Поверхностные состояния в сверхрешетке с шероховатой границей. Былев А.А. Научный руководитель: Кучма А.Е.

Поверхностные состояния в сверхрешетке
с шероховатой границей.
Былев А.А.
Научный руководитель: Кучма А.Е.
Введение
Граница твердого тела с вакуумом или другой средой может служить источником ряда особых
энергетических состояний электронов – поверхностных состояний, т.е. состояний,пространственно
локализованных у границы тела. Возможность существования у поверхности кристалла связанных
состояний электронов впервые рассмотрел И.Е. Тамм [1].
В нашей работы мы рассматривали поверхностные состояния в полубесконечных сверхрешетках.
Сверхрешетками принято называть твердотельные структуры, в которых, помимо периодического
потенциала кристаллической решетки, имеется дополнительный периодический потенциал, период
которого существенно превышает постоянную решетки.
Параметры потенциала сверхрешеток можно варьировать в широких пределах, благодаря чему в
сверхрешетках можно контролируемо изменять волновую функцию электронов, и зонную структуру
спектра. Впервые такие системы были рассмотрены Л. В. Келдышем [2]. Сверхрешетки широко
применяются в электронике и оптоэлектронике.
В общем случае поверхность не представляет собой резкого перехода от невозмущенного
периодического потенциала к внешнему пространству. Следует также учитывать, что поверхность
может быть покрыта неупорядоченным адсорбированным слоем. Такая шероховатость поверхности
ведет к рассеянию поверхностной волны, представляющей поверхностные состояния электрона, на
неровностях поверхности, в том числе поверхностная волна может преобразовываться в объемную
волну. Представляет интерес оценить затухание поверхностного состояния, обусловленное таким
рассеянием.
Постановка задачи
В простейшем однозонном приближении [3] для невырожденных энергетических зон
кристаллической решетки уравнение Шредингера для огибающей функции имеет вид:
2





(r )  V (r ) (r )  E (r )
2m
С целью максимально упростить задачу будем считать, что потенциалы ям имеют вид δ -функций.
В рассматриваемой модели неровность поверхности можно описать, вводя зависимость мощности
потенциала поверхностного слоя от координат точек слоя [4].
a
- период сверхрешетки
u 0  u1 (  ) - мощность поверхностного
потенциала
u - потенциал
внешнего пространства
v0 - мощность потенциала
сверхрешетки
u0  u1 (  )
В результате приходим к уравнению Шредингера:
2


 

 2 


 (  , z ) 




u

(

z
)

(
u

u
(

))

(
z
)

v

(
z

na
)

0
1
0


2


2m 
z
n 1



 E (  , z )
m
- эффективная масса электрона
Z – ось в направлении препендикулярном плоскости сверхрешетки

u 0  u1 (  ) - мощность потенциала поверхностного слоя
v0 - мощность потенциала сверхрешетки
u1 (  ) - мощность потенциала шероховатости поверхности
u - потенциал внешнего пространства

u
(

)
Шероховатости поверхности будем считать случайными, т.е. 1
есть случайная функция
координат, среднее значение которой равно нулю. Будем также считать шероховатости
статистически однородными с корреляционной функцией:


 
u1 (  )u1 (  )  U 2 W (    )

Решения уравнения для случая гладкой поверхности, т.е. u1 (  )  0 , неоднократно обсуждались в
литературе (см., например, [5]). В нашей модели при z  0 уравнение для гладкой и шероховатой
поверхностей совпадают, что позволяет воспользоваться этими результатами.
В области z  0 переменные  и в уравнении разделяются. Уравнение по  является
уравнением

для свободной частицы и его решения можно взять в виде плоских волн exp( ik  ) , где k - волновой
вектор, параллельный плоскости решетки. Решения уравнения по z в этой же области

z

 d2 


 ( z )  q 2  ( z )

u

(

z
)

v

(
z

na
)

0


 dz 2

n 1



2
могут быть в случае q  u (убывающие со стороны z  0 решения) выбраны в виде
 e ( q ) z , z  0
 ( q, z )  
  (q, z ), z  0
где  (q)  u  q 2 , а   (q, z ) в зависимости от q либо блоховские волны вдоль оси z , либо
убывающие вглубь решетки поверхностные состояния. Функции  (q, z ) непрерывны в точке z  0
и (q,0)  1.

Общее решение  (  , z) уравнения представляется линейной комбинацией блоховских и
поверхностных волн eik   (q, z ) , а энергетический спектр электрона
2
2 2
E

(k  q 2 )
2m
2m
определяется из условий сшивания волновой функции по z на поверхности z  0


 (  ,0)   (  ,0)






  (  ,0)   (  ,0)  u0  u1 (  )  (  ,0)  0

В случае гладкой поверхности ( u1 (  )  0 ) условие может выполняться, в том числе, и для чисто
поверхностных волн [5]. Эти состояния существуют только при определенных значениях q 2 .  

ik 
В случае шероховатой поверхности потенциал шероховатости u1 (  ) смешивает состояния e  (q, z )

с разными k и q , что означает рассеяние поверхностного состояния.
Затухание поверхностного
состояния

В соответствии с постановкой задачи представим волновую функцию электрона  (  , z ) в виде
 
 ik

ik 
(  , z )  e (q0 , z )   a(k )e (q, z )
0
k  k0
 
ik 0 

где e (q0 , z ) - поверхностная волна, а eik   (q, z ) - либо поверхностные волны, либо уходящие
вглубь решетки блоховские волны, при этом
q02  k 02  q 2  k 2  
и
 u

Энергию  считаем вещественной. Как мы увидим, волновой вектор k 0 является комплексным,
что отражает убывание амплитуды поверхностной волны в результате рассеяния. Такая ситуация не
является реальной в случае неограниченной поверхности, но позволяет оценить затухание на
единицу длины в области шероховатости.
Оценку затухания поверхностной волны проведем по теории возмущений, предложенной в [4]. Для
этого условие на волновую функцию перепишем, явно выделив уравнение, содержащее
(q0, z ), (учтено, что (q,0)  1 )

 

  (q0 ,0)   (q0 ,0)  u0  u1 (k0  k )a(k )  0


 k  k
 





  (q,0)   (q,0)  u0  a(k )  u1 (k  k0 )   u1 (k  k )a(k )  0
k  k

0
0

  ik

1
u
(
k
)

d

e
u
(

) амплитуда Фурье потенциала шероховатости, а 2l - размер
Здесь 1
1

(2l ) 2
решетки по осям x и y .
Считая возмущение поверхностной
 волны

 малым, отбросим во втором уравнении системы члены
второго порядка малости  u1 (k  k )a(k ) и учитывая, что
 q,0    (q )
а
 
k  k0
q
(q, 0) 
( (q)  cos qa)
sin qa
  L  L2  1
L  cos qa 
v0
sin qa
2q
 (q)  u  q 2
приходим к условию совместности системы


 
q0
u1 (k0  k )u1 (k  k0 )
 (q0 )  cos q0 a    (q0 )  u0  
q
sin q0 a
k
 (q)  cos qa   (q)  u0
sin qa
Это уравнение определяет волновые числа электронной поверхностной волны. Правая часть этого
уравнения является комплексным числом в силу комплексности  (q )для блоховских волн и
наличия нулей у знаменателя. В силу этого комплексными являются и волновые числа k 0
поверхностного состояния электрона. Мнимые добавки к волновому числу k 0 отражают затухание
поверхностного состояния электрона вдоль шероховатой поверхности по сравнению со случаем
гладкой поверхности. Кроме того, меняется и фазовая скорость поверхностной волны по сравнению
со случаем гладкого интерфейса за счет добавки к вещественной части волнового числа k 0 .
Оценим затухание поверхностной электронной волны, усредненное по ансамблю реализаций
поверхности со случайной шероховатостью. Поскольку нас интересует мнимая часть волнового

числа, то суммирование можно вести только по области k , соответствующей блоховским волнам,
полюса же в этом уравнении учтем стандартным образом, обходя их по малой полуокружности в
области комплексных k 2 .


 
u1 (k0  k )u1 (k  k0 ) в виде
Для дальнейшего анализа выберем
 
(k  k 0 ) 2



 
2 U
2p
u1 (k0  k )u1 (k  k0 ) 
e
(2l ) 2 pc 2
2
где
U среднеквадратичная случайная добавка к мощности поверхностного потенциала u 0 ,

а pc -обратная корреляционная длина шероховатости. Кроме того, заменой
(2l ) 2

d
k


(2 ) 2
k
выполним в уравнении стандартный переход от суммирования по квазидискретным волновым
векторам к интегрированию.
q
 (q)  cosqa   (q)  u0
F (q) 
Для краткости записи введем обозначение:
sin qa
2
2
c
После интегрирования по углам правая часть уравнения , которую обозначим
сводится к
k k
U 2  dk 2  2 p
 kk 0 


u0 (k 0 , q0 ) 
e
I
0
2  2 F (q)
2
pc 0
 pc 
 kk 0 
где I 0  2  - функция Бесселя от мнимого аргумента первого рода.
 pc 
u 0 (k 0 , q0 ),
2
2
0
2
c
Мнимая часть u 0 ( k 0 , q0 ) отрицательна и равна
Im u0  
U 2

pc 2


dq
2
2 F (q)
2
q
1  L2 (q ) e
sin qa
ki  k0
2

i
U 2
pc 2

2
qi e 2 p

F (qi )
c
2
k k 
I 0  i 20 
 p 
 c 

 q 2  k0
2 pc
2
2
   q2 k 
0
I0 

2


pc


2
2
В интеграле выполнена замена переменной k    q и интегрирование по q идет, как
отмечалось, только по областям, отвечающим блоховским волнам, т.е. там где L(q)  1 . Второе

слагаемое есть вклад от полюсов ( F (qi )  0, qi 2  ki 2   ).
q
Считая затухание малым, в правую часть уравнения подставим значения 0, k 0 , отвечающие
поверхностному состоянию для гладкой поверхности с мощностью потенциала поверхности u0  . U 2
(Такой потенциал поверхности получается эффективно в пределе pc  0 для уравнения с
коррелятором и, кроме того, это позволяет избежать расходимости в полюсном члене в пределе
pc  0 ). Тогда правая часть уравнения (11) даст просто поправку к u . С учетом этого находим
0
поправки к q~0 ( F (q~0 )  0 )
F (q~0 ) q0  u0 (q0 , k0 )
~
и поправки к волновому числу k 0 (учтено, что q02  k 02   )
q~0 u0 (q0 , k 0. )
 k0   ~
k F (q~ )
0
0
Расчеты
2
Для расчетов выберем случай u  0 иu0  v0 . С учетом условия   u получаем, что q    0 . В
области отрицательных имеется единственная «разрешенная» зона, отвечающая блоховским
волнам , и для того, чтобы она давала вклад значение  должно лежать выше этой зоны. Кроме
того, в области отрицательных q 2 вклад от полюсов содержит только одно слагаемое, а условие
~2
u 0  v0 ведет к тому, что q лежит ниже разрешенной зоны .
На рис. показана зависимость Im  k 0 от p c . Кроме того, отдельно показаны вклады в только от
рассеяния вглубь решетки и только за счет рассеяния по поверхности.
0.5
0.006
0.4
0.005
0.3
0.004
0.003
0.2
0.002
0.1
0.001
~
~ a=4.5
Рис. а. Зависимость Im  k 0от p cпри k 0 a =3, q
0
(вклад от рассеяния вглубь решетки).
2
4
6
8
10
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2
4
6
8
~
~
Рис. в. Зависимость Im  k 0 от p cпри k 0 a =3, q0 a =4.5
(суммарный вклад)
10
~
p cпри k 0=3,
Рис. б. Зависимость Im  kот
a
0
(вклад от рассеяния вдоль поверхности).
2
4
6
q~0 a=4.5
8
10
Как видно из результатов расчетов коэффициент затухания мал как при pc  k 0 , так и при pc  k 0,
что физически оправдано. При большой корреляционной длине неровностей поверхности и малой
длине поверхностной волны затухание мало, так как этот случай мало отличается от гладкой
поверхности. В противоположном случае малой корреляционной длины неровностей и большой
длины волны поверхностного состояния затухание также мало в силу сглаживания неровностей на
расстояниях порядка длины волны, что опять ведет к случаю гладкой поверхности.
Кроме того, при выбранных значениях параметров задачи вклад в Im  k 0 от рассеяния вглубь
решетки сильно подавлен по сравнению с вкладом от рассеяния вдоль поверхности. Для выяснения
причин этого проведем аналитические оценки первого и второго слагаемых. Интегрирование идет,
как указывалось, по единственной «разрешенной» зоне в области отрицательных q 2 . Границы
зоны определяются условиями L(q)  1 . Приближенное решение этого уравнения для границ
зоны дает
v a

v0 
q 
1 e 2 


2


0
Откуда для ширины зоны находим
q2
 q2
 v02 e

v0 a
2
v
Оценивая интеграл в (14) по теореме о среднем с учетом того, что в средней точке интервала qm  0
2
можно считать L(qm )  0 , находим
Im k0 1  
U 2
pc2
v0 a e
 v0 a

e
2
 u0

  1  e  v
 v0

0
a
k m2  k 02
2 p c2
k k 
I 0  m 2 0 
 pc 
Оценка вклада второго слагаемого в (14) имеет вид
Imk0 2  
U
pc2
2
 u0 a e

~
k 2  k 02
2 p c2
~ u0
где учтено, что q 
.
2
 k~k0 
I 0  2 
 pc 
Как видимImk0 1 иImk0 2 имеют подобное поведение, как функции p c , но существенно разное
поведение в зависимости от параметров потенциала сверхрешетки v0 и потенциала
u0
u
поверхностного слоя 0 . При выбранных при численных расчетах значениях параметров v  1,5 и
0
v0 a  8 отношение вкладов от рассеяния вглубь решетки и от рассеяния вдоль поверхности при
pc a ~ 1
составляет
Im k0 1 / Im k0 2 ~ v0 e
u0
q~ 2  q m2
 v0 a
2 p c2
e
~ 10  3
Заключение
Проведен анализ влияния шероховатости границы сверхрешетки на поверхностные состояния
электронов в простейшем однозонном приближении для невырожденных энергетических зон
кристаллической решетки. Сверхрешетка моделировалась -образными потенциальными ямами,
поверхностная потенциальная яма отличалась по глубине от остальных потенциальных ям
сверхрешетки, а неровность поверхности вводилась через зависимость мощности потенциала
поверхностного слоя от координат точек слоя.
Показано, что волновая функция усредненного поверхностного состояния будет затухать в
направлении распространения вдоль граничной поверхности сверхрешетки в результате рассеяния
на неровностях поверхности и преобразования поверхностной волны в объемные блоховские
волны, уходящие вглубь решетки. Получены выражения для коэффициента затухания
поверхностного состояния в продольном направлении, при этом выделены вклады, обусловленные
рассеянием вдоль поверхности и рассеянием с преобразованием поверхностной волны в объемные
волны, и проведены расчеты этого коэффициента.
Примечания
Функции   (z ) имеют вид
Здесь
 z 
z
z
iqa   
 a    iqa  a 
1

  ( z) 
   e    e a  
1  




 z  - целая часть числа z ,  z  - его дробная часть и
 
 a 
a
a 
 
e iqa  
  e iqa
где
  L  L2  1
L  cos qa 
v0
sin qa
2q
4
3
2
1
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1
2
3
1.0
4
2
0.4
0.2
0.2
2
0.4
0.6
0.8
1.0
Список литературы
1. И.Е. Тамм. ЖЭТФ, 1933, т.3, с. 34
2. Л.В. Келдыш. ФТТ, 1962, т.4, с. 2265
3. П. Ю, М. Кордона. Основы физики полупроводников. М.: Физматлит, 2002
4. А.Е. Кучма, Д.В. Ковалевский, Н.В. Воронин. Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер. 4, 2008, Вып.4, С. 3 – 15
5. И.М. Лифшиц, С.И. Пекар. УФН, 1955, т.56, вып.4, с. 531
6. Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов. М.: «Наука», Главная редакция физико-математической
литературы, 1978.