О влиянии критерия Нехорошева на динамическую апертуру

П.Р.Зенкевич, А.В.Бархударян
Влияние критерия Нехорошева на
динамическую апертуру кольцевых
накопителей с системой октупольных
линз
Введение.
•
•
Октупольные линзы часто включаютс в структуру кольцевых накопителей для создания зависимости
частот поперечных колебаний частиц от амплитуды колебаний. Это необходимо для стабилизации
поперечных когерентных неустойчивостей ;;однако, как показали последние исследования
динамической апертуры (ДА) в синхротроне СИС100 (Дармштадт, Германия), динамическая
апертура ДА магнитного кольца при этом уменьшается.
Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий
(критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс,
устойчива (устойчивость по Нехорошеву).
Ю.Сеничев показал, что ДА кольца, в котором включена система коррекции хроматичности, может
быть улучшена при установке двух семейств октупольных линз, удовлетворяющих критерия
Нехорошева[4]. При этом остается открытым вопрос об учете влиянии ошибок магнитного поля на
ДА.
Исследование этого вопроса и является целью настоящей работы.
Были спроектированы две структуры: одна с сильной модуляцией бета-функции, что позволяет
выполнить критерий Нехорошева, и вторая структура, в которой этот критерий не выполнен. Для
обеих структур рассчитана зависимость ДА от силы тока в октупольных обмотках при наличии
систематических и случайных ошибок магнитного поля. Ряд параметров колец ( длина, энергия ,
бетатронная частота ) совпадали; основное отличие составлял разный набег фазы на период
структуры.
Критерий Нехорошева 1.
•
•
Советский математик Н.Н.Нехорошев показал, что при выполнении определенных условий
(критерий Нехорошева) динамическая система, описывающая одиночный нелинейный резонанс,
устойчива (устойчивость по Нехорошеву). Н.Нехорошев исследовал устойчивость динамической
системы с гамильтонианом в переменных действие-фаза
где   1 - малое возмущение.
Эта динамическая система описывает одиночный нелинейный резонанс в канонических
переменных.
Нехорошев сформулировал критерий устойчивости динамической системы следующим образом.
Система уравнений:
не должна иметь корней
в области действительных чисел (за
исключением тривиального решения
. Мы видим, что устойчивость такой системы зависит
только от свойств невозмущенного Гамильтониана
Каковы же должны быть эти свойства?
Критерий Нехорошева 2.
•
Рассмотрим квадратичный двумерный гамильтониан:
Тогда второе уравнение системы (2) принимает вид:
Эта квадратичная форма не имеет действительных корней при условии:
•
В стандартных обозначениях MADX
, где
бетатронные частоты поперечных колебаний. В этих обозначениях критерий Нехорошева для
поперечных колебаний в магнитном кольце можно записать в следующем виде:
Семейства октупольных линз.
•
В сглаженном приближении такой Гамильтониан можно создать с помощью октупольных линз.
Рассмотрим два симметричных семейства октуполей (одно в горизонтальной плоскости, другой в
вертикальной). Число октуполей
, сила октуполей
, значения β функций на
месте расположения октуполей
: . В этом случае получим:
(
•
Подставляя эти формулы в критерий Нехорошева, получим следующее условие:
•
Решением неравенства (9) является условие
(  x )1 /(  y )1  3.732
•
Задачей настоящей работы является проверка влияния критерия Нехорошева на динамическую
апертуру (ДА) кольца, включающего два семейства октупольных линз , с учетом влияния
систематических и случайных ошибок магнитного поля.
Параметры колец 1.
Наимен.
1 кольцо
2 кольцо
E (ГэВ)
10
10
B (Тл)
1.8
1.8
L (м)
534
534
4.88
5.25
Q
11.41
11.41
Схема яч.
N per
ФОДО
ФОДО
36
72
 cell
114.1
57.0
Lquad
0.5
0.5
0.4342
0.5125
-0.4605
-0.5298
Etr (ГэВ)
KF
KD
( m 2 )
Параметры колец 2.
Ldip
(βx )max (м)
1 кольцо
2 кольцо
1.618
0.808
27.023
12.560
(βx )min (м)
2.699
(  x )max /(  x )min 10.0
4.723
(βy )max (м)
28.709
12.695
(βy )min (м)
2.715
4.740
(  y ) max /(  y ) min 10.6
2.66
2.68
Рис.1. Структура ячейки, октуполи и β функции в периоде
структуры 1-го кольца
бета функции, метры
28
18
8
-2
0
5
10
расстояние, метры
15
бета функции, метры
Рис.2. Структура ячейки, октуполи и β функции в периоде
структуры 2-го кольца.
11
7
3
-1
1
3
5
7
расстояние, метры
Вычисления ангармонических коэффициентов с помощью
программы MADX показывают выполнение критерия
Нехорошева в 1-м кольце (сильная модуляция β функций). Во
втором кольце критерий Нехорошева не выполнен.
Динамическая апертура колец 1.
400
Еу мм*мрад
Еу мм*мрад
200
150
100
300
200
100
50
0
0
0
50
100
Ех мм*мрад
150
200
Рис.3. Динамическая апертура 1-го кольца.
● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3
= 1200м-4 , N = N1 = N2 = 36
0
100
200
Ех мм*мрад
300
Рис.4. Динамическая апертура 2-го
кольца. ● − N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4
, □ − N∙K3 = 1200м-4 , N = N1 = N2 = 72.
Расчеты ДА проведены при наличии регулярной нелинейности в магнитной структуре
кольца с помощью программы MADX. Коэффициенты нелинейности заданы такие же,
как в проекте SIS100. Мы видим, что в обоих кольцах динамическая апертура падает с
ростом тока в октупольных обмотках; однако, в случае удовлетворения КН это падение
более медленное (25 % в первом кольце и 60% во втором).
Динамическая апертура колец 2.
100
300
Еу мм*мрад
Еу мм*мрад
80
60
200
40
100
20
0
0
0
20
40
60
Ех мм*мрад
80
100
Динамическая апертура 1-го кольца при
наличии флуктуаций полей в дипольных
магнитах и квадрупольных линзах. ● − N∙K3
= 0, ∆ − N∙K3 = 600м-4, □ − N∙K3 = 1200м-4 ,
N = N1 = N2 = 36.
0
50
100
150
Ех мм*мрад
200
250
Динамическая апертура 2-го кольца при
наличии флуктуаций полей в дипольных
магнитах и квадрупольных линзах. ● −
N∙K3 = 0, ∆ − N∙K3 = 1200м-4, □ − N∙K3 =
2400м-4 , N = N1 = N2 = 72.
Дискуссия.
•
1.
2
•
•
•
Ускоритель отличается от рассмотренной Н.Н.Нехорошевым простейшей динамической системы
рядом особенностей:
Гамильтониан
для семейств октупольных линз не является точным: он получен с
помощью метода усреднения в первом порядке по теории возмущений. Наряду с членами,
включенными в квадратичный двумерный гамильтониан , он содержит также октупольные
гармоники., которые уменьшают динамическую апертуру даже в отсутствие возмущений магнитного
поля
Возмущение содержит широкий спектр гармоник и не сводится к члену
; в общем
случае при пересечении резонансов возмущенный гамильтониан зависит также от продольной
переменной s, а в этом случае теорема Нехрошева не действует.
Вероятно, именно в силу этих особенностей октупольные семейства ухудшают ДА даже при
выполнении критерия Нехорошева. Эти результаты, строго говоря, относятся только к
рассмотренному примеру. Следует, однако, ожидать, что этот вывод справедлив и для колец с другой
магнитной структур ой.
Заметим, что первое возражение (неточность Гамильтониана) может быть снято при специальном
выборе магнитной структуры (идея С.Нагайцева и Co). Второе возражение, однако, остается в силе.
Призываем молодое поколение продолжить исследование этой увлекательной
темы!