Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения

На правах рукописи
Доан Чак Луат
ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
С УЧЁТОМ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ И
ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Специальность
01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва - 2008
Работа выполнена на кафедре «Строительная механика и прочность» Московского авиационного института (государственного технического университета).
Научный руководитель:
- доктор технических наук,
профессор Лурье Сергей Альбертович
Официальные оппоненты:
- доктор физико-математических наук,
профессор Березин Александр Васильевич
- доктор технических наук,
профессор Смердов Андрей Анатольевич
Ведущая организация:
Московский авиационнотехнологический институт -МАТИ
Защита диссертации состоится ‘‘
’’ декабря 2008 г. в
часов на заседании
диссертационного совета Д 212.125.05 Московского авиационного института
(государственного технического университета) по адресу: 125993, Москва, А80, ГСП, Волоколамское шоссе, д.4.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета).
Автореферат разослан “____” ноября 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
Жаворонок Сергей Игоревич
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации.
Конструктивные элементы из композиционных материалов широко используются не только в авиации, но и в судостроении, различных отраслях машиностроения, строительстве. Композиционные материалы (КМ) в настоящее
время являются наиболее перспективными материалами ибо обладают высокими удельными механическими характеристиками. В современных КМ уже
практически отсутствуют многие отрицательные качества (например, сложность технологии, дороговизна материалов, нестабильность механических характеристик и пр.), присущие КМ на ранних этапах их использования. Это позволяет более широко использовать КМ в силовых элементах самого широкого
назначения. Одним из основных условий при определении параметров таких
конструкций является требование минимума массы при выполнении прочности,
необходимой жесткости, надежности, обеспечения необходимых величин механических характеристик во время эксплуатации агрегата и др.
Использование КМ для изготовлении конкретных конструкций из КМ не
может быть осуществлено без проведения необходимых прочностных расчетов,
учитывающих специфику композиционных материалов. Для этого должны
быть привлечены соответствующие расчетные модели, учитывающие анизотропию свойств композитов, сравнительно низкие трансверсальные прочностные характеристики КМ, а также свойственные этим материалам, процессы изменения механических свойств из-за накопления рассеянных повреждений. В
отличие от традиционных металлических сплавов, в слоистых композитных материалах процессы деградации свойств фактически начинаются с начального
этапа нагружения и поэтому должны учитываться для всех элементов конструкции с относительно длительным временем эксплуатации. При этом
накопленный опыт эксплуатации композитных конструкций и анализ механизмов разрушения КМ показывает, что процесс накопления повреждений в слоистых композитах определяется главным образом трансверсальным растрескиванием слоев и последующим развитием трещин расслаивания.
Поэтому актуальной задачей является решение комплексной проблемы
по разработке моделей накопления повреждений при трансверсальном растрескивании и последующем расслоении, алгоритмов определения напряженнодеформированного состояния (НДС) с учетом поврежденности. Актуальной является также задача развития и тестировании алгоритмов и методик оценки деградации свойств материала из-за роста поврежденности, при статическом и
циклическом воздействии, задача оценки прочности и долговечности конструкций в зонах действия максимальных напряжений. Именно эти задачи и
решаются в диссертационной работе. Поэтому тема диссертации является актуальной.
Цель диссертационной работы Цель диссертационной работы состоит в
разработке комплексной методики учета накопления повреждений, в разработке алгоритмов оценки изменения механических характеристик слоистого ком3
позиционного материала (деградации свойств), алгоритмов уточнения напряженного состояния в связи с учетом накопленной поврежденности и методики
оценки прочности конструкций на примере подкрепленных композитных панелей. Поставленная цель достигается на основании решения следующих задач:
1. Разработка моделей накопления повреждений, связанных с предварительной поврежденностью из-за роста поперечных микротрещин и
трансверсальным растрескиванием.
2. Построение модели деградации свойств монослоев и эффективных характеристик композитного материала произвольной структуры с учетом параметров структуры ( hi ,  i ), уровня нагружения монослоев из-за трансверсального растрескивания.
3. Разработка алгоритма уточнения напряженного состояния композитного
пакета и оценки прочности конструктивного элемента с учетом накопленной поврежденности, с использованием МКЭ и процедуры последовательного уточнения.
4. Разработка модели накопления повреждений и модели деградации
свойств КМ при статическом и циклическом нагружении в случае, когда
поврежденность контролируется ростом межслойных трещин, возникающих из-за трансверсального растрескивания.
5. Отработка методики и иллюстрация алгоритмов учета поврежденности на
примере типового элемента конструкции с зонами интенсивной концентрации напряжений - подкрепленной панели с разрушенным силовым
стрингером. Для эффективного определения зон концентрации напряжений, характерных зон поврежденности с наиболее интенсивной деградацией механических свойств в подкрепленной панели с разрушенным силовым стрингером, дается построение приближенного аналитического
решения в усилиях. Показывается его эффективность и высокая точность
путем сравнения с решением МКЭ.
Научная новизна полученных результатов:
1. Построено приближенное аналитическое решение в усилиях для определения напряженно-деформированного состояния в типовых плоских подкрепленных панелей из композиционного материала, с высокими градиентами напряжений, которое расширяет класс точных решений важных
прикладных задач о включении. Построенное решение является основой
для исследования НДС конструкции, определения наиболее нагруженных
областей, где ожидается существенное развитие поврежденности в элементах композитных конструкций.
2. Получено обобщение задачи о транстверсальном растрескивании в одном
из слоев композитной структуры на случай произвольной структуры, в то
время как ранее эта задача была решена для продольно-поперечной
структуры.
4
3. Изучен важный для практических расчетов случай развития трансверсального растрескивания с последовательным образованием первой и
второй системы поперечных микротрещин, даны оценки изменения
трансверсальных характеристик монослоев и структуры в целом.
4. Предложена прикладная модель роста поврежденности, учитывающая
трансверсальное растрескивание и конечное расслоение около микротрещин. Проведено исследование влияния роста поврежденности, связанного с поперечным растрескиванием и межслойным расслоением, на накопление дефектов и изменение механических свойств многослойной структуры.
5. Новой является прикладная методика учета деградации свойств из-за роста поврежденности при расчете НДС, использующая известные методы
численного расчета (МКЭ) и процедуру последовательного уточнения.
Достоверность результатов основана на использовании обоснованных
теоретических подходов при решении поставленных задач, на сопоставлении
теоретических результатов аналитических решений с результатами, найденными прямым расчетом методом конечного элемента, а также подтверждается
сравнением результатов моделирования с результатами других авторов и экспериментальными данными, приведенными в литературе.
Практическая значимость.
Полученные в диссертации модели роста поврежденности, методики пересчета характеристик композита с учетом накопленной поврежденности, методики уточнения напряженного состояния позволяют получать обоснованные
и достаточно точные данные по учету роста микродефектов, деградации
свойств в многослойных волокнистых материалах при статическом и циклическом нагружении, по распределению напряжений в элементах конструкции с
учетом накопленной поврежденности и с учетом изменения механических характеристик материалов. Разработанные алгоритмы позволяют определять предельную несущую способность конструкции в зависимости от типа и времени
нагружения. Результаты работы могут быть использованы на предприятиях, занимающихся расчетом аналогичных конструкций, а также в практике обучения
студентов технических Вузов.
Основные положения, выносимые на защиту:
Апробация работы. Основные результаты докладывались на научной
конференции аэрокосмического факультета (МАИ, 17 апреля - 2007), международной научной конференции МАИ и политехнического института Шанхая
(МАИ, 05 сентября - 2007), семинаре им. А.Г. Горшкова на каф. «Сопротивление материалов» МАИ под рук. Проф. Д. Тарлаковского и проф.Ф.Н. Шклярчука.
5
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 печатных работы,
одна из них в рецензированном издании из списка ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав,
заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 125 страниц
машинописного текста, включая 58 рисунков, 8 таблиц. Библиографический
список включает 101 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения и трех глав.
Во введении приводится краткий обзор работ, посвященных моделированию накоплений повреждений в композиционных материалах и моделям деградации механических характеристик из-за развития микродефектов в процессе нагружения, особенностям расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов и особенностям разрушения композитов. Отмечена актуальность диссертационного исследования,
сформулирована цель работы. Изложены основные положения работы по разделам. Дается характеристика научной новизны, достоверности и обосновывается ее практическая ценность.
Анализ литературы показал, что для композиционных материалов необходимо учитывать многообразие форм разрушения, основными из которых являются разрыв волокон, разрушение связующего в слое, расслоение многослойной структуры. Это приводит в процессе эксплуатации композиционных
конструкций к снижению жесткости и прочности как отдельных слоев, так и
структуры в целом. Процесс разрушения материала при статических и циклических нагружениях зависит от многих факторов и, прежде всего от возникающих
в слоях материала напряжений и деформаций, а также от свойств волокон и
матрицы, схемы укладки слоев, особенностей отверждения, действия температуры, содержания влаги и др. Более полное моделирование реальных физических соотношений между напряжениями и деформациями в слоях структуры в
зависимости от напряженно-деформированного состояния, числа циклов
нагружения, и пр. позволяет точнее предсказывать её работоспособность,
надежность и долговечность. Решение этих вопросов является актуальным и
требует проведения дальнейших теоретических и экспериментальных исследований.
В первой главе диссертации разрабатывается расчетная схема и метод
определения на напряженно-деформированного состояния конкретного типового элемента конструкции из композиционного материала, на котором в дальнейшем иллюстрируются и тестируются методики учета накопления повреждений. В качестве такого элемента конструкции с ярко выраженными зонами
концентрации напряжений рассматривается трехстрингерная панель, в которой
обшивка и средний подкрепляющий элемент на свободном краю не нагружены,
а вся нагрузка передается через два крайних стрингера. Противоположный
6
край панели плолностью закреплен. Все параметры, оси координат и нагрузка
панели приведены на рис. 1.
EF
y
P
a
a
N1(x)
P
x Ex , Ey , Gxy , xy , h
Nx
Nxy
N2(x)
a
Ex , Ey , Gxy , xy , h
Nxy
Nx
EF
P
P
EF
N1(x)
as
l
Рис. 1.
Строится приближенное аналитическое решение в напряжениях, которое затем
тестируется путем сравнения с решением, найденным по методу конечного
элемента. Считается, что обшивка в панели работает в условиях плоского
напряженного состояния, а стрингеры сопротивляются растяжению – сжатию.
Тогда в каждой из обшивок возникают усилия N x ( x, y ) , N y ( x, y ) , N xy ( x, y) , а в
поясах силы N1 ( x) , N 2 ( x ) , N3 ( x) . Принимается, что в пластине усилия
N x ( x, y ) меняются по закону: N x  N 0 ( x)  N 01 ( x)(1  y 2 / a 2 ) , где первое слагаемое учитывает постоянную невозмущенную часть напряженного состояния, а
второе слагаемое учитывает концентрацию напряжений в районе поперечных
границ панели. Постоянная часть усилия N x находится при решении первой за2hEx
дачи от действия сил P на границе панели: N 0 ( x) 
P.
3EF  2ahEx
После удовлетворения статическим уравнениям для отсеченной части панели,
N xy N y
N x N xy

 0,

 0 , и стауравнениям равновесия в обшивках:
x
y
x
y
тическим граничным условиям при y   a устанавливается, что все неизвестные силовые факторы напряженного состояния выражаются через силу в
поясе N 1 и усилие в панели N 01 , т.е. задача два раза статически неопределима.
Для получения уравнений совместности деформаций и определения статических неизвестных используется принцип наименьшей работы. Дополнительная
потенциальная энергия для рассматриваемой конструкции имеет вид:
l
a
 N x2
 xy
N y2 N xy2  
1  2 N12 N 22
U  

 2 
2
NxN y 

(1)
 dy dx
E
2 0  EF EF
E
h
E
h
Gh
xh
x
y
0
 
После подстановки в (1) выражений для сил и усилий и интегрирования их по
координате y получим:
l
 , N 01
 , N 01 , N1, N1, N1 , x) dx .
U    ( N 01
0
7
Минимизируя записаннный функционал получим два дифференциальных уравнения совместности деформаций для определения неизвестных в форме:
2
83 a 4 IV
7  xy a 23 a 2 " 16 a
2 a3 IV 2a " 6
N01  (

) N01 
N01  
N1 
N1 
N1;
60 hE y
6 hEx
6 hG
3 EF
3 hE y
hG
EF
3
1634 a 5 IV 1588  xy a 2404 a 3
64 a 2 56 a
"
N 01  (

) N 01  (

) N 01 
567 hE y
315 hEx
315 hG
9 EF 15 hE x

4
2
7  xy a
2
(2)
83 a
23 a
16 a
N1IV  (

) N1" 
N1
60 hE y
6 hEx
6 hG
3 EF
Постояннын интегрирования определяются из следующих граничных условий:
статические условия при x  0 N1  P; N 2  0; N x  0; N xy  0 .
кинематические условия при значении x  l формулируются в форме
естественных граничныхе условий:

d    

d    
 0,
 0,
(3)
 0,
 0.
 " 
 " 
'
'
"
"
dx  N1  N1
dx  N 01  N 01
N1
N 01
Для конкретизации и упрощения записи решения уравнений (2) рассмотрим три
варианта панелей, у которых различаются только площади поперечных сечений
стрингеров. Принимаются для рассматриваемых вариантов конструкции следующие значения параметров (рис. 1):
a  0,1м, l  2 м, P  200000 н, площади поперечных сечений стрингеров вариантов F1  0,00075 м2, F2  0,00045 м2, F3  0,00025 м2, и соответствующие модули упругости стрингеров E  107270 MПa, E  98540 MПa, E  80860 MПa.
Структура
материала
панели
имеет
слои
с
углами
укладки
1  2   / 4 , 3   / 2 и соответствующими толщинами h1  h2  h3  0,001 м.
Принимаются следующие характеристики для монослоя материала стенки: модуль вдоль направления волокон E1  120000 МПа, поперек направления
E2  9000 МПа, модуль сдвига G12  6000 МПа, больший коэффициент Пуассона
21  0,28 .
С этими параметрами панели графики распределения усилий в стрингерах, усилий в обшивке и напряжений в слоях представлены на рис. 2 – рис. 4. На рис. 2
показаны изменения усилий N1 и N 2 в продольных подкреплениях. На рис. 3
представлено сравнение аналитического решения распределения усилий в подкрепляющих стрингерах N1 и N 2 с численным решением этой же задачи, выполненной с помощью программы NASTRAN.
8
График сил N1(x) и N2(x) в стрингерах
При F=2.5cm2 , E=80.86GPa
250000
200000
N1 по Nastran
N1, N2
150000
N1 по Maple
N2 по Nastran
N2 по Maple
100000
50000
0
x
Рис. 3. Сравнение аналитического решения с
решением, выполненной с помощью программы NASTRAN.
Рис. 2. Распределение усилий N 1 и N 2
( F3  0,00025 м2).
На рис. 4 показаны изменения усилий N x , N y и N xy .
Рис. 4. Усилия N x , N y и N xy ( F3  0,00025 м2).
Как видно из приведенных рисунков результаты аналитических расчетов и численных расчетов хорошо совпадают. Отметим, что аналитическое решение, как
более простое является предпочтительным, особенно в задачах определения
напряженного состояния в проектировочных расчетах.
В работе, по результатам такого аналитического решения выявляются наиболее
нагруженные области конструкции, в которых ожидается интенсивный процесс
накопления повреждений и возможно разрушение. В дальнейшем на основании
решений, полученных аналитически делаются предварительные оценки о
уровне повреждений, соответствующих уровню концентрации напряжений и
об уровне деградации свойств в зонах концентрации напряжений. Из графиков
9
видно, что усилия в стрингерах и панелях быстро изменяются в местах приложения нагрузки P и концентрация напряжений может приводить к полному
разрушению конструкции.
Во второй главе дается оценка влияния дефектов типа расстрескивания
на распределение напряженного состояния в слоях структуры. Предполагается,
что для многослойных структур дефекты в виде поперечной трещины могут
возникнуть в монослоях с различной ориентацией по отношению к действующей нагрузке. Последовательно рассматривается развитие поврежденности от
образования поперечных микротрещин (без образования полного растрескивания), затем полное растрескивание в одном или нескольких слоях слоистой системы, и , наконец, межслойное растрескивание с образованием межслойных
трещин в зонах трансверсальных трещин. Сначала приводится кинетическая
модель поврежденности, которая контролируется поперечным растрескиванием
(без образования полной поперечной микротрещины) – рис. 5 (слева).
2Xf
Рис. 5. Растрескивание и расслоение.
Используется скалярный вариант модели роста поврежденности:
ds
dP
dS
 a  bs  t  ,
 v t  ,
 s0v  t   aP  bS
dt
dt
dt
с начальными условиями: S|  S0 , P|  P0 , s|  s0
t  t0
t t 0
(4)
t t 0
Для случая поперечного растрескивания принимаем что a  0 . При расчете поврежденности при квазистатическом нагружении параметр процесса
определяется уровнем нагружения элемента te   /[ ], t g   /[ ] , где:  ,  текущий уровень нагружения; [ ] , [ ] - предельные напряжения.
Для трансверсального модуля упругости и модуля сдвига принимаются
следующие законы деградации:
E i2  E 2 o 1  K Ei S E (te , , )  G12i  G12 o 1  K Gi SG (t g , , ) 
(5)
где E2 o , G12o модули упругости неповрежденного материала.
Параметр K Ei определяет зависимость скорости изменения поперечного модуля упругости в монослое от действующих в слое растягивающих поперечных
напряжений, (считаем, что в случае сжатия микротрещины по крайней мере не
растут). K Gi определяет зависимость скорости изменения модуля сдвига от дей-
10
ствующих в слое растягивающих поперечных напряжений и напряжений сдвига. Эти коэффициенты можно представить в виде:
m
i
i
  i m   i   i m 








2
2
2
2
i
i
i
12
(6)
K Ei  K Eo f KE  2i   K Eo 
 
 , KG  KGo f KG  2 , 12   KGo    
2


2

b
b
 b  


 
где m0 , m , m - микропараметры, определяемые из эксперимента, K Eo , K Go
- макропараметры, определяемые из макроэксперимента для механических
свойств, например, модулей упругости.
Алгоритм определения параметров модели сводится к следующим шагам:
После определения напряжения  2(i ) и  12(i ) в каждом слое в пакете, находим формулы для описания деградации эффективных характеристик структуры
используя модель деградации монослоев (5), (6) для чего для конкретной, тестовой структуры рассчитываются жесткости реального поврежденного материала Bij по известным формулам механики композитов с эффективными мо
0

дулями E2i , G12i . Далее , по известным формулам механики композитов рассчитываются эффективные механические (технические) характеристики структуры
Ex (t , , ), Ey (t , , ), Gxy (t , , ) .
Затем предлагается использовать процедуру уточнения методом последовательных приближений. Для этого повторно рассчитываются деформации
структуры и деформации отдельных монослоев в следующей последовательности: находятся деформаций пакета слоев с учетом изменения механических
эффективных характеристик, определяются деформации монослоев , учитывая
условия совместности деформаций, находятся новые, уточненные значения
напряжений в монослоях. В результате , по формулам (5), (6) уточняются модули упругости в монослоях, а затем и эффективные характеристики структуры
в наиболее опасных областях концентрации напряжений.
На примере подкрепленной панели эта процедура используется для переопределения эффективных механических характеристик пакета в обшивке и
в стрингерах в зонах концентрации напряжений. При этом на первом этапе используются результаты аналитического решения. На втором этапе приходим к
необходимости рассматривать конструкцию с переменными по координатам
механическими характеристиками. Поэтому далее используем численный расчет методом КЭ.
Рассмотрим конкретный случай, когда параметры рассматриваемой конструкции принимают выше конкретные значения с F  F3  0,00025 м2 (рис.
1).Результаты расчета даны в таблицах 1 и 2:
11
Таблица 1. Изменение модуля упругости крайних стрингеров Ес.
Изменение модули упругоси Ес ( Вариант : F = 2.5см2 )
1-ый случай
Коор
дината
0
0,1
0,2
0,3
0,4
10
(Н)
Ec1
%
Ec0
195437
153741
127716
118147
114228
91,527
98,966
99,354
99,469
99,512
(*)
2-ый случай (**)
Ec1  Ec0
%
Ec0
8,472033
1,033852
0,645391
0,530454
0,487374
Ec2
%
Ec0
91,52797
98,96908
99,35666
99,47110
99,51389
Ec1  Ec2
%
Ec0
-8,73E-06
-0,002938
-0,002051
-0,001555
-0,001272
3-ий случай (***)
Ec2
%
Ec0
91,52796
98,96614
99,32485
99,44611
99,49217
Ec1  Ec2
%
Ec0
5,1E-06
2,71E-06
0,029751
0,023431
0,020453
В таблице 1 используются следующие обозначения:
(*) : «идеальная структура» без микроповреждений;
(**) : не учитывается накопление повреждений в панели, повреждение
затрагивает только материал стрингеров;
(***): общий случай, когда учитывается накопление повреждений и в
стрингерах и в обшивке .
Таблица 2. Результаты уточнения усилий и деформации в крайних стрингерах.
Изменение силы и деформации в крайних стрингерах ( Вариант : F = 2.5см2 )
1-ый случай
2-ый случай
3-ый случай
Коор
100 0
дината
N10
N1
N1
 N1 100 ( x)  %1
 N1 100 ( x)  %1
0 195437 0.966
0.1 153741 0.760
195121
-0.1617
1.054
9.079
195621 0.094
1.057
9.359
153570
-0.1113
0.767
0.932
156695 1.921
0.783
2.986
0.2 127716
0.3 118147
0.631
127555
-0.1264
0.635
0.522
130015 1.799
0.647
2.460
0.584
118010
-0.1167
0.586
0.415
120197 1.734
0.597
2.276
0.4 114228
0.565
114109
-0.1048
0.567
0.384
116115 1.651
0.577
2.149
Далее в разделе 2.3 моделируется поперечное растрескивание исследуется его влияние на изменение локальных характеристик и эффективных характеристик структуры. Рассмотривается деформация работу материала с симметричной структурой укладки волокон при растяжении до полного разрушения
(рис. 6). Цель данного раздела состоит в определении напряженного состояния
в окрестности разрушенной зоны и определение изменения локальных и эффективных модулях упругости.
Принимается гипотеза, что растрескивается внутренний слой. Для определения напряженного состояний в окрестности поперечной трещины используется методика предложенная А.А.Дудченко, В.В.Васильевым, А.Н Елпатьевским. Эта методика обобщается на случай растрескивания любого слоя в структуре. Алгоритм записывается в системе координат растрескиваемого слоя с
толщиной h2 (слоя с микротрещинами). Все остальная структура описывается
12
характеристиками Bij , а её толщина делится пополам и определяет толщину соседнего неповрежденного слоя h1 , Рис. 6.
Принимается, что во внутреннем слое появляется дефект в виде трещины
между волокнами. С учетом того, что в зоне трещины поврежденный слой разгружается, а соседние слои догружаются, напряжения могут быть выражены
через одну величину ~ x 2 :
  xi   i
 x1   x 3   10   x1 ( x)

0

x

z
 x 2   20   x 2 ( x)
(7)


 x1h1   x 2 h2
i
zi

0
 x z
h1
h2
h3
Рис. 6. Трансверсальное растрескивание.
Запишем дополнительную энергию рассматриваемой системы:
1 3
  xi2
 zi2 1   x zi  z xi 
 i2 
U  

 

(8)
 dx dz
  xi  zi 
2 Ezi 2  Exi Ezi 
2Gi 
0 i 1 h  2 E xi
Варьируя (8) по неизвестной функции ~ x 2 , получим уравнение совместности деформации в виде:
(9)
 IV  2a2 II  b4  0
(   x 2) .
i
Обычно в таких структурах композита коэффициент b 2  a 2 и решение (9)
записывается в виде:
  e k x  C1 sin k2 x  C2 cos k2 x   ek x  C3 sin k2 x  C4 cos k2 x  .
Решение исходной задачи (7) принимает вид :

k

k 2  k22  k x
 x 2   20 1  e k x  1 sin k2 x  cos k2 x   ,  2   20 1
e  sin k2 x  z
k
k
 2

2

На рисунке 7 показано распределение нормальных напряжений, для
структуры со следующими параметрами: материал панели имеет слои с углами
укладки 1  3  450 , 2   / 2 и толщинами h2  0,5h1 и h3  h1  0,001 (м).
Характеристики слоя материала приняты: модуль вдоль направления волокон
E1  120000 МПа, поперек направления E2  9000 МПа, модуль сдвига
G12  6000 МПа.
1
1
1
1
13
x   / k2
Рис.7. Соотношения напряжения
 x( i )
в слоях.
 i(0i )
Напряжение  x 2 достигает максимума при x  l1   / k2 , где в этой точке
 2  0 , причем это напряжение будет больше предела прочности ( x 2 ) max   b 2 .
Т.е. показано, что после этого в среднем слое образуется система трещин с расстоянием между ними 2 X f . После первого растрескивания с образованием системы микротрещин имеет образоваться и вторая система микротрещин. Если
нагрузка такова, что  2 превышает предельное напряжение [ 2 ] . В таком случае образуется система микротрещин с расстоянием между трещинами равным
2 X 'f , X 'f  X f / 2 .
Получены приближенные соотношения, позволяющие давать оценку изменения модулей упругости в слое с трансверсальными трещинами. Считается,
что после системы микротрещин в слое изменяется только его поперечный модуль упругости E2 :
E2 cp ( k )
 E2 cр (h1  h2 )  E1 h1 
1

, E2 cp  cp ( k ) /  cp ( k ) ,  cp ( k ) 
h2
2X f
Xf

Xf
2
dx
,
 2 cp ( k )  2W / 2 cp,  2cp  0,5 P /(h1  h2( k ) )
Величина удельной средной энергии деформации W считается по формуле (8). Дается приближенная оценка изменения и эффективного модуля
упругости после трансверсального растрескивания. Исследуются особенности
деформирования слоистой системы после образования первой системы микротрещин и после последующих систем трещин.
На графиках Рис. 8 видна последовательность разрушения каждой структуры. Во всех случаях происходит два последовательных растрескивания поперечного слоя, после чего он полностью выключается из работы и работает
только продольный слой до полного разрушения. Графики построены для
структуры с укладкой волокон 00 и 900 для трех разных отношений толщин h1
для продольного слоя к h2 поперечного слоя, при этом толщина h1 оставалась
постоянной. Принимаются следующие значения свойств однонаправленной
ленты: модуль вдоль направления волокон E1  120 ГПа, модуль поперек воло-
14
кон E 2  9 ГПа, модуль сдвига G12  6 ГПа, коэффициент Пуассона  21  0,28 ,
предел прочности вдоль направления волокон  b1 1200 МПа, поперёк волокон
-  b 2  40 МПа. При базовой расчетной толщине, равной h1  hb  1 мм, рассчитаны варианты: h2  h1 , h1  0,5h2 и h2  0,25h1 .
Показаны графики, иллюстрирующие деформирование поперечного слоя
в процессе его работы совместно с продольным слоем и последовательность
разрушения поперечного слоя. Из графиков видно, что после второго растрескивания, поперечной слой, где происходит растрескивание, выключается из работы. В этом случае следует принять E2 cp ( k )  0 .
На рисунке 8 последний участок диаграммы соответствует случаю, когда
поперечной слой полностью разрушен E2 cp ( k )  0 , а жесткость структуры определяется только жесткостью волокон. Это полностью соответствует графикам
рис. 9.
Диаграмма деформирования слоя с поперечными трещинами
Диаграмма деформирования слоистого пакета
Вторая система
трещин
Первая система
трещин
Рис. 8. Диаграмма деформирования слоистого пакета с учетом растрескивания
Рис. 9. Диаграмма деформирования
слоя с системой поперечных трещин
Как правило, поперечное растрескивание в силу концентрации напряжений ставится причины возникновения системы микротрещин межслойного расслоения. Локальные межслойные трещины появляются в окрестности поперечных микротрещин и оказывают существенное влияние на эффективные характеристики слоистых композитов, особенно на их сдвиговые характеристики. В
разделе 2.5 развивается алгоритм деградации свойств с учетом и расслоения,
которое инициируется трансверсальным растрескиванием.
Предлагается использовать следующие соотношения для учета влияния
расслоения на локальные свойства слоя с поперечными трещинами. Считается,
что в слое с микротрещинами изменяются все модули упругости за счет выключения из работы части материала слоя:
E1  K E E10 (1  k E ), G12 KGG12 0(1  k G ),
  l / X f , 2 l : длина трещины.
15
Коэффициенты K E , k E  , KG , k G  определяют часть материала выключенного из работы. Они определяются по данным экспериментальных испытаний для тестовой структуры.
Поперечный модуль упругости находится из следующего выражения:
[ 20(2) ]2
2
X f h2  
2 E2(2)
 ( X l )
( X f l )
f
[ 2(2) ]2
dx dz

 h / 2 2 E20
h2 / 2
2
Эффективные свойства пакета рассчитываются по формулам механики
композитов и зависят, таким образом от параметров расслоения   l / X f и l.
На рисунках 10 показаны зависимости эффективных характеристик от
параметра растрескивания   l / X f для двух типов структур когда расслоение
затронуло только поперечный слой: структура материала панели имеет слои с
углами укладки 1  3   ; 2   / 2 ,    / 4 и толщинами, при базовой
расчетной толщине, равной h1  hb  0,002 мм, рассчитано 2 варианта:
h2  0,5h1 , h2  0,25h1 . Характеристики слоя: модуль вдоль направления волокон E1  120000 МПа, поперек направления E2  9000 МПа, модуль сдвига
G12  6000 МПа.
h2  0,5h1
h2  0,25h1
Рис. 10. Деградация свойств пакета с ростом расслоения
Рассмотрены и более общие случаи, когда расслоение распространяется
на все слои системы. Общий алгоритм учета поврежденности при оценке
свойств композита, при уточнении напряженного состояния и при оценке
прочности приведен на рисунке 11.
16
АЛГОРИТМ УЧЕТА ПОВРЕЖДЕННОСТИ
НДС
Аналитический метод,
МКЭ
Критерии локалного разрушения
Определение зон поврежденности
и типов поврежденности
( МКЭ )
модель поврежденности с учетом
поперечного растрескивания и раслоения
( Квазистатический случай )
модель поврежденности с учетом
поперечного растрескивания
( Квазистатический случай )
Модули упругости
поврежденности КМ
( Ex , Ey , Gxy… )
МКЭ расчет НДС,
усилиях и деформациях
Критерии разрушения
( деформационный )
Рис. 11. Алгоритм учета поврежденности
Результаты учета растрескивания и расслоения при исследовании деформации подкрепленной панели приведены в таблице 3 для случая
F3  0,00025 м2 ( площади стрингера, рис. 1). Они получены по указанному
алгоритму.
Таблица 3. Усилия и деформации в крайних стрингерах.
Вариант : F = 2.5cm2 ,Изменение параметров из - за расслоение delta=0.05
1-ый случай (*) - без дефекта
2-ый случай (**) - расслоение
координата
0
0,1
0,2
0,3
0,4
N1

N1

(x)
%
195437,1
0,009668
91,52797
195978
0,276769
0,010592
9,558611662
153741,2
0,007605
98,96615
158146
2,865101
0,007905
3,9396845
127716,5
0,006318
99,35461
132973
4,115765
0,006621
4,792083714
118147,9
0,005845
99,46955
123702
4,700981
0,006152
5,259333473
Ec1/Ec0%
114228,8 0,005651 99,51263
119966 5,022533 0,005964 5,536892852
Вариант : F = 2.5cm2 , Изменение параметров из - за расслоение delta=0.1
1-ый случай (*) - без дефекта
2-ый случай (**) - расслоение
координата
0
0,1
0,2
0,3
0,4
N1

N1

(x)
%
195437,1
0,009668
91,52797
196036
0,306446
0,010595
9,591035707
153741,2
0,007605
98,96615
158358
3,002995
0,007916
4,079019122
127716,5
0,006318
99,35461
133540
4,559717
0,006649
5,238919624
118147,9
0,005845
99,46955
124415
5,304462
0,006187
5,866032676
114228,8
0,005651
99,51263
121207
6,108949
0,006025
6,628629544
Ec1/Ec0%
17
Вариант : F = 2.5cm2 , Изменение параметров из - за расслоение delta=0.3
1-ый случай (*) - без дефекта
2-ый случай (**) - расслоение
координата
0
0,1
0,2
0,3
0,4
N1

N1

(x)
%
195437,1
0,009668
91,52797
196167
0,373476
0,010602
9,664269325
153741,2
0,007605
98,96615
158878
3,341226
0,007942
4,420783288
127716,5
0,006318
99,35461
134899
5,623792
0,006717
6,309907282
118147,9
0,005845
99,46955
126165
6,785657
0,006274
7,35512609
Ec1/Ec0%
114228,8 0,005651 99,51263
124156 8,690609 0,006172 9,222933739
Вариант : F = 2.5cm2 , Изменение параметров из - за расслоение delta=0.5
1-ый случай (*) - без дефекта
2-ый случай (**) - расслоение
координата
0
0,1
0,2
0,3
0,4
N1

N1

(x)
%
195437,1
0,009668
91,52797
196280
0,431295
0,010608
9,727440309
153741,2
0,007605
98,96615
159483
3,734745
0,007972
4,818412752
127716,5
0,006318
99,35461
136448
6,836635
0,006794
7,530628313
118147,9
0,005845
99,46955
128264
8,562243
0,006379
9,141187277
114228,8
0,005651
99,51263
127476
11,59706
0,006337
12,1436153
Ec1/Ec0%
В третьей главе строится модель поврежденности с учетом поперечного
растрескивания и расслоения при циклическом нагружении. Для описания деградации свойств используется модель роста микродефектов-расслоений, которая фактически учитывает формулу Пэриса для скорости роста трещин от числа циклов нагружения, в предположении, что имеется пульсирующий цикл. В
результате получена следующая модель деградации трансверсальных свойств
для локальных слоев:
E2i  E2 o 1  K Ei Se  , G12i  G12 o 1  K Gi S g 
Где
4 3 
 





 
N 3 3S*
2
Se 
2  1 0 
 2  1 1 
  



3
N*  
   b 2    
 

3
4



  
N  3 3S*
 12   
Sg 
2  1 0 
 2  1 1 
  12    
3 
N*  

     
 
и

4


 
 
N*E  1  2  N*0  1  2  N*0
  b 2  
  b 2  
  
  

4


 
 
N*G  1  12  N*0  1  12  N*0
  12  
  12  
  
  
18
,   4;
Здесь N*0 - базовое число циклов, N*E - предельное число циклов до разрушения
в слое в поперечном направлении, N*E - число циклов до разрушения в слое от
сдвига.
Эффективные характеристики рассчитываются с исползованием известных соотношений механики композитов. Предполагается, что в данном случае
используется процедура уточненного пересчета по методу последовательных
приближений, которая была указана выше. Т.е. расчет ведется с использованием МКЭ.
На рисунках 12 приводятся зависимости изменения эффективных характеристик композиционного материала от числа циклов в крайних стрингерах
панели для
трех случаев площадей поперечных сечений стрингеров
2
F1  0,00075 м , F2  0,00045 м2, F3  0,00025 м2. Эти результаты получены в использованием процедуры численного пересчета по методу КЭ.
( F1  0,00075 м2)
( F2  0,00045 м2 )
( F3  0,00025 м2 )
Рис. 12. Изменение модули упругости и модули сдвига в месте приложения.
Деформации в крайних стрингерах в месте приложения
цислов ( рис. 13 ).
Приняты следующие исходные данные:
зависит от число
h1  h3  0,001( м) ; h2  0,013( м) ; 1  3   / 4 ; 2  00 ,
N*0  1.000.000; S*  1; S0  0,1.
Change deformation F=7,5cm2
Change deformation F=4,5cm2
epxilon x 1000
epxilon x 1000
2,476
2,475
2,474
2,473
2,472
4,492
11,400
4,490
11,300
4,488
11,200
epxilon x 1000
2,477
4,486
4,484
4,482
4,480
4,478
0
50000
100000
150000
200000
250000
11,000
10,900
10,800
10,600
0
5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
N
N
F2  0,00045 м2 .   0,5
F3  0,00025 м2 .   0,5
N
F1  0,00075 м2 .   0,5
11,100
10,700
4,476
2,471
Change deformation F=2,5cm2
Рис. 13. Рост деформаций из-за деградации свойств.
19
На графиках рисунков 13 показано кривые, иллюстрирующие роста деформаций с числом циклов нагружения в зоне концентрации напряжений из-за
накопления повреждений для трех случаев площадей поперечных сечений
стрингеров.
Графики представленные на рис. 12, 13 соответствуют случаю когда ни в
одном из слоев не произошло полного разрушения связующего из-за растрескивания и расслоения. Представленный в работе алгоритм предусматривает
возможность прогноза поведения слоистого композита и в более общем случае, когда связующее разрушается в одном или нескольких слоях композитной
структуры в процессе циклического нагружения из-за роста поврежденности.
Зависимости, приведенные на рис. 13 позволяют оценивать и долговременную прочность, как предельное число циклов нагружений при которых деформации в зонах концентрации напряжений достигают предельного значения.
На рисунке 14 схематично изображен алгоритм учета поврежденности
при циклическом нагружении
АЛГОРИТМ УЧЕТА ПОВРЕЖДЕННОСТИ (общий случай)
НДС
Аналитический метод,
МКЭ
Критерии локалного разрушения
Определение зон поврежденности
и типов поврежденности
( МКЭ )
модель поврежденности с учетом
поперечного растрескивания
( Квазистатический случай )
модель поврежденности с учетом
поперечного растрескивания и раслоения
( Квазистатический случай )
Модули упругости
поврежденности КМ
( Ex , Ey , Gxy… )
модель поврежденности
при циклическом нагружении
МКЭ расчет НДС,
усилиях и деформациях
Критерии разрушения
( деформационный )
Рис. 14. Агоритм учета поврежденности – общий случай.
20
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Дано решение в напряжениях и разработан алгоритм определения
напряженного состояния в плоской подкрепленной панели в аналитической форме. Разработанный алгоритм легко реализуем на персональных
компьютерах и является эффективным при решении задач проектирования рассматриваемого класса конструкций. Показано, что аналитическое
решение позволяет оценить зоны поврежденности и получить оценку
изменения модулей упругости в первом приближении.
2. Предложена модель накопления рассеянных повреждений, связанных с
механизмом развития поперечных микротрещин в отдельных монослоях
композитного материала.
3. Разработана модель деградации модулей упругости отдельных монослоев и модель изменения эффективных свойств (деградации) композитного
материала в целом для случая развития поперечных микротрещин. Модель и соответствующий алгоритм расчета эффективных свойств учитывает уровень напряженного состояния в отдельных монослоях и параметры структуры.
4. Дано обобщение метода расчета напряженного состояния в окрестности
трещины поперечного растрескивания, разработанного ранее для продольно-поперечной структуры, на случай произвольной структуры композита. В результате предлагается алгоритм расчета напряжений, расстояний между трещинами поперечного растрескивания, оценка уровней
поперечных модулей упругости в повреждаемом слое при образовании
последовательно первой и второй системы микротрещин при квазистатическом нагружении.
5. Предложена модель накопления повреждений по механизму поперечного
растрескивания и последующего расслоения слоистых композитов, который главным образом и определяет деградацию свойств реальных композитов. Фактически предлагается модель поврежденности, учитывающая
двухэтапный характер роста поврежденности, когда поперечное растрескивание сменяется межслойным расслоением при квазистатическом
нагружении.
6. Разработана модель деградации и алгоритм расчета свойств монослоев
и эффективных модулей упругости композита при растрескивании и
межслойном расслоении при статическом и циклическом нагружениях,
учитывающая уровень нагружения в отдельных монослоях структуры и
все параметры структуры.
7. Разработан алгоритм учета уровня поврежденности растрескивания –
расслоения и соответствующей деградации механических свойств при
расчете напряженного состояния численными методами. Алгоритм основан на использовании процедуры последовательного уточнения и позво21
ляет, в результате, определять предельные свойства композита и судить
об остаточной прочности конструкции.
Публикации по теме диссертации:
1. Доан Чак Луат. Расчет подкрепленных панелей с усчетом краевого дефекта на прочность. / В сб. трудов конференции студентов и аспирантов Аэрокосмического факультета МАИ, 2007. С. 164 – 169.
2. Доан Чак Луат. Определение напряженного состояния в подкрепленной
композитной панели, имеющей краевой дефект. / В сб. трудов международной
конференции МАИ и политехнического института Шанхая, 2007. С. 6 – 10.
3. Доан Чак Луат, С.А.Лурье, А.А. Дудченко Моделирование деградации
свойств композита при растрескивании и расслоении при статическом и циклическом нагружениию //Механика композиционных материалов и конструкций,
Изд. РАН. 2008, Т.14, № 4 (принято к печати).
22