Применение производной к решению задач ЕГЭ Скоро ЕГЭ! Но еще есть время подготовиться!

Применение производной
к решению задач ЕГЭ
Скоро ЕГЭ!
Но еще есть время подготовиться!
Именно математика дает
надежнейшие правила: кто
им следует – тому не
опасен обман чувств.
Л. Эйлер
 Цели классифицируются по мотивам
обучения:
 Когнитивные: уточнить основные понятия и
законы темы, углублённо рассмотреть
конкретные вопросы во время решения задач.
 Креативные: провести самостоятельное
решение по теме, применить имеющиеся
знания при решении задания В8 тестов ЕГЭ.
 Оргдеятельностные: проявить и развить
свои способности, организовать свои цели,
составить реальный план, выполнить его и
оценить свои результаты.
Геометрический смысл производной
У
y  f (x)
k – угловой коэффициент
прямой (касательной)
Уравнение прямой
y  k xb
α
0
x0
Х
Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x)
в точке с абсциссой x0 можно провести касательную, непараллельную оси у,
то f ( x ) выражает угловой коэффициент касательной, т.е.
0
Поскольку
f ( x0 )  k
k  tg , то верно равенство f ( x0 )  tg
Если α > 90°, то k < 0.
Если α < 90°, то k > 0.
у  f (x)
у
x3 x2
x1
0
х
Задание №1.
На рисунке изображён
график функции y = f(x) и
касательная к этому
графику, проведённая в
точке с абсциссой -1.
Найдите значение
производной функции f(x) в
точке х₀ = -1.
у
8
4


1
1
0
2
х
tg (180   )  tg
4
f ( x0 )  tg
4
tg 
2
f ( x0 )  2
Задание №2.
6
Ответ:
8
В8 0
,
7
5
Задание №3.
Ответ:
В8
-
3
На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в
точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в
точке х0.
y
1
0
x0
1
x
Ответ: -0,25
Разберем аналогию графика функции и графика
производной функции:
На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на
интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых
производная функции отрицательна
В8 8
функция
убывает  f  x0 0
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале
. Найдите промежутки
убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
В8 6
f  x0 0  функция
убывает
На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной
на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
-1+0+1+2+3+4=…
-1 0 1 2 3 4
f   x0 0  функция
возрастает
В8 9
На рисунке изображён график производной функции y = f (x),
определённой на интервале (-5;6). Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)
параллельна прямой у = 2х – 5 или совпадает с ней.
у  f (x)
у
2
0
f ( x)  2
Ответ: 5
х
На рисунке изображен график производной функции f(x),
определенной на интервале (-9;8). Найдите точку экстремума функции
на интервале (-3;3).
-3
-
В8 - 2
+
3
На рисунке изображён график производной функции y = f (x),
определённой на интервале (-2;15). Найдите количество
точек экстремума функции f (x) на отрезке [2;10]
у
-2
1
15
0
Ответ: 3
х
Самостоятельная работа
1 вариант
1) На рисунке изображен график функции , определенной
на интервале (-6;8) . Определите количество целых
точек, в которых производная функции положительна.
2) На рисунке изображен график функции , определенной
на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой y=6
или совпадает с ней.
3) На рисунке изображен график — производной функции ,
определенной на интервале (-7;14) . Найдите количество точек
максимума функции , принадлежащих отрезку[-6;9] .
4) На рисунке изображен график — производной
функции , определенной на интервале (-11;3).
Найдите промежутки возрастания функции . В
ответе укажите длину наибольшего из них.
5) На рисунке изображены график функции и касательная к нему
в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции в
точке x0.
6) Материальная точка движется прямолинейно по
закону ,
где х — расстояние от точки отсчета в метрах, t—
время в секундах, измеренное с начала движения.
Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент
времени t=6с.
2 вариант
1) На рисунке изображен график функции ,
определенной на интервале (-5;5). Определите
количество целых точек, в которых производная
функции отрицательна.
2) На рисунке изображен график — производной функции ,
определенной на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в
которых касательная к графику функции параллельна прямой у=2х-11 или совпадает с ней.
3) На рисунке изображен график производной функции ,
определенной на интервале (-18;6) . Найдите количество
точек минимума функции , принадлежащих отрезку[-13;1] .
4) На рисунке изображен график производной функции,
определенной на интервале (-2;12). Найдите промежутки
убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
5) На рисунке изображены график функции и касательная
к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение
производной функции в точке x0.
6) Материальная точка движется
прямолинейно по закону
,
где x — расстояние от точки отсчета в
метрах, t — время в секундах, измеренное с
начала движения. В какой момент времени
(в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Ответы: 1 вар.
1)
2)
2вар.
4
4
3) 1
4) 6
5) -2
6) 20
8
5
1
6
-0,25
8