метод конечных элементов

8 часть
8-1
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Методы решения системы уравнений деформируемой
среды
В предыдущих трех частях были созданы модели различных сред, т.е.
были составлены системы уравнений. При рассчете напряжений (также
деформированного состояния) в положении равновесия для деформируемой
среды реального объекта, можем найти такое решение системы уравнений
деформируемой среды
  ij, j  0 ;  ij   ji ; ii  ii ( i ) ; ij  ij (  ij ) ;
j
 i  ui,i
 ij  u i , j  u j, i ,
которое удовлетворяет граничные условия на поверхности реального
объекта.
Поверхности реальных объектов могут быть какими угодно, поэтому нет
гарантии, что для соответствующей системы всегда сможем найти
аналитическое решение. Аналитически решены задачи только для объектов с
простейшими формами. Инженерам же нужны методы, позволяющие решать
любую практическую задачу.
Традиционные приближенные методы решения, например численное
интегрирование, дают неудовлетворительные результаты с точки зрения
точности. В начале века инженеры стали использовать другие методы, которые
получили широкое возможности в последние 20 лет, благодаря развитию
компьютерной техники. В этой части рассмотрим основные идеи этих методов.
8.1. Принцип минимума потенциальной энергии
Различные исследователи, наблюдая одно и то же явление природы,
могут и математически описать его по-разному.
Рассмотрим находящуюся в равновесии систему. До этого мы
основывались на Ньютоновоской механике, которая утверждает, что система
находится в равновесии, если суммы проекций всех сил на оси равны нулю.
Другая группа сформулировала принцип минимума потенциальной энергии:
Система находится в равновесии, если ее потенциальная энергия
минимальна.
Этот принцип, как и законы Ньютона, получен из наблюдений за природой.
Каждый может убедиться, что шарик катится по изображенной на рисунке в
таблице (сл. стр.) поверхности до тех пор, пока не займет самое нижнее, из
возможных, положение, в котором его потенциальная энергия (энергия
положения) минимальна.
8.1.1. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия – это работа, накопленная системой в данном
положении.
В механике есть два вида потенциальной энергии :
a) Энергия, которую тело преобрело в результате того, что было поднято на
высоту h от земли (см. рис.8.1a.)   mgh ;
8-2
b) Энергия, которую тело преобрело в результате упругой деформации (см.
рис.8.1b.).
В процессе деформации сила меняется от нуля до некоторого значения.
Поэтому произведенную силой работу получим, проинтегрировав функцию
силы от перемещения
S
   R(u )du
0
Это означает, что накопленная при деформации энергия – это площадь фигуры
(интеграл), находящейся под графиком сила – перемещение.
1
U  cS2
2
S
R=cu
h
1
U  cu2
2
u
  mg h
S
Рис.8.1a
Рис.8.1b
Потенциальная энергия Π деформируемого тела состоит из накопленной
энергии деформируемого элемента U и энергии, потерянной внешними силами
H:
  UH.
8.2. Две физики – две механики
Принцип минимума потенциальной энергии содержит больше
информации, чем уравнения равновесия Ньютона. Так например (см. рис.
табл.8.1.), по Ньютону шарик находится в равновесии как в положении 1 так и в
положении 2, но минимум потенциальной энергии только в случае 1. В
положении 2 максимум потенциальной энергии и, следовательно, неустойчивое
положение равновесия. Это можно использовать для определения устойчивости
реального объекта.
Т.к. принцип минимума потенциальной энергии информативнее чем
уравнения Ньютона, то с помощью математики можно из принципа получить
уравнения Ньютона, но не наоборот.
8-3
Ньтоновская механика
Механика вариационных
принципов
Система занимает положение, в
котором потенциальная энергия
минимальна
В положении равновесия
k
 Fx  0
k
   min
2
G
1
N
Математика
Решение системы уравнений
Математика
Поиск минимума
 min -- > Устойчивое равновесие
 max -- >Неустойчивое равновесие
Проблема устойчивости ???
Проблема статической
неопределимости ?
Все задачи одинаковы
Табл.8.1
Мы не будем заниматься математическими задачами, а только покажем
на примере как обе механики дают один и тот же результат. Рассчитаем реакции
опор для балки на двух опорах R1 и R2.
Уравнения Ньютона
Минимум потенциальной энергии
R1
F
R2


A

A
2

1
A
A
B
B
a
l
a
   2  (  1   2 )(l  a / l )
l
0   Fxk ; 0   Fzk ;
 UH
H  F ; R k  ck  k
0   M kx ; 0   M ky ;
U  1 / 2R11 + 1 / 2R 2  2
k
k
k
k
0   Fyk ; 0   M kz
k
k
0  R1  R 2  F;
0  R 2l  Fa ;
R1  F(1  a / l )
  1 / 2(c121  c 2 22 )  F


 0;
 0;
 2
 1
c1  F(1  a / l )  0
c 2  Fa / l  0
R 2  Fa / l
Табл.8.2.
8-4
8.3. Потенциальная энергия деформируемой среды
Основные соотношения выведем для бесконечно малого куба (см. рис.8.2):
dz
σ
yx

yz

xy

zy
dy

zx
z
 xxdydz
yYY
y
 ZZ
 ZZ

dU xx
xXX
x
 x dx
xz
dx
Рис.8.2
Потенциальная энергия деформации куба есть сумма энергий всех 9 компонент
тензора напряжений  ij . На правой части рис.8.2. показана диаграмма только
одной компоненты  xx . Потенциальная энергия – это произведение силы на
перемещение. Силу получаем как произведение напряжения на площадь, на
которую оно действует (рис.8.2.  xxdydz ), а перемещение – как
произведение деформации на длину грани куба в том направлении, в котором
действует сила (рис.8.2.  x dx ).
x
x
dU xx    xxdydz d xdx  dx dy dz   xx d x
0
0
Если связь между деформацией и напряжением линейна (   E ), тогда
интеграл (площадь под графиком) есть треугольник
x
1
1
и dU xx   xx x dV , где
  xxd x   xx x
2
2
0
dV  dxdydz - объем куба.
Энергию деформации куба получим, суммируя энергию всех 9 напряжений
1
dU    dU ij     ij ijdV ,
2 i j
i j
где i=x, y, z и j=x, y, z – переменные индексы.
Кроме того здесь введено общее обозначение для линейных и угловых
деформаций
1
 ij  (u i , j  u i , j ) .
2
Потенциальную энергию дефомации всего объекта получим, суммируя энергию
всех кубов, т.е. интегрируя по всему объему V:
1
U   dU      ij ijdV .
2 i j V
V
8-5
Отняв от энергии U, полученной при деформации, энергию H, затраченную
внешними силами, получим полную потенциальную энергию :
1
  U  H   dU  H      ij ijdV  H .
2 i j V
V
8.4. Потенциальная энергия как функционал
В прмере, который рассмотрели в параграфе 8.2., потенциальная энергия
была функцией двух аргументов 1 и 2 -   ( 1 ,  2 ) . Ее минимум
ищем как минимум функции, т.е. приравнивая нулю производные по 1 и 2.
В предыдущем параграфе получили выражение потенциальной энергии
для всего деформируемого тела, интегрируя по всему объему функции
деформаций и напряжений. Это означает, что для того, чтоб найти минимум
потенциальной энергии, необходимо искать функции, обеспечивающие этот
минимум. Чтоб найти искомые функции необходимо в прцессе поиска
варьировать вид функции. Это означает, что в случае деформируемого тела
потенциальная энергия есть функционал, а не функция.
Функционал  - это определенный интеграл, численное значение
которого зависит от того, какая функция находится под знаком
интеграла.
b
   f ( x )dx .
a
Подставив в выражение  f(x)=Sin(x), получим одно значение , а если f(x)=x³,
то другое.
В правой части табл.8.3. на верхнем рисунке показана доска на двух
 min есть f ( x ) . Немного
~
отличающаяся (приближенная) функция обозначена f ( x ) . Разницу между

этими функциями называют вариацией функции f ( x ) . Функция f ( x) не
опорах. Истинная функция, обеспечивающая
возможна – конец доски находится вне опоры, не выполняются граничные
условия.
Далее вроде полная аналогия между минимумами функции и
функционала. Несчастье только в том, что в случае функционала необходимо в
~
определенном порядке расставить разнообразные функции f ( x ) для того, чтоб
в этом порядке брать производные. Это к сожалению невозможно и математике
неизвестны стандартные процедуры (такие как взятие производной), при
помощи которых можно было бы найти минимум функционала. Поэтому
неудивительно, что с 17 столетия до двадцатых годов нашего столетия принцип
минимума потенциальной энергии не находил применения в инженерной
практике.
8-6
 - функция
 - функционал
f y=f(x)
R1
F
R2



A
A
B
F
x
B
f(x)
x
a
l

f ( x)
~
f(x)
f(x)
 f(x)


1


f ( x )
d1
1
 min 

0
1

0
 2
f (x)
~
f ( x)
~
f (x)  f (x)  f (x)
~ ~
  ( f (x))  (f (x))
 min 
  0
Табл.8.3.
8. 5. Сущность метода приближенных вариаций
Используя
метод
приближенных
вариаций,
не
ищем
функцию,
минимизирующую функционал, а сами задаем ее вид ( x ) . Это дает
возможность интегрировать по всему объему. За неизвестное, которое
необходимо найти, принимается коэффициент C при прнятой функции
~
f (x)  C (x) .
После интегрирования потенциальная энергия станет
C . Дифференцируя
функцией
от
неизвестного
коэффициента
проинтегрированое выражение потенциальной энергии по коэффициенту C и
приравнивая эту производную нулю, получаем такое значение коэффициента
C,
при котором выбранная функция
( x )
8-7
имеет лучшее приближение к
точной функции f ( x ) .
Пример
Рассмотрим пример, для которого в параграфе 6.4.2. были
сформулированы граничные условия (см. рис.6.10. и рис.8.3.).
Граничные условия по
y
перемещениям:
u x ( x,0)  0;
u x ( x, h)  0;
u y ( x,0)  0;
u y ( x, h)   ;
II

III
IV
h
x
a
I
Симметрия:
Как видно,
деформированное
состояние симметрично
как в горизонтальной
так и в вертикальной
плоскости.
Рис.8.3.
Формулируя граничные условия, приняли, что размер, перпендикулярный
плоскости рисунка, (размер по оси z) во много раз больше размеров a и h. Это
позволяет упростить задачу, приняв что
u z  0; u x  u x ( x, y ); u y  u y ( x, y ).
Выберем следующие приближенные функции
~  Cx( y 2  yh );
u
x
6 y 3 y 2
~
uy  3 (  h) ,
2
h 3
которые удовлетворяют граничным условиям в перемещениях, а также
удовлетворяют требованиям симметрии. Граничные условия по напряжениям
можно не удовлетворять, т.к. они войдут в выражение потенциальной энергии
как работа внешних сил H. На lll и на lV поверхностях внешних сил нет, т.е.
F  0 и H  Fu( )  0 , а на верхней H  F .
Граничные условия по перемещениям называют главными
граничными условиями и им обязательно нужно удовлетворять, выбирая
приближенную функцию перемещений. Граничные условия по напряжениям
называют естественными граничными условиями и они выполняются сами
собой при минимизации потенциальной энергии.
Дальнейший порядок решения задачи:
- выразить все деформации через приближенные перемещения
~  1 ( u
~ u
~ );
ij
i, j
i, j
2
8-8
- выразить все напряжения через найденные деформации
~ 
~ ( ~ )  
~ (u
~

ij
ij ij
ij i ) ;
- проинтегрировать потенциальную энергию по всему объему
~ ~ 1
~
~ )~ ( u
~
   dU  H      ij (u
i ij i )dV  F .
2i jV
V
После интегрирования функционал потенциальной энергии становится
~
~
функцией   (C,  ) от двух пока неизвестных констант C и  . Их
определяем из двух алгебраических уравнений, которые получаем из условия
~

 0;
C
минимума
~

 0.

8.6. Алгоритм метода приближенных вариаций для деформируемого тела
1) Выбор модели среды (физических уравнений);
2) Описание внешней поверхности реального объекта;
3) Задание (главных) граничных условий по перемещениям ( u i  u i ( ) ).
Граничные условия по напряжениям ij  pij ( ) учитываются при записи
работы внешних сил H (естественные граничные условия);
4) Выбор функции перемещений ik  ik ( x, y , z ) , такой чтоб
a) выполнялись главные граничные условия u i  u i () ;
b) по возможности лучше описывалось бы деформированное состояние,
~   C  (x, y , z ) .
т.е. перемещения u
i
ik ik
k
5) Используя уравнения модели деформируемой сркды, выразить
~   ( ,  )  
~ (u
~

ij
ij i ij
ij i ) ;
6) Расчет накопленной энергии U
~ 1
~ ~
~ )~ ( u
~
U      ij ( u
i ij i )dV ---- > U  U(Cik ) ;
2 i jV
7) Расчет энергии, затраченной внешними силами H
~
~ ()d
H   piju
i
~
~
--- > H  H(pij , Cik ) ;

8) Дифференцирование потенциальной энергии
~ ~ ~
  U  H;

по всем
Cik
~

 0 , i  x , y , z; k  1,2...
Cik
9) Решение полученной системы алгебраических уравненийи нахождение всех
Cik .
10) зная все
~   C  (x, y , z ) и
Cik , знаем u
i
ik ik
k
8-9
~ 
~ ( ~ , ~ )  
~ (u
~

ij
ij i ij
ij i ) .
8.7. Проблема нахождения приближенной функции
Разберем этот вопрос на простейшем примере – случай поиска одной
приближенной функции ( x ) .
1
x
u( x )
~ ( x )  C sin x
u
a
C
a
2
C1 sin
C 2 sin
x
a
2x
a
~ ( x )  C sin x  C sin 2x
u
1
2
a
a
3
x1
~
1 (a)
~
2 (0)
a
Условия стыковки
b
~
~ (a )  u
~ (0);; ~
u
1 (a)  2 (0);
1
2
~ (a ) ~
du
1
 1 (a) ;
dx
~ ( 0) ~
du
2
 2 ( 0 ) ;
dx
~ ( x )  C sin x1
u
1 1
1
a
~ ( x )  C sin x 2
u
2 2
2
b
Табл.8.4.
x2
8-10
В первой строке табл.8.4. показана апроксимация при помощи одной
функции. Во второй строке в показанном примере сила приложенна не по
середине, задача несимметрична. Симметричную функцию дополняем второй
несимметричной, сумма которых может дать нисемметричное приближение.
Эту идею можно обобщить, записав ряд
~   C sin kx .
u
x
k
a
k
Это и была одна из основных идей аналитического решения задач.
Другой подход используется в примере в третьей строке. Апроксимацию
двух частей балки можно выполнить по схеме первого или второго примера, но
вывести ряд, который удовлетворял бы условию, что прогиб на средней опоре
равен нулю, очень трудно. Поэтому в основе апроксимации используется то, что
потенциальная энергия есть скаляр, т.е. величина, не зависящая от выбора
системы координат. Это дает возможность на каждом участке потенциальную
энергию  r считать в своей системе координат со своей апроксимацией и
общую потенциальную энергию получить как сумму
   r .
r
Осталось только позаботиться об стыковке участков. В рассмотренном примере
условия стыковки обеспечивают совпадение прогибов и углов поворота.
8.8. Апроксимация линии митодом конечных элементов (МКЭ)
Разовьем идею примера из третьей строчки табл.8.4. дальше. Зачем
участкам совпадать с межопорными расстояниями? Поделим линию на
множество участков (см. рис.8.4.) и в пределах каждого участка возьмем
простейшую апрксимацию. Так инженеры пришли к апрксимации, называемой
методом конечных элементов (МКЭ).
r-тый элемент
u(x)
r+1
yr
r-1
r+1
r
sr=1
r
sr
xr
x
2a
Рис. 8.4.
a
a
Рис. 8.5
В основе МКЭ:
a) Весь объект (в данном примере линию) делим на n одинаковых (но не
равных) частей. Далее будем называть их конечными элементами (см. рис.8.4.);
8-11
b) Все конечные элементы одинаковы, поэтому необходимые
зависимости надо выводить только один раз для типового конечного элемента
(см. рис.8.5.);
c) Выбираем элементам свои локальные координатные системы xr , y r
(см. рис.8.5.);
d) Формулируем условия стыковки для приближенных выражений
~
~
ur  ur ( x) . Для конечных элементов в виде линии это:
Слева (стыковка функции r-того элимента с (r-1) элементом):
~ ( a)  s (совпадение перемещений);
u
r
r
~
du
r ( a )   (совпадение углов касательных к линии).
r
dx r
Справа (стыковка функции r-того элимента с (r+1) элементом):
~ (a )  s ;
u
r
r 1
~
du
r (a )  
r 1 .
dx r
e) Выбираем самую простую из возможных апрксимаций, которая
обеспечивает выполнение условий стыковки с обеих сторон элемента. Нельзя
использовать простейшую функцию – прямую, как показано на рис.8.4., т.к. в
~  C  C x только две константы. А т.к. необходимо
уравнении прямой u
0
1
удовлетворить 4 условия стыковки, то полином должен содержать 4 константы
~ ( x)  C  C x  C x 2  C x 3 ;
u
r
0r
1r
2r
3r
f) Константы полинома выражаем через прогибы и углы поворота точек
~ ( x) и его производную
стыковки, т.е. в выражение u
r
~
du
r  C  2C x  3C x 2
1r
2r
3r
dx
подставляем координаты точки стыковки
C0r  C1ra  C2ra2  C3ra3 sr ,
C1r  2C2ra  3C3ra2  r ,
C0r  C1ra  C2ra2  C3ra 3  sr 1 ,
C1r  2C2ra  3C3ra2  r 1 .
Решаем эту систему алгебраических уравнений (неизвестные
C 3r ),
C 0r , C1r , C2r ,
и подставляем полученные величины в выражения перемещений.
Неизвестными остаются только перемещения и углы поворота точек стыковки
~ u
~ (s , s ,  ,  , x ) .
u
r
r r r 1 r r 1
8-12
8.9. МКЭ апроксимация для плоских задач
Если у реального объекта в одном направлении во всех поперечных
сечениях деформированные состояния одинаковы, тогда (см. пример параграфа
8.5 и рис.8.6.) тогда задачу решаем как двумерную и говорим, что задача
плоская.
m
F
F
Рис.8.6
Плоскость можно разбить на одинаковые (не обязательно равные) простые
фигуры – плоские конечные элементы. Простейший плоский конечный элемент
это треугольник (см. рис.8.7.). Нам необходимо найти апроксимирующие
выражения для двух перемещений (третьего в плоской задаче нет):
~x  u
~ x ( x, y ) и u
~y  u
~ y ( x, y ) . Так как конечный элемент один и тот же,
u
r
r
r
r
то далее можем рассуждать о двух перемещениях сразу и записать
~i  u
~ i ( x, y ) , помня, что i=x,y.
u
r
r
Можем принять линейную апроксимацию
u~ i r  C i 0 r  C i 1r x  C i 2 r y .
Т.к. эта апроксимация есть уравнение плоскости, то стыковка двух элементов
будет гарантирована, если совпадут перемещения в углах. Поэтому выражаем
константы через перемещения угловых точек, учитывая выбраную локальную
координатную систему
~ i r (0,0)  Ci or
sri  u
~ i r (a,0)  Ci 0r  Ci1r a
sri  1  u
;
;
~ i r (0, b )  Ci 0r  Ci 2r ;
sri 1  u
sr-1
8-13
sr+1
sr
yr
r-1
Граничные условия
x
s
b
xr
r
a
253
s y253
 s x254  s x255  0
 s y254  s y255  0
r+1
Рис.8.7
8.10. GEM aproksimācija telpiskam uzdevumam
Простейший пространственный элемент – это тетраедр (см. рис.8.8.)
F
r-1
~ i  Ci  Ci x  Ci y  Ci z
u
r
0r
1r
2r
3r
i  x, y, z;
8-14
r-2
i
3x4=12 констант Ckr
k=0,1,2,3.
s ri -- >12 неизвестных угловых точек
r
Рис.8.8.
r+1
8.11. Минимизация потенциальной энергии в МКЭ
Потенциальня энергия скалярная величина, поэтому рассчитаем ее для
типичного конечного элемента по схеме:
a) Подставим в МКЭ выражения, апроксимирующие перемещения,
(неизвестные константы – перемещения точек стыковки)
~ i r (s i r , s i r  1 ,.... x, y , z ) деформации  и напряжения  . Они тоже
u
ij
ij
содержат только эти неизвестные, т.е.
~ r  ~ r (s i r , s i r  1 ,.... x, y , z ) и 
~r  
~ r (s i r , s i r  1 ,.... x, y , z ) ;
ij
ij
ij
ij
b) Рассчитываем для типового элемента потенциальную энергию
деформации
1
~
~ r ij ( u
~ i )~ r ij ( u
~ i )dV ;
Ur     
r
r
2 i jV
c) Дифференцируем потенциальную энергиию деформации по
неизвестным точек стыковки
~
U r
s r
и сохраним полученное выражение в памяти компьютера;
d) Пронумеруем все точки стыковки расчитываемого объекта;
e) Составляем систему алгебраических уравнений, в которой каждая
строчка есть производная по определенной точке стыковки. Каждый
конкретный ряд создаем, беря выражение производной и помещая определенное
число на место r;
f) В тех точках, где заданы граничные условия по перемещениям
неизвестных нет (см. пример на рис.7.8). Поэтому эту строчку образует не
производная, а значение угловой точки из граничного условия;
g) Работа внешних сил
~
H   Fri sri , а ее производная по неизвестной s ri очевидно Fri .
r
Эта величина образует правую часть r-того алгебраического уравнения;
8-15
h) Компьютерная программа решает самой составленную систему
i
уравнений и находит все s r .
8.12. Сетка конечных элементов
Реальный объект на конечные элементы разбивает тот, кто считает. Для
иллюстрации покажем только один пример – растяжение плоского железного
стержня с отверстием.
Т.к. стержень плоский, то
задачу будем рассматривать как
плоскую. Выбираем треугольные
конечные элементы. Возникает
подозрение, что вокруг
отверстия могут быть большие
значения напряжений,
поэтому в этой зоне делим
мельче. В компьютерных
программах все это
проделывается автоматически.
Рис.8.9.
8-16
8.13. Алгоритм МКЭ. Резюме
1
Модель среды
2
Внешняя
поверхность 
3
Граничные условия по
перемещениям
ui= ui ()
4 Выбор функции перемещения – Метод конечных элементов
a) Выбор формы КЭ
b) Выбор апроксимирующего полинома
c) Выражение констант полинома через перемещения угловых точек
5
Выражение напряжений и деформаций
через функции перемещения
6
Расчет накопленной энергии
~
U
МКЭ делает это только для
одного типового элемента
в локальной сист. координат
МКЭ a) Для типичного элемента
b) В сумме
~
~
U   Ur
~
Ur
r
7 Расчет затраченной внешними
силами работы
~
H
8 Дифференцирование потенциальной
энергии
~ ~ ~
  U  H по
неизвестным константам
9
Решая систему алгебраических
уравнений, получаем неизвестные
константы
10 Используем полученные на 5 шаге
соотношения
~ 
~ (s i )

ij
ij r
В МКЭ как сумма проекций сил на
соответствующие перемещения
~
i i
угловых точек H    Fr s r
i r
МКЭ
~
 дифференцирует по
перемещениям угловых точек
~

sri
0
МКЭ получает перемещения
i
угловых точек s r
МКЭ находит напряжения в
в каждом элементе
~ r ij  
~ r ij (si )

r
8-17
8.14. Оценка ошибки расчета
Три источника ошибки расчета:
a) Ошибка, которую дает модель среды;
b) Ошибка апроксимации конечного элемента;
d) Ошибка неточности исходных данных.
Как уже упоминали ранее, нет точных матиматических доказательств
вариационных методов, а также и МКЭ. С другой стороны – никогда еще в
распоряжении инженера не было столь мощного и точного метода как МКЭ.
Для оценки точности МКЭ инженеры часто используют логику, которую
рассмотрим на плоской задаче. Тогда апроксимация перемещений (см.
~ i r  Ci 0r  Ci1r x  Ci 2r y;
u
параграф8.9.) ~x
u
r
~
r  Cx , т.е. на границах элемента
Деформации соответственно x 
1r
x
постоянная величина. Константой на границах является также напряжение
~ r  E ~ r  EC x . То, что на границах элемента напряжение постоянно

xx
x
1r
(см. рис.8.10.), конечно не обеспечивает совпадение напряжений в местах
стыковки. Таким образом, скачки характеризуют ошибку расчета.

~ rij1
~ rij
~ r 1  
~r

ij
ij
 
100%
r
~

ij
r
r-1
x
a
a
Рис.8.10
При построении графика напряжений, эти скачки не показываются, линия
проводится по средним значениям элементов.
8.15. Использование суперэлементов
При расчете реальной конструкции, например самолета, удобно всю
конструкцию разделить на основные детали. У каждой такой детали –
суперэлемента – могут быть различные конечные элементы, сетки.
Суперэлементы расчитываются как подзадачи. На рис.8.11. показана деталь с
сеткой конечных элементов. Расчитываем эту задачу, считая, что по внешнему
контуру суперэлемента (см. рис.8.12.) в тех же точках сетки пермещения
заданы. Соединяя два суперэлемента в конструкцию, необходимо позаботиться
8-18
о том, чтоб по точкам контура (а не только по углам как раньше!) перемещения
были одинаковы.
Применение суперэлементов
уменьшает
и
величину общей
алгебраической системы. Легко убедиться, что на площади, разделенной
2
конечными элементами на n умноженное на n частей, будут 2n неизвестных, а
в случае суперэлементов в контуре только 8(n  1) .
Рис.8.11
Рис.8.12
8.16.Применение МКЭ для различных сред
В этом разделе довольно подробно было рассмотрено применение МКЭ
для деформируемой среды. В инженерной практике это действительно наиболее
часто применяется. Также довольно часто МКЭ используется и для рассчета
потока жидкости и в аэродинамике.
По существу это еще проще, т.к. уравнения среды более простые.
Рассчет системы в равновесии будет такой же, только вместо 9 компонент
тензора напряжений остается только одна – давление.
При движении системы принцип минимума потенциальной энергии уже
не подходит. Вместо него надо использовать принципы, которые используют в
динамике, например принцип Гамильтона, который утверждает, что
Система движется так, чтобы значение функционала было
t
L   (  K )dt (K-кинетическая энергия)
0
постоянным, т.е. чтобы вариация L  0 .
Вопросы для проверки
1. Наблюдение в природе принципа минимума потенциальной энергии.
2. Рассчет накопленной потециальной энергии в процессе деформации.
3. Потенциальная энергия деформируемой системы.
8-19
4. Как с помощью принципа минимума потенциальной энергии определить,
устойчиво или нет положение равновесия?
5. Почему применяя принцип минимума потенциальной энергии, нет понятия
«статическая неопределимость»?
6. Рассчет накопленной потенциальной энергии в деформируемой среде.
7. Что такое функционал?
8. Почему выражение накопленной потенциальной энергии для
деформируемого тела есть функционал?
9. Почему при помощи математики нельзя найти функцию, минимизирующую
функционал?
10. Основная идея приближенного вариационного метода при расчетах
деформируемых систем.
11. Почему при использовании принципа минимума потенциальной энергии
приближенная функция не должна удовлетворять граничным условиям по
напряжениям?
12. Что такое главные и естественные граничные условия, почему?
13. Алгоритм приближенного метода вариаций для деформируемой среды.
14. Как можно улучшить точность приближенного метода вариаций?
15. Почему разбивая реальный объект на части, для каждой из частей
потенциальную энергию можем рассчитывать в свой системе координат?
16. МКЭ для аппроксимации линии.
17. МКЭ для плоской задачи.
18. МКЭ для пространственных задач.
19. Минимизация потенциальной энергии деформируемого тела применяя МКЭ.
20. Как образовывается сетка МКЭ?
21. Алгоритм применения МКЭ для деформируемого тела.
22. Оценка погрешности МКЭ.
23. Применение суперэлементов.
24. Применение МКЭ для жидкой среды.
25. Применение МКЭ для газообразной среды.