Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ Учитель математики МБОУ СОШ№1

Задачи на готовых чертежах
для подготовки к ЕГЭ
.
Учитель математики
МБОУ СОШ№1
Вольно-Надеждинское
Приморский край
Пентяшкина Татьяна Петровна
1.Угол между двумя прямыми:
1
2
3
2.Угол между прямой плоскостью:
4
.
5
6
3. Угол между плоскостями:
.
7
8
9
Угол между двумя прямыми
С₁ :
D
1. В правильной треугольной
призме АВСА₁В₁С₁, все ребра
которой равны1найти угол
между прямыми АС и ВС₁.
А₁
Решение:
Угол между прямыми АС и ВС₁ равен углу между
прямыми ВС₁ и А₁С₁. Пусть ∠А₁С₁B=𝛼.
А
В₁
С
Так как призма правильная, то А₁В=С₁В как диагонали равных
квадратов( по условию все ребра призмы равны 1).
Значит, ∆А₁ВС₁- равнобедренный.
Проводим высоту ВD
В
Угол между двумя прямыми:
С₁
D
В ∆ВDC₁ DC₁=
Из ∆С₁В₁В
А₁
1
1
А₁С₁= .
2
2
В₁
ВС₁2 =1+1=2; ВС₁= 2.
С
.
Тогда cos 𝛼 =
𝐷𝐶₁
𝐵𝐶₁
=
1
2
2
=
1
2 2
=
2
.
4
А
Ответ: 𝛼=arccos
.
В
2
4
Угол между двумя прямыми:
2.В единичном кубе А…D₁ найти угол
между прямыми ВВ₁ и А₁С.
Заметим, что угол между прямыми ВВ₁ А₁
и А₁С равен углу между прямыми АА₁ и А₁С.
. Пусть ∠ АА₁С= 𝛼, тогда из
АА₁
∆А₁АС(∠А₁АС=90°) имеем cos 𝛼 = ,
А₁С
D₁
С₁
В₁
𝜶
D
где АА₁=1, А₁С – диагональ куба.
По свойству прямоугольного параллелепипеда,
имеем:В
А
2 +АА₁2 , или А₁С= а2 + а2 + а2 =а 3= 3, где а=1.
.
АС2 =АВ2 +ВС
Тогда cos 𝛼=
1
,
3
откуда
𝛼= arccos
1
.
3
С
Угол между двумя прямыми:
М
.
Реши задачу:
3.В правильной
четырехугольной пирамиде
МАВСD,
все ребра которой равны 1,
найти угол между прямыми МО
и ВЕ, где точка Е – середина
ребра АМ.
Е•
D
•О
А
.
С
В
Угол между двумя прямыми:
Решение:
Проведу диагонали основания.
Из точки Е –середины АМ опускаем
перпендикуляр ЕК на плоскость АВСD.
ЕК – средняя линия ∆АОМ. Так как высота
МО⊥(АВС) и МО∥ЕК, то ЕК⊥(АВС), значит,
Е•
ЕК⊥ВК.
D
.
Поскольку
МО∥ЕК, то угол между прямыми
МО и медианой ВЕ равен ∠КЕВ=𝛼.
М
С
О
Все ребра пирамиды равны 1( по условию
В
1
3
А
задачи), то из ∆АВЕ, где АВ=1,АЕ= , ВЕ= .
2
2
1
.
2
2
2
2
2
В ∆АОМ АО=МО, тогда АО +МО =АМ , или 2АО =1, АО = ,
2
1
1
1
1
АО=МО= , КЕ= МО= .
КЕ 1
3 1 𝛼=arccos 6
2
2
2 2
Искомый угол из ∆ЕКВ cos 𝛼=ВЕ=2 2 : 2 = 6.
Угол между прямой и плоскостью:
4.В правильной четырехугольной призме
АВСDА₁В₁С₁D₁, стороны основания которой
A₁
равны 2, а боковые ребра равны 4, найти
угол между прямой АВ₁ и плоскостью ВDD₁.
Проведем диагонали АС и ВD основания.
. .Пусть О-точка пересечения диагоналей.
Заметим, что АО перпендикуляр, опущенный
из точки А на плоскость ВDD₁.
Тогда ∠АВ₁О есть угол между прямой АВ₁ и А
плоскостью ВDD₁
а
2
= =
2
2
22 + 42 =2
D₁
С₁
B₁
С
О
В
В прямоугольном ∆АВ₁О АО=
2,
АВ₁= АВ2 + ВВ₁2 или АВ₁=
5,
10
∠А𝐵₁О = arcsin
10
тогда sin ∠АВ₁О=
АО
=
2
=
10
.
Угол между прямой и плоскостью:
5.В правильной шестиугольной
призме А…F₁, все ребра которой
равны 1, найдите угол между
прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁. F₁
Обозначим точку МПроведу ВМ
пересечение прямых F₁C₁ иB₁D₁.
Далее, из точки В₁ опустим
.
перпендикуляр
В₁N на прямую ВМ.
Тогда ∠В₁АN =𝛼-искомый угол между
F
прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.
В прямоугольном ∆ВВ₁М известно: ВВ₁=1
E₁
D₁
М
C₁
B₁
A₁
3
(B₁D₁=2•D₁C₁sin 60),
2
А
7
ВВ₁2 + В₁М2 = .
2
М
N
E
1
2
С
(по условию), В₁М= В₁D₁=
тогда ВМ=
Заметим =, что ∆𝐵₁𝑁M ∼ ∆𝐵𝐵₁𝑀 (прямоугольные,
имеющие общий <В₁МN).
D
В
Угол
между
прямой
и
плоскостью
:
.
E₁
В прямоугольном ∆ВВ₁М известно: ВВ₁=1
1
3
В₁М= В₁D₁=
2
2
(по условию),
(B₁D₁=2•D₁C₁sin 60), тогда
ВМ=
.
ВВ₁2
+
F₁
7
2
В₁М = .
2
Имеем В₁N =
В₁N=
3
2
• 1:
7
2
М
М
C₁
B₁
A₁
Заметим , что ∆𝐵₁𝑁M ∼
∆𝐵𝐵₁𝑀 (прямоугольные,
имеющие общий <В₁МN.
21
(
7
D₁
N
E
D
F
С
В₁М 𝐵₁𝑁
из пропорции
= ,
ВМ 𝐵𝐵₁
). Так как АВ₁= 1 + 1= 2, то
из ∆ АВ₁N sin 𝑎= B₁N: АВ₁=
42
.
14
А
В
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
3
42
Угол между прямой и плоскостью:
Реши задачу:
6.В кубе А…D₁ найдите угол
между прямой АА₁ и плоскостью
. ВС₁D.
D₁
A₁
C₁
В₁
D
А
.
С
В
Угол между прямой и
плоскостью:
Решение:
Диагонали DB и АС пересекаются в О. С₁О –
медиана, биссектриса, высота вD₁
∆В𝐷𝐶₁
Угол между прямой АА₁ и плоскостью A₁
ВС₁D равен углу между прямой СС₁ и
плоскостью ВС₁D, т. е. < ОС₁С.
.
В ∆ОСС₁ СС₁=1, ОС =R –радиус
описанной окружности. Известно,
что в правильном четырехугольнике
со стороной а а =R 2, откуда R =
а .
1
или ОС= , где а=1.
2
2
Из прямоугольного ∆ОСС₁
C₁
В₁
D
С
О
А
ОС 1
tan а= =
СС₁ 2
В
а= arctg
1
2
, где а = ∠ОС₁С
Угол между двумя плоскостями:
7.В правильной шестиугольной призме
АF₁, все ребра которой равны 1,найдите
E₁
угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.
Проведу диагонали основания ВЕ и FD
F₁
D₁
М
А₁
В₁
В плоскости ВЕD₁ из точки D₁ опустим
А₁
. перпендикуляр D₁M на плоскость
𝛼
D
основания призмы.
E
Так как FE=ED и диагональ ВЕ проходит через
М
F
центр основания, то ЕМ – медиана,
М
биссектриса и высота ∆𝐹𝐸𝐷, точка М –
.
середина FD.
А
В
В прямоугольном ∆𝑀𝐷𝐷₁ имеем: DD₁=1,
Искомый угол
1
2
3
2
MD= FD= , тогда tg𝛼=
𝐷𝐷₁
, или tg𝛼
𝑀𝐷
=
2
.
3
𝛼=arctg
2
3
С₁
С
Угол между двумя плоскостями
:
М
8. В правильной треугольной
пирамиде МАВС с основанием АВС,
точка D - середина МА, точка Eсередина ребра МВ. Найдите угол
между плоскостями СDE и АВС, если
МС=18, АВ=12.
А
. Решение:
.СК – медиана, биссектриса и высота ∆АВС
Из точки N опустим перпендикуляр NF
.
на плоскость основания ∆АВС.
D
N
E
С
K
F
В
NF⊥DE и CN⊥DE, значит, ∠NCF- линейный угол между
плоскостями СDE и АВС.
Угол между двумя плоскостями
:
М
МО высота призмы.
В ∆АВС ВС= ОС• 3,
Из ∆МОС МО=
182
12
ОС= = 4
3
3.
D
N
− (4 3)²= 324 − 48=2 69.
E
С
А
1
NF= МО=
2
69- средняя линия
K
F
О
∆КОМ.
Из ∆КСВ, где ВС=12, ВК=6, КС= 144 − 36=6 3.
.
Следовательно, tg∠NCF=
𝑁𝐹
69
23
= =
.
𝐹𝐶 5 3
5
∠𝑁𝐶𝐹= arctg
В
23
.
5
Угол между двумя плоскостями:
9.В кубе А…D₁ найдите
углы между плоскостями
между АВС и АВ₁D₁.
D₁
A₁
C₁
В₁
.
D
А
.
С
В
Угол между двумя плоскостями:
В кубе А…D₁ найдите углы
между плоскостями между
АВС и АВ₁D₁.
A₁
Решение:
Очевидно, что в единичном кубе А…D₁
плоскость АВ₁D₁ ∥ плоскости ВС₁D,
.
так как ВD =B₁D₁, AB₁=DC₁ иAD₁=BC₁.
D₁
C₁
В₁
D
𝛼
С
Пусть О – точка пересечения
О
диагоналей AC и BD квадрата АВСD.
А
В
Тогда искомым линейным 𝛼 углом
. плоскостями АВС и плоскостью
между
𝛼 =arctg 2
ВС₁𝐷 , будет ∠С₁ОС=𝛼 В ∆ С₁ОС(∠С=90°), СС₁=1, ОС=R= 1 , тогда
tg𝛼=
𝐶𝐶₁
=
𝑂𝐶
2
2
Литература.
.
1. Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов
общеоразовательных учреждений.-М.:
Просвещение,2011.
2. Смирнова И.М.,Смирнов В.А. Эффектиная
подготовка к ЕГЭ.
- М.: Экзамен, 2008
3. Рыбкин Н. Сборник задач по геометрии.
Стереометрия для
9 и 10 классов.-М.: Просвещение, 1972.
.