Document 5025460

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)
Кафедра теоретической механики
Научно-технический центр транспортных технологий
Бондаренко А.Н.
Курс лекций по
теоретической
механике
Динамика (I часть)
Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов,
обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе (1974-2006 гг.). Учебный
материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров.
Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра
Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional.
Замечания и предложения можно послать по e-mail: bond@miit.ru .
Москва - 2007
Лекция 7.
Импульс силы. Количество движения.
Теорема об изменении количества
движения. Законы сохранения. Теорема
Эйлера.
Пример решения задачи на
использование теоремы об изменении
количества движения.
Момент количества движения. Теорема
об изменении момента количества
движения..

Лекция 7

Импульс силы – мера механического взаимодействия, характеризующая передачу механического движения со стороны действующих на
точку сил за данный промежуток времени:
t2
В проекциях
( x) : S x 
на координатные оси:
S   F dt
t1
В случае постоянной силы:

S  F (t 2  t1 ).
t2
t2
( y ) : S y   Ydt ;
t1
( z ) : S z   Zdt.
t1
S x  X (t 2  t1 );
t1
S y  Y (t 2  t1 );
S z  Z (t 2  t1 );
t2
t2
t2
t2
t1
t1
t1
t1
 R dt   F1dt   F2 dt  ...   Fn dt.
S  S1  S 2  ...  S n .
Количество движения точки – мера механического движения, определяемая вектором, равным произведению массы точки на вектор
ее скорости:
Количество движения системы материальных точек – геометрическая сумма количеств движения
Q  mv . 
материальных точек:
Q
Q  Q1  Q2  ...  Qn   Qk .
v
m
Тогда:
Q   Qk   mk vk   mk
drk
d
 ( mk rk ).
dt
dt
dr
d
( Mrc )  M C  MvC .
dt
dt
Q  MvC .
Q
В проекциях на координатные оси:

 Xdt;
Импульс равнодействующей – равен геометрической сумме импульсов приложенных к точке сил за один и тот же промежуток
времени:
R  F1  F2  ...  Fn .
Умножим на dt: R dt  F1dt  F2 dt  ...  Fn dt.
Проинтегрируем на данном промежутке времени:

В проекциях на координатные оси:
t2
Q x  Mx C ;
По определению центра масс:
MrC   mk rk .
Вектор количества движения системы равен произведению
массы всей системы на вектор скорости центра масс системы.
Q y  Mx C ;
Q y  Mx C .
Теорема об изменении количества движения системы – Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы
разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки основное
уравнение динамики:
или
dv
dvk
Просуммируем эти уравнения
mk k  Fke  Fki .
mk a k  F ke  F ki
m
  Fke   Fki .

k
dt
по всем точкам:
dt
d
В левой части уравнения внесем массы под знак производной
e
(
m
v
)

R
.

k k
и заменим сумму производных на производную суммы:
dt
Из определения количества движения системы:
 mk v k  Q .
dQ
 R e.
dt
Re
Ri  0
Производная вектора количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы.
В проекциях
на координатные оси:
dQx
dQx
 R ex   X ke ;
 R ex   X ke ;
dt
dt
dQx
 R ex   X ke .
dt
18
Лекция 7 (продолжение 7.2)
Пример: Граната массы M, летевшая со скоростью v, разорвалась
Следствия из теоремы об изменении количества движения системы
на две части. Скорость одного из осколков массы m1 возросла в
(законы сохранения):
направлении движения до величины v1. Определить скорость
1. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил системы
второго осколка.
равен нулю, Re = 0, то вектор количества движения постоянен, Q = const
– закон сохранения количества движения системы).
1. Объект движения (граната):
v
2. Если в интервале времени [t1, t2] проекция главного вектора внешних сил
2.
Объект
–
свободная
система,
e
системы на ось x равна нулю, Rx = 0, то проекция количества движения

связи и их реакции отсутствуют.
β
системы на ось x постоянна, Qx = const.
3. Добавляем активные силы:
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
G2
G1
4. Записываем теорему об изменении количества движения: dQ
e
dQτ
 m1 g cos   m2 g cos   0.
dt Q
t
Разделяем переменные
dQ

(m1 g cos   m2 g cos  )dt  0.


τ
и интегрируем :
Проецируем на ось  :
Q0
dt
Правый интеграл практически равен нулю, т.к. время взрыва t<<1.
0
Отсюда закон сохранения : Qτ  Qτ 0  0 или Qτ 0  Qτ .

 R  G1  G2 .
v2 
Mv  m1v1  m2 v2 .
Mv  m1v1
v2 .
m2
Теорема Эйлера – Применение теоремы об изменении количества движения системы к движению сплошной среды (воды) .
1.Выбираем в качестве объекта движения объем воды, находящийся в криволинейном канале турбины:
v1
2. Отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями (Rпов – равнодействующая поверхностных сил)
F1
A
A
3. Добавляем активные силы (Rоб – равнодействующая объемных сил):
dQ
B
B
4. Записываем теорему об изменении количества движения системы:
R R .
Rоб
( x) : М
R ;
сек (v2 x  vвремени
1 x )  Rx t
Количество движения воды
в моменты
0 и tx1
В
проекциях
на
оси:
представим как суммы:( y ) : М (Qv Qv )QR об.  R пов ;
об
Rпов
C
D
сек
C
D
F2
v2
02 y
1AB
y
Изменение количества (движения
z ) : М (vводы
v
сек
2z
y
BC
)R R
пов
y
dt
,
[t0 t1] :
Q  Q1  Q0  QCD  QAB .
Изменение количества
движения
водывекторов секундных количеств движения жидкости на ось равна
Разность
проекций
dQ  dQCD  dQAB , где dQAB  ( F1v1dt )v1;
за бесконечно малый
интервал
времени
dt: векторов
сумме проекций главных
объемных и поверхностных сил на ту же ось.
dQCD  ( F2v2 dt )v2 .
Принимая произведение плотности, площади поперечного сечения и скорости за секундную массу
получаем:
dQ  ( M dt )v ;
AB
пов
Q1  QBC  QCD .
об
пов
в интервале
времени
1z
z
z
.
об
сек
1
dQCD  ( M сек dt )v2 .
dQ  М сек (v2  v1 )dt.
M сек  F1v1  F2v2 ,
Подставляя дифференциал количества движения системы
в теорему об изменении получаем:
М сек (v2  v1 )  Rоб  Rпов .
Геометрическая разность векторов секундных количеств движения жидкости равна
сумме главных векторов объемных и поверхностных сил.
19
Лекция 7 (продолжение 7.3)
Момент количества движения точки или кинетический момент движения относительно некоторого центра – мера механического
движения, определяемая вектором, равным векторному произведению радиуса-вектора материальной точки на вектор ее количества
движения:
i
j
k
K O  r  Q  r  mv . В проекциях на оси:

K O  r  mv 
Q
v
Кинетический момент системы
материальных точек относительно
некоторого центра – геометрическая
сумма моментов количеств движений
всех материальных точек относительно
этого же центра:

m
KO
r
O

x
mv x
z 
mv z
y
mv y
 [ y (mv z )  z (mv y )]i 
K x  y (mv z )  z (mv y );
 [ z (mv x )  x(mv z )] j 
K y  z (mv x )  x(mv z );
 [ x(mv y )  y (mv x )]k .
K z  x(mv y )  y (mv x ).
KO  K1O  K2O  ...  KnO   KiO  ri  mi vi .
В проекциях на оси:
K x   Kix ; K y   Kiy ;
K z   Kiy .
Теорема об изменении момента количества движения системы – Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой
точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки
основное уравнение динамики:
или
dvk
e
i
e
i
mk a k  Fk  Fk
Умножим векторно каждое из равенств
dv
на радиус-вектор слева:
rk  mk k  rk  Fke  rk  Fki .
dt
Посмотрим, можно ли вынести знак производной
за пределы векторного произведения:
mk
dt
 Fk  Fk .
Просуммируем эти уравнения
по всем точкам:
dvk
  rk  Fke   rk  Fki .
dt
dv
dr
dv
d
(rk  mk vk )  k  mk vk  rk  mk k  rk  mk k .
dt
dt
dt
dt
d
e
Таким образом, получили:  ( rk  mk v k )  M O .
dt
Заменим сумму производных
d
( rk  mk v k )  M Oe .
на производную суммы:
dt
Выражение в скобках есть момент количества движения системы. Отсюда:
В проекциях
на координатные оси:
 rk  mk
dK y
dK x
dK z
 M xe ;
 M ye ;
 M ze .
dt
dt
dt
vk  mk vk  0 (sin( vk , mk vk )  0)
dK O
 M Oe .
dt
M Oe
M Oi  0
Производная вектора момента количества
движения системы относительно
некоторого центра по времени равна
главному моменту внешних сил системы
относительно этого же центра.
Производная момента количества движения системы относительно некоторой оси по времени равна главному
моменту внешних сил системы относительно этой же оси.
20