝟐х+𝟏 х+𝟏 х х =𝐥𝐨𝐠 𝟑 3𝒙𝟐 + 𝟔х=0; х(х+2)=0; Значит, х=0. Ответ:0 Ошибки в уравнении №3 ⇎ 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х, возможно сужение О.Д.З. переменной х. = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) + х 3𝒙𝟐 + 𝟖х= 𝟐х; 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟏 𝟑 ; 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ; 𝟐х+𝟏 х+𝟏 х = х ; 𝟐х+𝟏 х =𝐥𝐨𝐠 𝟑 (х + 𝟏) − 𝐥𝐨𝐠 𝟑 х; 𝟐х+𝟏−х−𝟏 х =0; 𝟏 = 𝟎; но 1≠0. Ответ: нет решений. (Слайд 25). Ода логарифму Сегодня тема: логарифмы. И это вам совсем не рифмы, Не повесть это, не рассказ, То - математика! Весь сказ! Что логарифмом называем? Так-так, так-так… Опять не знаем?! Кто "показатель" там сказал? Ну, молодец! Ты угадал! Чего, скажите, коль не трудно? Кто там шепнул: «О, как занудно»?! Конечно, степени, друзья. Что возвести должна всё ж я? О, нет: не икс, не бэ, конечно. Перебирать что ль бесконечно? Так и урок пройдёт опять. Так кто же хочет всё же пять? «Я знаю! Это - основанье!», Вдруг слышу гордое признанье. Внезапно зазвенел звонок… Ура! Закончился урок! (Слайд 26). В заключении урока я хочу вам прочитать высказывание: «Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись – радовать глаз, Поэзия – пробуждать чувства, Философия – удовлетворять потребности разума, Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, А математика способна достичь всех этих целей». Так сказал американский математик Морис Клайн. (Слайд 27). Итоги урока 1.Вычисление итогового количества баллов . 2.Самооценка своей работы на уроке. 3.Сдача листов самооценки. (Слайд 28) Мы систематизировали, обобщили свойства логарифмической функции. Показали свои знания, умения теме «Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства». Итак, подведем итоги урока. Лист успеха обучающегося Рефлексия по Фамилия, имя_______________ Вид работы Мнение ученика Устная работа Исследовательская работа Диктант Самостоятельная работа Логарифмический софизм Дополнительное задание Итог Можешь ли воспроизвести опорные знания? Владеешь ли элементами исследования? Можешь ли рассказат ь другим? Все ли понятно? Было ли интересно? Было ли трудно? Итоговое мнение (Слайд 29). С какими трудностями вы встретились? Что помогло? (Опорные конспекты …) Что было сегодня необычного? Что понравилось? Что взяли с урока? Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок? (Слайд 30). Дополнительное задание сильные учащиеся, которые выполняют самостоятельную работу быстрее других, решают задания по карточкам. Задание № 1 Задание № 2 Задание № 3 (2 б.) 𝐥𝐨𝐠 𝟒 (𝟏𝟔 − 𝟐х) 𝟑 𝟑 √𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х − √𝐥𝐨𝐠 𝟐 х − 𝟔 = 𝟎 (3 б.) 𝐥𝐨𝐠 √𝒙𝟐 −𝟏 (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒х + 𝟐)=2 (4 б.) (Слайд 31). Решения 1. 𝐥𝐨𝐠 𝟒 (𝟏𝟔 − 𝟐х)=2log43; О.Д.З. 16-2х˃0; х˂8; (16-2х=9; 2х=7; х=3,5 - удовлетворяет О.Д.З. ;8); Ответ: 3,5. 2. 𝟑√𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х − 𝟑√𝐥𝐨𝐠 𝟐 х − 𝟔 = 𝟎; 𝟑 𝟑 О.Д.З. х˃0; √𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х = √𝐥𝐨𝐠 𝟐 х − 𝟔 ; 2𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟔 х=𝐥𝐨𝐠 𝟐 х-6; 𝐥𝐨𝐠 𝟐 х=2𝐥𝐨𝐠 𝟐 х-12; 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟐 х =𝐥𝐨𝐠 𝟐 х-6; 𝐥𝐨𝐠 𝟐 х=12; 𝟒 х=𝟐𝟏𝟐 − удовлетворяет О.Д.З. х=4096. Ответ: 𝟐𝟏𝟐 = 𝟒𝟎𝟗𝟔. 𝟑. 𝐥𝐨𝐠 √𝒙𝟐 −𝟏 (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒х + 𝟐) = 𝟐; О.Д.З. Так как х2-1˃0, х2-1≠1, х2-2х+1˃0, то |х|˃1 и |х|≠√𝟐. 2х2-4х+2= х2-1; х2-4х+3=0; х=1 или х=3. х=1-не удовлетворяет О.Д.З. х=3- удовлетворяет О.Д.З. Ответ: 3. (Слайды 32-35). Спасибо за работу на уроке! (Слайд 36).