Обобщение ошибок, допущенных на ЕГЭ 2013, при решении
advertisement
Задание С2 В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра MB параллельно прямой АС. 1. Построим сечение пирамиды. Обозначим точку пересечения медиан МО и DL треугольника MDB буквой Q.При этом L - середина отрезка MB, О - точка пересечения диагоналей основания, квадрата ABCD. Через точку Q проведём прямую, параллельную прямой АС. Точки пересечения построенной прямой с рёбрами МА и МС обозначим Е и N соответственно. Четырёхугольник DELN - сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра MB параллельно прямой АС, поскольку по построению содержит прямую EN параллельную АС. Найдём площадь четырёхугольника DELN. Так как пирамида MABCD правильная, то LN =LE и DE = DN, следовательно, ∆LNE и ∆DEN — равнобедренные, значит, DL ┴ NE. ∆ DMB: ∆DMB: Еще одно возможное решение 1. Построим сечение пирамиды. Обозначим точку пересечения медиан МО и DL треугольника MDB буквой Q.При этом L - середина отрезка MB, О - точка пересечения диагоналей основания, квадрата ABCD. Через точку Q проведём прямую, параллельную прямой АС. Точки пересечения построенной прямой с рёбрами МА и МС обозначим Е и N соответственно. Четырёхугольник DELN - сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра MB параллельно прямой АС, поскольку по построению содержит прямую EN параллельную АС. Найдём площадь четырёхугольника DELN. Так как пирамида MABCD правильная, то LN =LE и DE = DN, следовательно, ∆LNE и ∆DEN — равнобедренные, значит, DL ┴ NE. ∆DMB: Основные ошибки • Преимущественные ошибки в решении этого задания были связаны с определением фигуры, являющейся сечением пирамиды, — четырёхугольник DELN принимался и за ромб, и за прямоугольник. • В обосновании перпендикулярности диагоналей четырёхугольника DELN выпускники ссылались на неверный геометрический факт: если прямые лежат в перпендикулярных плоскостях (в данном случае MAC и MDB) и пересекаются, то они перпендикулярны. Убедиться в ошибочности этого утверждения несложно - достаточно посмотреть на прямые AQ и DL, которые удовлетворяют условию утверждения, но не являются перпендикулярными. • Треугольник MDB считали равнобедренным (MD = DB), и отрезок DL находили как медиану этого треугольника. • Отрезок NE считали средней линией треугольника MAC, вследствие чего длину этого отрезка находили как половину диагонали АС.
