Кузнецов С. Пропорциональные методы

2
 «Метод RAS (или бипропорциональный метод), предложенный Р. Стоуном,
используется в практических работах наиболее часто вследствие
математической простоты и изученности его теоретических свойств. Имеются
работы по оценке его эффективности. Вычисления по этому методу достаточно
просты и легко алгоритмизируются. Этот классический метод (а также его
обобщения) наиболее широко используется для балансировки матриц
«затраты выпуск».»
 Целевая функция:
𝑎𝑖𝑗
𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 ln 𝑒∗𝑎
𝑜𝑖𝑗
3
 Исходная матрица коэффициентов 𝐴0
 𝑢𝑖 =
𝑛
𝑗=1 𝐴𝑖𝑗
 𝑣𝑗 =
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖𝑗 -окаймляющие
− окаймляющие итоги по строкам
итоги по столбцам
4
1. 𝑢𝑖𝑛 =
𝑛
𝑛
𝑗=1 𝐴𝑖𝑗 -сумма
по строкам
u
2. Если 𝑢𝑖𝑛 ≠ 𝑢𝑖 сумма по строкам не совпаает с ограничениями , то найдемвектор R: ri = 𝑢𝑛i
𝑖
3. 𝐴𝑛+1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑟 ∗ 𝐴𝑛
4. 𝑣𝑗𝑛 =
𝑛
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖𝑗 -сумма
по столбцам
5. Если 𝑣𝑗𝑛 ≠ 𝑢𝑗 сумма по столбцам не совпаает с ограничениями , то найдем вектор S: sj =
6. 𝐴𝑛+2 = 𝐴𝑛+1 ∗ 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑠
𝑣𝑗
𝑣𝑗𝑛
5
ПЛЮСЫ
 Все операции матричные
МИНУСЫ
 Коэффициенты исключительно положительные
 Фиксированный вид линейных ограничений
 Необходимы все окаймляющие итоги
6
 Метод изначально предложенный Günlük-¸SenesenиBates (1988) и позже
дополнительно формализованный Junius and Oosterhaven (2003)Отличаеся от
RAS возможностью работать с матрицами, содержащими отрицательные
элементы.
 Целевая функция:
𝑎𝑖𝑗
𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 ln 𝑒∗𝑎
𝑜𝑖𝑗
7
 Исходная матрица коэффициентов 𝐴0
 𝑢𝑖 =
𝑛
𝑗=1 𝐴𝑖𝑗
 𝑣𝑗 =
𝑛
𝑖=1 𝐴𝑖𝑗 -окаймляющие
− окаймляющие итоги по строкам
итоги по столбцам
8
 Матрица коэффициентов A разделяется на матрицы P-содержащую
положительные числа A и нули на местеотрицательных, N- содержащую модули
отрицательных чисел A и нули на местеположительных 𝐴 = 𝑃 − 𝑁
 Мы будем искать элементы матрицы следующей итерации по формулам
𝑥𝑖𝑗 = 𝑟𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝑠𝑗 при 𝑎𝑖𝑗 ≥ 0
𝑥𝑖𝑗 = 𝑟𝑖−1 𝑎𝑖𝑗 𝑠𝑖−1 при 𝑎𝑖𝑗 < 0
 𝑢𝑖 =
𝑛
𝑗 𝑟𝑖
∗ 𝑝𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗 −
𝑛 −1
𝑗 𝑟𝑖
∗ 𝑛𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗−1 − условие равенства строки ограничению
𝑛
𝑢𝑖 ∗ 𝑟𝑖 = 𝑟𝑖2 ∗
𝑛
𝑛𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗−1 ⇒
𝑝𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗 −
𝑗
𝑗
9
𝑛
0 = 𝑟𝑖2 ∗
𝑛
𝑗
𝑗
𝑢𝑖 + 𝑢𝑖2 + 4 ∗
𝑟𝑖 =
,если же
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
2∗
∗ 𝑠𝑗 = 0 ⇒ 𝑟𝑖 =
𝑛𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗−1 − 𝑢𝑖 ∗ 𝑟𝑖 ⇒
𝑝𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗 −
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
∗ 𝑠𝑗 ∗
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
𝑛
𝑗 𝑛𝑖𝑗
∗ 𝑠𝑗−1
𝑛
𝑖 𝑛𝑖𝑗
∗ 𝑟𝑖−1
∗ 𝑠𝑗
−1
− 𝑛
𝑗 𝑛𝑖𝑗 ∗𝑠𝑗
𝑢𝑖
Аналогично
𝑣𝑗 + 𝑣𝑗2 + 4 ∗
𝑠𝑖 =
2∗
𝑛
𝑖 𝑝𝑖𝑗
∗ 𝑟𝑖 ∗
𝑛
𝑖 𝑝𝑖𝑗
∗ 𝑟𝑖
10
1. Если 𝑢𝑖𝑛 ≠ 𝑢𝑖 сумма по строкам не совпаает с ограничениями или 𝑣𝑗𝑛 ≠ 𝑣𝑗 , то
𝑢𝑖 + 𝑢𝑖2 + 4 ∗ (
𝑟𝑖 =
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
2∗
∗ 𝑠𝑗 ) ∗ (
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
𝑛
𝑗 𝑛𝑖𝑗
∗ 𝑠𝑗−1 )
, при
∗ 𝑠𝑗
−
𝑛
𝑝𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗 ≠ 0
𝑗
𝑛
𝑗 𝑛𝑖𝑗
∗
𝑠𝑗−1
𝑢𝑖
𝑣𝑗 + 𝑣𝑗2 + 4 ∗ (
𝑠𝑗 =
2∗
𝑛
𝑖 𝑝𝑖𝑗
∗ 𝑟𝑖 ) ∗ (
𝑛
𝑖 𝑝𝑖𝑗
𝑛
𝑖 𝑛𝑖𝑗
∗ 𝑟𝑖−1 )
, при
∗ 𝑟𝑖
−
𝑛
𝑝𝑖𝑗 ∗ 𝑟𝑖 ≠ 0
𝑖
𝑛
𝑖 𝑛𝑖𝑗
∗
𝑟𝑖−1
𝑣𝑗
2)𝐴𝑛+1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑟 −1 ∗ 𝑃𝑛 ∗ 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑠 − 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑟 ∗ 𝑁 𝑛 ∗ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑠 −1 )
11
ПЛЮСЫ
 Все операции матричные
 Коэффициенты могут быть любыми
МИНУСЫ
 Фиксированный вид линейных ограничений
 Необходимы все окаймляющие итоги
12
 Метод, позволяющий балансировать неквадратные матрицы при любом наборе
линейных ограничений
 Целевая функция:
𝑎𝑖𝑗
𝑖𝑗 |𝑎𝑖𝑗 | ln 𝑒∗𝑎
𝑜𝑖𝑗
13
 а-векторизация исходной матрицы коэффициентов
 G-матрица, отражающая вхождение в линейные ограничения элементов
вектора а
 С-вектор-столбец, отображающий сами линейные ограничения
14
G*a=c
Gras
ExternalGRAS
𝑢𝑖 + 𝑢𝑖2 + 4 ∗ (
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
∗ 𝑠𝑗 ) ∗ (
𝑛
𝑗 𝑝𝑖𝑗
2∗
−
𝑝𝑖𝑗 ∗ 𝑠𝑗 ≠ 0
𝑗
𝑛
𝑗 𝑛𝑖𝑗
𝑢𝑖
∗ 𝑠𝑗−1 )
𝑛
𝑔
(𝑛−1)
𝑗,,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0 𝑖𝑗
2∗
∗ 𝑠𝑗
𝑛
, при
𝑛
𝑗 𝑛𝑖𝑗
𝑐𝑖 + 𝑐𝑖2 + 4 ∗ (
∗ 𝑠𝑗−1
𝑛−1
∗ 𝑎𝑗
)∗(
𝑛−1
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑗,,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
(𝑛−1)
𝑛
𝑔
𝑎
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗,𝑔 >0 𝑖𝑗 𝑗
𝑖𝑗
𝑛
, при
−
(𝑛−1)
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
𝑐𝑖
≠0
)
15
1. Если G*a-c<ε
2. Для всех ограничений:
3. Для всех элементов a
𝑐𝑖 + 𝑐𝑖2 + 4 ∗ (
𝑛
𝑔
(𝑛−1)
𝑗,,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0 𝑖𝑗
2∗
∗ 𝑎𝑗𝑛−1 ) ∗ (
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑛−1
(𝑛−1)
𝑗,,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
(𝑛−1)
𝑛
(𝑛−1) 𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑗,𝑎𝑗,𝑔 >0
𝑖𝑗
(𝑛)
𝑟𝑖
𝑛
=
, при
(𝑛−1)
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
−
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0
(𝑛−1)
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
𝑐𝑖
Для всех
элементов a 𝑎𝑖𝑛
= 𝑎𝑖 ∗
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑎𝑗𝑛−1 ∗𝑔𝑖𝑗
𝑛
𝑟
≠0
)
16
ПЛЮСЫ
 Коэффициенты могут быть любыми
 Количество и вид линейных ограничений могут быть разными
МИНУСЫ
 Существует цикл
17
 Метод разработанный М. Лензеном, Б. Галлего и Р. Вудом для решения проблем
балансировки таблиц при конфликтных линейных ограничениях.
18
 а-вектор столбец, состоящий из коэффициентов
 G-матрица, отражающая вхождение в линейные ограничения элементов
вектора а
 С-вектор-столбец, отображающий сами линейные ограничения
 Коэффициент 
 Начальные значения для среднеквадратичного отклонения
19
ОбобщенныйRAS
𝑐𝑖 + 𝑐𝑖2 + 4 ∗ (
𝑛
𝑔
(𝑛−1)
𝑗,,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0 𝑖𝑗
2∗
𝑛−1
∗ 𝑎𝑗
)∗(
𝑛−1
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑗,,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
(𝑛−1)
𝑛
(𝑛−1) 𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑗,𝑎𝑗,𝑔 >0
𝑖𝑗
(𝑛)
𝑟𝑖
=
𝑛
, при
(𝑛−1)
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
−
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
𝑐𝑖
)
KRAS
r-аналогичное
Но теперь c тоже изменяется
с𝑛𝑖
=
𝑐𝑖𝑛−1
− 𝑠𝑖𝑔𝑛
≠0
∗ min(
𝑐𝑖𝑛−1
𝑐𝑖𝑛−1
𝑛
−
𝑛
−
𝑗
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑗
𝑛−1
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑛−1
, ασ 𝑖 )
20
1. Если 𝐺𝑎 − 𝑐
𝑛
− 𝐺𝑎 − 𝑐
𝑛−1
≥
2. Для всех ограничений:
𝑛−1
𝑛−1
𝑐𝑖 + 𝑐𝑖2 +4∗( 𝑛 (𝑛−1)
𝑔𝑖𝑗 ∗𝑎𝑗
)∗( 𝑛 (𝑛−1)
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
)
𝑗,,𝑎
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0
𝑗,,𝑎
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
𝑗
𝑗
(𝑛−1)
2∗ 𝑛 (𝑛−1) 𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑗,𝑎
3.
(𝑛)
𝑟𝑖
=
𝑗,𝑔𝑖𝑗 >0
, при
(𝑛−1)
𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
(𝑛−1)
𝑗,𝑎𝑗
∗ 𝑔𝑖𝑗 >0
≠0
(𝑛−1)
− 𝑛 (𝑛−1)
𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
𝑗,𝑎
∗ 𝑔𝑖𝑗 <0
𝑗
4. с𝑛𝑖 = 𝑐𝑖𝑛−1 − 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑐𝑖𝑛−1 −
5. Для всех
элементов а:𝑎𝑖𝑛
𝑐𝑖
𝑛−1
𝑛
𝑗 𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
= 𝑎𝑖 ∗
∗ min 𝑐𝑖𝑛−1 −
𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑎𝑗𝑛−1 ∗𝑔𝑖𝑗
𝑛
𝑟
𝑛−1
𝑛
𝑗 𝑔𝑖𝑗 𝑎𝑗
, ασ 𝑖
21
 0≤≤1
 𝑖 −среднеквадратичное отклонение. Сначала берется из статистических
соображение. А потом высчитывается для каждого линейного ограничения
перед каждой итерацией
22
 MANFRED LENZEN, BLANCA GALLEGO AND RICHARD WOOD(2008) MATRIX
BALANCING UNDER CONFLICTING INFORMATION Economic Systems Research, 2009,
Vol. 21(1), 2009, pp. 23–44
 Umed Temurshoev , Ronald E. Miller & Maaike C. Bouwmeester (2013) A NOTE ON
THE GRAS METHOD, Economic Systems Research, 25:3, 361-367, DOI:
10.1080/09535314.2012.746645
 R. E.Miler, P.D. Blair «Input-output analysis Foundations and extensions»
 Курсовая работа Д. Соколова «Математические методы в теории
межотраслевого баланса»
 Э.Ф. Баранов, И.А. Ким, Д.И. Пионтковский, Е.А. Старицына
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ТАБЛИЦ «ЗАТРАТЫ –
ВЫПУСК» РОССИИ В КЛАССИФИКАТОРАХ ОТРАСЛЕЙ И ПРОДУКТОВ,
СООТВЕТСТВУЮЩИХ МЕЖДУНАРОДНЫМ СТАНДАРТАМ