здесь - ГУО Средняя школа №7

Государственное учреждение образование
«Средняя школа №7 города Могилёва»
Работа на районный конкурс творческих работ учащихся по
математике «Математика в моей жизни»
Номинация конкурса:
Бенефис одной задачи
Автор:
ученик 11 «Б» класса
Волков Павел
Консультант:
Устиловская Галина Ивановна,
учитель математики
Адрес: 212004 г.Могилёв
Автозаводская ул. 3,
к.т. 42-89-92
Могилёв, 2011
БЕНЕФИС ОДНОЙ ЗАДАЧИ
Я люблю математику не только потому, что
она находит применение в технике, но и
потому, что она красива.
Р. Петер
В треугольнике АВС величины углов В и С
равны по 40 градусов.
Докажите, что если отрезок BD – биссектриса
угла В, то BD + DA = BC.
У этой задачи есть 4 разных решения,
которые будут представлены далее. Но я
уверен, если постараться можно найти ещё
больше.
Успехов вам в поиске решений задачи!
СПОСОБ №1
. Поэтому ВС > BD, и на стороне ВС
можно отложить отрезок ВЕ, равный BD.
Докажем, что EC = AD
и СЕ = ED. Кроме того,
, и т.к.
, то
Поэтому четырёхугольник ABED вписывается в окружность.
Отсюда следует, что
и
Значит AD = DE = EC.
BC = BE + EC = BD + DA
ПРИ ЭТОМ РЕШЕНИИ ЧЕРТЁЖ ДОЛЖЕН
БЫЛ ВЫЙТИ ТАКИМ
СПОСОБ №2
Рассмотрим ВМС, для которого D –
точка пересечения биссектрис.
Строим DE BM и DF CM
Замечаем, что
и DE – DF.
Следовательно, что
Поэтому DG = DA
Откуда BD + DA = BD + DG = BG = BC,
так как
ПРИ РЕШЕНИИ ЭТОЙ ЗАДАЧИ ВТОРЫМ
СПОСОБОМ ДОЛЖЕН БЫЛ ПОЛУЧИТЬСЯ
ПРИМЕРНО ТАКОЙ ЧЕРТЁЖ
СПОСОБ №3
Через точку D проводим прямую DM,
которая параллельна прямой ВС.
На стороне ВС откладываем отрезок
BN, который равен отрезку BD.
∆DNC = ∆DAM, так как
соответствующие углы равны 40⁰,
40⁰ и 100⁰ и BM = MD = DC.
Значит NC = AD, BD + DA=BN + NC=BC
ПРИ ЭТОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ
ЧЕРТЁЖ ДОЛЖЕН ВЫГЛЯДЕТЬ ТАК.
СПОСОБ №4
Пусть BD = 1
применим теорему синусов,
из ∆BDA и ∆BDC получаем:
ТАК КАК ЭТОТ СПОСОБ ОСНОВАН НА
ТЕОРИИ СИНУСОВ, ОСОБЫЙ ЧЕРТЁЖ НЕ
ТРЕБУЕТСЯ. ДОСТАТОЧНО
ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО РИСУНКА.
Литература
1. Г.И.Гриорьева. Предметные недели –
Экстремум, 2008г.
2. В.Ю.Гуревич. Изучение сложных тем школьного
курса математики. Минск 1988г.
3. М.И.Сканави. Сборник задач по математике для
поступающих во ВТУЗы. Минск 1990г.