Document 5110181

Ребята, на прошлом уроке мы изучили свойства корня n-ой
степени, сегодня мы с вами посмотрим, как применять эти свойства на
практике при решении различных задач которые могут вам встретиться.
Давайте сделаем небольшую памятку из свойств наших
корней:
Используя наши формулы, мы
можем
преобразовывать
выражения
содержащие
радикалы (операция извлечения
корня),
такие
выражения
называются иррациональными.
Пример. Упростить выражение:
а)
б)
Решение.
а)
Подкоренное выражение приведем к виду:
Тогда используя формулу два, из нашей памятки, исходное выражение
примет вид:
Полученное нами выражение считается более простым, так
как под знаком корня более простое выражение. Преобразование такого
вида называется – вынесением множителя за знак радикала.
б)
Воспользуемся формулой 4:
Преобразуем полученное выражение тем же методом что и в
первом примере:
При вынесении множителя за знак радикала следует
обратить особое внимание на знак выносимого множителя, в
случае четных степеней он может быть как положительным так
и отрицательным.
Давайте рассмотрим вот такой пример:
О знаке числа х мы ничего не знаем, преобразовав наше
выражение получим:
На самом деле эта запись неверная, повторимся, что о знаке
числа х мы ничего не знаем - как же быть?
Для того чтобы быть уверенным что ответ правильный лучше
записать наш ответ в таком виде:
Обобщенная формула для корней с четным показателем
будет выглядеть так:
Ребята, мы рассмотрели с вами операцию вынесения множителя за
знак радикала, но существует и обратная операция – внесения множителя под
знак радикала.
Пример.
Сравнить числа
и
Решение.
Мы знаем:
Преобразуем исходное выражение:
Показатели корней обоих выражений одинаковые, тогда число больше, у
которого
больше
подкоренное
выражение.
В
нашем
случае:
Ответ:
Пример.
Упростить выражение
Решение.
Внесем выражение, содержащее третью степень под знак корня
Воспользуемся
записать в таком виде:
Ответ:
формулой
5,
исходное
выражение
можно
Пример.
Выполнить действия:
а)
б)
Решение:
а) Воспользуемся формулой разности квадратов:
Теперь давайте упростим полученное нами выражение, воспользуемся
формулой 6 нашей памятки:
Ответ:
б) Давайте внимательно посмотрим на наше выражение, можно
заметить, что оно очень похоже на формулу разности кубов, давайте ее и
применим:
Пример. Выполнить действия:
Решение.
Перемножать можно только корни одной и той же степени,
давайте приведем наши выражения к одинаковому показателю корня.
Упростим получившиеся выражение:
Обратим внимание на то, что показатель корня наших выражений –
четный, а это значит, что подкоренное выражение содержит только
положительные числа, то есть a≥0, но тогда |a|=a.
Ответ:
Пример. Выполнить действия:
Решение.
Наш пример можно решить двумя способами,
рассмотрим каждый из способов:
1 способ. Приведем первый множитель к 4ой степени:
Перемножим радикалы:
давайте
2 способ.
Посмотрим на подкоренное выражение во втором множителе:
Тогда мы можем преобразовать множитель в целом:
Преобразуем все выражение:
Ответ:
Пример.
Разложить на множители выражение:
Решение.
Перепишем исходное выражение в виде:
(квадрат разности)
Ответ:
Пример.
Сократить дробь:
Решение.
1 способ.
Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:
Сократим получившиеся выражение:
2 способ.
Введем замену переменных.
Пусть
Тогда
Ответ:
Замена переменных часто упрощает ход решения, так как
работать с рациональными выражениями гораздо проще и привычней
чем с иррациональными.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Упростите выражение:
а)
б)
2. Сравнить числа
и
3. Упростите выражение:
4. Выполнить действия:
а)
б)
5. Разложить на множители выражение:
6. Сократить дробь: