Решение задач на комбинации геометрических тел Учитель : Шарова Светлана Геннадьевна

Решение задач на
комбинации
геометрических тел
Учитель : Шарова Светлана Геннадьевна
1
При решении задач встречается 9
комбинаций многогранников с цилиндром,
конусом и шаром:









Шар и пирамида;
Шар и призма;
Шар и конус;
Шар и цилиндр;
Конус и пирамида;
Конус и цилиндр;
Конус и призма;
Цилиндр и пирамида;
Цилиндр и призма .
2
Призма и шар
A1
C1
B1
R
О
О
R
C
A
B
Vк
=
Vп
4πR3
3SАВС · h
3
Пирамида и шар
D
D
Vш
4πR3
Vп = SАВС · h
R
R
O
A
O
C
H
A
C
B
B
h и Sосн – высота пирамиды и площадь ее
основания соответственно;
R – радиус шара.
4
Цилиндр и шар
О1
О2
h
Rш
О2
О
Rш
О
Rц
О1
Rц
Vш
=
Vц
4Rш3
3Rц 2· h
5
P
Конус и шар
Р
С
B
Rш
О1
O
A
RК
Rш
D
A
hк = ОР;
RК
О1
O
В
4Rш3
Vш
=
Vк
hК Rк2
6
Пирамида и конус
D
D
2
Vк = πR
SАВС
Vп
h
h
A
C
C
R
O
O
A
R
B
B R – радиус основания конуса
h – высота конуса и пирамиды
7
Призма и конус
A1
D
C1
D
B1
A1
hк
A
hк
O1
B1
C
R
A
O
R
B
C1
C
O
B
Vк
πR2 · hk
=
3SАВС · hп
Vп
8
Призма и цилиндр
A1
R
C1
О1
A1
О1
В1
В1
A
C
О
B
C1
Vц
πR2
=
SАВС
Vп
C
A
О
R
B
9
Цилиндр и конус
В
B
Rц
О1
Rк
A
RК
С
O
О
A
C
Rц
Vк
=
Vц
Rк2 · hk
3Rц2 · hц
10
Цилиндр и пирамида
D
D
A1
A
C
О
C1
О1
В1
A
C
O
Rц
B
Vц
3πRц2 · hц
=
SАВС · hk
Vп
B
11
Известно, что АВ, АС, AD,DE,DF- ребра
куба. Через вершины E, F и середины рёбер
АВ и АС проведена плоскость Р, делящая
шар, вписанный в куб, на две части.
a) Постройте плоскость Р.
b) Найдите отношение объёма меньшей части
шара к объёму всего шара.
12
G
E
L
D
F
S
T
O
C
K
I
A
M
N
H
B
13
L
D
S
G
T
O
A
N
M
K
14
В прямую призму ABCDA1B1C1D1, нижним
основанием которой является ромб ABCD, а
АА1, ВВ1, СС1,DD1- боковые ребра,
вписан шар радиуса 1.
a) Постройте плоскость, проходящую через
вершины А, В, С1.
b) Найдите площадь сечения призмы этой
плоскостью, если известно, что угол BAD
равен 
3
15
B1
C1
A1
D1
B
C
A
D
16
B1
A1
D1
C1
K
B
C
A
D
17
Шар, вписанный в правильную пирамиду
SABC вершиной S , касается грани ASC в
точке Е. Через сторону АВ основания АВС
пирамиды и точку Е проведено сечение.
a) Постройте сечение.
b) Найдите площадь этого сечения, если сторона
основания пирамиды равна
, высота
пирамиды равна
.
18
S
F
E
O
C
B
D
O1
A
19
S
F
E
O
C
B
D
O1
М
A
20
В правильной четырёхугольной пирамиде
SABCD сторона основания пирамиды равна ,
высота пирамиды равна
. Шар,
вписанный в эту пирамиду, касается боковой
грани SAD в точке Е.
a) Постройте сечение, проходящее через ребро
АВ и точку Е.
b) Найдите площадь этого сечения.
21
S
M
N
E
C
O
D
F
O1
B
A
22
S
M
N
E
C
O
D
F
O1
B
A
23
Стороны
основания
правильной
четырёхугольной пирамиды SABCD равны ,
высота пирамиды равна
.
Пусть Е – середина бокового ребра SB.
Вычислить расстояние от центра шара,
описанного около пирамиды SABCD, до
плоскости сечения, проведенного через точки
A, D, и E.
24
S
E
О
D
C
O1
M
A
B
25
S
F
P
O
D
N
A
Q
E
C
M
O1
B
26
S
P
O
Q
N
O1
T
M
27
В сферу радиуса R вписана пирамида TABC,
основанием которой служит прямоугольный
треугольник АВС, все её боковые рёбра
наклонены к плоскости основания под углом 300,
а угол между боковым ребром TA и медианой
основания BD равен 600. Какую наименьшую
площадь может иметь сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через ребро ТВ и
пересекающей гипотенузу основания АС?
28
T
C
O
D
A
B
P
29
T
O
H
M
D
C
A
F
P
L
m
B
n
30