Teorema Kopernika i traektoriya dvijeniya tochek

Цель:

познакомиться с теоремой Коперника и ее применением к
решению задач о геометрических местах точек на плоскости;
Задачи:

познакомиться с основными геометрическими местами точек
на плоскости;

решить задачи с применением ГМТ;

развить навыки самостоятельного получения информации из
различных источников;

развивать навыки исследовательской работы.
Наша система мира является
гелиоцентрической: в центре —
Солнце, а Земля — одна из планет,
вращающихся вокруг Солнца.
«Об обращении небесных сфер»
Геометрическое место точек это множество всех точек, удовлетворяю
щих определённым заданным условиям.
Сущность метода геометрических мест точек:
Пусть нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум
условиям:
1)фигура F1,
2)фигура F2.
Искомая точка X принадлежит F1 и F2, т. е. является их
точкой пересечения.
1)Биссектриса данного угла геометрическое место точек
плоскости, равноудалённых от
сторон угла.
2) Прямая, перпендикулярная к
отрезку - геометрическое место
точек, равноудалённых от двух
данных точек.
3) Окружность с центром в некоторой
точке - геометрическое место точек
плоскости, равноудалённых от заданной
точки.
R
О
4)Центр окружности, описанной около
треугольника - точка пересечения
перпендикуляров к сторонам
треугольника, проведённых через
середины этих сторон.
5)Центр окружности, вписанной в
треугольник - точка пересечения
биссектрис треугольника.
Теорема:
Если по неподвижной окружности, касаясь
ее изнутри, катится без скольжения
окружность вдвое меньшего радиуса, то
произвольная точка К меньшей окружности
движется по диаметру большей окружности.
1) A K , а T - точка касания
окружностей.
KT=AT, R2=R1/2,
KT=1/2AT .
O - центр окружности, то ∠AOT = ∠KOT
KAO
2) ТB , ∠BOA = 90◦ , а K O.
3) Симметрично от прямой BO - а затем,
после того как точка К  A диаметра
AA , K  A .
Задача 1.
Лестница, стоявшая на гладком полу у стены,
соскальзывает вниз. По какой траектории будет
двигаться котенок, сидящий на середине лестницы?
1) Дан прямой угол. Найти множество
середин всевозможных отрезков данной
длины d , концы которых лежат на
сторонах данного угла.
ОА=ОВ=d/2
2)Искомая линия - дуга окружности
R=d/2 с центром O.
О
3) KM=ML,|K L|= d , OM=d/2.
ΔKOL:
OM –медиана, OM=KL/2.
4) Достроим ΔKOL до прямоугольника
KOLT
KL=OT, КМ=МL и TM=MO.
M∈AB окружности с центром O .
5) M дуги AB принадлежит искомому
множеству.
Через точку M AB можно провести
луч OM , |MT| = |OM|.
TL⊥OL, TK⊥AO.
Задача 2.
Лестница, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает
вниз. По какой траектории будет двигаться котенок, сидящий
не на середине лестницы?
1) Метод координат.
𝜋
2
y =b sinφ , x=a cosφ , (0≤φ≤ )
𝑥 2 у2
+
=1
а2 𝑏2
2) Траектория – эллипс.
Если a=b = d/2, то
x2 + y2 =(d/2)2
Задача 3.
Два колеса радиусов r1 и r2 (r1 > r2) катятся по прямой L .
Найти множество точек пересечения M их общих
внутренних касательных.
M  O1O2.
Радиусы O1T1 и O2T2.
M делит отрезок O1O2 в r1/r2
MO1T1 MO2T2
Множество центров O1,O2  L .
Множество точек M  L.
Прямая, находящаяся от прямой L на
расстоянии 2r1r2/(r1 + r2).