Лекция 2. Неотрицательное решение задачи Коши

Неотрицательное решение
задачи Коши
Нередко постановка задачи требует
чтобы фазовые переменные x1 ,..., xn
принимали лишь неотрицательные
значения. Так, в физических процессах
неотрицательными остаются энергии
частиц, в химических – концентрации и
количества реагирующих веществ, в
биологических – численность особей, в
экономических – капиталы, цены.
 Фазовым пространством таких
динамических систем является R n
подмножество евклидова пространства

Математическое моделирование
процессов отбора
2
Будем говорить, что задача Коши
имеет неотрицательное решение x(t ) ,
если все его компоненты x1 (t ),..., xn (t )
неотрицательны для любых t
рассматриваемых значений параметра
. Также будем называть начальные
условияx(t ) = x 0 неотрицательными, если
все координаты вектора x 0
неотрицательны.
0
Математическое моделирование
процессов отбора
3
Пусть задана система дифференциальных
уравнений в нормальной форме:
xi  Fi (t , x1 ,..., xn ), i  1, n
xi  Fi (t , x1 ,..., xn ), i  1, n
Теорема.
Для того чтобы решение этой системы при
любых неотрицательных начальных условиях
было неотрицательным, необходимо и
достаточно чтобы функции Fi удовлетворяли
условию квазиположительности:
Fi (t , x1 , x2 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  0, i  1, n,
при любых неотрицательных переменных
xj, j  i
Математическое моделирование
процессов отбора
4
Доказательство.
Необходимость:
xi ( )  0, x j ( )  0, j  i
Берём начальные условия так, чтобы
одна фазовая координата была равна
нулю, а остальные были
неотрицательными.
Математическое моделирование
процессов отбора
5
В последующие моменты времени:
xi (  t )  xi ( )
lim
xi ( ) 
0
t  0
t
Следовательно,
xi ( )  Fi ( , x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  0
доказывает условие
квазиположительности.
Математическое моделирование
процессов отбора
6
Достаточность:
Рассмотрим вспомогательную систему,
зависящую от  0 :
xi  Fi (t , x)   , i  1, n
Правые части этой системы
удовлетворяют условию
квазиположительности, т.е. эта система
имеет неотрицательное решение
x (t ,  )
с компонентами xi (t ,  ) .
Математическое моделирование
процессов отбора
7
В силу непрерывной зависимости
решения от параметра предел решения
системы при   0
является решением системы:
lim
xi (t ,  )  xi (t ), i  1, n
 0
Поскольку знак неравенств в пределе
сохраняется, то xi (t )  0 , что и
требовалось доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
8
Следствие 1.
Пусть в системе для некоторого
индекса i выполнено условие
Fi (t , x1 , x2 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  0
при всех x1 ,..., xi 1 , xi 1 ,..., xn x (t )  .0 Тогда при
любых начальных условиях x(t0 ) с
неотрицательной i – й координатой
решение системы будет иметь xi (t )  0
соответствующую неотрицательную
компоненту.
i
0
Математическое моделирование
процессов отбора
9
Доказательство.
Доказывается также как и теорема,
только требуется неотрицательность
лишь i -й компоненты.
Математическое моделирование
процессов отбора
10
Следствие 2.
Пусть для правой части i-го уравнения
системы условие
квазиположительности выполняется в
виде равенства
Fi (t , x1 , x2 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  0
xпри
i
j , j  любых
неотрицательных
переменных
x (t )  0
. Если при этом вxначальный
(t )  0
t t
момент времени задано условие
, то для всех
i
0
i
0
Математическое моделирование
процессов отбора
11
Доказательство.
Сделав замену xi   yi приходим к системе
x j  Fi (t , x1 ,..., x j 1 , y j , x j 1 ,..., xn ), j  1, n, j  i
yi   Fi (t , x1 ,..., xi 1 , yi , xi 1 ,..., xn )
Так как yi (t0 )   xi (t0 )  0, Fi (t , x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  0,
то i -я компонента решения этой системы
неотрицательна, yi (t )   xi (t )  0 , xi (t )  0 , что и
требовалось доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
12
Следствие 3.
Пусть для системы выполнено условие
Fi (t , x1 , x2 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  0 .
Если при этом i координата начальных
0
0
0
0
x
(
t
)

x
,
x

(
x
,...,
x
условий
0
1
n)
удовлетворяет строгому неравенству xi (t0 )  0 ,
то для всех t  t0 справедливо неравенство
xi (t )  0 .
Математическое моделирование
процессов отбора
13
Доказательство.
Предположим, что в некоторый момент
времени i - я компонента обращается в ноль:
xi ( 0 )  0
*
x
(

)

x
Тогда j 0
j , j  1, n, j  i. , задача Коши
будет содержать равную нулю компоненту.
Fi ( 0 , x1* ,..., xi*1 ,0, xi*1 ,..., xn )  0
Математическое моделирование
процессов отбора
14
 0 , x1* ,..., xi*1 ,0, xi*1 ,..., xn
Через точку
фазового
пространства будут проходить две различные
кривые. Получили противоречие.
Следовательно предположение что xi (t )
обратится в ноль неверно, что и требовалось
доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
15
Следствие 4
Рассмотрим систему
дифференциальных уравнений:
zi  Фi (t , z, y ), i  1, n
y i  R j (t , z, y ), j  1, n
С начальными условиями:
zi (t0 )  zi0 , i  1, n
y j (t0 )  y 0j , j  1, n
Математическое моделирование
процессов отбора
16
z
Если в системе функции
квазиположительные по переменным, а
начальные условия неотрицательны по z , то
решение задачи Коши будет
неотрицательным по переменным z .
Математическое моделирование
процессов отбора
17

Следствие 5.
Если в системе функции Фi удовлетворяют
условию квазиположительности в виде
равенства
Фi (t , z1 ,..., zi 1 ,0, zi 1 ,..., zn , y)  0, i  1, n
при неотрицательных компонентах z и
произвольных компонентах y, начальные
условия не тривиальны и неотрицательны по
z, то решение задачи Коши будет
нетривиальным и неотрицательным по
переменным z.
Математическое моделирование
процессов отбора
18
Нулевым компонентам zi0  0 в
начальных условиях будут zi (t )  0
соответствовать нулевые компоненты
в решении.
Математическое моделирование
процессов отбора
19