R h

Задачи на оптимизацию с
использованием производной
1
Задача № 1
Каким образом можно изготовить
цилиндрический бак без крышки с
наибольшего объёма, если на его
изготовление нужно потратить 48π дм2
листового металла. Найдите геометрические
размеры бака и его объём.
2
Решение
Пусть бак имеет радиус
основания R, высоту h.
Площадь основания S1=πR2 ,
площадь боковой поверхности
S2=2πRh.
Тогда полная площадь
поверхности S= πR2 + 2πRh
πR2 + 2πRh=48π
R2 + 2Rh=48
Объём бака V= πR2 h(*)
R
h
3
Составляем целевую функцию.
Выражаем величину h* через площадь.
ℎ=
48−𝑅2
2𝑅
(**)
Подставляем в формулу для объёма и получаем
целевую функцию, выражающую объём через R
𝑉 𝑅 =
*
𝜋𝑅2 (48−𝑅2 )
2𝑅
𝜋
2
= 𝑅(48 − 𝜋𝑅2 ) (***)
Почему выражаем именно h? Выражать можно
любую величину, в данном случае либо h, либо R, но
из нашего уравнения ограничений R2 + 2Rh=48
h выражать проще
4
Берём производную
𝜋
𝜋
2
𝑉 𝑅 = 𝑅 48 − 𝑅 = (48𝑅 − 𝑅3 )
2
2
𝜋
𝜋
3
𝑉 𝑅 = 48𝑅 − 𝑅 = 48 − 3𝑅2
2
2
′
V’(R)=0
48−3𝑅2 = 0
𝑅2 =16
𝑅 = 4 (дм)
5
Анализ
1 способ
Анализируем знак производной
𝜋
𝑉 𝑅 = 48 − 3𝑅2
2
′
+
4
V’(R) R
V(R)
max
6
Анализ
2 способ
Функция непрерывна
𝜋
𝜋
3
𝑉 𝑅 = 48𝑅 − 𝑅 = 𝑅 4 3 − 𝑅 4 3 + 𝑅
2
2
+
R
0
4
4 3
На интервале (0; 4√3) функция положительна, а на
концах интервала принимает значения 0. На этом
интервале найдена лишь одна точка, подозрительная
на экстремум, следовательно она может быть только
максимумом.
7
Анализ
3 способ
Производная
𝑉′
𝜋
𝑅 = 48 − 3𝑅2
2
Производная принимает значение 0 при R=4
Вторая производная
𝑉"
𝜋
𝑅 = −6𝑅 = −3𝜋𝑅
2
При R=4 V”(4) отрицательна, следовательно,
R=4 достигается максимум.
8
Находим необходимые значения
R =4 (дм) – Уже найдено
h можно найти через формулу, которую мы получили
для подстановки ( Слайд 4, формула (**))
48−𝑅2
2𝑅
48−16
=
8
ℎ=
= 4 дм
Объём может быть найден или по начальной формуле
(Слайд 3, формула (*)) или по формуле, где h выражено
через R (Слайд 4, формула (***))
V= πR2 h=𝜋 ∙ 42 ∙ 4 = 64𝜋 (дм3 )
9
Д/З
Каким образом можно
изготовить цилиндрический бак
с крышкой, повторяющей
основание бака, наибольшего
объёма, если на его
изготовление нужно потратить
150π дм2 листового металла.
Найдите геометрические
размеры бака и его объём.
10