ЕГЭ. Задачи С-4, В-17

1 сл.
Дано : АВС, АВ = АС, АD  ВС,
АD = 18,  (O : R) - вписанная
окружность , R = 5.
1 сл. :  1 (O1 , R 1 ) - касается ВС
2 сл.
и продолжений АС и АВ.
2 сл. :  2 (O 2 , R 2 ) - касается АВ
и продолжений СА и СВ.
Найти : R 1, R 2 .
1 случай.
1)
  АВ = {P},
 1  АВ = {F}.
2)
AOP подобен AO1F
(A - общий,

APO = AFO1 = 90°),
AO
PO
поэтому
=
(*),
AO1 FO1
1
но AO = AD  OD = 18 - 5 = 13,
AO1 = AD + DO1 = 18 + R 1 ,
PO = R = 5 ,
FO1 = R 1.

Тогда (*) примет вид :
13
5
=
,
18  R 1 R 1
13R 1 = 90 + 5R 1 ,
8R 1 = 90,
1
45
R1 = .
4
45
Ответ : .
4

2
2 случай.
1)
AO 2 - биссектриса KOB  KAO 2 = BAO 2 ,
AD - биссектриса САВ  CAD = DAB.

2)
2
KAB и CAB - смежные, KAB + BAC = 180°,
2BAO 2 + 2BAD = 180°, BAO 2 + BAD = 90°,
DAO 2 = 90°  AD  AO 2 .

3)
2
AD  BC, O 2Q  BC,
AD  AO 2  DAO 2Q - прямоуголь ник,
R 2 = O 2Q = AD = 18.
Ответ :18.