Расчеты на прочность при переменных нагрузках

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Филиал в г. Салавате
Кафедра “Оборудования предприятий нефтехимии и нефтепереработки”
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ
Салават 2004
Учебное пособие
Составитель: доцент Газиев Р.Р.
Рецензент:
Расчеты на прочность при переменных нагрузках
Цель задачи – научится использовать аналитические и графические
зависимости в прочностных расчетах деталей, подверженных действию
переменных нагрузок.
Mизг
d
D
Пример.
Дано: Схема нагружения детали (рисунок 1), изготовленной из стали 35
(поверхность шлифованная);
D = 100 мм;
d = 70 мм;
r = 10 мм;
Мизг = 2,2 кНм;
коэффициент асимметрии цикла R= –0,4.
Определить коэффициент запаса усталостной прочности и коэффициент
запаса по текучести.
r
Mизг
Рисунок 1 – Схема нагружения
Решение
1 Установим механические характеристики заданного материала –
стали 35 (таблица 1 приложения А):
σ В =540 МПа;
σ т =380 МПа;
σ-1 = 220 МПа.
2 Подсчитываем параметры данного цикла:
- максимальное напряжение цикла
σ max =
Mизг Mизг
=
;
W 0,1  d3
2,2  106
σ max =
 60 МПа.
0,1  703
- минимальное напряжение цикла
σ min =R  σ max ;
σ min  0,4  60  24 МПа.
- амплитудное напряжение цикла
σа =
σ max -σ min
;
2
60+24
= 42 МПа.
2
- среднее напряжение цикла
σа =
σm =
σ max + σ min
;
2
σm =
60 - 24
= 18 МПа.
2
Изобразим графически характер изменения напряжений во времени
Рисунок 2 – Характер изменения напряжений во времени
3 Вычисляем коэффициенты концентраций напряжений. Эффективный
коэффициент концентрации может быть найден через теоретический
коэффициент () в зависимости от чувствительности материала к концентрации.
Для образцов круглого сечения  можно определить по таблице 3 приложения А.
Для плоских образцов при растяжении и сжатии теоретический
коэффициент концентрации можно найти по рисункам 4–6 приложения Б, при
изгибе – по рисункам 7–8.
Эффективный (действительный) коэффициент концентрации напряжений
подсчитывается по формуле:
К ЭФ = 1 + q (α Т - 1) ,
где q – коэффициент, устанавливающий степень чувствительности
материала к концентрации напряжений; определяется по рисунку 2 приложения Б.
В расчетной практике определение эффективного коэффициента
концентрации напряжений через коэффициент чувствительности производится
лишь в тех случаях, когда отсутствуют результаты прямых экспериментов по
определению эффективных коэффициентов концентрации напряжений.
Для типовых концентраторов значения эффективных коэффициентов
концентрации напряжений (К и К) имеются в литературе (таблицы 4, 5, 6, 9
приложения А).
Для сталей с пределом прочности от σ В = 400 до σ В = 1300 МПа в отдельных
случаях можно использовать простые эмпирические зависимости:
- случае, когда деталь не имеет резких переходов, выточек, шпоночных
канавок и обладает чисто обработанной резцом поверхностью (но не
полированной)
K σ  1,2  0,2 
σ B  400
.
1100
- в тех же случаях, когда имеются резкие переходы, надрезы, выточки
K σ  1,5  0,5 
σ B  400
.
1100
Если же в приведенных таблицах приложения отсутствуют данные по
определению эффективного коэффициента концентрации, следует обратиться к
справочнику – Пономарев С.Д. и др. «Расчеты на прочность в машиностроении»
том 3, или Серенсен С.В. «Сопротивление материалов усталостному и хрупкому
разрушению».
Для нашего примера K σ  1,22 .
4 Определяем масштабный коэффициент КМ (рисунок 1 приложение Б,
1
масштабный фактор М=
можно определить также по таблице 7
КМ
приложения А)
К М =1,54.
По рисунку 1 приложения Б:
- кривая 1 – для деталей из углеродистых сталей при отсутствии
концентрации напряжений;
- кривая 2 – для деталей из углеродистых сталей при умеренной
концентрации ( α КД  2 );
-кривая 3 – для деталей из легированных сталей при наличии концентрации
напряжений.
5 Коэффициент приведения асимметричного цикла к симметричному виду
определяем по таблице 8 приложения А.
φ σ  0,1.
6 Коэффициент, учитывающий качество обработки поверхности,
определяется по таблице 10 приложения А или рисунку 3 приложения Б.
В нашем примере принят равным 1 (КF=1).
7 По известным формулам определяем коэффициент запаса усталостной
прочности
n -1 =
σ -1
,
K -1  σa + φσ  σ m
где K -1 - коэффициент снижения усталостной прочности, определяем по
формуле
K -1  K σ  K M  K F ,
K -1  1,22  1,54  1  1,88 .
Тогда, подставляя числовые значении, получим
220
n -1 
 2,7 .
1,88  42  0,1  18
Определяем коэффициент запаса прочности по текучести
nτ 
στ
;
σa + σm
nτ 
380
 6,3.
42  18
8 Строим спрямленную диаграмму предельных напряжений (рисунок 3) и
определяем по ней запас прочности.
Здесь
OM /
n -1 =
=2,7 ;
OM
nτ =
OK /
=6,3 .
OK
a, МПа
380
K/
220
M/
1,8842
M
42
K
0
18
380
Рисунок 3 – Спрямленная диаграмма напряжений
540
m, МПа
Приложение А
Таблица 1 – Механические характеристики углеродистой стали
Марка
стали
10
20
25
30
35
40
45
50
55
60
В (ПЧ)
не менее
МПа
340
420
460
500
540
580
610
640
660
690
Т
не менее
МПа
210
250
280
300
320
340
360
380
390
410
Т
–1
–1
–1Р
МПа
140
160
–
170
190
–
220
–
–
–
МПа
160–220
170–220
190–250
200–270
220–300
230–320
250–340
270–350
–
310–380
МПа
80–120
100–130
–
110–140
130–180
140–190
150–200
160–210
–
180–220
МПа
120–150
120–150
–
170–210
170–220
180–240
190–250
200–260
–
220–280
Примечание: для большинства сталей В=(0,60,7) В.
Таблица 2 – Механические характеристики легированной стали
Марка
стали
20Х
40Х
45Х
30ХМ
35ХМ
40ХН
50ХН
40ХФА
38ХМЮА
12ХН3А
20ХН3А
30ХН3А
40ХНМА
30ХГСА
В (ПЧ)
не менее
МПа
800
1000
1050
95
1000
1000
1100
900
1000
950
950
1000
110
110
Т
не менее
МПа
650
800
850
750
850
800
900
750
850
700
750
800
950
850
Т
не менее
МПа
–
–
–
–
–
390
–
–
–
400
–
–
–
–
–1
–1Р
–1
МПа
310–380
320–480
400–500
310–410
470–510
460–600
550
380–490
420–550
420–640
430–650
520–700
500–700
480–700
МПа
–
240–340
–
370
–
310–420
–
–
–
–
–
–
–
–
МПа
170–230
210–260
–
230
–
–
–
–
–
230–300
240–310
320–400
270–380
280–400
Примечание: для большинства сталей В=(0,60,7) В.
Таблица 3 – Теоретические коэффициенты концентрации напряжений
Вид деформаций и фактора концентрации напряжений
I Изгиб и растяжение:
1 Полукруглая выточка на валу; отношение радиуса
выточки к диаметру вала:
0,1………………………………….
0,5………………………………….
1,0………………………………….
2,0………………………………….
2 Галтель
Отношение радиуса полной галтели к высоте сечения
(диаметру вала):
0,0625……………………………..
0,125………………………………
0,25………………………………..
0,5…………………………………
3 Переход под прямым углом…………………………………
4 Острая V-образная выточка…………………………………
5 Нарезка дюймовая……………………………………………
6 Нарезка метрическая…………………………………………
7 Отверстия при отношении диаметра отверстия к
поперечному размеру сечения от 0,1 до
0,33………………………..
8 Риски от резца на поверхности изделия……………………
II Кручение:
1 Галтель при отношении радиуса галтели к наименьшему
диаметру вала:
0,02………………………………..
0,10………………………………..
0,20………………………………..
2 Шпоночные канавки…………………………………………
Т
2,0
1,6
1,2
1,1
1,75
1,50
1,20
1,10
2,0
3,0
2,0
2,5
2,0
1,2–1,4
1,8
1,2
1,1
1,6–2,0
Таблица 4 – Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для
цилиндрических деталей с поперечными отверстиями
Характер
нагружения
Изгиб К
Кручение К
Предел прочности материала В, МПа
500
600
800
1000
1,90
1,95
2,05
2,15
1,74
1,77
1,86
1,96
1,75
1,78
1,83
1,92
а
d
0,050,10
0,150,25
0,050,25
Примечание: 1 Номинальные значения нормальных и касательных
напряжений следует определять по нетто-сечению,
вычисляя моменты сопротивления по формулам:
πd 3
a
Wи =
(1-1,54  );
32
d
πd 3
a
WK =
(1 - ).
16
d
2 Значения К можно использовать при расчетах на
растяжение (сжатие), вычисляя номинальные напряжения
по площади нетто-сечения.
d
a
Таблица 5 – Эффективные коэффициенты напряжений для валов и осей с
галтелями
1,1
1,25
1,5
0,02
0,05
0,1
0,15
0,20
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
d
1,05
r
d
D
D
d
Коэффициент
концентрации напряжений
при изгибе К для деталей
из стали, имеющей В,
МПа
800
500
1000
1,70
1,88
2,05
1,48
1,57
1,68
1,28
1,33
1,36
1,20
1,23
1,25
1,16
1,20
1,22
2,0
2,24
2,47
1,64
1,70
1,75
1,37
1,42
1,45
1,27
1,31
1,34
1,20
1,24
1,27
2,12
2,68
3,10
1,81
1,97
2,10
1,47
1,54
1,60
1,35
1,40
1,43
1,30
1,32
1,34
2,42
–
–
1,91
2,06
2,20
1,53
1,61
1,67
1,38
1,44
1,48
1,33
1,35
1,38
r
Коэффициент
концентрации напряжений
при кручении К для
деталей из стали, имеющей
В, МПа
800
500
1000
1,24
1,29
1,38
1,15
1,18
1,20
1,08
1,10
1,12
1,06
1,08
1,09
1,05
1,06
1,07
1,40
1,52
1,62
1,25
1,28
1,30
1,12
1,16
1,18
1,09
1,12
1,14
1,06
1,08
1,10
1,64
1,73
1,80
1,40
1,45
1,48
1,20
1,27
1,32
1,15
1,20
1,24
1,09
1,13
1,16
1,76
1,97
2,14
1,48
1,56
1,62
1,24
1,32
1,38
1,19
1,25
1,29
1,10
1,18
1,24
Таблица 6 – Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов и
осей с выточками
D
d
0,5
1,0
2,0
r
d
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
Коэффициент концентрации
напряжений при изгибе К для
деталей из стали, имеющей В,
МПа
800
500
1000
1,77
2,02
2,22
1,72
1,87
1,98
1,59
1,69
1,77
1,45
1,53
1,59
1,37
1,41
1,45
1,85
2,12
2,35
1,80
1,96
2,10
1,65
1,76
1,85
1,50
1,58
1,65
1,45
1,48
1,50
1,42
2,21
2,46
1,86
2,03
2,19
1,70
1,82
1,92
1,54
1,63
1,70
1,48
1,52
1,54
Коэффициент концентрации
напряжений при кручении К
для деталей из стали, имеющей
В, МПа
800
500
1000
1,46
1,61
1,73
1,43
1,52
1,60
1,36
1,42
1,46
1,27
1,32
1,36
1,22
1,25
1,27
1,51
1,67
1,81
1,48
1,58
1,66
1,39
1,47
1,51
1,30
1,35
1,39
1,27
1,29
1,30
1,56
1,73
1,87
1,51
1,62
1,71
1,42
1,50
1,56
1,33
1,33
1,42
1,29
1,30
1,32
Примечание: Значения К могут быть использованы также при расчетах на
растяжение (сжатие).
t
d
D
r
Таблица 7 – Значение масштабного фактора  и  в зависимости от диаметра
детали
Материал
d, мм
10
20
30
40
50
70
100
200
Углеродистая
сталь В=400 500 0,98
МПа
0,98
0,88
0,85
0,82
0,76
0,70
0,63
Углеродистая и
легированная
0,97
сталь В=500 800
МПа
0,89
0,85
0,81
0,78
0,73
0,68
0,61
Легированная
сталь В=800
1200 МПа
0,95
0,86
0,81
0,77
0,74
0,69
0,65
0,59
Легированная
сталь В=800
1200 МПа
0,94
0,83
0,77
0,73
0,70
0,62
0,62
0,57
Таблица 8 – Значения коэффициентов  и , используемых при расчетах по
методу Серенсена-Кинасошвили
Материал
Углеродистая сталь В=320 500 МПа
Углеродистая сталь В=500 750 МПа
Углеродистая и легированная сталь В=700
1050 МПа
Легированная сталь В=1050 1450 МПа

0,05
0,1–0,15

0
0,05
0,15–0,2
0,05–0,1
0,25–0,3
0,1–0,15
Таблица 9 – Эффективные коэффициенты концентрации напряжений для валов и
осей с одной и двумя шпоночными канавками
Характер
нагружения
Изгиб
кручение
500
1,50
1,40
Предел прочности материала вала В, МПа
600
700
800
900
1,60
1,72
1,80
1,90
1,50
1,60
1,70
1,80
1000
2,00
1,90
Примечание: Номинальные значения нормальных и касательных
напряжений следует вычислять по нетто-сечению, определяя
моменты сопротивления по формулам:
- при одной шпоночной канавке
Wи =
π  d 3 b  t  (d - t)2
;
32
2d
π  d 3 b  t  (d - t)2
WK =
.
16
2d
- при двух шпоночных канавках
π  d 3 b  t (d - t)2
Wи =
;
32
d
π  d 3 b  t( d - t)2
WK =
.
16
d
b
b
t=
d
b
2
t=
d
b
2
Таблица 10 – Значения коэффициента KF при поверхностном упрочнении
деталей
Материал, способ поверхностного упрочнения и тип деталей
Углеродистая и легированная сталь; поверхностная закалка токами
высокой частоты; деталь без концентраторов напряжений
То же с концентраторами напряжений
Сталь; азотирование; деталь без концентраторов напряжений
То же с концентраторами напряжений
Сталь малоуглеродистая; цементация; деталь без концентраторов
напряжений
То же с концентраторами напряжений
Углеродистая и легированная сталь; обработка роликами; деталь
без концентраторов напряжений
То же с концентраторами напряжений
KF
1,2
1,5
1,1
1,3
1,1
1,2
1,1
1,3
Задача - Расчёты на прочность при переменных напряжениях
Исходные данные представлены в таблице 1 и 2.
Задание: для указанной детали определить предел выносливости и запас
усталостной прочности.
План решения задачи.
1 Выписать из справочника необходимые для расчёта механические
характеристики материала.
2 Определить коэффициенты, учитывающие концентрацию напряжений,
степень обработки поверхности, влияние размеров детали.
3 Подсчитать максимальное, минимальное, амплитудное и среднее
значение напряжений от заданной нагрузки.
4 Определить аналитический запас усталостной прочности.
5 Построить спрямлённую диаграмму предельных напряжений и
определить предел выносливости и запас усталостной прочности графически.
Примечание: в случае, если коэффициент запаса получится меньше 1,
следует указать пути его увеличения.
Таблица 2 – Варианты заданий
Продолжение таблицы 2
Приложение Б
Рисунок 1 – График зависимости масштабного коэффициента от
диаметра детали
Рисунок 2 – График зависимости коэффициента чувствительности для
стали от теоретического коэффициента концентрации и
временного сопротивления
1
2
3
4
Рисунок 3 – Значения коэффициентов KF состояния и качества
поверхности для различных величин ПЧ
1 – полирование; 2 – шлифование; 3 – тонкое точение; 4 – грубое
точение
Рисунок 4 – Теоретический коэффициент концентрации при
растяжении-сжатии для плоских образцов
Рисунок 5 – Теоретический коэффициент концентрации при
растяжении-сжатии для плоских образцов
Рисунок
6
–
Теоретический
коэффициент
концентрации
растяжении-сжатии для плоских образцов
при
Рисунок 7 – Теоретический коэффициент концентрации при изгибе для
плоских образцов
Рисунок 8 – Теоретический коэффициент концентрации при изгибе для
плоских образцов
Контрольные вопросы
1.
Что такое предел выносливости. Обозначение предела
выносливости при равных циклах нагружения.
2.
Определение предела выносливости симметричного цикла.
3.
Установление пределов выносливости асимметричных циклов.
4.
влияние концентрации напряжений, состояния поверхности и
размеров детали на усталостную прочность.
5.
Диаграммы предельных циклов и определение по ним запаса
усталостной прочности. Использование диаграммы предельных
циклов для определения величины предела выносливости
асимметричных циклов и запаса усталостной прочности.
6.
Аналитические формулы для определения запаса усталостной
прочности.
Использованная литература
1. Серенсен С.В. Сопротивление материалов усталостному и хрупкому
разрушению. – М.: Атомиздат, 1975.
2. Федосеев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1970. § 84, 85,
86, 87, 88.
3. Глушков Г.С., Синдеев В.А. Курс сопротивления материалов. – М.:
Высшая школа, 1965. § 18.1, 18.2, 18.3, 18.4, 18.5, 18.6, 18.7.
4. Любошиц М.И., Ицкович Г.М. Справочник по сопротивлению
материалов. – М.: Высшая школа, 1969.
Таблица 1 – Механические характеристики материала
Вари
D(H),
d(h),
R(r),
max
M изг
,
М мах
кр ,
F мах , Коэффициент
min
M изг
min
M кр
F min ,
Коэффициент
ант
мм
мм
мм
Н·м
Н·м
кН
1
46
40
4
1000 1200
2
56
47
6
3
50
43
4
70
5
Материал
асимметрии
Н·м
Н·м
кН
асимметрии
150
0,5
-
-
-
-
Ст 20
2000 2300
280
0,2
-
-
-
-
Ст 45
5
2500 3000
330
-0,3
-
-
-
-
40 ХН
59
8
3000 3500
300
-0,6
-
-
-
-
Ст 30
60
52
7
5000 6500
400
-0,7
-
-
-
-
40 ХНМЛ
6
48
40
5
-
-
-
-
450
550
70
0,45
Ст 25
7
58
48
6
-
-
-
-
350
400
50
0,18
Ст 50
8
50
45
4
-
-
-
-
-700
800
-90
-0,27
35 ХМ
9
75
60
9
-
-
-
-
-1450
1700
-150
-0,48
Ст 35
10
62
50
7
-
-
-
-
-3200
4000
-250
-0,63
30 ХСГА