A 1 D 1

ТРАПЕЦИЯ


Трапецией называется
четырехугольник, у
которого только две
противолежащие стороны
параллельны. Параллельны
стороны трапеции,
называются основаниями
трапеции.
Две другие стороны
называются боковыми
сторонами трапеции.

Трапеция
называется
равнобедренной,
если её боковые
стороны равны.
Трапеция
называется
прямоугольной,
если один из её
углов прямой.
ТЕОРЕМА

Средняя линия трапеции параллельна её
основаниям и равна их полусумме.






Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, в
которой точка М — середина боковой стороны
АВ. Проведем через точку М прямую,
параллельную основаниям трапеции. Пусть эта
прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а
сторону CD в точке N. Применим следствие из
теоремы о средней линии треугольника
последовательно к треугольникам ABC и CAD.
Согласно этому следствию точка Р — середина
стороны АС треугольника ABC. Но тогда согласно
тому же следствию точка N — середина стороны
CD треугольника ACD. Поэтому отрезки MP и PN
являются средними линиями треугольников ABC
и ACD, а отрезок MN — средней линией трапеции
ABCD. Тем самым доказано, что средняя линия
трапеции параллельна ее основаниям.
Далее, по теореме о средней линии
треугольника
MP = ½ BC, PN = ½ AD
Следовательно,
MN = MP + PN = ½ (BC + AD)
Теорема доказана.
ЗАДАЧА 1


Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны, а длина ее средней
линии равна с. Найти длину отрезка,
соединяющего середины оснований
трапеций.
Решение. Рассмотрим трапецию
ABCD, в которой диагонали АС и BD
взаимно перпендикулярны. Пусть
точки K, L, М и N — середины сторон
АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме
Вариньона четырехугольник KLMN —
параллелограмм. Но KL\\AC, LM\\BD,
a AC┴BD. Поэтому KL ┴ LM, и,
следовательно, параллелограмм
KLMN является прямоугольником. В
прямоугольнике диагонали равны: LN
= KM. Отрезок КМ— средняя линия
трапеции, причем по условию КМ = с.
Поэтому и искомый отрезок LN равен
с.

Решение. Рассмотрим трапецию
ABCD, в которой диагонали АС и
BD взаимно перпендикулярны.
Пусть точки K, L, М и N —
середины сторон АВ, ВС, CD и
DA (рис. 32). По теореме
Вариньона четырехугольник
KLMN — параллелограмм. Но
KL\\AC, LM\\BD, a AC┴BD.
Поэтому KL ┴ LM, и,
следовательно, параллелограмм
KLMN является
прямоугольником. В
прямоугольнике диагонали
равны: LN = KM. Отрезок КМ—
средняя линия трапеции, причем
по условию КМ = с. Поэтому и
искомый отрезок LN равен с.
ЗАДАЧА 2
Доказать, что две трапеции
равны, если их стороны
соответственно равны.

Решение. Рассмотрим трапеции ABCD и
A1B1C1D1 у которых стороны соответственно
равны: АВ = А1В1, ВС = В1С1, CD = C1D1, DA =
D1A1. Пусть ВС, AD и B1C1 A1D1 — основания этих
трапеций. Предположим для определенности, что
AD>BC, тогда A1D1> В1С1 (рис. 34). Отметим на
отрезках AD и A1D1 соответственно точки Е и Е1
так, чтобы ED = BC и E1D1 = B1C1. Тогда ED =
E1D1> и, значит, АЕ = А1Е1, а четырехугольники
BCDE и B1C1D1E1 являются параллелограммами
(объясните почему). Поэтому BE=CD, B1E1 = C1D1
(противоположные стороны параллелограмма
равны), и так как CD = C1D1, то ВЕ — В1Е1. Таким
образом, в треугольниках ABE и А1В1Е1 стороны
соответственно равны (АВ = А1В1, АЕ = А1Е1, ВЕ =
В1Е1), поэтому эти треугольники равны, откуда
следует, что ∟ВEA= ∟B 1 E 1 A 1 и ∟BEA =
∟B1E1A1. Но ∟ВЕА = ∟CDА, ∟BEA = ∟C1D1A1,
следовательно, ∟CDA = ∟C1D1A1. Тем самым
доказано, что в данных трапециях ∟A = ∟A1,
∟D=∟D1. Так как AD\\BC, то из равенства∟A =
∟A1 следует, что ∟В = ∟В1, а из равенства∟D1
= ∟D , что ∟C= ∟C1
ЗАДАЧА 3

Биссектрисы равных
углов А и С
равнобедренного
треугольника ABC
пересекают боковые
стороны треугольника в
точках Е и Р
соответственно.
Докажите, что
четырехугольник АРЕС —
трапеция с тремя
равными сторонами.
B
P
A
E
C
 Решение.
ЗАДАЧА 3
B
 PE
\\ AC (свойство
биссектрисы
равнобедренного
треугольника), => ∟PEA
= ∟PAE (теорема о
накрест лежащих углах),
=> AP =PE, => в
трапеции равны 3
стороны.
P
A
E
C