«Применение математических методов при определении формы и оптимальных геометрических параметров для функционирования космического беспилотного аппарата» Авторы исследования, ученицы 11 класса «А»: Туркова Мария Лобанова Анна Руководитель исследования, учитель математики: Полушина Елена Александровна Актуальность: Точные расчеты размеров летательных аппаратов являются необходимым условием при их проектировании и создании. Гипотеза исследования: Если создать математическую модель, то можно решить задачу оценивания параметров летательного аппарата и по результатам обработки измерительной информации рассчитать возможности функционирования в ожидаемом режиме. Цель исследования: применить математические методы для определения формы, оптимальных параметров и принципов работы модели космического модуля. Задачи исследования Выбор формы модели. Определение центра масс. Определение оптимальных параметров модели. Выполнение расчетов для функционирования космического аппарата в ожидаемом режиме. Выбор геометрической формы летательного аппарата Определение положения центра масс сплошного однородного конуса высотой Н: Выбор оптимальных параметров модели 2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 0 Рассмотрим площадь поверхности как функцию зависимости от угла ∝ 𝑆 𝑥 = 𝜋2𝑅𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝ 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝜋𝑅𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 Найдем производную этой функции: 𝑆 / 𝑥 = 2𝜋𝑅2 𝑠𝑖𝑛/ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝜋𝑅2 (𝑐𝑜𝑠2𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) Найдем критические точки функции: решив уравнение 𝑆 / (𝑥)=0 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0, 0 <∝< 𝜋 2 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1, 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3, −1 ∝= 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 3 1 3 1 = 3 R – расстояние от вершины внешнего корпуса до центра тяжести, образующая поверхности внутреннего конуса. α – угол при основании осевого сечения внешнего конуса. Расчет рикошета фрагментов КМ о щит космического аппарата Определим возможность утилизации мусора при рикошете (рассматриваем удар как абсолютно упругий) В первом приближении примем, что мусор движется по орбите, близкой к круговой: Vм R 7,673 103 м с Гравитационная постоянная Земли: м3 3.986 10 2 с 14 Радиус Земли: Rз 6,3711014 м Для определения скоростей аппарата и мусора после удара, запишем уравнения закона сохранения импульса и энергии: Va1 ma cos(1 ) Vм 2 mм sin(2 ) Va ma Vм mм 2 Va1 sin(1 ) Vм1 mм sin(2 ) 0 2 Va12 ma Vм 2 2 mм Va 2 ma Vм 2 mм Расчет скатывания фрагментов КМ по щиту КА Скорость космического мусора после скатывания: м Vм 7,673 10 R с Направление скорости: 40 3 Вывод: Принимая во внимание все проведенные нами исследования, можно заключить, что оптимальной моделью летательного аппарата может быть тело, имеющее форму двояковыпуклого конуса, состоящего из двух корпусов: внешнего и внутреннего. При этом вершины внутреннего тела должны совпадать с центрами масс наружного корпуса, и расстояние от вершины до центра масс должно ровняться образующей внутренней конической поверхности. Для достижения наибольшей площади поверхности, угол наклона внешней образующей к плоскости большого сечения должен равняться ∝ 1 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 , тогда при r=5 м (большого сечения), масса аппарата будет не более 20 тонн, и он 3 сможет изменять орбиту фрагментов космического мусора массой до 1 кг, при взаимодействии под углом 40 (+- 5 градусов) к радиус-вектору скорости движущейся частицы.