2. Лекция №2 " Системы счисления"

Лекция №2
Системы счисления
2.1 Системы счисления.
"Все есть число", — говорили ученики древнегреческого
математика Пифагора.
«Золотые стихи пифагорийцев.»
Систе́ма счисле́ния — это способ
записи чисел по определённым
правилам с помощью символов
некоторого алфавита, называемых
цифрами.
 Все системы счисления делятся на две
большие группы:
 1)позиционные
(мультипликативные),
 2)непозиционные (аддитивные).

Основание системы
счисления – это число, на
основе которого ведётся
счет: 2,3,8,10,16.
28.10.10
Развернутая форма записи числа
в позиционной системе счисления
333310= 3*1+3*10+3*100+3*1000 =
3*100+3*101+3*102+3*103
Пусть a - основание системы счисления;
x0, x1, x2, … , x n – некоторый алфавит,
то
каноническая форма записи числа:
xnxn-1…x1x0 =
= x0 *a0+x1*a1+ …+ xn-1*an-1+ x n *an
28.10.10
2.2. Непозиционные системы
счисления.
2.2.1. Единичная система
счисления
 У первобытных людей не было
даже чисел, они количество
предметов отображали
равным количеством какихлибо значков. Такими значками
могли быть зарубки, черточки,
точки, а так же узелки на
веревках.

На каком курсе учатся курсанты училища
железнодорожных войск?
2.2. Непозиционные системы счисления.
2.2.2. Римская пятеричная
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1 000
Пример: Расшифруйте надпись.
«PETRO primo CATHARINA secunda
MDCCLXXXII»
В Санкт-Петербурге стоит памятник Петру I.
 На гранитном постаменте памятника есть римское
число: MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 +
3*10 + 2 = 1782 год. Это год открытия памятника.

2.2. Непозиционные системы счисления.
2.2.3. Славянская
кириллическая
десятеричная алфавитная

Эта нумерация была
создана вместе со
славянской алфавитной
системой для перевода
священных библейских книг
для славян греческими
монахами братьями
Кириллом и Мефодием в IX
веке.

До сих пор православные церковные
книги используют эту нумерацию.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в
ней используется только сложение:

Для того чтобы не перепутать
буквы и цифры, использовались
титла - горизонтальные
черточки над числами, что мы
видим на рисунке.
Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались
специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так
образовывались числа.
Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия,
пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла
позиционная десятичная система счисления.
2.3. Позиционные системы
счисления
2.3.1.
Древнекитайская
десятеричная.
В
древнекитайская
десятеричной
системе,
числа
записывались слева направо, от больших к меньшим. Если
десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то
сначала ничего не ставили и переходили к следующему
разряду.
2.3.2. История «арабских» чисел.
Примерно во II веке до н.э. с
астрономическими наблюдениями вавилонян
познакомились греческие астрономы
(например, Клавдий Птолемей). Они переняли
их позиционную систему счисления, но целые
числа они записывали не с помощью клиньев,
а в своей алфавитной нумерации, а дроби в Птолемей (Ptolemáios) Клавдий
вавилонской шестидесятеричной системой
счисления.
Но для обозначения нулевого значения разряда греческие
астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого
слова Ouden - ничто).
Абу Адаллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса аль Хорезми
.
Блестящая работа индийских математиков была воспринята
арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу
"Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную
позиционную систему счисления.
.
В XII в. Хуан из Севильи перевел на
латынь книгу "Индийское искусство
счета", и индийская система счета широко
распространилась по всей Европе.
А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за
индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное
название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры
индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе
- индийским счетом.
28.10.10
2.4. «Машинные» системы
счисления.
1. Двоичная
2. Восьмеричная
3. Шестнадцатеричная
2.4.1. Двоичная система
счисления.
Основание: 2, Алфавит: 0, 1
«Чтобы вывести из ничтожества всё,
достаточно единицы».
1001102 = 0*20 + 1*21 + 1*22 + 0*23 + 0*24 + 1*25 =
= 0 + 2 + 4 + 32 = 38 = 3810
Расшифруете:
Еще в младших классах он проявлял себя весьма
смышленым ребёнком. С задачами, которые
сверстники решали полчаса, он справлялся за
какие-то
101-110
минут.
Одарённый
недюжинным умом и неиссякаемой энергией он
закончил вуз за 11 лет, и в возрасте 10100 лет
возглавил
научно-исследовательскую
лабораторию.
1012 =1*20 + 0*21 + 1*22 = 510
1102 = 0*20 + 1*21 + 1*22 = 610
112 = 1*20 + 1*21 = 310
101002 = 0*20 + 0*21 + 1*22 + 0*23 + 1*24
= 2010
28.10.10
2.4.2. Восьмеричная система счисления.
Основание: 8 , Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7.
1738 = 3*80 + 7*81 + 1*82 =
= 3+56+64 =12310
Какая система счисления была принята на
Пандоре?
2.4.3. Шестнадцатеричная система счисления.
Основание 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10,
B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
A0F9 = A0F916 = 9*160 + F*161 + 0*162 + A*163
= 9*160 + 15*161 + 0*162 + 10*163 = 4120910
2.5. Преобразование чисел из одной
системы счисления в другую.
Правила перевода целых чисел
2.5.1. Из десятичной системы счисления - в двоичную,
восьмеричную и шестнадцатеричную (общий алгоритм):
1. Последовательно выполнять деление исходного целого
десятичного числа и получаемых целых частных на
основание системы (2, 8 или 16) до тех пор, пока не
получим частное, меньшее, чем основание системы
2. Получить искомое двоичное, восьмеричное или
счисления.
шестнадцатеричное число, для чего записать полученные
остатки в обратной последовательности.
(… И последние будут первыми…)
Пример 1. Выполнить перевод числа 1910 в двоичную систему
счисления:
Проверка: 100112 = 120 + 121 + 122 + 023 + 024 + 125 = 19
28.10.10
Пример 2. Перевести 25910 в восьмеричную систему исчисления:
Проверка: 4038= 3∙80 + 0∙81+ 4∙8∙2 = 3+0+256 =259
28.10.10
Пример 3. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему
счисления:
Проверка: 1316= 3∙160 + 1∙161= 3+16=19
28.10.10
Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную,
шестнадцатеричную и обратно проще проводить с
помощью программы Калькулятор (инженерный).
При работе с целыми числами программа
Калькулятор позволяет использовать не
только стандартную десятичную, но и
«компьютерные» системы счисления:
двоичную, восьмеричную,
шестнадцатеричную. Выбор системы
счисления производится при помощи
установки переключателя (Hex —
шестнадцатеричная, Dec — десятичная, Oct восьмеричная, Bin — двоичная система
счисления). При изменении системы
счисления число на индикаторе
преобразуется автоматически.
Правила перевода дробей.
Перевод десятичных дробей в двоичную систему
счисления:
(Алгоритм перевода дробных десятичных чисел в двоичную,
восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления)
• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной
дроби и получаемых дробей на основание системы счисления
до тех пор , не получим нулевую дробную часть( или не будет
достигнута требуемая точность вычислений).
• Получить искомую двоичную, восьмеричную или
шестнадцатеричную дробь, записав полученные целые части
произведения в прямой последовательности.
0,6562510 = ?2
Перевод дробей в десятичную систему счисления: