Презентация_2.2

Радиоавтоматика
Для студентов, обучающихся по направлению «Радиотехника»
Материалы для сопровождения лекций
Типы звеньев САУ
Иллюстративный материал к лекциям по
Радиоавтоматике
Автор Самусевич Г.А.
2012 г.
Типовые звенья
•
•
•
•
•
Идеальное усилительное звено
Идеальное интегрирующее звено
Инерционное звено
Форсирующее звено
Колебательное звено
Идеальное усилительное звено
• W(s) = k; k – безразмерный коэффициент
усиления.
• АФХ звена вырождается в точку с координатой
(k,0) на вещественной оси комплексной
плоскости.
• ЛАХ звена: L(ω) = 20lg(k) = const, ϕ(ω) = 0.
• График функции L= L(ω) – прямая, параллельная
оси частот, проходящая на уровне 20lg(k) ; график
функции ϕ = ϕ(ω) совпадает с осью частот.
Идеальное интегрирующее звено
k 1
1
W(s)   , k 
s sT
T
• где k – коэффициент усиления, его
размерность [k] = (радиан в секунду),
• T – постоянная времени звена, [T] = с.
Идеальное интегрирующее звено
• Комплексный коэффициент передачи звена
K ( jω)  W (ω) s jω 
1
1
j
jωT
ωT
0ω
1

A(ω) 
, (ω)  90
ωT
L(ω)  20lg (ωT )
   lgω  
Интегрирующее звено. АФХ
Im
ω=∞
Re
ω
Рис. 2.4. АФХ интегрирующего звена
Интегрирующее звено
• График L = L() логарифмической амплитудночастотной характеристики интегрирующего
звена (учитывая логарифмический масштаб по
оси ) представляет собой прямую с наклоном
– 20 дБ/дек во всей области частот (0  <),
пересекающую ось  на частоте  = k. (Наклон
-20 дБ/дек означает, что при увеличении частоты
в 10 раз (на декаду) величина L() уменьшится на
20 дБ).
Интегрирующее звено
• Логарифмическая фазочастотная
характеристика во всей области частот
равна ()  – 90.
• На рис. 2.5 точно один под другим
изображены графики ЛАХ интегрирующего
звена.
ЛАХ идеального интегрирующего
звена
Инерционное звено
• Передаточная функция
k
W ( s) 
1  sT
• k – безразмерный коэффициент усиления, для идеального
инерционного звена k = 1, при k≠1 звено (2.41)
представляет совокупность усилительного и идеального
инерционного звеньев.
1
• T – постоянная времени звена, [T] = с.

T
Значения параметров k и T для инерционного звена
не зависят друг от друга.
Комплексный коэффициент
передачи
k
kT
k
=
 j
K ( j) 
2 2
1  j 1   2T 2
1  T
0  
Im
ω=∞
K ω=0
Re
ω
Рис. 2.6. АФХ инерционного звена
ЛАХ инерционного звена
A() 
,
k
1  T
2
2
()  arctg (T )
2 2
L()  20lg (k )  20lg 1   T
L() = 20lg(A())=
1

0, 0    T

1
 20  lgT ,


T
() = – arctgT
• График асимптотической амплитудночастотной характеристики L = L()идеального
инерционного звена представляет
• собой ломаную линию, совпадающую с осью  в
диапазоне изменения частот 1
от нуля до
частоты сопряжения con = T и прямую,
имеющую наклон – 20 дБ/дек, для частот,
больших частоты сопряжения
ЛАХ инерционного звена
График ФЧХ инерционного звена
• строится в соответствии с данными табл.1.
• () = -– arctg T.

0
()
0
0,1/T
–6
0,2/T
0,5/T
1/T
2/T
5/T
10/T

–11
–26
–45
–90
–90
–90
–90
+26
+11
+6
Временные характеристики
инерционного звена
• В простейших случаях инерционное звено может
служить моделью некоторой системы
автоматического управления первого порядка.
• Графическое изображение временных
характеристик позволяет оценить характер
динамики такой системы.
• Функции , определяющие эти характеристики,
будут получены с применением таблиц
преобразования Лапласа
Импульсная переходная
харатеристика
k
k
1
G( s)  W ( s) 
 
.
1  sT T 1 / T  s
(2.45)
k
t
g (t )  L [G( s)]  exp( )  1(t )
T
T
1
Переходная характеристика
W ( s)
k
1/ T
H ( s) 

k
s
s(1  sT )
s(1 / T  s)
t
h(t )  L [ H ( s)]  k[1  exp( )]
T
1
Импульсная переходная и
переходная характеристики
1
Рис. 2.8. Временные характеристики
инерционного звена
Форсирующее звено
Передаточная функция форсирующего звена
W ( s)  k (1  sT )
k – безразмерный коэффициент усиления,
T – постоянная времени звена, [T] = с.
• Значения этих параметров для форсирующего
звена не зависят друг от друга.
• Для идеального форсирующего звена
коэффициент усиления k = 1.
Комплексный коэффициент
передачи форсирующего звена
K ( j)  k (1  jT )
A()  k 1   T
,
2
2
,
()  arctg (T )
2
2
L()  20 lg k  20 lg 1   T
Аппроксимация L(ω) линейно –
ломаной при k = 1
1

0, 0    T ,
L() = 20lgωT = 
20  lgT , 1    

T
() = +arctg T
• график L = L() идеального форсирующего
звена совпадает с осью  на частотах,
меньших частоты сопряжения  < , а на
частотах больших частоты сопряжения
 > является прямой с наклоном +20
дБ/дек (увеличение L() на 20 дБ при
увеличении частоты в 10 раз)
Фазовая характеристика
форсирующего звена
() = +arctg T.

0
()
0
0,1/T 0,2/T 0,5/T 1/T
6
11
26
45
2/T
5/T
10/T

90
90
90
90
–26
–11
–6
ЛАХ идеального форсирующего
звена
Сравнение свойств интегрирующего
и инерционного звеньев
Свойства инерционного звена:
• в диапазоне малых частот (значительно меньших
характерной для инерционного звена частоты ω = 1/T)
инерционное звено обладает свойствами усилительного
звена;
• в области больших частот (много больших частоты ω = 1/T)
инерционное звено обладает свойствами интегрирующего
звена;
• в диапазоне частот, отличающихся от частоты ω = 1/T в
декады, инерционное звено обладает только ему
присущими свойствами.
• Особый интерес представляет сравнение
свойств интегрирующего звена (W(ω) =
1/ωT) и последовательности инерционных
звеньев:
k
kk1
W ( s) 
W (s) 
1  sT
1  sTk1
kk 2
W (s) 
1  sTk 2
kk i
W (s) 
1  sTk i
1  k1  k 2  ...  k i  ...
Интегрирующе
е звено
L(ω)
Последовательность
инерционных звеньев
L(ω)
ЛАХ
ЛАХ
20 lgK2
20 lgK1
ω
0
ω
0
ω
-90о
ω
-90о
Интегрирую
щее звено
Последовательность
инерционных звеньев
–90о
–90о
АФХ
Im
АФХ
Im
ω=∞
ω=0
ω=∞ 1
Re
ω
ω
Im
K1 K2
ω=0 ω=0ω=0 Re
ω
ω
ω
Im
Re
Re
Рис. 2.10. Сравнение свойств интегрирующего и
инерционного звеньев
Сравнение изображений ЛАХ(1)
• В пределе, когда , ЛАХ последовательности (2.48)
инерционных звеньев в диапазоне частот около частоты ω
= 1/T полностью совпадает с ЛАХ интегрирующего звена.
• Следовательно, должны совпадать в этом диапазоне и
другие характеристики.
• Радиус полуокружности на графике АФХ инерционного
звена когда стремится к бесконечности.
• Такая же ситуация должна наблюдаться и на графике АФХ
интегрирующего звена.
• Считается, что на рис. 2.4 изображена только видимая
часть характеристики.
Сравнение изображений ЛАХ(2)
• Полная АФХ интегрирующего звена должна быть
дополнена дугой бесконечно большого радиуса так, чтобы
при ω = 0 она начиналась на вещественной оси.
• Далее изображающая точка по дуге бесконечно большого
радиуса по часовой стрелке перемещается на угол,
равный 90° и выходит на отрицательную часть мнимой оси
и по видимой части характеристики при ω = приходит в
начало координат.
Сравнение изображений ЛАХ(3)
• Корни характеристического уравнения системы (или
элемента системы) должны располагаться в левой
полуплоскости комплексной плоскости.
• Мнимая ось является границей устойчивости.
• Корни
s  1 / Tk
i
i
звеньев последовательности (2.48) вещественные и
устойчивые в пределе, когда , lim ki  
i 
т.е. бесконечно близко слева подходит к границе
устойчивости, оставаясь в устойчивой области.
Сравнение изображений ЛАХ(4)
• Поэтому нулевой корень s = 0 интегрирующего звена
считают условно устойчивым, но для этого дополняют
область устойчивости около начала координат дугой
бесконечно малого радиуса.
• Итак, при наличии в передаточной функции системы
(или элемента системы) интегрирующих звеньев её АФХ
дополняется дугой бесконечно большого радиуса,
которая поворачивает конец видимой части АФХ против
часовой стрелки на угол, равный девяноста градусам,
помноженный на число интегрирующих звеньев.
Колебательное звено
• Передаточная функция
W ( s) 
k
T 2 s 2  2Ts  1
• 0 < ξ < 1 k – безразмерный коэффициент
усиления, равный единице (k = 1) для идеального
колебательного звена,
• T – постоянная времени звена, [T] = с,
• ξ – коэффициент демпфирования
Характеристическое уравнение и его
корни
A( s)  T s
2 2
 2Ts  1  0
s1,2    j,


T

1  2
T
Характеристики колебательного
звена
• Итак, корни характеристического уравнения
колебательного звена имеют отрицательную
вещественную часть, система второго порядка,
описываемая колебательным звеном устойчивая.
• Многие свойства динамики переходного процесса
колебательного звена переносятся на системы более
высокого (третьего, четвертого) порядка.
• Поэтому особый интерес представляют временные
характеристики колебательного звена.
Импульсная переходная
характеристика
• Согласно выражению (2.35) .
g (t )  L1[G(s)]  L1[W (s)]
• Для того, чтобы воспользоваться таблицами
преобразования Лапласа (см. прил. 1),
передаточную функцию необходимо
преобразовать.
Импульсная переходная
характеристика
L[e t sint ] 
G( s) 
k
T
2
g (t ) 

T
1  2
k
T 2

( s  ) 2   2
1  2
T

 2
1  2
(s  ) 
T
T2
 e t sint
Переходная характеристика
• Вывод формулы для переходной
характеристики будет продемонстрировано
на примере применения классического
метода.
• В соответствии с передаточной функцией
(2.49) дифференциальное уравнение для
переходной характеристики при (k = 1)
имеет вид
Дифференциальное уравнение переходной
характеристики
T
2
d 2h
dt
2
dh
 2T
 h(t )  1
dt
Общее решение уравнения
h(t )  Ae t sin(t  ) + hуст(t)
t> 0
Для определения hуст(t) и постоянных
интегрирования A и ϕ можно теоремами о
конечном и начальном значениях
преобразования Лапласа.
hуст  limh(t )  lim[sH (s)]  limW ( s)  1
t 
s0
s0
h(0)  limh(t )  lim{sH ( s)]  limW ( s)  0
t 0
s 
s 
dh
 lim[ s( sH ( s))]  lim[ sW ( s)]  0
dt t 0
s
s
• Дифференцируя выражение и, используя
полученные значения , определяются
формулы для постоянных интегрирования A
иϕ
A  1

2
2
1
  arcsin
A
0
0.005
0.01
0.015
0
0.005
0.01
0.015
1
Рис. 2.10. Временные характеристики
колебательного звена
1
0
0.005
0.01
0.015
Рис. 2.11. Семейство переходных характеристик
колебательного звена
Анализ графиков(1)
• колебательность звена в первую очередь зависит от
коэффициента демпфирования ξ. Чем он меньше, тем
большей степени звено обладает колебательными
свойствами;
• звено устойчиво, поскольку вещественная часть корней
характеристического уравнения (2.50) отрицательна;
• коэффициент α определяет быстродействие - время
переходного процесса
t пер
3


Анализ графиков(2)
• коэффициент β – мнимая часть комплексно –
сопряженных корней (2.50), является частотой колебаний
временных характеристик.
• Период колебаний – Tкол  2

• момент времени первого максимума переходной
характеристики равен половине периода колебаний t1 =
Tкол/2.
• Автор:
• Самусевич Г.А., к.т.н., доцент каф. РТС