Логика в информатике

ЛОГИКА В ИНФОРМАТИКЕ.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
ЛОГИКУ
ЛОГИКА
(ОТ ДР.ГРЕЧЕСКОГО
ΛΟΓΟΣ — МЫСЛЬ)
— НАУКА О СПОСОБАХ
РАССУЖДЕНИЯ ПРИ
ДВИЖЕНИИ К ИСТИНЕ

Пример логической задачи: Пока трое
мудрецов спали под деревом, озорной
ребенок покрасил их головы в красный
цвет. Проснувшись, каждый мудрец
обнаружил дело рук ребенка на головах
своих друзей. Естественно они начали
смеяться. Внезапно один замолчал.
Почему?
Ответ: Мудрец перестал смеяться потому,
что понял, что его голова тоже раскрашена.
Этому предшествовали следующие мысли:
Допустим головы покрашены, только у двоих
других мудрецов, но тогда вскоре один из них
поймет, что его голова раскрашена, ведь если
бы это было не так, то мудрецу с
раскрашенной головой не было бы над чем
смеяться. Но мудрецы не перестают
смеяться, значит, моё допущение неверно, и
моя голова тоже раскрашена.
 (Ещё один пример логики, на этот раз
женской: Таких, как я, немного: только я... )

Логика - инструмент
анализа логических схем.
ИММАНУИ́Л КАНТ (НЕМ. IMMANUEL KANT
[КЁНИГСБЕРГ) — НЕМЕЦКИЙ ФИЛОСОФ,
РОДОНАЧАЛЬНИК НЕМЕЦКОЙ
КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ.

Логика, развиваемая с помощью
математических методов, получила
название математической логики. Эта
наука исследует соотношения между
основными понятиями математики,
на основе которых доказывается
истинность математических
утверждений.
Формы мышления
Мышление всегда осуществляется в каких - либо
формах.
 Важными формами мышления являются:

◦ Понятия (например, треугольник, компьютер). Понятие
фиксирует основные, существенные признаки объекта.
◦ Высказывания – суждения, выраженные в форме
повествовательных предложений. Высказывание может
быть либо истинно, либо ложно.
Например, сумма углов в треугольнике равна 180
градусам.
 (В геометрии Евклида это высказывание является
истинным, а в геометрии Лобачевского - ложным)
 Простому высказыванию поставим в соответствие
логическую переменную Х (У, Z), которая принимает
значение 1, если высказывание истинно, и 0, если
высказывание ложно.

Например:
«Два умножить на два равно четырем» истинное высказывание, ему соответствует
значение логической переменной 1: Х=1.
 « Два умножить на два равно пяти» - ложное
высказывание, ему соответствует значение
логической переменной 0: У=0.
 Высказывание, состоящее из нескольких
простых высказываний, которые связаны с
помощью логических союзов «И», «ИЛИ»,
«ЕСЛИ, ТО» и др., является сложным.
 Пример: Солнце встало (Х), и птицы запели (У).

Булевы функции: логические
выражения и логические
операции

Каждое сложное высказывание можно выразить в виде
формулы, в которую войдут логические переменные (Х,
У и т.д.) и знаки логических операций (,  и т.д.).
Пример: Х  У

Любое логическое выражение можно рассматривать как
логическую функцию, аргументами которой являются
логические переменные. И сама функция, и аргументы
могут принимать только два значения: «истина» или
«ложь» – 0 или 1. Функции такого вида называются
булевыми по имени Джорджа Буля (1815-1864),
английского математика и логика (отца Этель Лилиан
Войнич).
Джордж Буль
(1815-1864) английский математик и логик
Булева алгебра (алгебра ключей) – теоретическая основа
построения телефонных сетей.
Телефонистка за работой, фотография предположительно начала
XX века
Унарные функции (операции)
Унарные функции имеют один аргумент.
 Отрицание - логическая операция инверсии (логическое
"НЕТ"), результатом которой является суждение
«противоположное» исходному. Обозначается X или
Х, читается не X, удобно представить в виде таблицы:

X
0
1
X
1
0
ЛОЖЬ = 0, ИСТИНА = 1 или
X
ЛОЖЬ
ИСТИНА
X
ИСТИНА
ЛОЖЬ
Унарные функции (операции)
продолжение

Повторение - тождественная функция,
логическое "ДА". Таблица истинности:
X
0
1

X
0
1
Тождественный ноль, тождественная ложь,
тождественное "НЕТ". Таблица истинности:
X
0
1
0
0
0
Унарные функции (операции)
продолжение

Тождественная единица, тождественная истина,
тождественное "ДА". Таблица истинности:
X
0
1

1
1
1
Все четыре унарные функции можно представить в
одной таблице:
X
0
X
X
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
Унарные функции (операции)
продолжение

Пример. Пусть аргументы унарной функции описывают
состояние погоды: Х = 1 – светит солнце (хорошая
погода), а Х = 0 –дождливая погода (плохая погода).
Пусть результаты унарной функции описывают
поведение детей с различными характерами и, поэтому,
с разными отношениями к прогулкам: Y = 1 – ребенок
гуляет на улице, Y = 0 – ребёнок сидит дома. Тогда
таблица примет вид:
Погода
«домосед» «упрямец» «послушный»
плохая
сидит дома
хорошая
гуляет
сидит дома сидит дома
«гулёна»
сидит дома
гуляет
гуляет
гуляет
Бинарные функции
Бинарные функции имеют два аргумента

Дизъюнкция (логическое «ИЛИ», логическое сложение) логическая операция по своему применению максимально
приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или
оба сразу». Обозначается X  Y (или X  Y), читается X или Y,
удобно представить в виде таблицы истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
1
1
1
Пример:
Пусть Х=1, Y=-1, если 1<Х<3 или Y<0, то
Х=Х+1; иначе Х=Х-2
 Выражение А=(1<Х<3)=ЛОЖЬ, выражение
B=(Y<0)=ИСТИНА, выражение
C=AB=ИСТИНА. Следовательно, Х=2.

Бинарные функции
продолжение

Конъюнкция (логическое "И", логическое умножение) логическая операция, по своему применению максимально
приближённая к союзу "и". Обозначается X  Y (или X  Y, X &
Y), читается X и Y, таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
0
0
1
Пример:
Х=1, Y=-1, если 1<Х<3 и Y<0, то Х=Х+1;
иначе Х=Х-2
 Выражение А=(1<Х<3)=ЛОЖЬ,
выражение B=(Y<0)=ИСТИНА,
выражение C=AB= ЛОЖЬ.
Следовательно, Х=-1.

Бинарные функции
продолжение

Штрих Шеффера (операция И-НЕ) — обозначается X | Y,
таблица значений:
X
0
0
1
1
Генри Морис
Шеффер
(1882 — 1964)
американский
логик
Y
0
1
0
1
X|Y
1
1
1
0
Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и
конъюнкцию: X | Y =  (X  Y)
Чтобы это показать, построим таблицу для конъюнкции и
инвентируем результат:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
0
0
1
 (X  Y)
1
1
1
0
Бинарные функции
продолжение

Стрелка Пирса (операция ИЛИ-НЕ) — означает «ни X, ни Y»,
обозначается X ↓ Y, таблица значений:
X
0
0
1
1
Чарльз
Сандерс Пирс
(1839 — 1914),
американский
философ, логик,
математик.
Y
0
1
0
1
X↓Y
1
0
0
0
Стрелку Пирса можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:
X ↓ Y =  (X  Y)
Чтобы это показать, построим таблицу для дизъюнкции и
инвентируем результат:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
XY
0
1
1
1
 (X  Y)
1
0
0
0
Бинарные функции
продолжение

Импликация (implication (англ.) - следствие, вывод) логическая операция, по своему применению приближенная к
союзам «если… то…». Обозначается X  Y (или X  Y),
таблица истинности:
X
Y
XY
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Пример: "Житейская" модель импликации: Х — начальник. Он может
приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). Y —
подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В
таком случае импликация — послушание подчиненного начальнику.
Послушания нет только тогда, когда начальник приказывает
работать, а подчиненный бездельничает.
Пример: если фигура А квадрат, то фигура А — прямоугольник (1,0,0).
Бинарные функции
продолжение

Эквивалентность — логическая операция. Обозначается X ≡ Y
(или X ↔ Y), означает «X то же самое, что Y», «X эквивалентен
Y», «X тогда и только тогда, когда Y». Таблица истинности:
X
0
0
1
1

Y
0
1
0
1
X≡Y
1
0
0
1
Тождественный ноль, тождественная ложь, тождественное
"НЕТ". Таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
0
0
0
0
0
Бинарные функции
продолжение

Тождественная единица, тождественная истина,
тождественное "ДА". Таблица истинности:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
1
1
1
1
1
Все названные бинарные
функции можно представить в
одной таблице

X
Тождественная
единица, тождественная истина,
Y
0
XY XY X|Y X↓Y XY X≡Y
тождественное "ДА". Таблица истинности:
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
Есть и другие бинарные операции. Всего бинарных операций - 16.
Тернарные функции

Среди логических функций трёх аргументов (X,Y,Z) широко известной
является мажоритарная функция, на основе которой в своё время
строились комбинационные схемы элементов вычислительной техники.
Мажоритарная функция Fm принимает значение «истина», в тех случаях,
когда два или три её аргумента истинны. Иными словами, таблица
истинности функции отражает торжество большинства единиц. Отсюда и
название – мажоритарная, т.е. отображающая большинство
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
Fm
0
0
0
1
0
1
1
1
Некоторые свойства логических
операций

Среди логических функций трёх аргументов (X,Y,Z) широко
известной является мажоритарная функция, на основе которой в
своё время строились комбинационные схемы элементов
вычислительной техники. Мажоритарная функция Fm принимает
значение «истина», в тех случаях, когда два или три её аргумента
истинны. Иными словами, таблица истинности функции отражает
торжество большинства единиц. Отсюда и название – мажоритарная,
т.е. отображающая большинство
X
Y
Z
Fm
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Некоторые свойства логических
операций
СВОЙСТВО
коммутативность
(переместительный закон)
ассоциативность
(сочетательный закон)
дистрибутивность
(распределительный закон)
закон двойного отрицания
закон исключения третьего
законы де Моргана (общая
инверсия )
Закон непротиворечия
Правила исключения констант:
1) Для логического сложения,
2) Для логического
умножения.
Раскрытие импликации
Раскрытие эквивалентности
ДЛЯ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
XY=YX
XY=YX
(X  Y)  Z= X  (Y  Z)
(X  Y)  Z= X  (Y  Z)
X  (Y Z) =(XY) 
(XZ)
Х=Х
Х  Х = 1
 (X  Y) = Х  Y
 (X  Y) = Х   Y
Х  Х = 0
Х  1 = 1, Х  0 = X
Х 1 = Х, Х  0 = 0
X→Y=XY
X↔Y=(XY)(XY)
АНАЛОГИЯ ДЛЯ ОПЕРАЦИЙ С ЧИСЛАМИ
a+b=b+a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
-(-a) = a
Законы легко проверяются с помощью
таблиц истинности для обеих частей
равенств на всех наборах переменных.

Пример:
законы де Моргана можно проверить, построив таблицу значений для:
 (X  Y), Х  Y,  (X  Y), Х   Y
Огастес де
Морган
(1806-1871),
шотландский
математик и
логик,
учитель Ады
Лавлейс.
X
Y
(XY)=X↓Y
X
Y
Х  Y
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
X
Y
(XY)=X|Y
X
Y
Х  Y
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Приоритет логических операций
Пример.
¬АВСD
=
(( ¬ А)  В)  (С  D).
-A  B+C  D
=
((- A)  B) + (C  D)
приоритет логических операций
1) инверсия
2) конъюнкция
3) дизъюнкция
приоритет для операций с
числами
1) отрицание
2) умножение
3) сложение
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения
порядка действий используются скобки.
№411
«По крайней мере, в одной из этих
аудиторий размещается
кабинет информатики»
№412
«Кабинет физики
находится в другой
аудитории»
Решение логических задач с
помощью теории булевых
функций
Условия логической задачи следует записать в виде логической
функции. Далее упрощают полученную формулу, что приводит к
ответу.
 Пример: На кафедре биофизики в каждой из двух аудиторий
может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет
физики. На дверях аудиторий студенты-шутники повесили
таблички, про которые известно, что либо они обе истинны,
либо ложны. На первой аудитории повесили табличку « По
крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается
кабинет информатики», а на второй аудитории – табличку с
надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории».
Определите, какой кабинет размещается в каждой из
аудиторий.

Переведем условие задачи на язык алгебры логики.
 Так как в каждой из аудиторий может находиться
кабинет информатики, то пусть:
 А – « В первой аудитории находится кабинет
информатики»
 В – « Во второй аудитории находится кабинет
информатики»
 Отрицания этих высказываний:
  А – « В первой аудитории находится кабинет
физики»
  B – « Во второй аудитории находится кабинет
физики»


Высказывания на табличках:

На первой двери – « По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается
кабинет информатики», соответствует логическому выражению:

Х=АВ

На второй двери - «Кабинет физики находится в другой аудитории»:

У= А

Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках
одновременно истинные, соответствуют функции эквивалентности:

(Х ↔ У) = 1

Раскроем функцию эквивалентности:

(ХУ )  ( ХУ) = 1

Подставим вместо Х и У соответствующие им выражения:

((АВ) А )  ( (АВ)А) = 1

Упростим первую и вторую части выражения отдельно:

(АВ) А =( А А)  ( В А) , в соответствии с правилом дистрибутивности.

В соответствии с законом непротиворечия:

( А А)  ( В А) = 0 ( В А)

В соответствии с правилом исключения констант:

0 (В А) = ( В А)

В соответствии с законом Де Моргана и законом двойного отрицания:

( (АВ)А) = (АВА) = (А  А В)

В соответствии с законом непротиворечия:

(А  А В) = (0 В) = 0

В результате преобразования первого и второго слагаемых получаем:

( В А)  0 = 1

В соответствии с правилом исключения констант:

( В А) = 1

Что означает, что справедливы следующие высказывания:

В – « Во второй аудитории находится кабинет информатики»,

 А – « В первой аудитории находится кабинет физики».
Логические схемы


Компьютеры выполняют программы (или алгоритмы). При выполнении
программы логические элементы компьютера оперируют с сигналами,
представляющими собой электрические импульсы. На вход
логического элемента поступают сигналы – аргументы, на выходе
появляются сигналы-функции. Преобразование сигнала логическим
элементом задаётся фактически таблицей истинности,
соответствующей логической функции (с ними мы уже познакомились).
Любая логическая функция может быть представлена в виде
комбинации трёх базовых, поэтому логические схемы компьютера,
производящие обработку или хранение информации, могут быть
собраны из базовых логических элементов, как из кирпичиков.
•«Кирпичик» - ВЕНТИЛЬ

В компьютерах первого поколения логические схемы делали на
электронных лампах, в компьютерах второго поколения - на
транзисторах, сейчас для создания логических схем используют
большие интегральные схемы.

Базовые логические элементы реализуют три базовые
логические операции:

Логический элемент «И»(конъюнктор) – логическое умножение;

Логический элемент «ИЛИ»(дизъюнктор) – логическое сложение;

Логический элемент «НЕ» (инвертор) – инверсию.
дизъюнктор
XY
конъюнктор
XY
инвертор
X
Пример: Схемы, выполняющие бинарные функции,
изображены в таблице:
дизъюнктор
XY

конъюнктор
XY
штрих Шеффера
 (X  Y)
стрелка Пирса
 (X  Y)
В компьютерах первого поколения логические схемы делали на
электронных лампах, в компьютерах второго поколения - на
транзисторах, сейчас для создания логических схем используют
большие интегральные схемы.
Рассмотрим подробнее принцип
работы логического элемента «И»
(Рис. 1.1):
На входы Х1 и Х2 логического элемента подаются четыре пары
сигналов, а на выходе получается последовательность из четырёх
сигналов, значения которых определяются в соответствии с
таблицей истинности операции логического умножения.
Простейшей моделью логического элемента «И »может быть
электрическая схема, состоящая из источника тока, лампочки и двух
выключателей. Из схемы видно, что если оба выключателя замкнуты
(на обоих входах 1), по цепи идёт ток и лампочка горит (на выходе 1).
Если хотя бы один выключатель разомкнут (на одном из входов 0), то
тока нет и лампочка не горит (на выходе 0)
Логические схемы
А
И
А
В
ИЛИ
НЕ
В
Устимкина Л.И., ББСОШ №1
40
В третьем устройстве в качестве переключателя
используются автоматический ключ. Когда тока в цепи
ключа нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит.
Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления
электромагнитной индукции пластинка прижимается к
электромагниту и цепь размыкается. Лампочка не горит.
Правило построения логических
схем.
1) Определить число логических
переменных.
2) Определить количество базовых
логических операций и их порядок
3) Изобразить для каждой логической
операции соответствующий ей
вентиль.
4) Соединить вентили в порядке
выполнения логических операций.
Пример. Построить логическую схему
соответствующую логическому
выражению AvBA
.

Решение: AvBA = Av(BA). Сначала
строим конъюнктор BA. Выход
конъюнктора и вход А - входы для
следующего дизъюнктора:

Решение: Первым (слева) стоит
конъюнктор BС. Выход конъюнктора
и А - входы для следующего
дизъюнктора Av(BС). Последним
стоит инвентор. Получаем:  (AvBC).
Пример логической схемы персонального компьютера,
разработанного А.Ф.Волковым из г. Днепродзержинска в 1985 г. и
печатная плата машины Pentagon - 1024 SL, реализованная на базе
ПЛИС FPGA EP2C8Q208C8N .
pentagon.nedopc.com





Этапы конструирования логического
устройства.
Конструирование логического устройства
состоит из следующих этапов:
1. Построение таблицы истинности по заданным
условиям работы проектируемого узла (т.е. по
соответствию его входных и выходных сигналов).
2. Конструирование логической функции данного
узла по таблице истинности, ее преобразование
(упрощение), если это возможно и необходимо.
3. Составление функциональной схемы
проектируемого узла по формуле логической
функции.

Обработка любой информации на
компьютере сводится к выполнению
процессором различных арифметических и
логических операций. Для этого в состав
процессора входит так называемое
арифметико-логическое устройство (АЛУ).
Оно состоит из ряда устройств, построенных
на рассмотренных выше логических
элементах. Важнейшими из таких устройств
являются триггеры, полусумматоры,
сумматоры, шифраторы, дешифраторы,
счетчики, регистры.