здесь - ГУО Средняя школа №7
реклама
Государственное учреждение образование «Средняя школа №7 города Могилёва» Работа на районный конкурс творческих работ учащихся по математике «Математика в моей жизни» Номинация конкурса: Бенефис одной задачи Автор: ученик 11 «Б» класса Волков Павел Консультант: Устиловская Галина Ивановна, учитель математики Адрес: 212004 г.Могилёв Автозаводская ул. 3, к.т. 42-89-92 Могилёв, 2011 БЕНЕФИС ОДНОЙ ЗАДАЧИ Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Р. Петер В треугольнике АВС величины углов В и С равны по 40 градусов. Докажите, что если отрезок BD – биссектриса угла В, то BD + DA = BC. У этой задачи есть 4 разных решения, которые будут представлены далее. Но я уверен, если постараться можно найти ещё больше. Успехов вам в поиске решений задачи! СПОСОБ №1 . Поэтому ВС > BD, и на стороне ВС можно отложить отрезок ВЕ, равный BD. Докажем, что EC = AD и СЕ = ED. Кроме того, , и т.к. , то Поэтому четырёхугольник ABED вписывается в окружность. Отсюда следует, что и Значит AD = DE = EC. BC = BE + EC = BD + DA ПРИ ЭТОМ РЕШЕНИИ ЧЕРТЁЖ ДОЛЖЕН БЫЛ ВЫЙТИ ТАКИМ СПОСОБ №2 Рассмотрим ВМС, для которого D – точка пересечения биссектрис. Строим DE BM и DF CM Замечаем, что и DE – DF. Следовательно, что Поэтому DG = DA Откуда BD + DA = BD + DG = BG = BC, так как ПРИ РЕШЕНИИ ЭТОЙ ЗАДАЧИ ВТОРЫМ СПОСОБОМ ДОЛЖЕН БЫЛ ПОЛУЧИТЬСЯ ПРИМЕРНО ТАКОЙ ЧЕРТЁЖ СПОСОБ №3 Через точку D проводим прямую DM, которая параллельна прямой ВС. На стороне ВС откладываем отрезок BN, который равен отрезку BD. ∆DNC = ∆DAM, так как соответствующие углы равны 40⁰, 40⁰ и 100⁰ и BM = MD = DC. Значит NC = AD, BD + DA=BN + NC=BC ПРИ ЭТОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ЧЕРТЁЖ ДОЛЖЕН ВЫГЛЯДЕТЬ ТАК. СПОСОБ №4 Пусть BD = 1 применим теорему синусов, из ∆BDA и ∆BDC получаем: ТАК КАК ЭТОТ СПОСОБ ОСНОВАН НА ТЕОРИИ СИНУСОВ, ОСОБЫЙ ЧЕРТЁЖ НЕ ТРЕБУЕТСЯ. ДОСТАТОЧНО ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО РИСУНКА. Литература 1. Г.И.Гриорьева. Предметные недели – Экстремум, 2008г. 2. В.Ю.Гуревич. Изучение сложных тем школьного курса математики. Минск 1988г. 3. М.И.Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Минск 1990г.
