О фракталах

О фракталах
Рябых Г.К.
226 группа
Каф. биоинженерии
«Фрактальная геометрия заставит вас
на все смотреть другими глазами.
Дальше читать опасно. Вы рискуете
потерять свое детское видение
облаков, лесов, галактик, листьев,
перьев, цветов, скал, гор, бегущих
ручьев, ковров, кирпичей и многого
другого. Ваше восприятие этих
вещей никогда больше не будет
прежним» (с) Майкл Барнсли
Бенуа Мандельброт(1924-2010)основоположник фрактальной
геометрии
Фракталы в природе
Гималайские горы
Капуста Романеско
Каждый фрактальный узор
имеет вид спирали Фибоначчи.
Молнии
Т=30с
Т=0.3с
Броуновское движение
Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней
мере, одним из указанных ниже свойств:
• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом
отличие от регулярных структур (таких, как окружность, эллипс,
график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент
регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на
фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведет к
упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково
сложную картину.
• Является самоподобным или приближённо самоподобным.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической
размерностью, превосходящей топологическую.
Фрактал
•
1.
2.
3.
4.
5.
Британский математик Кеннт Фальконер определяет фрактальную
структуру как структуру, обладающую одним из нижеперечисленных
свойств:
Она слишком неравномерна, поэтому нельзя описать в терминах
классической геометрии.
Ее детали заметны при любом масштабе наблюдений.
Она обладает самоподобием в некотором смысле (точным, примерным
или статистическим).
Ее размерность Хаусдорфа – Безиковича строго больше ее
топологической размерности.
Она строится с помощью простого рекурсивного алгоритма.
•
В 1982г Мандельброт определил фрактал как множество, у которого
размерность Хаусдорфа строго больше, чем топологическая размерность.
•
Джудит Седерберг: «Фрактал – это множество точек, обладающее
самоподобием в строго детерминированном или строго
стахастическом смысле.»
Самоподобие
Длина береговой линии\
эксперимент Ричардсона
L(окр)=314,15 если d=100 км
S(раствор циркуля), км
50
25,882
13,053
6,54
3,272
1,636
S, км
28
14
7
3,5
L(многогранника), км
6-угольник, 300
12-угольник, 310,584
24- угольник, 313,272
48- угольник, 313,92
96-угольник, 314,112
192-угольник, 314,112
L(побережья), км
362,2
416,7
467,7
524,8
Для реальных границ и
побережий были
получены следующие
значения d:
d = 0.25 для западного
побережья Британии.
d = 0,15 для границы
Германии;
d = 0,14 для границы
Испании и Португалии;
d = 0,13 для побережья
Австралии;
d = 0,02 для
южноафриканского
побережья.
Угловой коэффициент d=0.17.
Уравнение прямой можно выразить в виде log l = dlog(1/S) + k.
Где l – это приближенное значение периметра для раствора циркуля S;
d – рассчитанный угловой коэффициент прямой; k – некая постоянная.
l = c/𝑆 𝑑
где c – основание логарифма в степени k.
Итог работы Ричардсона таков: традиционное понятие длинны при измерении
береговой линии не имеет смысла. Он предложил использовать некую величину,
которую можно назвать «морщинистостью», определяемую значением углового
коэффициента d из предыдущего примера.
Топологическая размерность
• Покрытием подмножества S на
является семейство открытых
множеств таких, что их объединение содержит множество S.
Множество имеет топологическую размерность n, если наименьшая
возможная кратность его покрытия равна n+1.
D(кривой) = 1
D(области) = 2
Точка является 0-мерной, линия – одномерной, плоскость – двумерной, а
является n-мерным.
евклидово пространство
Кривая Коха
δ – коэфф.масштаба
N – количество частей, на которые делится исходный объект.
Канторово множество (канторова пыль)
Начинаем с единичного отрезка и удалим его среднюю треть. Затем
удалим из каждой из двух полученных отрезков его среднюю часть
(длиной 1/9)…
N = 2 δ = 1/3
По формуле размерности подобия получим:
DS = log 2/log 3 = 0.6309
В канторовом множестве отсутствует какая-либо связь между
точками, следовательно, D = 0
Для кривой Пеано, которая состоит из девяти отрезков, N = 9, δ = 1/3
Следовательно ее размерность подобия равна
DS = log 32/log 3 = 2
Двумерным аналогом канторова множества является так
называемый ковер Серпинского.
Первые его 5 интераций
DS = log 8/log 3 = 1.8928
Треугольник Серпинского
Интеративное построение
на основе кривой
D=1
DS = log 3/log 2 = 1.5850
DS = log 20/log 3 = 2,7268
DS =
log 4/log 2 = 2
Представим, что мы хотим найти формулу Ричардсона для берега
воображаемого острова, который имеет форму снежинки Коха.
Коэффициент уменьшения = 1/3
Раствор циркуля с каждой интерацией будет S = 1/3k
l = (4/3)k где k – это номер интерации
Вспомним ур-е Ричардсона log3 l = dlog3(1/S)
log3(4/3)k = dlog33k
d = log3(4/3) = 0.2619
Вспомним, что размерность подобия для снежинки Коха равнялась
DS = 1,2629
Дробные части этих чисел совпадают. Можно показать, что для объекта,
обладающим самоподобием, наклон прямой Р. d и размерность подобия
связаны следующей простой формулой:
DS = 1 + d
Размерность Минковского
где N(ε) минимальное число множеств диаметра ε, которыми
можно покрыть исходное множество.
Альтернативный способ ее определения.
Множество Мандельброта
Это множество бесконечно сложно, но строится по очень простым
правилам.
Каноническая формула множества Мандельброта – квадратичная
комплексная функция
Сфера применения:
1)Естественные науки
2)Радиотехника
3)Информатика
4)Экономика и финансы