Аорта - Санкт-Петербургский политехнический университет

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Институт прикладной математики и механики
Кафедра теоретической механики
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени
МАГИСТРА
Тема: «Динамическое исследование аневризмы аорты»
Выполнила
Студентка гр. 63604/1 Гнездилова А. С.
Руководитель
Дфмн, профессор
Порубов А.В.
Аорта и заболевания аорты
Аорта
–
самый
крупный
артериальный
сосуд
в
теле
человека, от которого отходят все
артерии, образующие большой круг
кровообращения
Рис. 1. Аневризма брюшной аорты
Стент — специальная, изготовленная в
форме цилиндрического каркаса упругая
металлическая
или
пластиковая
конструкция, которая помещается в
просвет полых органов и обеспечивает
формирование нормальных стенок сосуда
(рис.2)
Рис. 2. Стентирование аорты
Наблюдение волн в аорте
Скорость см/сек
Давление мм рт. ст.
Рис.3. Локализованный и нелинейный характер волны в аорте собаки
(Yomosa, 1987)
Цели работы:
• Исследовать эволюцию нелинейных локализованных
волн в аорте;
• Исследовать возможность использования этих волн для
акустодиагностики неоднородностей на стенке аорты.
Поставленные задачи:
• Получить модельное уравнение для поперечных волн
деформации пульсовой волны в стенке аорты;
• При помощи
программы Вольфрам Математика
разработать
код
для
численного
исследования
распространения локализованной волны деформации
вдоль аорты с неоднородностями;
• Установить основные качественные и количественные
изменения в поведении волны при прохождении
неоднородности.
Постановка задачи: Модель
• Аорта - цилиндрическая упругая тонкостенная трубка;
x
Рис. 4. Схематическое изображение трубки
• Кровь внутри аорты - идеальная несжимаемая жидкость;
• Для простоты рассматривается одномерная постановка
задачи на основании ранее разработанной модели (Yomosa,
1987).
Постановка задачи: уравнения
Для жидкости внутри аорты справедливо уравнение движение в форме уравнения
Эйлера:
𝜕𝑣
𝜕𝑣
1 𝜕𝑝
+𝑣
= −
,
(1)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜌 𝜕𝑥
где 𝑣 𝑥, 𝑡 – скорости потока жидкости вдоль оси трубки, 𝜌 – постоянная плотность
жидкости, 𝑥 – координата вдоль оси трубки, 𝑡 – время, 𝑝(𝑥, 𝑡) – давление жидкости.
Уравнение неразрывности с учетом переменного радиуса для площади поперечного
сечения трубки 𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝜋 (𝑅 + 𝑢)2 :
1
𝑢𝑡 + 𝑣 𝑅 + 𝑢 𝑥 + 𝑅 + 𝑢 𝑣𝑥 = 0,
2
(2)
где 𝑢(𝑥, 𝑡) – радиальное упругое смещение стенки трубки, 𝑅 = 𝑅(𝑥) - радиус трубки
Уравнение движения для сдвиговых волн для описания деформационных процессов в
𝑢
𝑢
стенке для внешнего радиального напряжения 𝜎𝑟 = 𝐸 𝑅 1 + 𝑎 𝑅 :
𝜕2 𝑅 + 𝑢
ℎ
𝜌0 𝐻
=
𝑃
−
𝑃
−
𝜎,
0
𝜕𝑡 2
𝑅+𝑢 𝑟
(3)
где 𝐸 - модуль Юнга, а параметр 𝑎 характеризует нелинейную упругость, 𝑃 - внешнее
давление , 𝑃0 - атмосферное давление, 𝜌0 - плотность материала стенки, константы ℎ и
𝐻 пропорциональны толщине стенки и учитывают ее тканевую структуру
Постановка задачи: модельное уравнение
В известных работах рассматривались случаи постоянной
величины радиуса 𝑅 (Yomosa, 1987) и переменного радиуса
𝑅(Kraenkel et al., 2007). Мы будем рассматривать случай резких
изменений, которому соответствует кусочно-непрерывный
характер радиуса, при этом производные от радиуса в
уравнениях учитываться не будут.
После ряда преобразований окончательное новое модельное
уравнение в виде модифицированного уравнения Буссинеска с
пременными коэффициентами:
𝐸ℎ0
1 𝐸ℎ0
𝑢𝑡𝑡 −
𝑢𝑥𝑥 −
2𝑎 − 3 𝑢2
2
2𝜌0 𝑅
4 𝜌0 𝑅
𝐻0 𝑅
𝑢
= 0,
𝑥𝑥 −
2 𝑥𝑥𝑡𝑡
(4)
Точное решение в виде бегущей уединенной волны
при постоянном значении радиуса R
2
𝑢 x ,t = 6
𝑐1
1
1
2 Sech 𝛽 𝑥 −
𝛽
𝑡
𝑎1 1 − 4𝛽 2 𝑐1
1 − 4𝛽 2 𝑐1
где амплитуда:
и скорость:
6𝑐1 𝛽2
Am =
,
𝑎1 1 − 4𝑐1 𝛽2
𝑣=
1
,
1 − 4𝛽 2 𝑐1
,
(5)
(6)
(7)
Здесь 𝑎1 и 𝑐1 – комбинации коэффициентов уравнения (4), характеризующие упругие
свойства стенки, 𝛽 – свободный параметр.
Численное исследование эволюции локализованной в волны в
аорте
В пакете Вольфрам Математика был разработан код, с помощью которого и были
решены нелинейные уравнения в частных производных и произведена визуализация
полученных решений.
Начальное условие (при t=0) представляет собой точное решение уравнения (4):
𝑢 x =6
𝑐1
1
𝛽 2 Sech 𝛽𝑥 2 ,
2
𝑎 1 − 4𝛽 𝑐1
(8)
Кусочно-непрерывный характер радиуса задается функцией 𝑅 𝑥 :
𝑅 𝑥 = с11 + с21 − с11 𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑘𝑚 𝑥 − 𝑥11
− 𝑇𝑎𝑛ℎ 𝑘𝑛 𝑥 − 𝑥12
,
(9)
гдес11 , с21 – размеры
изменения глубины
неоднородности,𝑥11 , 𝑥12 –
размеры изменения длины
неоднородности,𝑘𝑚 ,𝑘𝑛 –
крутизна заднего и переднего
фронта неоднородности
соответственно.
Рис. 5. Пример профиля неоднородности при 𝑐11 = 1, 𝑐22 = 0.9,
𝑥11 = 30,𝑥12 = 100,𝑘𝑚 = 4, 𝑘𝑛 = 0.1
Численное исследование эволюции локализованной в волны в
аорте (продолжение)
Манипулятор
Заключение
• Получено модельное уравнение для поперечных волн деформации в виде
модифицированного уравнения Буссинеска с переменными коэффициентами;
• Проведено численное исследование распространения локализованной волны
деформации вдоль аорты, разработан код в среде Вольфрам Математика;
• Установлены основные качественные и количественные изменения в
поведении волны при прохождении неоднородности: образование вторичной
и отраженной локализованных волн;
• Установлено сходство этих волн с точным решением в виде бегущей
уединенной волны;
•
Это позволяет использовать выражения для параметров аналитического
решения для определения параметров неоднородности по измеренным
значениям амплитуды и скорости волны;
• Возможно дальнейшее использование модели для других частных случаев
неоднородности, в частности, расширения стенок аорты;
• В перспективе применение модели на практике для диагностики характера и
тяжести заболевания (акустодиагностики).
Список основной литературы
1. А. Н. Волобуев. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками // УФН. –
1995. - Т. 165. - №2. - С. 177 – 186.
2. R. A. Kraenkel, S. Noubissie, P. Woafo. A mathematical model for wave propagation
in elastic tubes with inhomogeneities: Application to blood waves propagation //
Physica D 236. 2007. 131-140.
3. S. Yomosa. Solitary Waves in Large Blood Vessels // J. Phys. Soc. Japan 56. 1987.
506-520.
4. Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. http://wikipedia.org . - (дата обращения: 14.11.2013)