Document 5107633

Цели урока:
•показать, как используется скалярное
произведение векторов;
•при решении задач на вычисление углов между
двумя прямыми, между прямой и плоскостью;
•повторить понятия: угла между векторами,
между скрещивающимися прямыми,
между прямой и плоскостью;
•повторить понятие скалярного произведения
векторов, формулу скалярного произведения
в координатах;
•развивать навыки самостоятельной работы;
•воспитывать математическую грамотность
при решении задач по геометрии.
Повторяем теорию:
•Как находят координаты вектора, если известны
координаты его начала и конца?
•Как находят координаты середины отрезка?
•Как найти длину вектора?
•Как находят расстояние между двумя точками?
•Чему равно скалярное произведение векторов?
•Как найти угол между векторами?
•Какие векторы называются перпендикулярными?
•Чему
равно
скалярное
произведение
перпендикулярных векторов?
Ответы на вопросы:
1) АВ { Хв – Ха; У в – Уа; Zв – Zа };
2) X c = (Xв + X a)/2;
Y c = (Yв+Y a)/2;
Z c = (Zв+Z a)/2;
3)|ā|=
X²+Y² +Z² ;
4) AB= (Xв-X a)²+ (Yв-Y a)²+ (Zв-Z a)² ;
5) a ∙ b=|a|∙|b| c os α;
6) Cos α = a ∙ b / |a|∙|b| c o s α;
7) Если между ними угол 90⁰;
8) 0.
Самопроверка. Ответы записаны на тех же листочках. Сдают затем
на проверку учителю.
№
1 вариант
2 вариант
3 вариант
1
(0;6;-7)
(0;-4;6)
(0;-5;9)
2
7
6
9
3
34
53
29
4
6
2
6
5
(1,5;-5;2,5)
(2,;2;-2,5)
(-1,5;-2;-3,5)
6
(5;1;-3)
(2;-11;16)
(-10;9;-14)
7
3
22
35
8
-47
-54
-60
9
-1
1,5
2,8
10
30/15
2 42/21
3 35/35
Оценивание.
ответов
20-19
18-14
13-10
9-1
оценка
5
4
3
2
Задача 1.
Дано: Д∊(АВС)
АМ=МD; ВN=ND;CP=PD;
Определите взаимное
расположение прямых:
а) ND и АВ;
б) РК и ВС;
в) NМ и АВ;
г) МР и АС;
д) К и АС;
е) МD и ВС
K∊ВN
D
M
A
P
N
K
C
B
Задача 2.
Дан куб АВСДА1В1С1Д1
Найти угол между прямыми:
1. ВС и С;
2. АС и ВС;
3. Д1С1 и ВС
4. А1В1 и АС.
В1
А1
С1
Д1
В
А
С
Д
Задача 3
Дано:
ОВ‖СД,
ОА и СД скрещивающиеся прямые.
Найдите угол между ОА и СД, если:
а) <АОВ=40⁰;
б) <АОВ=135⁰;
в) <АОВ=90⁰;
А
В
Д
О
С
Задача 4.
Дан куб АВСДА1В1С1Д1.
Найдите угол между скрещивающимися
В1
прямыми:
1.
2.
3.
4.
ВС
АС
Д1С1
А1В1
и
и
и
и
АД1,
В1Д1,
ВА1,
ВС1
А1
С1
Д1
В
А
С
Д
Задача 5.
Дан куб АВСДА1В1С1Д1.
Найти угол между прямой и плоскостью:
1.
2.
3.
4.
ВС и А1В1С1Д1;
АС1 и АВСД;
Д1С1 и АА1С1С;
А1В1 и АВСД.
В1
А1
С1
Д1
В
А
С
Д
Задача 1.
Дано:
А(3;-2;4), В(4;-1;2), С(6;-3;2), Д(7;-3;1)
Найти угол между прямыми АВ и СД.
Решение:
1.найдем координаты векторов АВ и СД;
2.воспользуемся формулой:
cos ϕ=|X₁X₂+Y₁Y₂+Z₁Z₂|/√X₁²+Y₁²+Z₁² √ X₂²+Y₂²+Z₂²
Задача 2.
Докажите, что четырехугольник АВСД с
вершинами А(0;2;-3), В(-1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5)
является параллелограммом и найдите угол между
диагоналями.
Схема решения:
1) доказать: АВ=СД и ВС=АД;
2) доказать АС∩ ВД=О;
3) найти координаты векторов АС и ВД;
4) воспользуемся формулой:
cos ϕ=|X₁X₂+Y₁Y₂+Z₁Z₂|/√X₁²+Y₁²+Z₁² √ X₂²+Y₂²+Z₂²;
Решение:
1. ∣А В∣ = √ (-1-0)²+(1-2)²+(1+3)²=√18;
∣С Д∣ = √ (3-2)²+(-1+2)²+(-5+1)²=√18;
∣ ВС∣ = √ (2+1)²+(-1-2)²+(-1-1)²=√22;
∣А Д∣ = √ (3-0)²+(-1-2)²+(-5+3)²=√22;
2. О принадлежит диагонали АС О(1;0;-2)и
О принадлежит диагонали ВД О(1;0;-2)
⇒АС пересекается с ВД в точке О;
3.Cos ϕ=∣2∙4+(-4)∙(-2)+2∙(-6)∣ / √2²+(-4)²+2² ∙
√4²+(-2)²+(-6)² = 4/ 2√6 ∙√56=√21/84;
ϕ=arccos √21/84.
Ответ: Φ=arccos √21/84.
Задача 3.
Даны четыре точки пространства А(-3;4;0), В(2;1;4), С(-2;2;-1), Д(1;0;2). Найдите угол между
векторами: АС и ВД; АВ и СД.
Схема решения:
1. найти координаты векторов АС и ВД;
2. найдем по формуле cos ϕ между векторами
АС и ВД;
3.найдем угол ϕ;
4. найти координаты векторов АВ и СД;
5. найдем по формуле cos ɣ между векторами АВ
и СД;
6.найдем угол ɣ.
Решение:
1. АС(-2+3;2-4;-1)=АС(1;-2;-1);
ВД(1-2;0+1;2-4)=ВД(-1;1;-2);
2.Cos ϕ=∣1∙(-1)+1(-5)+(-1)(-2)∣ /√6∙√6=1/6;
Φ=arccos 1/6;
3.AB(2+3;-1-4;4-0)=AB(5;-5;4);
CД(1+2;0-2;2+1)=СД(3;-2;3);
4.Cos ɣ= ∣5∙3+(-2)(-5)+4∙3∣ /√66∙√22=37√3/66;
5.Ɣ= arccos 37√3/66;
Дано:
куб АВСДА₁В₁С₁Д₁; АВ = а.
Найти: ВА₁∙ВС₁.
B₁
A₁
Решение:
Первый способ.
△ВА₁С₁ - правильный,
ВА₁=ВС₁=а√2.
Угол (ВА₁ВС₁)=60⁰.
ВА₁∙ВС₁= а√2∙ а √2 ∙cos 60⁰=a²
C₁
Д₁
В
A
С
Д
Второй способ.
А₁
Решение:
ВА₁=ВА+АА₁;
А
ВС₁=ВС + СС₁;
ВА₁∙ВС₁=(ВА + АА₁)(ВС + СС₁)=
0+0+0+а∙а∙cos0⁰=a².
Ответ: а².
В₁
С₁
Д₁
В
С
Д
Третий способ.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат.
В₁
ВА₁{а;0;а} и ВС₁{0;а;а}.
ВА₁∙ВС₁ = а∙0+0∙а +а∙а = а².
А₁
z
С₁
Д₁
Ответ: а².
Y
В
А
x
С
Д