Математическое моделирование альвеолярного газообмена при проведении нагрузочных тестов А.В. Голов
advertisement
Математическое моделирование альвеолярного газообмена при проведении нагрузочных тестов А.В. Голов1, С.С. Симаков1 1Московский физико-технический институт (государственный университет) Математические методы и модели в задачах спорта, 24.09.2015 1 Структура дыхательной системы Альвеолы на концах бронхиального дерева Бронхиальное дерево Газообмен в альвеолах 2 Модель движения воздуха в легких 1) Иерархическая система эластичных трубок 2) Интегральный расчет альвеолярных объемов 3) Нестационарная одномерная модель движения несжимаемой жидкости 4) Конвективно-диффузионные уравнения переноса 3 Модель движения воздуха в легких 1) Закон сохранения массы 𝜕 𝑆𝑘 (𝑡, 𝑥 ∙ 𝑢𝑘 (𝑡, 𝑥 𝜕𝑆𝑘 (𝑡, 𝑥 + 𝜕t 𝜕𝑥 2) Закон сохранения импульса 𝜕𝑢𝑘 (𝑡, 𝑥 𝜕 𝑢𝑘2 (𝑡, 𝑥 𝑝𝑘 + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜌 3) Уравнение состояния =0 2 𝑝𝑘 𝑆𝑘 = 𝜌𝑐0𝑘 𝑓𝑘 𝑆𝑘 𝑓𝑘 𝑆𝑘 = 𝑆𝑘 𝑆𝑘 −1 4 Условия стыковки сосудов 1) Соотношение Бернулли 2) Равенство втекающих и вытекающих в узел потоков 3) Условие совместности 𝑝𝑘 𝜌 + 2 𝑢𝑘 2 = const 𝜀𝑘 𝑆𝑘 (𝑡, 𝑥 𝑢𝑘 (𝑡, 𝑥 = 0 𝜀𝑘 = ±1 𝑢𝑘𝑛+1 𝑡, 𝑥 = 𝛼𝑘𝑛+1 𝑆𝑘𝑛+1 𝑡, 𝑥 + 𝛽𝑘𝑛+1 2N +1 уравнение 5 Движение воздуха в альвеолах 𝑖 𝑖 2𝑉𝑖 𝑑 𝑑𝑉 𝑉 𝑎𝑙𝑣 𝑎𝑙𝑣 𝑎𝑙𝑣 𝑖 𝑖 𝑖 𝐼𝑎𝑙𝑣 + 𝑅𝑎𝑙𝑣 + 𝑖 = 𝑝𝑎𝑙𝑣 − 𝑝𝑔𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶𝑎𝑙𝑣 𝑖 𝑑𝑉𝑎𝑙𝑣 = 𝑄𝑘,𝑖 𝑑𝑡 𝑄𝑘,𝑖 = 𝑆𝑘 𝑡, 𝑥 𝑢𝑘 𝑡, 𝑥 𝑖 𝑖 𝑝𝑎𝑙𝑣 𝑡 = 𝑝𝑏𝑟𝑜𝑛𝑐ℎ (𝑆𝑘 𝑡, 𝑥 𝑖 - Инерционность стенок i-ой компоненты 𝐼𝑎𝑙𝑣 альв. объема 𝑖 𝑅𝑎𝑙𝑣 - Гидродинамическое сопротивление i-ой компоненты альв. объема 𝑖 - Растяжимость i-ой компоненты альв. объема 𝐶𝑎𝑙𝑣 6 Транспорт веществ 1) Уравнение переноса веществ в бронхиальном дереве 2) Уравнение концентрации в альвеолярном объеме 𝜕с𝑘 𝜕𝑡 𝜕𝑐𝑘 + 𝑢𝑘 𝜕𝑥 = 𝜕 2 𝑐𝑘 𝜃 2 𝜕𝑥 +F 𝑖 𝑑 𝑉𝑎𝑙𝑣 с𝑖𝑎𝑙𝑣 𝑛 = 𝑐 𝑖 𝑄𝑘,𝑖 + 𝜑 𝑐𝑙𝑢𝑛𝑔 − с𝑖𝑎𝑙𝑣 𝑑𝑡 𝑐𝑖 = с𝑖𝑎𝑙𝑣 , 𝑄𝑘,𝑖 < 0 𝑘 𝑐𝑏𝑟𝑜𝑛𝑐ℎ , 𝑄𝑘,𝑖 > 0 7 Структура трахейно-бронхиального дерева Структура старших поколений трахейнобронхиального дерева. Схематичное представление одномерной структуры старших поколений 8 Ступенчатый нагрузочный тест 9 Глобальная модель массопереноса Бронхиальное дерево Легочный круг Большой круг Сердце 10 Заключение 1) Исследование индивидуальных особенностей газообмена на основе данных MRI 2) Моделирование режимах нагрузки откликов организма при различных 3) Численная оценка толерантности к физическим нагрузкам 11
