Рост трещины

Viktor M. Pestrikov
Head of Informatics Department of The Saint
Petersburg State University of Service and
Economics, St. Petersburg, Russia.
© V. M. Pestrikov
Модели и критерии разрушения вязкоупругого
тела с трещиной
Для получения качественных и количественных
характеристик процесса разрушения тела с трещиной
необходимо построить модель разрушения.
Модель разрушения вязкоупругого тела включает в себя:
1. Реологическую модель (уравнения) материала.
2. Модель трещины, дающую представление о форме
трещины и структуре ее концевой области (зона
процесса (M.Wnuk)).
3. Критерий разрушения, представляющий собой
условие начала роста трещины.
 В качестве критериев разрушения вязкоупругих тел
с
трещинами
могут
быть
использованы
энергетические, силовые и деформационные. При
выборе критериев разрушения следует отдать
предпочтение
глобальному
энергетическому
критерию
в
вариационной
формулировке
(E.M.Morozov, 1969), так как он в сравнении с
другими критериями, позволяет полнее учесть
основные особенности разрушения различных
типов полимерных материалов.
Глобальный критерий разрушения вязкоупругого
тела с трещиной в вариационной формулировке,
для трещины с тонкой зоной предразрушения
перед трещиной имеет вид (Pestrikov, 1999):

l (t )
a(t )
a(t )



  2    (t )dx1  pu2 ( x1,0,  (t ))dx1   0  (t )u2 ( x1,0,  (t ))dx1   0, (1)




0
l (t )
 0




где a(t )  l (t )  d (t ) , l (t ) - полудлина трещины, d (t ) - длина
зоны предразрушения,  ( (t )) - удельная работа
разрушения как функция от воздействия
временного фактора, вызывающего старение
материала.
Если предположить, что работа сил в зоне предразрушения (зона процесса, Wnuk)
определяет затрату энергии на образование всей трещины, то тогда в уравнении (1)
второе слагаемое много меньше третьего. В этом случае уравнение можно записать в
более простом виде
a t 




 2 ( (t ))  l t     0  (t )  u2 ( x1 ,0,  (t )) dx1   0.(2)


l t 


В результате получаем локальный энергетический критерий разрушения, записанный
в вариационной форме. Если теперь, в (2) варьировать время,  
параметр
 (t )  const
, то получим форму записи локального энергетического
критерия, удобную для практических целей:
a t 
 
l t
 0  
d
t , считая
dt

u2 ( x1 ,0,  )dx1  2 ( )lt .(3)
t
 Если в (2) варьировать длину трещины, при тех же
допущениях, и учесть условие автомодельности, т.е.
неизменности формы зоны предразрушения,
du 2
du
  2 , то получим:
dl
dx
1

2 ( (t ))   0  (t ) 
l
a t 
 u ( x ,0, )dx
2
1
1
 0.(4)
l t
Отсюда следует соотношение, аналогичное известному
соотношению  0  c  2 для неподвижной трещины:
 0 ((t )) c ((t ))  2 ((t )), (5)
где
 c  2u2 ((t ))
– критическое раскрытие трещины.
 Из (5) после преобразований следует аналог силового
критерия Ирвина в виде
K I ( (t ))  K Ic ( (t )).( 6)
При исследовании разрушения вязкоупругого тела с
трещиной на основе критериев (1)-(6), сначала следует
выбрать реологическую модель материала. После этого
определить перемещения
берегов трещины в
вязкоупругом материале. Если выбрана линейная
теория вязкоупругости, в которой связь между
напряжениями и деформациями производится с
помощью интегральных операторов Вольтерра II рода,
то вертикальные перемещения берегов трещины могут
быть найдены из упругого решения.
Вертикальные перемещения в
вязкоупругом теле
В
общем случае
запишутся в виде:
вертикальные
перемещения
 0 (t ) 

u2  T 
 ( x1, l (t )) ,



где  ( x1, l (t )) - функция силовых и геометрических
параметров, а T - интегральный оператор типа
Вольтерра II рода.
Реология материала
 Интегральный
оператор
для
материалов в общем случае
представлен в виде
вязкоупругих
может быть
t


T f (t )  T0  f (t )   K t   ,  ( )  f ( )d , (7)
0


K t  , ( )
где
- ядро ползучести вязкоупругого
материала с нестабильными свойствами, T0 мгновенное значение интегрального оператора,
1  v2
равное T0  E при плоской деформации и T0  1
E
при плоском напряженном состоянии.
Рост трещины в стареющем
вязкоупругом материале
 Для
ряда
конструкционных
материалов
применение деформационного критерия приводит
к большим погрешностям, так как во время роста
трещины не соблюдается условие . Изменение
раскрытия трещины во время ее роста происходит
из-за деформации вблизи вершины трещины. Если
считать, что затраты энергии на процесс
разрушения
в
основном
равны
работе
пластических деформаций в вершине трещины, то
можно прийти к локальному энергетическому
критерию (Knauss 1969, Wnuk 1971).
Критерий разрушения стареющего
вязкоупругого тела с трещиной
 Локальный энергетический критерий разрушения
вязкоупругого тела с трещиной, для материала с
изменяющимися свойствами во времени имеет
вид (Pestrikov 1983) :


l (t )  0 x1 , t  t u2 ( x1 , l (t ))dx1  2t l (t ), (8)
L (t )
где L(t )  l (t )  d (t ) , d (t ) - длина зоны предразрушения
(зона процесса Внука)
Уравнение роста трещины в вязкоупругом теле с
учетом особенностей старения материала
 Для модели трещины с тонкой структурой
концевой зоны (зона процесса Внука)

 1
4T0 02 l (t )tg  ln sec  

1 l (t )  (t ) ( 2 sec 2   tg )
   


2 l (t )  (t ) (tg  ln sec  )
t

 



4l (t ) l (t )tg  ln sec   
t0 
1


R
(
t
,

)

(
x
,
l
(

))
dx
d

, (9)
1
1
l ( )


L ( )
 где t 0 определяется из уравнения l t0   l t cos  .
Критическая длина трещины
Для трещин у которых d  l , критическая длина
находится из условия t  tc , l (t )  lc и l(t )  
lc 

.(10)
2
4T0 0 tg  ln sec  
Если в уравнении (9) провести преобразования и
оставить величины не выше второго порядка
малости,
то
получим
уравнение
роста
макротрещины (d  l ) в виде

lc
4 d (t )  (t )
1
2
1  

l
(

)

( ) R(t , )(r )d
2

l (t )
3 l (t )  (t ) 2l (t )( (t ) / 2) t0
t
Анализ уравнений роста трещины по двум
критериям
 Уравнение кинетики макротрещины, полученное,
исходя из локального энергетического критерия
(Knauss,Wnuk 1971), отличается от уравнения,
полученного по деформационному критерию COD,
только на величину


4 d (t )  (t )
  
.(11)
3 l (t )  (t )
 Это различие имеет место только при переменных
нагрузках. При постоянных нагрузках
уравнения роста трещин совпадают.
0
и
Рост трещины
Диаграммы роста трещин по критерию COD (кривые 2,4)
и локальному энергетическому критерию (кривые 3,5)
при переменной нагрузке. Кривая 1 относится к
  const
макротрещине при постоянной внешней нагрузке
Критерий завершающего натяжения и
медленный рост трещины в вязкоупругом
материале
 Желание
расширить область применимости
критерия критического раскрытия трещины
(COD) привели М. Внука к
критерию
«завершающего натяжения»
(Wnuk 1974):

t 
uP t  t , t c   uxP , d  uxP , t   uxP , t  t ,
t t
где u t  t, t 
- критическая разность смещений в
точке Р, ux  , d    4  x  , d  
, t     dl 
и  E
 dt 
структурный
параметр,
определяемый
из
эксперимента.
P
c
P
1
P
Схематическое изображение процесса разрушения
по критерию «завершающего натяжения». 1 – контур
трещины в момент времени , 2 – контур трещины в
момент времени t. Пунктиром показаны границы
зон предразрушения (зона процесса Внука)
Формулировка критерия Внука
 Приращение нормального перемещения v в
некоторой точке Р, находящейся внутри области
предразрушения перед концом трещины,
сохраняется постоянным в течение медленной
стадии роста трещины.
Уравнение докритического роста трещины
исходя из критерия Внука

t
d c  d t    Qt    xP  , d  d ,
t0
K I2
где d(t) длина пластической зоны в момент времени t, d t   2 и
8
2
dc 
K c
8 2 .
ВЫВОД:
Критерий «завершающего натяжения» может быть использовать при
исследовании разрушения более широкого класса вязкоупругих
материалов, нежели COD, в частности, для наноматериалов.
End
Thank you!