ГИА 2013 Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» № 9 1

ГИА 2013
Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
№9
1
Модуль «ГЕОМЕТРИЯ» №9
Ответ: 70
2
Повторение
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В треугольнике сумма углов равна 180°
3
Ответ: 6.
4
Повторение
Внешний угол треугольника – это угол, смежный
с углом треугольника
Сумма смежных углов углов равна 180°
В треугольнике сумма углов равна 180°
5
Ответ: 111.
6
Повторение
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
7
Найти наименьший из оставшихся
углов ∆ АВС.
Наименьшим из оставшихся углов ∆ АВС является ∠В, так
как третий угол равен 90°.
∠В= 90°-66°=24°
Ответ: 24.
8
Повторение
Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°
9
Один из углов параллелограмма на 46°
больше другого. Найти больший из них.
∠А+∠D=180°
Пусть ∠А=х°, тогда∠D=х°+46°
х+х+46=180
2х=134
х=67
∠D =46+67=113
Ответ: 113.
10
Повторение
Параллелограмм – это четырехугольник, у
которого противоположные стороны
параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
11
Найти больший угол
параллелограмма АВСD.
∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°
∠С+∠В=180°
∠В=180°-∠В=180°-72°=108°
Ответ: 108.
12
Повторение
Если угол разделен на части, то его градусная
мера равна сумме градусных мер его частей.
В параллелограмме сумма соседних углов
равна 180°
13
АВСD параллелограмм.
Отрезок АС явл. диагональю параллелограмма.
Углы при вершине А равны, зн. углы при вершине С тоже
равны.
⇒
АВСD - ромб. ⇒
АС ⊥ BD, зн. Угол, под которым пересекаются
диагонали равен 90°
Ответ: 90.
14
Повторение
Если в параллелограмме диагональ делит углы
пополам, то этот параллелограмм является
ромбом
В ромбе диагонали пересекаются под прямым
углом
15
АВCK параллелограмм.
75°
∠А=∠ АDС=75°
∠ АDС=∠DСК=75°
∠DСК=∠ DКС=75°
∠СDК=180°-2⋅75°=30°
Ответ: 30.
16
Повторение
В равнобедренной трапеции углы при основании
равны
При пересечении двух параллельных прямых
третьей накрест лежащие углы равны
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
17
Углы ромба относятся как 3:7 .
Найти больший угол.
∠1+∠2=180°
Пусть х° - одна часть, тогда∠2=3х°, ∠1=7х°
3х+7х=180
10х=180
х=18
∠1=18°∙7=126°
Ответ: 126.
18
Повторение
В ромбе противоположные стороны
параллельны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
19
Сумма двух углов параллелограмма
равна 50°. Найти один из оставшихся
углов.
∠А+∠С=50°
∠С+∠D=180°
∠D=180°-25°=155
Ответ: 155
20
Повторение
В параллелограмме противоположные углы
равны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
21
Разность противолежащих углов
трапеции равна 68°. Найти
больший угол.
∠А+∠В=180°
∠В+∠С
Если ∠А=х°, то ∠В=х°+68°
х+х+68=180
2х=180-68
х=56
∠В=56°+68°= 124°
Ответ: 124
22
Повторение
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Сумма углов, прилежащих боковой стороне
трапеции равна 180°.
23
А
С
О
D
4
3
2
1
Найдите угол между биссектрисами
углов параллелограмма, прилежащих
к одной стороне.
В
∠DАВ+∠АВС=180°
Так как ∠1=∠2 и ∠3=∠4, то ∠3+∠2=90°
∠О=180°-(∠3+ ∠2)=90⁰
Ответ: 90.
24
Повторение
Сумма соседних углов параллелограмма равна
180⁰
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам.
В треугольнике сумма углов равна 180°
25
В
47⁰
?
С
D
Найдите угол между гипотенузой и
медианой, проведенной из прямого
угла.
А
∠А+∠В=90°
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠A= 43 CD=BD=DAрадиус описанной окружности, треугольник
CDA
∠А= ∠АCD
∠ВCD=47°
Ответ: 86.
∠ВDC=180°-2∙47⁰=86⁰
26
Повторение
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма углов треугольника равна 180⁰
27
С
N
В
Найдите внешний угол при вершине С.
?
О L
4
1
3 100⁰2
А
Так как ∠1=∠2, ∠3=∠4, то ∠2+∠3=1/2(∠А +∠В)
∠2+∠3=180°-100⁰=80⁰ ⇒
∠А+∠В=80⁰∙2=160⁰
Внешний угол при вершине С равен 160⁰
Ответ: 160.
28
Повторение
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
Внешний угол треугольника – это угол, смежный
с углом треугольника и он равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним.
29
С
H
26⁰
А
L
?
В
В ∆HLF ∠H=90⁰, ⇒ ∠HАL+∠HLA=90° ⇒
∠HLA=90°-26⁰=64⁰
∠HLA внешний для ∆АLВ, ⇒ ∠HLA= ∠LАВ+∠В
∆АLВ - равнобедренный, ⇒ ∠LАВ=∠В
∠В=½ ∠HLA= ½ ∙ 64⁰=32⁰
Ответ: 32.
30
Повторение
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90°
Внешний угол треугольника равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
31
А
Y
В
?
O X
119⁰
С
∠ВОС=∠XOY как вертикальные
⇒
∠XOY =119⁰
∠YOX+∠OYA+ ∠A+∠AXO =360°, где ∠OYA=∠AXO=90⁰
⇒ ∠А=360⁰-2∙90⁰-⁰119⁰=61⁰
Ответ: 61.
32
Повторение
Вертикальными углами называются углы,
стороны которых являются продолжением друг
друга. Вертикальные углы равны.
Сумма углов четырехугольника равна 360°
33
Е
В
23⁰
?
А
D
41⁰ С
∠ЕАD=∠DАС по условию, АЕ=АС по условию, АD - общая
⇒ ∆ЕАD=∆DАС ⇒ ∠АЕD=∠АСD=41⁰
∠ЕАD – внешний для ∆DВЕ
∠ВDЕ=41⁰-23⁰=18⁰
Ответ: 18.
34
Повторение
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны
Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
35
D
Найдите ∠ВDЕ.
В
?
104⁰
Е
С
10⁰
А
∠СВD и ∠АВС ⇒ ∠СВD=180⁰-104⁰=76⁰
∠ЕСВ – внешний для ∆АВС ⇒ ∠ЕСВ=104⁰+10⁰=114⁰
∠DСВ =½∠ЕСВ=57⁰
По сумме углов тр-ка ∠СDВ =180⁰-76⁰-57⁰=47⁰
∆СDЕ=∆СDВ
⇒
∠ЕDВ =2∠СDВ=2∙47⁰=94⁰
Ответ: 94.
36
Повторение
Если в треугольниках две стороны и угол между
ними равны, то треугольники равны
В равных треугольниках соответственные углы
равны
Если угол разбит на части, то его градусная мера
равна сумме градусных мер его частей
37
В
sin A=0,8. Найдите sin B.
С
А
sin À  cos   0,8
sin   cos   1
2
2
sin   1  cos B  1  0,8  0,6
2
2
Ответ: 0,6.
38
Повторение
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2   cos 2   1
39
В
sin ÀÑÌ 
М
Найдите sin B.
3
2
С
А
∠А+∠В=90°
3
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠А= ∠АСМ ⇒ sin ÀÑÌ  sin À 
2
3
sin À  cos  
2
sin 2   cos 2   1
3 2 1
sin   1  cos B  1  ( )   0,5
2
2
2
Ответ: 0,5.
40
Повторение
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2   cos 2   1
41