Эргле Е.В., Центра ест - мат образования

Эргле Е.В., к.п.н., зам. руководителя
Центра ест - мат образования
В 2016 году (базовый уровень) экзамен включает в себя 20 задач:
№1:
Арифметические действия с целыми числами
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр25)
Рабочая тетрадь: Дом/р №5 - №6 (стр19-21)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр27)
Рабочая тетрадь: Дом/р №7 - №8 (стр23-25)
Арифметические действия с дробями
№2:
Арифметические действия со степенями
Методика: Тр/р №9 - №10 (стр29-30)
Рабочая тетрадь: Дом/р №9 - №10 (стр27-29)
№3:
Практические задачи с текстовым условием на проценты
Методика: Тр/р №21 - №22 (стр48-49)
Рабочая тетрадь: Дом/р №19 - №20 (стр55-57
Помнить!
В ответе всегда должно получиться целое число или
конечная десятичная дробь.
№4:
Вычисления и преобразования по данным формулам
(простые)
Методика: Тр/р №11 - №12 (стр77-78)
Рабочая тетрадь: Дом/р №39-№40 (стр101-103)
Методика: Тр/р №13 - №14 (стр80-81)
Рабочая тетрадь: Дом/р №41-№42 (стр105-108)
(более сложные)
№5:
Вычисления и преобразования алгебраических выражений
(формулы сокращенного умножения. Сокращение дробей)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр64-65)
Рабочая тетрадь: Дом/р №29 - №30 (стр80-82)
(арифметические действия с корнями и иррациональными выражениями)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр68)
Рабочая тетрадь: Дом/р №31 - №32 (стр84-86)
(основные формулы тригонометрии. Вычисление тригонометрических выражений)
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр71)
Рабочая тетрадь: Дом/р №33 - №34 (стр88-90)
(Вычисление значений показательных выражений)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр72-73)
Рабочая тетрадь: Дом/р №35 - №36 (стр92-95)
(Логарифмы. Вычисление значений логарифмических выражений)
Методика: Тр/р №9 - №10 (стр75)
Рабочая тетрадь: Дом/р №37 - №38 (стр97-99)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
№6:
Практические арифметические задачи с текстовым условием
(простые)
Методика: Тр/р №17 - №18 (стр 38 - 39)
Рабочая тетрадь: Дом/р №15 - №16 (стр40 - 43)
№7:
Уравнения
(линейные и квадратные уравнения)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр84-85)
Рабочая тетрадь: Дом/р №43 - №44 (стр112-113)
(дробно-рациональные уравнения)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр86-87)
Рабочая тетрадь: Дом/р №45 - №46 (стр115-117)
(простейшие иррациональные уравнения)
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр88-89)
Рабочая тетрадь: Дом/р №47 - №48 (стр120-122)
(простейшие показательные уравнения)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр90-91)
Рабочая тетрадь: Дом/р №49 - №50 (стр125-126)
Методика: Тр/р №9 - №10 (стр92-93)
Рабочая тетрадь: Дом/р №51 - №52 (стр128-130)
Методика: Тр/р №11 - №12 (стр94-95)
Рабочая тетрадь: Дом/р №53 - №54 (стр132-134)
(простейшие логарифмические уравнения)
(простейшие тригонометрические уравнения)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
№8:
Практические и прикладные задачи по планиметрии
Методика: Тр/р №17 - №18 (стр208-209)
Рабочая тетрадь: Дом/р №101-№102 (стр241-243)
№9:
Соответствие между величинами и их возможными значениями
(перевод (конвертация) единиц измерений)
Методика: Тр/р №11 - №12 (стр31-32)
Рабочая тетрадь: Дом/р №11 - №12 (стр31-33)
(сравнение величин, прикидка и оценка, соответствия между величинами и их значениями)
Методика: Тр/р №13 - №14 (стр33-35)
Рабочая тетрадь: Дом/р №13 - №14 (стр36-38)
№10:
Понятие вероятности. Практические задачи на вычисление вероятностей
Методика: Тр/р №27 - №28 (стр75-77)
Рабочая тетрадь: Дом/р №29 - №30 (стр60-61)
№11:
Чтение данных, представленных в виде графиков, диаграмм и таблиц
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр6-9)
Рабочая тетрадь: Дом/р №1 - №2 (стр4-7)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
конечная десятичная дробь.
§1. М Е Т О Д
ПЕРЕБОРА
Пусть даны числа от 1 до 100:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10
10,, 11, 12, 13,14, 15
15,16, 17, 18,19, 20,
20 21, 22, 23, 24, 25,
26, 27, 28, 29, 30
30, 31, 32, 33, 34, 35,
35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 49, 50,
50 51, 52, 53, 54, 55,
55 56, 57, 58, 59, 60
60, 61, 62, 63, 64, 65, 66,
67, 68, 69, 70,
70 71,72, 73, 74, 75,
75,76, 77, 78, 79, 80,
80 ,81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88,
89,90,
90 91, 92, 93, 94, 95,
95 96, 97, 98, 99, 100.
100
Сколько среди данных чисел, чисел кратных 15? Выпишите их.
РЕШЕНИЕ.
Числа, кратные 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100
( 20 чисел)
Числа, кратные 3:
15, 30, 45, 60, 75, 90
(6 чисел)
Т.о. чисел, кратных 15, в данном наборе - 6:
15, 30, 45, 60, 75, 90.
Ответ. 6 чисел. 15, 30, 45, 60, 75, 90.
Пример №1.
Дано множество чисел:
14, 16, 26, 27, 58,
58 99, 43, 183.
Сколько среди них: а) четных; б) кратных 5; в) делящихся на 3?
а) Четные числа:
Решение.
Всего 4 четных числа.
б) Чисел кратных 5 нет, так как нет ни одного числа,
оканчивающегося на 0 или 5.
в) найдём сумму цифр числа и если эта сумма делится на 3, то и число
делится на 3. Сумма цифр для соответствующих данных чисел равна 5, 7,
8, 9, 13, 18, 7, 12. Среди полученных чисел 3 числа, которые делятся на 3.
Ответ. а) 4; б) нет;
в) 3.
Пример
Пусть даны числа :
123, 129, 1205, 135, 140, 255, 295, 127, 1025, 2025, 2055, 2143, 41730.
Сколько из данного набора чисел: а) кратных 15;
б) кратных 6.
РЕШЕНИЕ.
а) 5: 135,1205,140,255,295,1025,2055,2025,41730.
3: 135,255,2055,2025,41730.
б) 2: 140,41730.
3: 41730.
Ответ. а) 5 чисел; б) 1 число.
§2. Правило произведения
Если элемент x из множества элементов можно выбрать m способами и
если для каждого такого выбора элемент y можно выбрать n способами, то
выбор упорядоченной пары (x, y) можно сделать способами
m n.
Пример № 1
22
33
22 33 55 66
Даны цифры
и
11
Сколько всевозможных двузначных чисел можно составить из данных цифр, если
первая цифра записана в зеленом кружочке?
Количество
возможностей:
1 12 2
113 3
1 15 5
116 6
2 22 2
2 23 3
2 25 5
2 26 6
3 32 2
3 33 3
3 35 5
3 36 6
3
+ 3
+ 3
+ 3
=
возможности
возможности
возможности
возможности
3х4
=
12
Ответ. 12 чисел.
Пример № 2
22
33
22 33 55 66
Даны цифры
и
11
Сколько всевозможных двузначных чисел можно составить из данных
цифр, если первая цифра записана в синем кружочке?
Количество
возможностей:
1 21 2
131 3
1 51 5
161 6
4 возможности
2 22 2
2 32 3
2 52 5
2 62 6
+
4 возможности
3 23 2
3 33 3
3 53 5
3 63 6
+
4 возможности
=
4 х 3 = 12
Ответ. 12 чисел.
Пример № 3
Даны цифры
22
33
55
66
и
11
22
33
Сколько всевозможных двузначных чисел можно составить из данных
цифр, если на первом месте стоит цифра в синем или в зеленом кружочке?
Количество
возможностей:
1 21 2
13
2 32 3
23
3 33 3
33
1 51 5
15
2 52 5
25
3 53 5
35
161 6
16
2 62 6
26
3 63 6
36
8 возможностей
+
7 возможностей
+
5 возможностей
=
12
2 22 2
22
3 23 2
32
131 3
8 +7+5 = 20.
Также из примеров №1 и №2 следует (4 х 3+3 х 4) – 4 = 24 – 4 = 20.
Ответ. 20 чисел.
Пример № 4
Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр
2, 4, 5, 7,
если а) ни одна цифра не повторяется; б) цифры повторяются.
Решение.
а) Перебором получаем двузначные числа:
24, 25, 27, 42, 45, 47,
52, 54, 57,
72, 74, 75.
Эти числа получены следующим образом: на первое место ставится одна из
четырех цифр, тогда на втором месте будет стоять одна из трех оставшихся цифр.
Всего двузначных чисел с неповторяющимися цифрами будет 4  3 =12.
б) На первое место ставится одна из четырех цифр, так как цифры в числе
повторяются, то на втором месте будет стоять одна из четырех данных цифр.
22, 24, 25, 27,
42, 44, 45, 47,
52, 54, 55, 57,
72, 74, 75,77. Всего
двузначных чисел с повторяющимися цифрами будет 4 х 4 =16.
Ответ.
а) 12;
б) 16.
Правило суммы
Если элемент x из множества элементов можно выбрать m способами, и
если после каждого такого выбора элемент y можно выбрать n
способами, причем ни один из способов выбора элемента x не совпадает с
каким-либо способом выбора элемента y, то выбор x или y можно
осуществить m + n способами.
Пусть даны числа от 1 до 25:
1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15, 16, 17, 18,19, 20, 21,22, 23, 24, 25.
Сколько среди данных чисел, чисел кратных 5 или кратных 7? Выпишите их.
Числа, кратные 5:
( 5 чисел)
Числа, кратные 7:
(3 числа)
СОВПАДЕНИЙ
НЕТ !
Т.о. чисел, кратных 5 или 7, в данном наборе - 8 (5+3):
5, 10, 15, 20, 25, 7, 14, 21.
Ответ. 8 чисел. 5, 10, 15, 20, 25, 7, 14, 21.
Пример № 2
Пусть даны числа от 1 до 25:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10, 11, 12,13, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25
Сколько среди данных чисел, чисел кратных 3 или кратных 7? Выпишите их.
Числа, кратные 3:
3, 6,
Числа, кратные 7:
7,
9,
14,
12, 15, 18, 21, 24,
21,
( 8 чисел)
(3 числа)
СОВПАДЕНИЯ ЕСТЬ ! – число 21
Т.о. чисел, кратных 3 или 7, в данном наборе - 10 (8 + 3 - 1):
3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 24.
Ответ. 10 чисел. 3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 21, 24.
Пример № 3
В отряде 5 разведчиков, 3 связиста и 2 сапёра.
а) Сколькими способами можно выбрать одного бойца, чтобы он был разведчиком
или связистом?
б) Сколькими способами можно составить отряд из трёх человек, чтобы в него
вошли и разведчик, и связист, и сапёр?
Решение.
а) Разведчика можно выбрать 5 способами, а связиста - другими 3 способами.
Применяя правило суммы, получим, что выбор разведчика или связиста можно
осуществить 8 способами.
б) Разведчика можно выбрать 5 способами. Связиста можно выбрать 3 способами
и сапёра можно выбрать 2 способами. Применяя правило произведения, получим,
что составить отряд из трёх человек, чтобы в него вошли и разведчик, и связист, и
сапёр можно
5  3  2  30 способами.
Ответ. 8; 30
Дерево вариантов
Пример №1 .
Сколько можно составить различных трехзначных чисел, удовлетворяющих
условиям:
1) первая цифра больше 3, но меньше 6;
2) сумма второй цифры с первой равна 10;
3) третья цифра не меньше 4, и не больше 6? Запишите эти числа.
Количество чисел, удовлетворяющих данным условиям, подсчитывается с помощью
чертежа, который называется деревом вариантов.
Решение.
Из условия задачи следует, что
1) первой цифрой может быть одна из цифр 4 или 5;
2) второй цифрой может быть одна из цифр 6 (если первая цифра 4)
или 5(если первая цифра 5);
3) третьей цифрой может быть 4, 5 или 6.
Построим дерево вариантов.
Построим дерево вариантов.
Возьмем на плоскости точку О
и
1) проведем из неё два отрезка, соответствующих возможным первым цифрам;
(больше 3, но меньше 6)
2) из концов полученных отрезков проведем два отрезка, которые
соответствуют возможным вторым цифрам; (сумма второй цифры с первой
равна 10)
3) из концов вторых отрезков проведем по три отрезка, которые соответствуют
возможным третьим цифрам (не меньше 4, и не больше 6).

4
6

4
О



5

6
первая цифра
5

4
5
вторая цифра


5
6
третья цифра
Число вариантов совпадает с числом ветвей последнего уровня.
Получили 6 чисел, удовлетворяющих условиям примера.
Ответ. 464, 465, 466, 554, 555, 556.
Размещения
Пример №1.
Есть три кубика красного, синего, зеленого цвета
Сколько можно составит пар кубиков, используя кубики разных цветов?
РЕШЕНИЕ.
Число способов взять из n различных предметов k
предметов с учётом порядка называется числом размещений
из n элементов по k, обозначается
k
n
А
и вычисляется по формуле
А kn = n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1), где 0<k n. 
Ответ. 6 пар.
Пример №2.
Сколькими способами можно разместить 2 различных шара по 3 ящикам,
если в каждом ящике может находиться не более 1 шара.
РЕШЕНИЕ.
Число способов
расположить k разных
предметов в n ящиках
(n  k 0 и каждому ящику
присвоен номер), так,
чтобы в каждом ящике
было не более одного
предмета, равно числу
А kn.
Число А
k
n
можно выразить через
факториалы: А
Ответ. 6 способов.
k
n 
n!
(n  k )!
Пример №3
Имеется 12 разных книг. Сколько есть способов вручить по одной книге, в
качестве приза, 3 победителям школьной олимпиады по математике?
РЕШЕНИЕ.
12
11
По правилу произведения получим:
12 х 11 х 10 = 1320.
10
Используя правило примера
№1, получим
n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1) =
= 12 х 11 х 10 = 1320.
Ответ. 1320.
Перестановки
Пример №1.
Сколькими способами можно расставить на полке 3 разные книги?
РЕШЕНИЕ.
Ответ. 6 способов.
Число способов расставить n различных предметов на n мест с
учётом порядка называется числом перестановок из n элементов,
обозначается
Pn и вычисляется по формуле
Pn  n!, n  0.
Пример №2
Сколько пятизначных чисел, кратных 2, можно составить из цифр
0, 4, 5, 6, 7
при условии, что в числе цифры не повторяются?
РЕШЕНИЕ.
Кратные 2 - числа, которые оканчиваются на цифру 0, 2, 4, 6, 8.
4 5 6 7
4!
0
2 случай.
0 5 6 7
3! х 3
4
3 случай.
0 4 5 7
6
1 случай.
3! х 3
4! + (3! х 3) + (3! х 3) = 60.
Ответ. 60 чисел.
Сочетания
Пример №1.
Сколькими способами можно разместить 2 одинаковых шара по 3 ящикам,
так, чтобы в каждом ящике было не более одного шара?
РЕШЕНИЕ.
Ответ. 3 способа.
Пример № 2.
Сколько есть способов взять из 4 различных предметов 3 предмета
( порядок предметов не учитывается).
РЕШЕНИЕ.
1.
2.
3.
4.
Ответ. 4 способа.
Число способов взять из n различных предметов k предметов без
учёта порядка предметов называется числом сочетаний из n
элементов по k, обозначается С k и вычисляется по формуле
n
n(n  k )(n  k  1)
Cn 
,
k!
k
0  k  n.
Число способов расположить k одинаковых предметов в n ящиках,
так, чтобы в каждом ящике было не более одного предмета
(порядок ящиков учитывается), равно числу С nk .
Число
С nk можно выразить через факториалы:
n!
Cn 
,
( n  k )!k!
k
0  k  n.
Пример №3
В классе 10 учеников имеют отличные знания по математике. Сколькими
способами можно из них выбрать троих учеников для участия в математической
олимпиаде?
Решение.
Для подсчёта числа способов выбора трёх учеников, применяется формула
числа сочетаний из 10 элементов по 3, так как не имеет значения порядок, в
котором выбираются ученики. Имеем:
С
3
10
10  9  8

1 2  3
= 120.
Ответ. 120 способов.
№12:
Практические арифметические задачи с текстовым условием. Оптимальный выбор
Методика: Тр/р №19 - №20 (стр40-43)
Рабочая тетрадь: Дом/р №17-№18 (стр45-50)
№13:
Практические и прикладные задачи по стереометрии
Методика: Тр/р №23 - №24 (стр249-250)
Рабочая тетрадь: Дом/р №127 - №128 (стр298-302)
№14:
Функция. График функции.
(Возрастание, убывание, точки максимума, минимума, наибольшие, наименьшие значения
функции. Чтение графиков функций)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр141-142)
Рабочая тетрадь: Дом/р №69 - №70 (стр174-175)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр145-146)
Рабочая тетрадь: Дом/р №71 - №72 (стр177-180)
(Графики тригонометрических функций)
(Графики показательных функций)
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр149-151)
Рабочая тетрадь: Дом/р №73 - №74 (стр182-184)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр153-154)
Рабочая тетрадь: Дом/р №75 - №76 (стр186-188)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр154-160)
Рабочая тетрадь: Дом/р №77 - №78 (стр190-192)
(Графики логарифмических функций)
(Прямая. Угловой коэффициент прямой. График линейной функции)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
конечная десятичная дробь.
№14:
Функция. График функции.
(Понятие касательной к графику функции. Связь между знаком углового коэффициента
касательной и монотонностью функции. Связь между угловым коэффициентом касательной и
точками экстремума)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр166-168)
Рабочая тетрадь: Дом/р №79 - №80 (стр194-197)
(Понятие производной. Производная как угловой коэффициент касательной)
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр172-174)
Рабочая тетрадь: Дом/р №81 - №82 (стр200-202)
(Чтение свойств производной функции по графику этой функции. Чтение свойств графика
функции по графику производной этой функции)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр178-180)
Рабочая тетрадь: Дом/р №83 - №84 (стр204-206)
№15:
Планиметрия.
(Треугольник)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр184-185)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр 187)
Рабочая тетрадь: Дом/р №85 - №86 (стр209-212)
(Параллелограмм)
Рабочая тетрадь: Дом/р №87 - №88 (стр214-216)
(Прямоугольник. Квадрат. Ромб)
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр 189-190)
Рабочая тетрадь: Дом/р №89 - №90 (стр218-219)
(Трапеция)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр192-193)
Методика: Тр/р №9 - №10 (стр195-196)
Рабочая тетрадь: Дом/р №91-№92 (стр221-223)
(Окружность и круг)
Рабочая тетрадь: Дом/р №93 - №94 (стр223-225)
(Вписанные и описанные окружности)
Методика: Тр/р №11 - №12 (стр198)
Рабочая тетрадь: Дом/р №95 - №96 (стр227-229)
(Геометрия на клетчатой бумаге)
Методика: Тр/р №13 - №14 (стр202-203)
Рабочая тетрадь: Дом/р №97 - №98 (стр231-234)
(Простейшие задачи в координатах)
Методика: Тр/р №15 - №16 (стр206)
Рабочая тетрадь: Дом/р №99 - №100 (стр237-239)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
№16:
Стереометрия.
(Призма, её элементы. Прямая призма. Правильная призма. Правильная треугольная призма)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр194-197)
Рабочая тетрадь: Дом/р №105 - №106 (стр251-253)
(Параллелепипед, его элементы. Прямоугольный параллелепипед)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр218-219)
Рабочая тетрадь: Дом/р №107 - №108 (стр255-256)
(Площадь поверхности призмы. Объём призмы)
Методика: Тр/р №5 - №6 (стр221-222)
Рабочая тетрадь: Дом/р №109 - №110 (стр258-260)
(Пирамида, её элементы. Правильная пирамида, её элементы. Правильная треугольная пирамида)
Методика: Тр/р №7 - №8 (стр225-226)
Рабочая тетрадь: Дом/р №111 - №112 (стр262-265)
(Правильная четырёхугольная пирамида. Правильная шестиугольная пирамида)
Методика: Тр/р №9 - №10 (стр 229-230)
Рабочая тетрадь: Дом/р №113 - №114 (стр268-270)
(Пирамида. Вычисление площадей и объёмов)
Методика: Тр/р №11 - №12 (стр 233)
Рабочая тетрадь: Дом/р №115 - №116 (стр272-274)
(Сфера и шар, их элементы. Площадь сферы и объём шара)
Методика: Тр/р №13 - №14 (стр 235-236)
Рабочая тетрадь: Дом/р №117 - №118 (стр277-279)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
конечная десятичная дробь.
(Цилиндр, её элементы. Площадь поверхности цилиндра)
Методика: Тр/р №15 - №16 (стр238-239)
Рабочая тетрадь: Дом/р №119 - №120 (стр281-284)
(Конус, его элементы. Площадь поверхности конуса)
Методика: Тр/р №17 - №18 (стр240-241)
Рабочая тетрадь: Дом/р №121 - №122 (стр286-288)
(Объём цилиндра и объём конуса)
Методика: Тр/р №19 - №20 (стр242-243)
Рабочая тетрадь: Дом/р №123 - №124 (стр290-292)
(Задачи по стереометрии на вычисления)
Методика: Тр/р №25 - №26 (стр251-252)
Рабочая тетрадь: Дом/р №125 - №126 (стр294-296)
№17:
Неравенства.
(Общие сведения о неравенствах. Метод интервалов)
Методика: Тр/р №1 - №2 (стр 106-107)
Рабочая тетрадь: Дом/р №55 - №56 (стр137-140)
(Линейные неравенства)
Методика: Тр/р №3 - №4 (стр 110-111)
Рабочая тетрадь: Дом/р №57 - №58 (стр143-144)
(Квадратные неравенства)
Методика: Тр/р №5 - №8 (стр 117-122)
Рабочая тетрадь: Дом/р №59 - №62 (стр147-155)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
конечная десятичная дробь.
(Простейшие дробно-рациональные неравенства)
Методика: Тр/р №9 - №10 (стр 123-128)
Рабочая тетрадь: Дом/р №63 - №64 (стр157-161)
(Простейшие показательные неравенства)
Методика: Тр/р №11 - №12 (стр 130-132)
Рабочая тетрадь: Дом/р №65 - №66 (стр164-166)
(Простейшие логарифмические неравенства)
Методика: Тр/р №13 - №14 (стр 135-137)
Рабочая тетрадь: Дом/р №67 - №68 (стр169-171)
№18:
Задачи с логической составляющей. Следствия.
Методика: Тр/р №23 - №24 (стр 51-53)
Рабочая тетрадь: Дом/р №21 - №22 (стр60-62)
№19:
Задачи с логической составляющей. Делимость.
Методика: Тр/р №25 - №26 (стр 55-56)
Рабочая тетрадь: Дом/р №23 - №24 (стр65-67)
№20:
Текстовые арифметические задачи с логической составляющей
Методика: Тр/р №27 - №28 (стр 57-58)
Рабочая тетрадь: Дом/р №25 - №26 (стр70-72)
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или
В 2016 году (профильный уровень) экзамен включает в себя 19 задач. Они разделены
на две части:
Часть 1
Состоит из 8 заданий, это задания 1-8, с кратким ответом. Процесс решения описывать
здесь не требуется.
Если вы владеете базовыми знаниями, то времени на решение уйдёт немного, можно
уложиться в 20 - 45 минут.
Первая часть (1-8) предназначена
для проверки базовых знаний — эти задачи
соответствуют уровню обычной средней школы без углубленного изучения математики.
Помнить! В ответе всегда должно получиться целое число или конечная десятичная
дробь.
Часть 2
Содержит 11 заданий по материалу курса средней школы.
Задания 9-19. Подразумевает повышенный и высокий уровень знаний и навыков.
задания 9-12 повышенного уровня сложности с кратким ответом
задания 13-19 повышенного и высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.
В заданиях 13-19 необходимо привести грамотное и обоснованное решение.
***
Задания 13 и 14 — никаких углублённых знаний математики не требуют. Важно грамотно
оформить решение задачи.
Задачи 15 и 16 — это уже серьезный уровень. Но школьной программы также достаточно,
чтобы их решить. Хорошие теоретические знания плюс навыки решения плюс умение делать
выводы из начального условия — и задачи будут вами решены.
Задачи 17, 18 и 19 — самые сложные и нестандартные. Подвластны тем, кто не просто
хорошо знает математику, а увлечён ей и постоянно совершенствуется.
Требуется оригинальное, нестандартное мышление, смекалка, изобретательность. Само
решение занимает на тетрадном листе немного места, но поразмыслить придётся.
ЗАДАНИЕ 1: 94 - 98% (75 - 80%)
Определить количество чего-либо
Задачи на обычные вычисления (без округления)
Задания на понятие — процент
Уметь находить процент от числа
Число, если дан его процент относительно исходной величины
«Процент от процента" в комбинированных задачах
Составлять пропорцию, и находить неизвестную величину
Методика (П): с.21 – Уроки 9-10, 11-12. с.73 Уроки 1-2
РТ (П): с.26 – 34; с. 105-120
1) Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50
минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути? (8)
2) В розницу один номер еженедельного журнала "Репортаж" стоит 26 руб., а полугодовая
подписка на этот журнал стоит 590 руб. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько
рублей сэкономит г-н Иванов за полгода, если не будет покупать каждый номер журнала
отдельно, а оформит подписку? (60)
3) Флакон шампуня стоит 170 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на
900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%? (8)
ЗАДАНИЕ 2: 73 - 95% (74 - 82%)
Читать график и по нему определить какую-нибудь величину
Ошибки: 1. Путают горизонтальную и вертикальную оси.
2. Находят значение из всей области графика при условии, что величину
нужно определить на заданном интервале.
3. Неправильно вычисляют масштаб – необходимо в каждой задаче обращать
внимание на цену деления (не всегда 1 деление есть одна единица).
На диаграмме показана средняя температура
воздуха в С-Пб за каждый месяц 1999 г. По
горизонтали указываются месяцы, по
вертикали - средняя температура в градусах
Цельсия. Определите по диаграмме, сколько
было месяцев с отрицательной средней
температурой в С-Пб в 1999 г (5)
На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций горно-обогатительного комбината во
второй половине октября. 18 октября бизнесмен приобрёл 480 акций этого комбината.
Треть своих акций он продал 25 октября, а оставшиеся акции —27 октября. Сколько рублей приобрёл бизнесмен в результате этих операций? (32 000)
ЗАДАНИЕ 3: 80 - 92% (65 - 74%)
Планиметрическая задача на нахождение площади: треугольника, четырёхугольника,
круга и его частей по данным рисунка, на координатной плоскости или клетчатой бумаге
Для решения необходимо знать:
1.Формулы площадей фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, трапеция, параллелограмм,
четырёхугольник, круг, сектор круга);
2. Теорему Пифагора;
3. Теорему косинусов;
4. Теорему о сумме углов треугольника;
5. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике;
6. Процесс решения квадратного уравнения (формулы дискриминанта и корней);
7. Формулы для решения треугольника (отношения высот, медиан, формулы связи радиусов
вписанной и описанной окружности с его площадью);
8. Формулу для нахождения длины отрезка на координатной плоскости;
9. Формулу для нахождения координат середины отрезка;
10. Понятие вектора, координаты вектора;
11. Понятие модуля вектора, формулу длины вектора;
12. Скалярное произведение векторов;
13. Уравнение прямой, угловой коэффициент;
14. Формулу уравнения прямой походящей через две данные точки;
15. Формулу Пика (знать необязательно, но желательно)
ЗАДАНИЕ 4: 71 - 88% (59 - 78%)
Вероятность
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов .
вероятность не может быть больше единицы.
Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность
того, что начинать игру должен будет мальчик.
Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди
которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам
— по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются
еще восемь команд, среди которых команда «Зенит».
В фирме такси в данный момент свободно
машин:
красных,
желтых и
По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице.
Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
зеленых.
ЗАДАНИЕ 5: 94 - 98% (59 - 65%)
Уравнения:
логарифмические,
квадратные (рациональные и иррациональные, которые сводятся к квадратным)
показательные
тригонометрические
Внимание:
1. Больше одного корня - выбирайте правильный ответ, в вопросе всегда указывается,
какое значение требуется найти.
2. Из-за спешки записывают какой-либо промежуточный результат.
3. Будьте внимательны, записывая ответ. ОБЯЗАТЕЛЬНО делать проверку. Ответ - целое
число или конечная десятичная дробь.
Для решения заданий данной группы необходимо знать:
1. Формулы сокращённого умножения.
2. Формулы степени и корня.
3. Понятие логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифма.
4. Формулы для нахождения корней тригонометрических уравнений.
5. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов от 0 до 90 градусов.
примеры показательных уравнений:
5х+2 = 125
3х·2х = 8х+3
32х + 4·3х - 5 = 0
22х - 8х+1 = 0
2х = 7
1. смотрим на основания степеней: нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать,
активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно
превращать в степени!
2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые
числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители.
То что можно посчитать в числах - считаем.
3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может
получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое
тоже сводится к квадратному.
4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в
лицо".
ЗАДАНИЕ 6: 43 - 73% (43 - 35%)
Задачи по геометрии.
Необходимо знать все фигуры планиметрии, понятия, формулы и теоремы:
1. Виды треугольников.
2. Понятие биссектрисы, медианы, высоты.
3. Основное тригонометрическое тождество.
4. Теорема Пифагора.
5. Теорема о сумме углов треугольника.
6. Теорема о внешнем угле треугольника.
7. Теорема косинусов.
8. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.
9. Тригонометрические функции и их значения.
10. Формулы приведения.
11. Признаки подобия треугольников.
12. Свойства вписанных в окружность углов.
13. Свойства четырехугольников вписанных в окружность и описанных около неё.
14. Параллельные прямые.
ЗАДАНИЕ 7: 46 - 77% (31 - 19%)
Задачи на выполнение действий с функциями и производными
функций, исследование функций.
Задача на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств
производной этой функции, либо на чтение графика производной функции для
ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции.
1.
2.
3.
4.
необходимо знать:
Таблицу производных и правила дифференцирования.
Геометрический смысл производной.
Свойства производной для исследования функций.
Физический (механический) смысл производной.
ЗАДАНИЕ 8: 30% (15 - 53%)
Стереометрическая задача. Вычисление элементов, площадей поверхностей или
объёмов многогранников или тел вращения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Для решения задач необходимо знать:
Теорему Пифагора.
Теорему косинусов.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.
Формулы площадей фигур (треугольник, прямоугольник, параллелограмм, круг, трапеция).
Формулы объёмов тел.
Свойства правильных пирамид и призм.
Стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов,
площадей, объёмов). Несложное задание по стереометрии на применение основных
формул, на вычисление объёмов, площадей поверхности геометрических тел —
многогранников пирамид и призм, тел вращения — цилиндров, конусов, шаров, в
том числе вписанных или описанных около других тел.
Для решения задачи достаточно знать формулы:
площади поверхности и объёмов пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара.
Важно увидеть какую формулу необходимо применить.
ЗАДАНИЕ 9: 82 - 94% (16 - 49%)
Задачи на выполнение вычислений и преобразований.
Вычислять значения числового или буквенного выражения. Выполнять действия с
числами, выполнять различные преобразование выражений.
Для решения задач необходимо знать:
1. Формулы сокращённого умножения.
2. Свойства показателей степени.
3. Свойства корней.
4. Основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов.
5. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него; формулы тангенса,
котангенса; синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов, формулы синуса и косинуса
двойного аргумента.
6. Знаки тригонометрических функций.
7. Чётность и нечётность тригонометрических функций.
8. Периодичность тригонометрических функций.
9. Значения тригонометрических функций.
10. Формулы приведения.
Необходимо уметь сокращать дроби, находить общий знаменатель, понимать как
связана градусная мера угла с его радианной мерой. Переводить градусы в радианы и
наоборот.
ЗАДАНИЕ 10: 50 - 80% (29 - 20%)
Текстовые задания на анализ практической ситуации, моделирующее реальную
или близкую к реальной ситуацию (экономические, физические, химические и
др. процессы)
Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, или линейного или
квадратного неравенства или показательного, логарифмического, тригонометрического
уравнения или неравенства. Имеются задачи, в которых нужно выбрать одно из двух
решений.
Для решения задач необходимо знать:
1. Если в вопросе прозвучало «определить наибольшее значение», «определить
наименьшее значение», то задача решается через составление неравенства.
2. Правильно определяйте знак при составлении неравенства. Например: b не менее 21
записывается как b ≥ 21.
3. Если в вопросе задачи прозвучало «сколько», то составляется уравнение.
4. Не забывайте про единицы измерения, если это необходимо (переводим м. в см. и пр.)
5. В каких единицах измерения требуется записать ответ (например, вы получили 0,5 часа,
в условии сказано записать ответ в минутах, получается 30 минут; если запишите 0,5 –
это ошибка и потерянный бал, хотя задача решена, верно).
ЗАДАНИЕ 11: 58 - 65% (9 - 28%)
Текстовая задача на движение, работу, проценты, смеси и сплавы, прогрессии.
Задачи на движение и работу сводятся, как правило, к решению квадратного уравнения, иногда к
решению линейного. В задачах на смеси и сплавы иногда необходимо составить систему уравнений.
В задачах на прогрессии необходимо оперировать двумя-тремя формулами.
Для решения этой группы задач необходимо знать:
1. Формулу взаимосвязи пройденного расстояния со скоростью и временем, потраченным на
преодоление этого расстояния. Важно уметь представить процесс движения.
2. Формулу связи совершённой работы с производительностью и временем, потраченным на
выполнение оговоренной работы.
3. Понятие процента, правила используемые при решении задач на проценты, важно уметь
правильно составить пропорцию и решить её.
4. Понятие арифметической и геометрической прогрессии, формулы для вычисления их n - го члена,
и суммы.
Может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Напомним, что средняя
скорость НЕ РАВНА среднему арифметическому скоростей. Вычисляется она по формуле
В ходе изучения материала вы убедитесь, что задачи на работу и движение очень схожи.
Внимательно читайте условие.
ЗАДАНИЕ 12: 37 - 73% (4 - 14%)
Задачи на выполнение действий с функциями и производными функций,
исследование функций. Задание на вычисление с помощью производной точек
экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной
функции на данном отрезке.
Задания на теорию пределов, теорию производной, свойства производной
для
исследования графиков функций и её геометрический смысл.
В представленных задачах вы увидите методы и средства решения некоторых задач без
понимания теории производной. Но помните! К самому ЕГЭ типы заданий могут поменять, и
вы можете оказаться в тупике, оговоренные методы советую иметь как дополнительный
инструмент.
*Рекомендация — освоить теорию, тогда никакая задача в этой теме затруднений не
вызовет.
Для решения задания необходимо знать:
1. Таблицу производных и правила дифференцирования.
2. Производную сложной функции.
3. Понятие экстремума (точки минимума, максимума).
4. Свойства производной для исследования функций.
5. Производные элементарных функций знать на отлично.
ЗАДАНИЕ 13: 8 - 15% (6%)
Уравнение или система уравнений.
Относительно несложное уравнение или система уравнений. Есть
примеры, где необходимо только решить их, и есть такие, где требуется
найти корни на заданном отрезке.
Для решения задания необходимо:
в каждом примере стоит обращать внимание на то - есть ли ограничения
по области определения. Это крайне важно, так как часть полученных
корней исключается из решения.
Уравнение может содержать тригонометрические функции, логарифмы,
степени, корни.
ЗАДАНИЕ 14: 4 - 5% (59 - 65%)
Стереометрическая задача на нахождение геометрических
величин (длин, углов, площадей, объёмов).
Задание на вычисление:
отрезков,
площадей,
углов, связанных с многогранниками и телами вращения.
Как правило, в задаче нужно найти длину отрезка, площадь, угол (между
двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями),
связанные с призмой, пирамидой, цилиндром, конусом или шаром.
Иногда требуются дополнительные построения.
ЗАДАНИЕ 15: 2,4%
Задачи, на неравенство или систему неравенств.
Задания довольно разнообразны:
довольно простые и
при решении которых требуется основательная подготовка.
В неравенствах содержатся степени, корни, дроби, логарифмы.
Необходимо знать:
все свойства с ними связанные, свободно оперировать ими.
У логарифма может быть переменная в основании.
Предельная внимательность нужна при записи неравенств равносильных исходному неравенству
или неравенствам (если дана система), так как можно «упустить» какое-либо из ограничений.
Например, известно, что выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю, основание
логарифма больше нуля и не равно единице, выражение стоящее под знаком логарифма больше
нуля и пр.
Необходимо знать свойства модуля. Если безошибочно, используя все свойства, сможете упростить
исходное неравенство(ва), не допустите ошибок при составлении равносильных неравенств, без
затруднений решаете системы простейших неравенств, то успех в решении этого типа задач
гарантирован.
ЗАДАНИЕ 16, 17, 18
Уравнение или система уравнений.
Задача с параметром, требующая уверенного владения материалом и применения
нескольких свойств и теорем.
Комментарий. Это задание является одним из самых сложных заданий ЕГЭ.
Рассчитано на тех, кто собирается продолжать образование в вузах с
повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов (это не
обязательно вузы, готовящие математиков, физиков, программистов – к ним относится,
например, и ряд экономических вузов).
Если претендуете на высокий балл, то нужно решить эту задачу или хотя бы
продвинуться в решении этой задачи как можно дальше.
Для успешного решения задачи важно свободно оперировать с изученными
определениями, свойствами, теоремами, применять их в различных ситуациях,
анализировать условие и находить возможные пути решения.
Особое внимание следует уделить задачам с параметром, решение которых
основывается на таких свойствах функций, как ограниченность, монотонность, чётность
и нечётность, а также требует умения строить графики основных элементарных
функций.
ЗАДАНИЕ 19
Теоремы:
Задача связанная со свойствами делимости
целых чисел.
1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то
число, то и все произведение делится на это число.
4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на
третье.
Ваш высокий результат никому кроме вас самих не нужен.
Какой уровень знания математики у вас сейчас? Как вы его оцениваете? Обозначим моменты,
которые не должны вызывать затруднений:
1. Сложить в уме два трёхзначных числа, например 185 и 238.
2. Сложить, найти разность, умножить и разделить столбиком любые целые числа.
3. Произвести действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление), сократить дробь.
4. Найти результат умножения (деления) положительных и отрицательных чисел (не потерять знак).
5. Выразить из равенства любую неизвестную величину.
6. Найти результат умножения многочленов.
7. Записать свойства корней и степеней по памяти.
8. Решить квадратное уравнение, неравенство.
9. Перечислить и построить графики основных функций.
10. Воспроизвести основные теоремы (Пифагора, косинусов, синусов, сумма углов треугольника и пр).
11. Назвать признаки равенства треугольников, подобия треугольников.
12. Озвучить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.
13.Воспроизвести формулы площадей (треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция,
круг, сектор круга).
14.Записать все формулы, связанные с координатной плоскостью (длина отрезка, координаты середины
отрезка, координаты вектора, длина вектора, скалярное произведение).
15. Записать основные формулы тригонометрии.
16. Записать формулы сокращённого умножения.
Более 90 баллов в 2015 году набрал примерно 1 из
1000 сдававших.
100 баллов набрали всего 60 человек из более чем
800000 выпускников.