Математика на шахматной доске

Выполнил проект :
Солодовников Дмитрий Владимирович
Научный руководитель проекта :
Дударь Галина Аркадьевна
Адрес школы :
241012 г.Брянск, ул. 22-го Съезда КПСС, д. 6
e-mail адрес школы :
[email protected]
Домашний адрес :
241035 г.Брянск, ул. Комсомольская, д. 12
Домашний телефон :
(4832)51-25-22
мой e-mail адрес :
[email protected]
Номинация :
Наука математика
Цель работы - найти и разобрать связь между шахматами и математикой,
применять это при решении математических задач.
Задачи :
 оценить важность предмета «математика»;
 развить умение применять теоретический материал при решении практических
задач;
 формировать умение использовать свойства математики в шахматах
 развить интерес к науке через поиск примеров применения данной темы в жизни;
 показать, как решаются задачи на шахматной доске;
 расширить математический кругозор и изучить новые подходы к решению задач;
 приобрести навыки исследовательской работы.
Математика на шахматной доске
Содержание
I. Введение
II. Математика в истории возникновения шахмат
III. Математические свойства шахматной доски:
1. Система координат
2. Чётность и нечётность
3. Геометрия
4. Магические квадраты
IV. Занимательные задачи на шахматной доске
V. Графы
VI. Заключение
VII. Источники информации
Введение
Шахматы - интеллектуальная игра, они имеют много общего с наукой, но ближе всего они
соприкасаются с математикой.
Математикой интересовался первый шахматный король В.Стейниц.Известным математиком
был его преемник Эм. Ласкер. Нынешний президент ФИДЕ экс-чемпион мира М. Эйве
возглавлял голландский вычислительный центр. Первый советский чемпион мира доктор
технических наук М. Ботвинник в последние годы занимается созданием алгоритма
шахматной игры для ЭВМ. Математическими способностями обладают также М. Таль и А.
Карпов.
Выдающийся математик Г.Харди заметил, что решение проблем шахматной игры есть не
что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы - это как бы насвистывание
математических мелодий.
В статье «Двоичная арифметика на шахматной доске» кандидат технических наук
Ю.Полунов ставит вопрос: что общего может быть между шахматной доской и двоичной
системой исчисления? Оказывается, доска, подобная шахматной, в свое время послужила
первым инструментом для вычислений в двоичной системе. Это сделал задолго до века
компьютера великий шотландский математик Джон Непер, изобретатель логарифмов.
Почти в каждом олимпиадном сборнике или книге головоломок и развлечений можно найти
остроумные и красивые задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют
интересную историю, привлекали к себе внимание известных математиков. Например,
задачей о ходе коня занимался Леонард Эйлер, а задачей о расстановке восьми ферзей
— Карл Гаусс.
I. Математика в истории возникновения шахмат
Вспомним одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с
арифметическим расчётом на доске.
Когда персидский шах (а в некоторых вариантах легенды — индийский царь)
познакомился с шахматами, он был восхищен их остроумием и обилием возможных комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, шах позвал
его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить
любую просьбу мудреца и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в
награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски — одно зерно, на второе —
два, и так далее — на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее.
Персидский шах приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную
награду.
Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что
не в состоянии исполнить желание хитрого мудреца. Оказалось, что для этого не хватит
пшеницы, хранящейся не только в амбарах персидского шаха, но и во всех амбарах мира.
Мудрец скромно потребовал :
1 + 2 + 22 + . .. + 263 = 264 — 1 зерен, что составляет 18 446 744 073 709 551 615
(18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551
тысяча 615 зёрен).
Это фантастически большое число записывается двадцатью цифрами. Подсчет
показывает, что амбар для хранения необходимого зерна (высотой 4 и шириной 20
метров) должен простираться от Земли до Солнца. Неожиданная развязка в
истории с мудрецом и персидским шахом наглядно иллюстрирует грандиозные
математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.
II. Математические свойства шахматной доски
1. Система координат
Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте
земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные
географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.
В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими,
координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и
называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.
Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод
координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода
координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.
Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными
координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом. Точка О
называется началом координат.
Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х, вертикальная – осью
ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу.
Пусть точка Р лежит на плоскости хОу. Опустим из этой точки перпендикуляры на
координатные оси; основание перпендикуляров обозначим Рх и Ру. Абсциссой точки Р
называется координата х точки Рх на оси Ох, ординатой – координата у точки Ру на оси
Оу. Координаты точки обычно указывают в скобках рядом с обозначением точки: Р(х;у).
Между точками на плоскости и парами их координат имеется взаимно однозначное
соответствие.
рис.1
рис.2
На рисунках мы видим билеты в цирк и театр. На каждом из них дано описание того,
где находится место владельца данного билета: номер ряда и номер места в этом ряду.
Описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, место), называют его
координатами. Так на билете в цирк номер ряда и номер места в ряду - координаты
этого места.
На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно,
ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).
На рисунке 3 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.
(К. c2)
8
7
6
5
4
3
2
1
рис.3
a
b
c
d
e
f
g
h
2. Четность и нечетность
Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета
или измерения. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать
их цифрами (условные знаки для обозначения чисел).
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетными. Из признака
делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются
четными, остальные – нечетными.
Функция (зависимость переменной у от переменной х) у = f(х) называется чётной, если
для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(-х) = - f(х).
Если функция у = f(х) такова, что хотя бы для одной пары значений и оказалось, что f(х) = - f(х), и хотя бы для одной пары значений и оказалось, что f(-х) = f(х), то функция не
является ни четной, ни нечетной.
Из определений следует, что область определения Х как четной, так и не четной
функции должна обладать следующим свойством: если х € Х, то и - х € Х (т.е. Х симметричное относительно О множество).
Если функция
является
четной, то её
график
симметричен
относительно
оси ординат.
рис.4а
Если функция
является
нечетной, то
её график
симметричен
относительно
начала
координат.
рис.4б
На шахматной доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода.
При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй
– чётный и т.д. (рис.5)
8
7
6
5
4
3
2
1
рис.5
a
b
c
d
e
f
g
h
Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение
шахмат к математике.
Задачи на четность, нечётность
1.
Конь вышел на поле А8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите,
что он сделал четное число ходов.
Решение:
Вы, наверное, заметили, что, делая каждый ход, конь меняет цвет клетки, на которой он
стоит. Следовательно: каждый нечетный ход конь будет вставать на чёрную клетку. Исходя
из этого и зная то, что конь должен вернуться на клетку А8, белого цвета, мы можем
сказать, что он вернется через четное число ходов.
2. Может ли конь пройти с поля a8 на поле h(1), побывав по дороге на
каждом из остальных полей ровно один раз?
Решение:
Как и в предыдущем задании при каждом ходе конь меняет цвет клетки, на которой он
стоит. Следовательно, на доске 63 хода (нечетное число), а8 – белая клетка, при 63 ходе
конь будет на чёрной клетке.
3. Геометрия
Симметрия, как общий принцип гармонии в молекулах, кристаллах, живой природе имеет
глубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль в
математике, физике, химии, биологии.
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую
фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Рассмотрим
примеры преобразования фигур.
I.Симметрия относительно точки – центральная симметрия.
Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка на плоскости. Точка Х1
называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х1 лежат на
одной прямой и ОХ=ОХ1.
рис.6
Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в
фигуру F1, при котором ее каждая точка Х переходит в точку Х1, симметричную
относительно данной точки О, называют преобразованием симметрии относительно
точки О.
рис.7
II.Симметрия относительно прямой – осевая симметрия.
Пусть g – фиксированная прямая. Точка Х1 называется симметричной точке Х
относительно прямой g, если прямая перпендикулярна прямой g и ОХ1=ОХ, где О – точка
пересечения прямых g и ХХ1. Если точка Х лежит на прямой g, то симметричная ей точка
есть сама точка Х.
рис.8
Преобразование фигуры F в F1, при котором каждая точка Х переходит в точку Х1,
симметричную относительно прямой g, называется преобразованием симметрии
относительно прямой g. При этом фигуры F и F1 называются симметричными
относительно прямой g.
рис.9
Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны,
речь может идти о симметрии естественной, т. е. возникающей в процессе шахматной
партии, а с другой стороны, - используемой в шахматных задачах и этюдах.
Симметрия бывает различных типов; наиболее распространенные – осевая и центральная.
На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и
правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнею
части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит
на с2, а черный на с7, то мы говорим, что эти кони расположены симметрично. Осями
являются и большие диагонали.
8
7
6
5
4
3
2
1
рис.10
a
b
c
d
e
f
g
h
Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур.
Известна такая забавная история. Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашел
верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» - спросили его. «Очень
просто, - ответил гость, - повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем
вызвался С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Неясно, как Ллойд это сделал. Я
тоже могу поставить мат за 4 хода при полной симметрии фигур.
1) d2-d4
2) Фd1-Фd3
3) Фd3-Фh3
4) Фh3-Фc8x
d7-d5
Фd8-Фd6
Фd6-Фh6
Обсуждая математические свойства доски, нельзя не упомянуть об одном старинном
доказательстве на шахматной доске … теоремы Пифагора.
Шахматный король гроссмейстер Михаил таль однажды признался, что в детстве был
потрясен доказательством этой теоремы.
Теорема Пифагора: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов».
рис.11
Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD
из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла (косинусом острого угла
прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)
cos А = AD\AC = AC\AB. Отсюда AB . AD = АС2. Аналогично cos В = ВD\ВC = ВC\AB. Отсюда
AB . ВD = ВС2. Складывая полученные равенства почленно, и замечая, что AD + DВ = АВ.
Получим: АС2+ ВС2 = АВ(AD+ DВ) = АВ2. Теорема доказана.
Эту теорему уже несколько сотен лет изучают школьники. С её помощью мы решаем
задачи, инженеры строят дома. Также теорема Пифагора широко используется в
повседневной жизни.
Рассмотрим доказательство этой теоремы на шахматной доске.
рис.12
рис.12б
Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (рис.12а).
На рис. 12б изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих
случаях занимают одну и ту же площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь
занимают оставшиеся части доски без треугольников (на рис. 12а – один квадрат, а на рис.
12б - два). Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного
треугольника, а маленькие – на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!
Я же доказал теорему следующим образом:
рис.13
В центре шахматной доски нарисовал треугольник АВС. На катетах и гипотенузе этого
треугольника построила квадраты, причем квадрат, построенный на гипотенузе, состоит
из квадратов, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах. Квадраты 1 и 2
состоят из восьми маленьких квадратиков, в сумме получаем количество квадратиков, из
которых состоит квадрат 3 построенный на гипотенузе.
Беспрерывный расчет вариантов, который приходится вести шахматисту во время
партии, имеет иную специфику, чем работа математика - вычислителя. Тем не менее в
шахматной игре содержатся некоторые геометрические элементы, с которыми я хочу вас
познакомить. При виде шахматной доски мы сразу вспоминаем геометрию, так как доска
имеет геометрическую форму. Это безусловно так, но геометрическая форма ещё не всё.
Дело в том, что при игре в шахматы, как и в любой другой науке, есть свои
определённые правила. И существует такое правило, как правило, квадрата.
Правило квадрата
8
7
6
5
4
3
2
1
a
b c d e f
g h
рис.14
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. При этой
композиции неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда,
пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов,
просчитываются.
Однако исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата». Достаточно выяснить,
может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки, - в данном случаи
изображенном на рисунке. Итак, в нашей композиции черные при ходе делают ничью
(попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.
Рассмотрим шахматную доску. Итак, мы видим, что на шахматной доске есть координаты,
также на ней есть и симметрия, геометрия тоже не обошла её стороной.
8
7
6
5
4
3
2
1
рис.15
a
b c d e f
g h
Магические квадраты
Приведу одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски.
Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.
Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу nxn , заполненную
целыми числами от 1 до n и обладающую следующим свойством : сумма чисел каждой
строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических
квадратов порядка 8 она равна 260. Закономерность расположения чисел в магических
квадратах придаёт им волшебную силу искусства. Недаром выдающийся немецкий
художник А. Дюрер был настолько очарован этими математическими объектами. Что
воспроизвёл магический квадрат в своей знаменитой гравюре « Меланхолия». (рис.17)
64
63
3
4
5
6
58
57
260
56
55
11
12
13
14
50
49
260
17
18
46
45
44
43
23
24
260
25
26
38
37
36
35
31
32
260
33
34
30
29
28
27
39
40
260
41
42
22
21
20
19
47
48
260
16
15
51
52
53
54
10
9
260
8
7
59
60
61
62
2
1
260
260 260 260
260 260 260 260
260
рис.16
рис.17
IV. Занимательные задачи на шахматной доске
Пусть на шахматной доске вырезаны два поля разного цвета. Всегда ли можно покрыть
оставшуюся часть доски 31 домино?
Оказывается, что всегда. Проведем замкнутую линию. Если из доски вырезаны
соседние поля, то разорванная линия будет состоять из одного куска, проходящего через
62 поля, при этом цвета полей чередуются. Если мы станем размешать домино вдоль этой
линии, то закроем всю оставшуюся часть доски. Если вырезанные поля не являются
соседними, то линия разорвется на две части, проходящие через четное число полей, и
каждую из них можно покрыть домино.
Эффектное доказательство нашел известный американский математик Р. Гомори.
Проведем на шахматной доске границы между вертикалями и горизонталями так, как
показано на рис. 20. В лабиринте между этими границами черные и белые поля следуют
друг за другом, чередуясь, как пуговицы двух цветов на замкнутой нити (путь, по которому
можно обойти этот лабиринт, является замкнутым). Какие бы два поля разного цвета мы
ни вырезали из доски, нить разорвется: в одном месте, если вырезанные поля находятся
рядом, и в двух местах — в противном случае. При этом каждый кусок нити будет состоять
из четного числа полей. Следовательно, эти куски, а значит — и всю доску, покрыть
домино можно!
рис.20
V.
Графы
Многие задачи такого типа решаются при помощи « ГРАФОВ». Всем известно, что слово «граф»
означает дворянский титул, например граф Лев Николаевич Толстой. А вот в математике графом называют
набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графа, а отрезки рёбрами. Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер.
На шахматной мини - доске размером 3x3 расположены четыре коня. Задача - переставить фигуры
так, чтобы одинаковые кони оказались в противоположных углах доски. Перемещать их можно только
ходом шахматного коня и нельзя ставить фигуру на уже занятое поле.( рис.21)
(Поля, где стоят белые кони, закрашены голубым цветом, а чёрные – серым.)
Начальное расположение коней.
Конечное расположение коней.
рис.21
Начертим граф возможных ходов коней по доске. Затем построим изоморфный ему граф
без самопересечений в двух вариантах: на одном отметим первоначальное положение
коней, а на другом - требуемое. Движение коней по графу означает переходы в соседние
вершины, и перейти из первой позиции во вторую невозможно без «перескока» через
коня другого цвета.
Эту задачу придумал итальянец Гуарини еще в XVI веке. В углах доски размером 3x3 стоят
два белых и два черных коня. Требуется поменять местами белых и черных коней за
наименьшее число ходов.
Фигуры должны двигаться по графу в одном и том же направлении, и каждому коню
придется сделать ровно 4 хода, т.е. всего понадобится 16
ходов.(рис.22, рис.23, поля, где стоят белые кони, окрашены голубым цветом, а чёрные –
серым.)
6
7
4
1
8
5
2
3
рис.22
1
5
7
3
6
2
4
8
рис.23
VI. Заключение
В работе я показал, что существует связь между математикой и шахматами:
математические задачи решаются на шахматной доске, а в решении шахматных задач
помогает математика.
В 1 главе работы неожиданная развязка в истории с мудрецом и персидским шахом
наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в
шахматной игре.
Как и в математике, на шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной
игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур). На шахматной
доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом
ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и
т.д. Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение к
математике. Рассмотрим шахматную доску. Итак, мы видим, что на шахматной доске есть
координаты, также на ней есть и симметрия, геометрия тоже не обошла её стороной.
Шахматы служат удобной моделью многих важных и сложных задач, возникающих на
практике. Преимущество шахмат, как модели, состоит в том, что в них, с одной стороны,
легко сформулировать необходимые цели и задачи, а, с другой, - не так легко добиться
этих целей. Аналогичная картина наблюдается и в экономике, планировании, управлении
производственными объектами и т.д. Выбор успешного решения в сложных ситуациях,
возникающих на практике, можно сравнить с выбором хорошего хода в шахматной партии
в условиях ограниченного времени. Игра в шахматы - не только интересное, но и полезное
занятие. Шахматы развивают творческие навыки и комбинаторные способности,
воспитывают волю, вырабатывают бойцовский характер.
Серьезное увлечение и математикой, и шахматами совместить довольно трудно.
Шахматы, будучи прекрасным отдыхом для юриста, врача, художника и даже инженера,
никак не становятся средством умственной разрядки для математика, мозг которого при
решении шахматных проблем продолжает действовать в прежнем ключе.
Вывод: математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою
очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические
задачи, помогают развивать логику, внимание.
Считаю, что цель, поставленная мною при написании работы, достигнута.
VII. Источники информации
1.
Гик Е.Я. «Шахматы и математика», М., «Наука», 1983
2.
Гик Е.Я. «Математика на шахматной доске», М., «Наука», 1976
3.
Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка», М., «Омега», 1994
4.
Игнатьев Е.И. «В царстве смекалки», М., «Наука», 1978
5.
Карпов А.Е. «Шахматный калейдоскоп», М., «Наука», 1981
6.
Перельман Я.И. «Живая математика», М., «Наука», 1978
7.
Энциклопедия для детей «Математика», М., «Аванта+», 2001
8.
Журнал «Наука и жизнь» № 10, 1980, М., «Правда»