Исследовательская работа по математике на тему: « четырёхугольники

ГОСУДАРСТЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1000
Исследовательская работа по
математике на тему:
«Гиперболические
четырёхугольники
максимальной площади».
Автор: ученица 10 класса «А», Афанасьева Ирина
Научный руководитель: учитель математики,
Полункина Светлана Николаевна
• Объект исследования:
Геометрия Н.И. Лобачевского и
Евклида.
• Предмет исследования:
• некоторые теоремы и доказательства
геометрии Лобачевского.
Цель проекта
определить свойства
четырёхугольника
максимальной площади в
двух геометриях
Задачи исследования:
1.
Проанализировать научную и исследовательскую
литературу по данной теме.
2.
Рассмотреть некоторые теоремы геометрии Лобачевского,
ознакомиться с моделями неевклидовой геометрии.
3.
Сделать сравнительный анализ геометрии Евклида и
геометрии Лобачевского
4.
Решить задачи о треугольнике, четырёхугольнике и фигуре
максимальной площади в геометриях Евклида и Лобачевского.
5.
Выяснить практическую значимость геометрии
Лобачевского;
6.
Организовать и проанализировать результаты
исследовательской деятельности.
Проблемы исследования:
Почему возникла геометрия
Лобачевского?
Реальна ли геометрия Лобачевского в
смысле соответствия физическому
пространству?
Существует ли поверхность, на
которой справедлива эта геометрия?
Какими будут фигуры максимальной
площади в геометрии Евклида и
Лобачевского?
В чём заключаются различия двух
геометрий?
Главная идея этой работы – найти сходства и различия двух
геометрий, убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского.
Гипотеза к теоретической части:
В геометрии Лобачевского и Евклида различаются
только те теоремы, которые опираются на V
постулат.
Гипотеза к практической части:
В геометрии Лобачевского наибольшую площадь
имеет гиперболический квадрат, который обладает
многими свойствами аналогичными для квадрата
Евклида.
Прежде чем приступить к исследованию, мы
решили провести социологический опрос.
Ученикам 9-х классов ГБОУ СОШ №1000
были заданы 3 вопроса:
1.Сформулируйте аксиому параллельных
прямых.
 2. Что вы знаете о геометрии Лобачевского?
 3. Что вы знаете о геометрии Евклида?

25
20
Получен верный
полный ответ
Ответ не получен
или неверный
15
10
5
0
Геометрия
Лобачевского
Геометрия
Евклида
Сформулируйте аксиому о
параллельных прямых
18
16
14
12
Верный ответ
10
Неверный ответ
8
Не знаю
6
4
2
0
Геометрия
Евклида
Геометрия
Лобачевского
История создания геометрии Лобачевского
одновременно является историей попыток доказать
пятый постулат Евклида. Пятый постулат – последнее
и самое сложное из предложений, включённых
Евклидом в его аксиоматику геометрии, поэтому его
часто заменяют эквивалентной ему аксиомой
параллельных прямых.
В конце XVIII века у некоторых геометров возникла мысль о
невозможности доказать пятый постулат.
Решение этого вопроса было найдено великим русским
математиком Н.И, Лобачевским. Он предпринял попытку доказать
от противного: он предположил, что через данную точку, не
лежащую на данной прямой, можно провести несколько прямых,
не пересекающих данную. Тем самым пятый постулат Евклида
был доказан.
Аксиома Евклида о
параллельных
прямых
Через точку, не лежащую
на данной прямой,
проходит только одна
прямая, лежащая с данной
прямой в одной плоскости
и не пересекающая её.
Аксиома
Лобачевского о
параллельных
прямых
Через точку, не лежащую
на данной прямой,
проходят по крайней мере
две прямые, лежащие с
данной прямой в одной
плоскости и не
пересекающие её.
В геометрии Лобачевского и Евклида различаются только те теоремы, которые
опираются на V постулат.
Сумма углов
треугольника
Сумма углов
треугольника всегда
равна 180º.
Геометрия Евклида
Сумма углов
треугольника
непостоянна и
всегда меньше 180.
Существует три
признака равенства
треугольников.
Четыре признака
равенства
треугольников.
Геометрия Лобачевского
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Подобные
треугольники
Два треугольника
подобны, если их углы
соответственно равны и
стороны одного
треугольника
пропорциональны
сторонам другого.
Геометрия Евклида
Признаки равенства
треугольников
Не существует подобных,
но неравных
треугольников.
Треугольники равны,
если их углы равны.
Геометрия Лобачевского
Внешний угол
треугольника
Внешний угол
треугольника равен
сумме внутренних, с
ним не смежных углов.
Внешний угол
треугольника больше
суммы внутренних, с
ним не смежных углов.
Геометрия Евклида
Геометрия Лобачевского
Сравнение некоторых теорем геометрий Евклида и Лобачевского
Критерии
сравнения:
Модель
планиметрии
Расположение
прямых на
плоскости.
Геометрия Евклида
Плоскость
Геометрия Лобачевского
Псевдосфера
Два
случая
взаимного Три случая взаимного расположения двух прямых:
расположения
прямых
на прямые пересекаются, параллельны или расходятся
плоскости: прямые пересекаются,
параллельны
Прямоугольная
проекция стороны
острого угла на
другую сторону
Вписанная в
треугольник и
описанная около
треугольника
окружности.
Прямоугольная
проекция Прямоугольная проекция стороны острого угла на
стороны острого угла на другую другую его сторону есть отрезок
его сторону – полуотрезок.
Длина окружности
Длина
окружности
прямо
пропорциональна
длине
ее
радиуса.
Через три любые точки можно
провести либо прямую, либо
окружность.
Линии постоянной
кривизны.
Около
любого
треугольника Существуют треугольники, вокруг которых нельзя
можно описать окружность и в описать окружность и в которые нельзя вписать
любой
треугольник
можно окружность.
вписать окружность.
Длина окружности не пропорциональна радиусу, а
растет быстрее.
В плоскости Лобачевского, кроме прямой и
окружности, линиями постоянной кривизны
являются эквидистанта и предельная линия
(орицикл).
Практическая часть
треугольники и четырёхугольники
максимальной площади
Теорема 1. Среди треугольников ABC на плоскости Лобачевского с заданными
длинами двух сторон AB и AC максимальную площадь имеет тот, у которого угол A
равен сумме углов B и C.
Дано:
α, β, γ - углы треугольника ABC.
ω - окружность
A - центр модели Пуанкаре в круге .
BC , AB - гиперболические прямые.
BC пересекает AB в тосках B и B′ .
τ = AB′C - угол между хордой BC и окружностью ω
Доказать:
S (ABC) = 2τ.
Доказательство:
Угол между хордой BC и окружностью ω также равен τ, так как угол между хордой и
касательной равен вписанному углу. Сумма углов евклидова треугольника ABC равна
α+β+γ+2τ=π, следовательно S(ABC) = π − (α + β + γ) = 2τ. Таким образом, треугольник
ABC имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда угол AB′C максимален.
Очевидно, что угол ABC максимален, если евклидова прямая B′C касается окружности
ψ. Следовательно, угол ACB′ — прямой. Последнее условие равносильно тому, что π/2
= ∠CAB′+∠CB′A = α+τ . Сопоставив это с выведенной ранее формулой S(ABC) = 2τ и
формулой S(ABC) = π − α − β − γ для площади треугольника, получаем требуемое α = β +
γ.
Треугольники максимальной площади
Геометрия Евклида
1
1) S =
ab ⋅ sin γ (площадь
2
треугольника);
2) α = β +γ =π/2=180 (сумма углов);
3) центр О описанной окружности
лежит в середине стороны ВС;
4) S/2 = b/2 ⋅ c/2;
5) cosα = 0 (косинус прямого угла);
6) a2 = b2 + c2 (теорема Пифагора).
Геометрия Лобачевского
1)S(ABC)=π−α−β–γ(площадь
треугольника);
2) α = β +γ <π/2<180(сумма углов);
3) центр О описанной окружности лежит
в середине стороны ВС;
4) sin(S/2) = th(b/2)⋅ th(c/2);
5)cosα = th(b/2)⋅ th(c/2) (косинус прямого
угла);
6)sh2(a/2)= sh2(b/2)+sh2(с/2) (теорема
Пифагора).
ВЫВОД: Треугольник максимальной площади в геометрии Лобачевского не является
прямоугольным, но обладает многими свойствами аналогичными для прямоугольного
треугольника Евклида.
Четырёхугольники в геометрии Евклида
Формула Герона
S2= (p − a)(p − b)(p − c)p,
где p-полупериметр треугольника
Формула Бретшнайдера
𝐴+𝐶
S2= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2
,
2
где p -полупериметр четырёхугольника
Следствие 1.1. Из формулы Бретшнайдера видно, что площадь
𝑨+𝑪
S максимальна тогда и только тогда, когда cos 𝟐 =0, т. е. когда
∠A+∠C=∠B+∠D=180.
Формула принимает вид: S2= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d).
Но если суммы противоположных углов выпуклого
четырехугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
Формула Бретшнайдера
𝐴+𝐶
S2= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2
,
2
где p -полупериметр четырёхугольника
Следствие 1.2. (ключевое)
Четырехугольник
с
данными
сторонами
имеет
максимальную площадь тогда и только тогда, если он
вписан в окружность. Такой четырехугольник
можно
построить при любом периметре.
Это следует и из теоремы косинусов для четырёхугольника:
d2= a2+b2+c2 − 2ab cos B − 2ac cos А− 2bc cos C
Теорема 2. Описать вокруг четырехугольника окружность можно, если
выполняется условие d1d2=(AB+CD)(BC+AD)
Теорема 3. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только
тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Четырёхугольники в геометрии Лобачевского
Перенесём результат, полученный в евклидовой геометрии, на гиперболический
случай:
Площадь гиперболического четырёхугольника со сторонами a,b,c,d, углами A, B, C и D
и полупериметром р находится по формуле:
Формула Бретшнайдера для гиперболической плоскости:
𝐒
sin2𝟒
=
𝐬𝐡
𝐩−𝐚
𝐩−𝐛
𝐬𝐡
𝟐
𝟐
𝐚
𝐛
𝐜𝐡𝟐 𝐜𝐡𝟐
𝐩−𝐜
𝐩−𝐝
𝐬𝐡
𝟐
𝟐
𝐜
𝐝
𝐜𝐡𝟐 𝐜𝐡𝟐
𝐬𝐡
𝐚
𝐛
𝐜
𝐝
− 𝐭𝐡 𝟐 𝐭𝐡 𝟐 𝐭𝐡 𝟐 𝐭𝐡 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐
Формула Бретшнайдера для евклидовой плоскости:
𝐴+𝐶
S2= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos2
,
2
где p -полупериметр четырёхугольника
𝐀–𝐁+𝐂– 𝐃
.
𝟒
Формула Бретшнайдера для гиперболической плоскости:
𝐒
sin2
𝟒
=
𝐬𝐡
𝐩−𝐚
𝐩−𝐛
𝐬𝐡
𝟐
𝟐
𝐚
𝐛
𝐜𝐡 𝐜𝐡
𝟐
𝟐
𝐩−𝐜
𝐩−𝐝
𝐬𝐡
𝟐
𝟐
𝐜
𝐝
𝐜𝐡 𝐜𝐡
𝟐
𝟐
𝐬𝐡
− 𝐭𝐡
𝐚
𝟐
𝐛
𝟐
𝐜
𝟐
𝐝
𝟐
𝐭𝐡 𝐭𝐡 𝐭𝐡 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝐀–𝐁+𝐂– 𝐃
𝟒
.
Следствие 2.1. Как и в евклидовой геометрии, из этой формулы видно, что
площадь
S
будет
максимальна
тогда
и
только
тогда,
если
𝐚
𝐛
𝐜
𝐝
𝐀–𝐁+𝐂– 𝐃
𝐭𝐡 𝟐 𝐭𝐡 𝟐 𝐭𝐡 𝟐 𝐭𝐡 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐
=0.
𝟒
Формула принимает вид:
𝐒
sin2𝟒
=
𝐬𝐡
𝐩−𝐚
𝐩−𝐛
𝐬𝐡
𝟐
𝟐
𝐚
𝐛
𝐜𝐡 𝐜𝐡
𝟐
𝟐
𝐩−𝐜
𝐩−𝐝
𝐬𝐡
𝟐
𝟐
𝐜
𝐝
𝐜𝐡 𝐜𝐡
𝟐
𝟐
𝐬𝐡
•
Следствие 2.2. В этом случае выполняется равенство:
∠A + ∠C = ∠B + ∠D.
•
Следствие 2.3. Гиперболический четырёхугольник со
сторонами a, b, c и d имеет максимальную площадь тогда и
только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или в
одну ветвь эквидистанты.
Четырёхугольники максимальной площади
𝒅𝟏𝒅𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜶
1)
𝑺(𝑨𝑩𝑪𝑫) =
(площадь
𝟐
четырёхугольника);
2) S2= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)
(площадь
четырёхугольника
максимальной площади через длины
сторон);
3) α = β +γ =π (сумма углов - 360);
4)∠A+∠C=∠B+∠D=180 (сумма углов
противоположных сторон);
5)|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
(теорема Птолемея);
6) центр O описанной окружности лежит
в точке пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам;
7) d2= a2+b2+c2 − 2ab cos B − 2ac cos A −
2bc cos C (теорема косинусов)
1) S(ABCD) = 2(π − α − β – γ) (площадь
четырёхугольника
максимальной
площади);
2)
𝑺
sin2𝟒
=
𝒔𝒉
𝒑−𝒂
𝒑−𝒃
𝒔𝒉
𝟐
𝟐
𝒂
𝒃
𝒄𝒉 𝒄𝒉
𝟐
𝟐
𝒑−𝒄
𝒑−𝒅
𝒔𝒉
𝟐
𝟐
𝒄
𝒅
𝒄𝒉 𝒄𝒉
𝟐
𝟐
𝒔𝒉
3) α = β +γ =π (сумма углов < 360);
4) ∠A+∠C=∠B+∠D<180 (сумма углов
противоположных сторон)
5)|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
6) центр O описанной окружности лежит
в точке пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам;
7) ch a=ch b ch c ch d – sh b sh c cosα− sh b sh d cosα− sh c sh d cosα
(sh(х) и ch(x)) —гиперболические синус
и косинус) (теорема косинусов);
Выводы исследования
Общие результаты исследования.
Новые результаты и
практическое применение.
Спасибо за
внимание!